Apostila Análise de Circuitos CA

Prévia do material em texto

1
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Professor: Neury Boaretto
Material disponibilizado pelo autor do livro em: www.eletronica24h.com.br
Curso Online: http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20CA/index.htm
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Números Complexos
? 4
Unidade imaginária: 
Desta forma:
ou
241414 j .).(
Definição:
1j 12 j
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Deduções:
jjjjj  ).(. 123
111224  )).((. jjj
jjjjjj  ).).((.. 11225
11112226  )).().((.. jjjj
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Formas de Representação de um Numero Complexo
•Forma Cartesiana (Retangular)
•Forma Polar 
•Forma Trigonométrica
Forma Cartesiana
a e b são números reais
j é a unidade imaginária
Z=a+jb
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Plano CartesianoZ(a,b)
Eixo Imaginário (Im)
Eixo Real (R)
b
a
Forma Cartesiana (Retangular)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Exemplos:
Representar os números complexos no plano cartesiano
Z1=4+j4
4
4
Im
R
Z1
2
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z2=7 (não tem parte imaginária)
Im
R
Z2
7
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Im
R
Z3=j3 (não tem parte real)
3Z3
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z5=3+j3
Im
R
-1-2 1
1
2
-1
-2
-3
3
2 3-3
Z4
Z5
Z4=-3+j2
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Im
Ra
b
o
P
Z

Z=a +jb forma cartesiana
Segmento de reta
ZOP 
Representa o MODULO
Do numero complexo z
O ângulo  representa o 
ARGUMENTO ou ÂNGULO DE
FASE de z
MÓDULO
FASE
Forma Polar
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Na forma polar um numero complexo é representado por:
z = Z 
Numero complexo é representado por letra minúscula, z
E o seu módulo por letra maiúscula, Z
Z= Z 
Z é o módulo
e
 é a fase do numero complexo
Forma alternativa
Forma Polar
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Transformação da Forma Cartesiana para Polar
Im
Ra
b
Z
22 baZ  Dado: z=a+jb
Determinar: Z e 

z = Z 
a
b
tg 
a
b
arctg 
3
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Exemplos: 
Transformar os números para a forma polar
Z1=4+j4
Im
R
4
4
Z1
z1
1
24441 22 Z
0
1 454
4
 arctg
z1 = 24
045
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z2=7 (não tem parte imaginária)
Im
R
7
Z2
z2
2 z2 = 7 
00
2=00
Z2=7
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
z3=j3 (não tem parte real)
Im
R
z3
Z3 3
Z3=3
3
3=900
z3 = 3 
090
Ou..........
z3 = 3 
0270
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z4=-3+j2
Im
R
z4
Z4
631323 224 ,)( Z
’
034
3
2
 arctg'2
-3
4 4=180-34=1460
z4 = 3,6 
0146
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z5=-5
Im
R
z5
Z5=5
Z5
5
5=1800
z5 = 5 
0180
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z6=-4-j3
Im
R
-4
-3
z6
Z6
534 226  )()(Z
6
’
037
4
3
 arctg'
6=180+37=2170
z6 = 5 
0217
4
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z7=-j4
Im
R
z7 -4
Z7=4
7
7=2700
z7 = 4 
0270
Ou.....
z7 = 4 
090
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z8=4-j3
Im
R
z8Z8
4
-3
534 228  )(Z
8
’
037
4
3
 arctg'
8=360-37=3230
z8 = 5 
0323
ou............... z8 = 5 
037
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Operações com Números Complexos
SOMA e SUBTRAÇÃO
Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana
z1=10+j10 z2=5+j4
z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14
z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Na multiplicação e divisão é usada a forma polar
z1=4+j4=5,65 450
z2=5+j8,66=10 600 Z4= -5+j8,66= 10 1200
Z3=-j4=4 -900
Operações com Números Complexos
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Exercícios Propostos
Dados os complexo:
Z3=-j4=4 -900
z1=4+j4=5,65 450 z2=5+j8,66=10 600
Z4= -5+j8,66= 10 1200
Obter: 
a) Representação no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4
b) z2.z4 z2.z3
c) z2/z4 z2/z3
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
5
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Tensão Continua: Tensão que tem sempre a mesma polaridade
Tensão Alternada
Símbolo Uxt
6
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Tensão Alternada
É uma tensão cujo valor e polaridade se modificam ao longo do tempo. 
Conforme o comportamento da tensão então temos os diferentes tipos de tensão:
Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc 
VP VPP
VP= valor de pico=12V VPP=valor de pico a pico=24V
T=Período
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Tensão Senoidal
É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal
v(t) = VP.sen(w.t +θ0)
VP é o valor de pico 
ω é a freqüência angular
θ0 é o ângulo de fase inicial
θ = ω.t +θ0
VPP é valor de pico a pico
Representação Gráfica e Expressão Matematica
v(t) = 10.sen(1000.π.t ) (V)No exemplo
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
v(θ) = VP.sen θ
θ=w.t=ângulo descrito
Representação Gráfica e Expressão Matemática
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Período (T) e Frequência (f)
Período (T) é o tempo necessário para o fenômeno voltar a se repetir
(completar um ciclo)
Freqüência (f) é o numero de ciclos completados por segundo
  )(ssegundoT 
  segundocicloouHzf /
T
f 1
f
T 1
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Frequência Angular (ω)
Representa a variação angular em função do tempo
  sgrausousrd //
θ = ω.t
Se θ=2.π, o tempo será t= T
2.π = ω.T fou
T
...  22 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Movimento Circular Uniforme
A=amplitude do segmento
A projeção do segmento no eixo vertical representa uma grandeza
senoidal de amplitude A e fase inicial θ0
7
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Movimento Circular Uniforme
Neste caso a grandeza senoidal tem ângulo de fase inicial 0 e portanto
a expressão que representa a grandeza é: A.sen(w.t)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Movimento Circular Uniforme
Neste caso o ângulo de fase inicial é -45 graus e a expressão em função do tempo
que representará a grandeza em questão será: A.sen(w.t-45)
Em todos os casos a grandeza em questão pode ser tensão, onde A será
O valor de pico (Vp) e w afrequencia angular a qual estará relacionada com
A frequencia por w=2.π.f
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Analise do sinal
Período: T=0,25s
Frequência Angular: w=2.π.4=8.π rd/s
Hzf 4
250
1

,
V(V)
5
t(s)
-5
0
0,125
0,250
0,375
0,500
Analise de um sinal senoidal
Tensão de pico: VP=5V
Ângulo de fase inicial: θ0=0
Tensão de pico a pico: VPP=10V
Expressão em função do tempo:
V(t)=5.sen(8.π.t) (V)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Determinando um valor de tensão
V(t)=5.sen(8.π.t) (V)
Qual o valor da tensão para t=0,6s? V(0,6s)=5.sen(8. π.0,6) =2,94V
5V
-5V
0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,850 0,975 1,000
0,6
2,94
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
v(V)
w.t(rd)
VP
-VP
Ângulo de Fase Inicial
Se para t=0 a tensão é diferente de zero, dizemos que o sinal tem uma
fase inicial.
v(t) = VP.sen(w.t +θ0)
Sinal adiantado Θ0 > 0
θ0
Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t+900) (V)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
v(V)
w.t(rd/s)
VP
-VP
Sinal atrasado Θ0 < 0
θ0
Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t-900) (V)
Ângulo de Fase Inicial
8
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Para os sinais pedem-se determinar: a) Freqüência angular b) freqüência
c) Periodo d) Ângulo de fase inicial e) Representar graficamente 
f) Indicar o valor da tensão para t=0
1) v1(t)=10.sen(20.000. π.t + π/3) (V)
a) w=20.000. π rd/s
KHzHzf 1000010
2
00020
2
 .
.
..
. 



smssT 1001000010
00010
1
 ,,
.
Θ0= π/3=600
b)
c)
d)
Exemplos
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
600
f) No instante t=0 v1(0)=10.sen(w.0+600)=8,66V
e)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
V2=15.sen(8.000. π.t – 300) (V)
a) w=8.000. π rd/s
KHzHzf 40004
2
0008
2
 .
.
..
. 



smssT 250250000250
0004
1
 ,,
.
Θ0=-300
b)
c)
d)
300
e)
f) No instante t=0 v2(0)=15.sen(w.0-300)=-7,5V
-7,5V
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Defasagem
A diferença de fase (Δθ) entre dois sinais de mesma freqüência
é chamada de defasagem, sendo medida tomando-se um dos sinais
como referencia
Ex: Qual a defasagem entre os sinais a seguir
v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)
v2(t)=5.sen(w.t) (V)
Δθ=θ1 – θ2=90-0=90
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Δθ
v1 está 900 adiantado em relação a v2
Os sinais estão em QUADRATURA
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
v1(t)=10sen(w.t+900) (V)
v2(t)=5.sen(w.t+900) (V) Δθ=90 – 90=0
Sinais estão em FASE
9
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
v1(t)=10sen(w.t) (V)
v2(t)=5.sen(w.t+180)(V) Δθ=180 – 0=180
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Representação Através do Diagrama Fasorial
É uma outra forma de representar uma tensão senoidal. 
Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa a tensão em um 
determinado instante. 
Vetor girante
Observar que a tensão instantânea é a projeção no eixo vertical do vetor girante
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
10.sen(θ)
Diagrama Fasorial (DF)
O fasor de amplitude 10V gira no sentido anti horario com 
frequencia angula w
Tensão senoidal representada no DF
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
V1 (t)=10.sen(w.t + 900)
Representar os sinais no Diagrama fasorial (DF)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
V2 (t)=10.sen(w.t - 90o)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
V1 está adiantada em relação a V2
Defasagem entre as duas tensões
10
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Exercício Proposto
1) Desenhar o Diagrama Fasorial dos sinais:
v1(t)=10.sen(w.t+600) (V)
v2(t)=15.sen(w.t-300) (V)
2) Qual defasagem entre as tensões?
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Representação na Forma Complexa
Numero Complexo tem: Modulo e fase
Tensão Senoidal tem: Modulo e fase
Portanto..........................
Forma Trigonometrica: v(t)=VP.sen(w.t+θ0)
Forma Complexa: v=VP θ0 VP.cos θ0 + j VP.sen θ0
a b
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Dadas as tensões 
v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)
v2(t)=5.sen(w.t) (V)
Pede-se: a) v3= v1+V2 b) Representar V3 no diagrama fasorial
c) Dar a expressão de V3(t) d) Representar V3 na forma polar e cartesiana
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Resumo: Formas de representar uma tensão senoidal
Expressão Trigonométrica v(t)=12.sen(w.t+600) (V)
Diagrama Fasorial
Numero Complexo
Forma de Onda
)V(39,10j6v 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Circuitos Resistivos em CA
Em um circuito puramente resistivo (só com resistências) alimentado com uma 
tensão alternada (CA) a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre 
elas dada pela lei de ohm, isto é : 
V(t) =Vp.sen(ω.t+θ0)
)t.(sen.I
R
)t.(sen.V
R
)t(v)t(i 0P
0P 


R
VI PP 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Como tensão e corrente estão em fase, concluímos que:
Uma resistência pode ser representada por um numero complexo
Com parte imaginaria nula
11
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Valor Eficaz (VRMS)
Definição matemática: 
T
0
2
RMS dttvT
1V )(.
Significado Físico: O valor eficaz de uma tensão alternada 
senoidal é igual ao valor da tensão continua que produz mesmo 
aquecimento
Dado uma tensão alternada (qualquer) v(t) define-se valor eficaz
RMS= Root Mean Square = valor quadrático médio
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
RMSEficaz
P VV
2
VV 
Qual deve ser o valor da tensão continua para aquecer R igualmente ?
A Tensão Alternada é senoidal
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
IVP .
R
VP
2

2I.RP 
Como Calcular a Potencia dissipada em CC ?
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Qual a relação entre a tensão da bateria e a tensão de pico da senoide
para que o aquecimento seja o mesmo nos dois casos?
E no caso de uma tensão senoidal?
Vp
RMSRMS IVP .
R
2VP RMS
2
RMSIRP .
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Qual o valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento em um resistor 
de 50 ohms ligado a uma tensão senoidal de 310V de pico?
V220
2
V310
2
VV PEF 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Potencia em Circuito Resistivo em CA
A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão pela corrente
instantânea:p(t)=v(t).i(t)
p(t)=v(t).i(t)
A potência dissipada no resistor 
será igual ao valor médio da 
potencia instantânea 
No exemplo:
P=12V.3A=36W 
P=VRMS.IRMS
Vp=17V e VRMS=12V
Ip= 4,25A IRMS=3A
12
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Genericamente para qualquer circuito
 cos.I.VP RMSRMS
 é o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão 
No CASO DE CIRCUITO RESISTIVO
00
10cos 0 
RMSRMS I.VP 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Dado as tensões:
v1(t)=20.sen(w.t) (V) v2= 5 00 (V)
V3=20+j15(V)
1) Representar as três tensões no DF 
2) Obter
2a) v4=v1+v3 2b) v5=v1+v2+v3
3) As tensões V1 e V3 são aplicadas respectivamente em R=10 Ohms e 
R=5 Ohms. Calcule em cada caso a) expressão de i(t) b) Potencia dissipada
mm cada caso.
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Capacitor
Dispositivo usado para armazenar cargas elétricas
Placas de area S(m2)d(m)
terminais
Dielétrico (isolante)
Símbolo
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Capacitância (C)
É a medida da capacidade que tem o dispositivo de armazenar cargas elétricas
O seu valor é especificado em Farads (F) e depende das dimensões (S, d) e do 
material de que é feito o dielétrico (isolante que separa as duas placas).
d
SKC .. 0
Para um capacitor de placas planas e paralelas de área S, separadas por
Uma distancia d, a capacitância será dada por:
Onde ε0 é a permissividade dielétrica do vácuo
K é a constante dielétrica do material. Por exemplo: Vidro K=4,5, vácuo K=1
ε0=8,85pF/m
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Relação entre tensão (U), carga elétrica (Q) e capacitância (C) em um capacitor 
+ +
- -
Q C
U Q=U.C
Q é a quantidade de cargas em Coulombs (C)
U é a tensão aplicada em volts (V)
C é a capacitância em Farads (F)
Ex: se C=100µF e U=10V qual a carga armazenada?
Q=100.10-6.10= 10-3C=1mC
A quantidade de carga é diretamente proporcional a U e a C
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Tântalo
Eletrolítico
Cerâmico
Poliéster
Tipo de Capacitores
13
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Capacitores Polarizados (Valor maior que 1uF)
Símbolo
Eletrolíticos
Tântalo
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Capacitores Não Polarizados (Valor menor que 1uF)
10 Numero: Primeiro Digito (1)
20 Numero: Segundo Digito (0)
30 Numero: Numero de zeros (00)
0.1=0.1uF
100n=100nF=0,1uF
C=1000pF=1nF
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Usando Código de Cores (Poliester)
Valor=270000pF=270nF=0,27uF
Vermelho=2
Violeta=7
Amarelo=4
Tolerância 
20%
5%
10%
Máxima Tensão 
100V
250V
400V
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Qual o valor da capacitância? Da tolerancia? Da máxima tensão? 
Amarelo=4
Violeta=7
Laranja=3
Preto=20%
Vermelho=250V
Valor=47000pF=47nF=0,047uF
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Capacitores Variáveis
Trimmer
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Capacitor em CC
Vcc
VR
VC
No circuito, a chave é fechada em t=0, considerando que o capacitor está inicialmente
descarregado, VC(0)=0
t=0
VR=VCC
VC=0
I
I
VCC
De acordo com a 2a Lei de Kirchhoff: VCC=VR + VC (em qualquer instante)
Em t=0 VR(0) + VC(0)=VCC >>>>>>> VR(0)=VCC
R
V
R
VI CCR  )()( 00 C começa a se carregar, VC começa a aumentar......
...e VR começa a diminuir, conseqüentemente I
Depois de um tempo (que depende de C e R), o capacitor estará carregado
14
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Gráficos
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Conclusões:
•Do ponto de vista físico não existe movimento de cargas (corrente) através do
capacitor (as cargas se movimentam no circuito externo)
•A corrente no capacitor está adiantada em relação à tensão
•O tempo de carga depende da constante de tempo do circuito definida como
sendo  =R.C, sendo C em Farads (F) R em Ohms (  em segundos(s)
VCC + +
- -
I=0
R
C
VC=VCC
VR=0
•Na pratica bastam 4 constantes de tempo para carregar um capacitor
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
VR VC
Equações: Tensão no Capacitor e Resistor
7,56V
t=s
vc(t)=VCC.(1-e-t/RC) (Função Exponencial)
vR(t)=VCC.e-t/RC
na expressão de vC(t) vc(R.C)=VCC.(1-e-1)=0,63.VCC=7,56V
e=base do logaritmo neperiano=2,71828........
na expressão de vC(t) vc()=VCC.(1-e-0)=0
na expressão de vR(t) vR(0)=VCC.e-0=VCC=12V
Para t=0
Para t= R.C=2s
na expressão de vR(t) vR(R.C)=VCC.e-1=0,37.VCC=4,44V
4,44V
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Carga Total
Teoricamente, de acordo com a equação de vC(t), o capacitor estará totalmente 
carregado para um tempo infinito.
Na prática podemos considerar o capacitor carregado para t=44.R.C
vc(4.R.C)=VCC.(1-e-4)=0,98.VCC=11,76VPara t=4.R.C
t= t=4.
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Descarga do Capacitor
Considerando o capacitor totalmente carregado com VC=VCC=12V
Como fazer para descarregar o capacitor ?
Deve haver um condutor entre as placas para que ocorra a descarga
Se for um fio a descarga será instantânea, caso contrario o tempo de descarga
dependerá da resistência. 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
4,4V
Vc=12.e-t/RC
Curva de Descarga
Para t=RC a tensão em C cai para v(RC)=0,37.Vcc=0,37.12=4,4V
15
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Associação de Capacitores
Serie
321
1111
CCCCeq

Para dois em serie:
21
21
CC
CCCeq 

.
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Paralelo
21 CCCeq 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Capacitores Polarizados
++
--
100uF
++
--
100uF
++
--
50uF 50uF
++
--
100uF
+
+
- -
100uF
++
--
100uF
++
--
100uF
++
--
200uF
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Capacitor em CA
Se a um capacitor ideal for aplicada uma tensão senoidal, a corrente resultante 
será senoidal e adiantada de 900 em relação à tensão aplicada.
v(t)= vC(t) =VP.senwt
Neste caso v(t)=VP.senw.t ou v=VP 00
IC(t)=IP.sen(w.t+900) ou IC=IP 900
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Reatância Capacitiva
É a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da corrente alternada
é calculada por: 
com C em Farads (F), f em Hertz (Hz) resultando XC em Ohms (Ω) 
C
CCC
C jXI
V
I
V
I
VX 


 90
90
0
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Exercício1: Calcule a intensidade da corrente no circuito em seguida desenhe
o diagrama fasorial, se a fase inicial da tensão é zero.
Solução: Como são dados C e a freqüência, podemos calcular a
reatância capacitiva (Xc) :
16
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
V= 120V
I=4,5mA
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
110V/60Hz
A
B
Calcular a intensidade da corrente para cada posição da chave.
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Circuito RC Série
Num RC serie a corrente continua na frente da tensão mas de um angulo menor do 
que 90º. Seja a fase da corrente igual a 900 (arbitrariamente). 
I
v
VR
VC
V
Ângulo de defasagem 

logo = arccos(VR /V) cos = VR / V
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
VR
VC
V

Triangulo das Tensões
Dividindo todos os lados por I teremos um triangulo chamado de 
Triangulo de Impedâncias
VR/I
VC/I
V/I

222
CR VVV 
Triangulo das Impedâncias
Z
I
V
 Impedância do circuito
R
I
VR  Resistência do circuito
C
C X
I
V
 Reatância do circuito
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica

CX
R
Z 222
CXRZ 
Z
RCos 
 Zz Z=R-jXC
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Triangulo das Potências
Se no triangulo das tensões os lados forem multiplicados por I obtemos o que 
É conhecido como Triangulo das Potências
VR.I
VC.I
V.I
 
IVPAp .
IVP R.
IVP CR .
222
RAp PPP 
PAp=potência aparente (VA)
P=potência real (ativa)(W)
PR= potência reativa (VARC)
17
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Indutor
Chamamos de indutor a um fio enrolado em forma de hélice em cima de 
um núcleo que pode ser de ar ou de outro material. A figura mostra o 
símbolo para indutor comnúcleo de ar, de ferro e de ferrite.
Força Eletromotriz Induzida
Para que uma tensão seja induzida em uma espira ou em um enrolamento, é necessário que haja variação do fluxo 
magnético através da espira ou do enrolamento. A figura a seguir mostra um exemplo de indução de tensão em um 
enrolamento (bobina).
A Lei de Lenz diz que o sentido da corrente induzida deverá ter orientação de tal forma que origine um campo 
magnético variável que se opõe à variação do fluxo magnético original.
Fig04: Indução de tensão provocada pela variação da intensidade do campo magnético de um imã
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Indutor em Corrente Contínua
O que acontece quando no circuito da Fig. 02 fechamos a chave no 
instante t=0? A tensão é aplicada no indutor mas a corrente leva um certo 
tempo para crescer, a explicação é um fenômeno chamado auto indução que 
faz aparecer uma tensão e que se oporá ao crescimento da corrente.
Ao abrir a chave, no instante t2, novamente esse fenômeno vai atuar na 
bobina não deixando a corrente se anular instantaneamente, fazendo aparecer 
uma tensão e com a polaridade tal que se opõe à diminuição da corrente. 
Observe que isso faz aparecer uma tensão nos terminais da chave que é igual a 
E + e, que pode causar uma arco de corrente.
Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente alternada (se 
opõe à variação de uma corrente) e que a corrente está atrasada em relação 
à tensão (a tensão já está aplicada e a corrente começa a aumentar).
A indutância (L) de um indutor é um parâmetro que dá a medida da 
capacidade que tem o indutor de armazenar energia no campo magnético, a 
sua unidade se chama Henry (H). 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
( a ) ( b )
( c )
Fig02: Indutor em CC ( a ) Instante que a chave é fechada ( b ) 
Corrente em regime ( c ) Instante que a chave é aberta
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Indutor em Corrente Alternada Senoidal
A corrente em um indutor está atrasada em relação à tensão em um circuito CC. O que acontece se alimentarmos um 
indutor ideal (não tem resistência ôhmica) de indutância L com uma tensão alternada senoidal de freqüência f ?
Obs: Um indutor ideal (que não existe) não tem resistência ôhmica (R).
No circuito da Fig04, a corrente continua atrasada em relação à tensão e de um angulo bem definido, no caso 90º.
Observe que a fase da tensão foi considerada arbitrariamente igual a 0º. 
Fig04: Indutor em CA - (a) circuito; (b) diagrama fasorial (fasor em vermelho: corrente; fasor preto: tensão)
(b)(a)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
1.4. Reatância Indutiva
Como vimos um indutor se opõe à variação de uma corrente. A medida desta oposição é dada pela sua reatância 
indutiva (XL), sendo calculada por:
IMPORTANTE !!!!! 
Com L especificado em Henries (H), f em hertz ( Hz ), XL em ohms ( ).
Exercício1: Uma bobina tem 0,1 H de indutância, sendo ligada a uma tensão de 110V, 60Hz. Determinar: 
a) Reatância da bobina (XL) b ) Valor da corrente no c ircuito ( I )
Solução: 
a) XL = 2. .60.0,1 = 37,7
b) I = V / XL = 110 / 37,7 = 2,9A
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Circuito RL Serie
Na prática um indutor apresenta resistência ôhmica, portanto, em um
Indutor a corrente sofre dois tipos de oposição:
•A resistência ôhmica do fio (R) que tende a manter tensão e corrente em fase
•A reatância indutiva (XL) que tende a defasar tensão e corrente em 900
A corrente ainda continua atrasada em relação à tensão mas de um ângulo 
menor do que 900
A combinação dos efeitos da resistência com da reatância é chamado de.......
Impedância (Z)
18
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Circuito RL serie Diagrama Fasorial
Considerando a fase da corrente nula
IVR
VL
V

Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Impedância Indutiva (ZL)
A oposição que um indutor real oferece à passagem de uma corrente
Alternada é uma combinação da resistência ôhmica com a reatância
Indutiva sendo chamada de impedância
v v
II
I
VZ 
Numero 
complexo
Numero 
complexo
Numero 
complexo
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
IVR
VL
V

i=I 00
vL=VL 900
vR=VR 0o
Relações no Circuito RL Serie
xL=XL 900 = jXL =
r = R 00 = R =
V=VR + VL dividindo por I I
V
I
V
I
V LR 
LjXRZ 
I
VL
I
VR
Ou na forma polar.........
IMPEDANCIA 
NA FORMA 
CARTESIANA
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Impedância na Forma Polar
Modulo: 22 LXRZ 
Fase:
R
Xarctg L ou
Z
Rarccos
IVR
VL
V

Portanto..............
z=Z 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Exemplo: Dado o circuito pedem-se:
a) Valor da impedância e sua representação nas formas polar e cartesiana
c) Valor da corrente e sua representação nas formas polar e cartesiana
e) Diagrama fasorial
b) Valor de da indutância
d) Valor de VR e VL e suas representações na forma polar e trigonométrica
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
a) A impedância na forma cartesiana é Z=30+j40 (Ω)
Na forma polar:
O modulo de Z A fase de Z
053
30
40
 arctg 504030
22Z
Z=50 530 (Ω)
19
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
b) Pela reatância indutiva tira-se L 
LfX L ...2 mHL 106602
40

..
c) Corrente no circuito
)(, A
Z
vI 00
0
3722
5350
90110




i=2,2.cos370 + j2,2.sen370 =1,75 +j1,32 (A)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
d) VR=R.I= 30 00 . 2,2 370 = 66 370 (V)
VR = 66 370 (V)
VL=XL.I= 40 900 . 2,2 370 = 88 1270 (V)
VL= 88 1270 (V)
))(.(..)...(..)( VtsentsentvR
00 3737726637602266  
))(.(..)( VtsentvL
0127377288 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
e) Diagrama Fasorial
V(110V)
VL(88)V
VR(66V)
I(2,2A)
530
370
1270
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Potencia Em um Circuito RL Serie
Para a analise da potencia seja o triangulo de tensões do diagrama fasorial
IVR
VL
V

Multipliquemos cada um dos lados por I, resultará o triangulo de potencia
IVR.I
VL.I 
V.I
P=VR.I=V.I.cos é a potência real ou ativa do circuito (W)
PAP=V.I é a potencia aparente do circuito (VA)
PR=VL.I=V.I.sen é a potencia reativa do circuito (VARi)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Triangulo de Potencias
P=VR.I
PR=VL.I

PAP =V.I
222
RAP PPP 
Fator de potencia
É UMA MEDIDA DO APROVEITAMENTO DA ENERGIA
È definido como sendo FP= cosΦ=
P
PAP
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
P=PAP.cosΦ=V.I.cos Φ
Carga Puramente Resistiva
Φ=0 portanto cos Φ=1 a carga aproveita toda a energia fornecida 
Pelo gerador
Φ=90 portanto cos Φ=0 não há potencia ativa a carga troca 
energia entre o gerador.
Carga Puramente Indutiva
Carga Indutiva e Resistiva
Φ<90 portanto cos Φ<1 há potencia ativa a carga aproveita 
apenas uma parte da energia fornecida.
20
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
b) FP=0,6
1) A potencia consumida (ativa) por uma instalação elétrica 
é de 2400W. Se a tensão de alimentação é 220V, calcular a 
potencia aparente e corrente quando:
a) FP=0,9
2) Um circuito consome 10A, quando ligado em 220V. Um 
wattimetro ligado ao circuito indica 2000W. Calcular o fator 
de potencia do circuito e a potencia reativa.
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
3) No circuit0 a leitura dos instrumentos é V=220V. I=55A e 
P=10KW.
Calcular: a ) Impedância do circuito b) Valor da resistência e 
indutância(f=60Hz) c) Potencia aparente e reativa d ) FP
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
4) No circuito VR(t)=10.sen(ω.t-300)(V). Determinar: 
a) i(t) b) v(t)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Circuitos Mistos 
Para resolver um circuito misto, deveremos
primeiramente calcular a impedância equivalente,
para em seguida calcularmos todas as
correntes e tensões. Portanto é um procedimento
semelhante ao adotado na analise de circuitos
resistivos, somente que agora temos elementos
reativos presentes, sendo necessário usar como
ferramenta de analise os números complexos. 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Exemplo: Resolver o circuito
I1=IT
I2
I3
IT
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z5 = Z3 + Z4 = 10 -j10 (  ) = 14,1 -45º() Z2 = 20 90º ()
Z6 = Z2 // Z5 = (Z2.Z5)/(Z2 + Z5 )= (20 90º x14,1 - 45º )/(j20 + (10- j10) =(282 45o )/(10+j10)
21
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Z6= (282 45º )/14,1 45º ) =20 0º =20 ()
ZE = Z1 + Z6 = -j10 + 20 = 20 - j10 = 22,36 -26,5º()
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
I2 =( 44,8 26,5º )/(20 90º)=2,24 - 63,5º (A)
I3 =( 44,8 26,5º )/(14,1 -45º ) = 3,17 71,5º (A)
O Fator de potencia do circuito é: 
FP=coscos26,5º=0,895
E a Potencia real:
P = U. I.cos = 50.2,24.cos26,5º = 100W
Calculo das Correntes 
I1 = V/ZE =( 50 0º )/(22,36 -26,5º) = 2,24 26,5º (A)
I1
U6 =Z6.I1=20 0º x 2,24 26.5º = 44,8 26.50 (V) e como 
U6 = U2 =U5 então U6 I2
I3
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Correção do Fator de Potência
Situação Atual: Antes da correção
FP=cosΦ1<0,92 INADEQUADO
POR QUE CORRIGIR?
•DIMINUIÇÃO DA CORRENTE NA LINHA DE ALIMENTAÇÃO.
•MULTA DA CONCESSIONARIA
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Correção do Fator de Potência
Situação Desejável
FP=cosΦ2>0,92 ADEQUADO
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
O FP aumenta de cosΦ1 para cos Φ 2 
P é a potência ativa (Watts) do circuito, 
w é a frequência angular 
V é o valor eficaz da tensão 
Cálculo do Capacitor
)21.(
. 2
 tgtg
Vw
PC 
Obs: ver a dedução na bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Calcular C no circuito para que o FP do circuito aumente para 0,94 
Exemplo
Deseja-se cosΦ1 =0,662 >>>>>> cosΦ2 =0,94 
P = UxIxcos Φ 1 =220x14,46x0,662 =2108W 
Faça download do arquivo Exemplo usando microcap e execute no 
seu PC se tiver instalado o software MicroCap9
Calcule o FP
F.P atual =0,662
22
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Observe o que acontece quando ligamos o capacitor de 75uF. A corrente na carga
não muda, mas a corrente na linha diminui. Esse é o objetivo, diminuir a 
corrente na LINHA, mantendo as condições da carga (por exemplo um motor continuará
operando com a mesma potência) e consumindo a mesma corrente 
Conclusão
A corrente de linha diminui para 10,56A
Mas a corrente na carga se mantem no mesmo valor 14,47A
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Circuitos Trifásicos
SÃO NECESSARIOS QUANDO A CARGA CONSOME MUITA POTENCIA 
(CORRENTE E TENSÃO ALTA).
AS TRES TENSÕES SÃO DEFASADAS ENTRE SI DE 1200
CARGA E GERADOR PODEM SER LIGADOS DE DUAS FORMAS: ESTRELA E 
TRIANGULO.
CONSIDERAREMOS SOMENTE CARGA BALANCEADA (AS TRES 
IMPEDANCIAS SÃO IGUAIS)
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
LIGAÇÃO ESTRELA
VA=VF
VC
VB
VCA
VAB=VL
VCB
Tensões de Fase (TENSÃO DO GERADOR): VA=VB=VC=VF
Tensões de Linha( TENSÃO ENTRE AS LINHAS): VCA=VCB=VAB=VL
IN
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Corrente de Fase: IA,IB,IC
Corrente de Linha: corrente na linha que liga o gerador à carga
Para a Ligação estrela: IF=IL
Relação entre tensão de fase (VF) e tensão de linha (VL)
FL V.V 3
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
Considere que no circuito Z1=Z2=Z3= 10 Ohms resistiva
Calcular: a)Tensões de fase e de linha
b) Correntes de fase, de linha e no neutro
120V/fase 0
IN
120V/fase -120
120V/fase 120
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
LIGAÇÃO TRIANGULO
Tensões de Fase: VCA, VAB, VBC VF=VL
RELAÇÃO ENTRE AS CORRENTE DE LINHA E DE FASE
A
B C
IAC=IF
IF.IL 3
23
Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Erica
No circuito Z1=Z2=Z3= 20 Ohms (Resistiva)
380V fase 0
380V fase -1200
380V fase1200
a) Calcular a corrente na carga em cada fase
b) Calcular a corrente de linha