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Disciplina: Cálculo I Profa.: Fernanda Laureano 1ª Lista de Exercícios 1. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: a) y = x2 – 3x para x=1 b) f(x) = x2 – 2x para x=2 c) 𝑦 = √𝑥 para x=1 d) y = 1 3 x para x=2 e) y = x 1 para x=4 f) f(x) = 2x2 – 3x +1 para x=3 g) f(x) = 3x5 3x5 3 2 h) f(x) = x2x513x 1x 32 i) y = x 2x 1x 2 + ln5 j) y = x5 + xsen 3 – 3 tgx k) y = 3xcos3 x 5 2 l) y = 4 x – 6 4 x 2 x 2 1 1xsec 2 m) x3 5 sen.xy o) 5tg)xcos(xseny 55 q) 3 2 1x x3x y s) x 5 cosy 2 n) f(x) = sen x cos x + x cosec x p) lnx3xy 52 r) 2 2 )2x( x3x y t) 2 x 5 cosy 2. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑦 = 𝑥3 nos pontos de abscissa: a) x = 0 b) x = -1 3. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑦 = 1 𝑥 no ponto (1/2;2). 4. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥 − 1 no ponto em que x = 1. 5. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = 7lnx - 2senx b) f(x) = 3x + 2tgx c) f(x) = cosx - 3lnx d) g(x) = ex.senx e) g(x) = 4x5.tgx f) g(x) = x2.ex.senx g) 4x3x2e2y i) 33x 3x3y j) xcos 3 2 e 5y tgx xsec k) x3x3 3.2y 6. (Derivada na forma implícita) Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: a) )3P(1, ponto no dx dy , 4yx 22 b) 1x5x4y3y 24 ; dx dy no ponto P (–1,0) c) 𝑦 − 𝑥 − 1 4 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 0 d) 1 ordenada de ponto no , y , exyey 7. a) Um garoto empina uma pipa que está a uma altura de 40m. Se a linha está esticada, com que velocidade deve o garoto soltar a linha para que a pipa permaneça a uma altura constante com velocidade de 3m/seg, quando a mesma está a 50m do garoto? b) Um automóvel que viaja à razão de 30m/s , aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvel está a 120m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40m/s atravessa o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com a outra. Com que velocidade afastam-se o automóvel e o caminhão 2s depois do caminhão passar pelo cruzamento? c) Uma escada com 13m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. Num determinado instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, está escorregando, afastando-se da parede a uma velocidade de 2m/seg. Com que velocidade o topo da escada está deslizando neste momento? d) Um lado de um retângulo está crescendo a uma taxa de 17cm/min e o outro lado está decrescendo a uma taxa de 5cm/min. Num certo instante, os comprimentos desses lados são 10cm e 7cm, respectivamente. A área do retângulo está crescendo ou decrescendo neste instante? A que velocidade? 8. Determinar os valores máximos e mínimos das seguintes funções nos intervalos indicados: (a) f(x) = x2 – 4 ; [1,3] (b) f(x) = x3 – x2 ; [0,5] 9. Resolva os seguintes problemas utilizando a teoria de Máximos e Mínimos: a) Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma montadora de automóveis indica que um operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado Q(t) = t3 +9t2 +15t unidades “t” horas depois. A que horas da manhã o operário trabalha com maior eficiência? Considere o intervalo [0,4] para t, que corresponde das 8 às 12 da manhã. (Dica: A eficiência é dada pela “velocidade” E(t) =Q’(t) = –3t2 + 18t +15 ) b) O Departamento de Trânsito de uma cidade depois de uma pesquisa constatou que, num dia normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente V(t) = 2t3 27t2 + 108t 35 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio dia. A que horas no intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais lentamente? c) Um fazendeiro deve construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum. Se cada curral deve possuir uma área 300 m2, qual o comprimento da menor cerca necessária? d) Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter 125cm3. O custo, por centímetro quadrado, para a base é de R$8,00 e para os lados R$4,00. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo. Respostas: 1. a) -1 c) 1/2 e) -1/16 g) y´= 23x5 20 b) 2 d) -3 f) 9 h) y´= (x2 – 1) (3x – 1) (15x2+2) + 3(x2 – 1) (5x3 +2x) + 2x(3x – 1) (5x3+2x) i) y´= x2 1 2)(x 22xx 22 2 j) y´= 5 4x – 3cossecx.cotgx – (sec 2x)/3 k) y’= 3x10senx3 l) y’ = 7 3 24 3 x 12 x2 )1x(sec tgx.xsec2 x4 1 m) x3 5 cosx3x3 5 seny n) y´= cos 2x – sen2x + cosec x – x cosec x cotg x o) )(cos. 544 xsenx5xxsen5y p) 3x2x3x5y 42 b b b q) 2 2 2 2 )1x( 3x2x 1x x3x 3y r) 3)2x( 6x y s) x 5 sen.x 5 cos2y t) x 5 .x 5 sen2y 2 2. a) y = 0 b) y = 3x + 2 3. y = -4x + 4 4. Reta tangente: y = 9x - 5. Reta normal: 𝑦 = −𝑥+37 9 5. a) 7/x - 2cosx b) 3x.ln3 + 2sec2x c) -senx – 3/x d) ex(senx + cosx) e) 20x.4tgx + 4x5.sec2x f) xex.(2senx + xsenx + xcosx) g) 4x3x 2 e3x22y i) 2x x33ln3y j) 2 xsec.e 35ln.5tgx.xsecy 2tgx xsec k) 1x3 x3x3 3 3ln22ln.2 y 6. a) y x y ; 3 3 yp ; b) 3y4 5x8 dx dy 3 ; 1yp c) ycos4 4 y ; d) xe y y y ; e 1 yp 7. (a) 5 9 m / s (b) 14 m / s; (c) 6 5 m / s , aproximando-se do solo; (d) A área está crescendo a uma velocidade de 69 n/micm2 8. a) f(0) = 4 é mínimo e f(3) = 5 é máximo b) f(2/3) = 4/27 é mínimo e f(5) = 100 é máximo 9. (a) 11 horas; (b) Mais rapidamente às 3 da tarde com velocidade de 100km/h e mais lentamente às 6 horas com velocidade de 73km/h (c) 120 m;(d) base: 5 x5cm2 e altura: 5cm.
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