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Notas de aula --- Parte II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Escritas pelo Professor Wilson Canesin Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade Braz Cubas Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 18 1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis. Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é P = f( L, K) O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis. 1.2 – Funções de duas variáveis Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama- se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. Assim, D é o domínio da função em R2 , f é a função f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). Exemplos de valores de função de 2 variáveis: Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10 Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32 Domínio das funções de duas variáveis O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 , tal que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em valores finitos e reais para f(x,y). Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = xy − A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu domínio é D ={ (x,y) ε R2 / y - x ≥ 0 }. y zx z (x,y) D f(x,y) Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 19 Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) = yx x −2 2 , a função é finita quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais que, D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }. Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) = yx x −3 2 , a função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que, D ={ (x,y) ε R2 / 3x - y > 0 }. 1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x,y e y=f(x). Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3. y z z x D D A superfície é obtida para cada par x,y , fixando um valor de x e variando y, em seguida fixa um 2o valor de x e varia y , depois fixa um 3o x e varia y ,etc., até variar x e y em todo o domínio. Y X Y 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 ... ... X Z Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 20 Exemplos de funções de 2 variáveis: Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5 Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer : a) x =0 e y =0 → z = 6 b) x =0 e z = 0 → y = 2 c) y =0 e z = 0 → x = 3 X Y 5 Z A superfície é um plano infinito, paralelo a x,y e passando por z=5 X Y Z (3,0,0) (0,2,0) (0,0,6) Portanto, o gráfico de f no plano é ⇒ Z Y X A superfície é um parabolóide de revolução. A superfície gerada é uma semi-esfera de centro na origem. Z Y X Ex. 4 - A função é z = f(x,y) = 221 yx −− Ex.3 – A função é z = f(x,y) = x 2 + y2 Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 21 1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por ),(),( ),( 00 yxyx Lyxfmil → = Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma. Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nas restrições. Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 – xy , é contínua para todo par x,y Ex.2 f(x,y) = x3y2 –xy + y3 + 6, contínua ∀ x , y Ex.3 f(x,y) = 1 22 − + yx yx é contínua ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x Ex. 4 f(x,y) = yx yx − + é contínua se ∀ x ≠ y X y D X y D y = x Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 22 Ex.5 f(x,y) = ln(x-y) é contínua ∀x,y tal que x - y > 0 ou y > x Ex.6 f(x,y) = 221 yx −− é contínua se 1-x2-y2 ≥ 0 ,ou x2+y2 ≤ 1 Ex.7 f(x,y) = xy /1− a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/x Que resulta no gráfico: y > x y x x y D O domínio é uma circunferência de centro na origem e de raio r ≤ 1 y x Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 23 1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) , sua derivada em relação a x é ),(),( yxfyxxff −∆+=∆ incremento da função x yxfyxxf x f ∆ −∆+=∆ ∆ ),(),( taxa de variação da função Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relação a y é 1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante. ),( yxf x f x f x=∂ ∂=∆ ∆ Derivada parcial em x y0 y x0 x z β α Assim, tanα = fx(x0,y0) = ∂ f / ∂x tanβ = fy(x0,y0) = ∂ f / ∂y l i m ∆x→0 0→∆y mil ),( yxf y f x f y=∂ ∂=∆ ∆ Derivada parcial em y Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 24 TABELA DE DERIVADAS (adaptadap/derivadas parciais) Número Função f = f(x,y) Derivada fs = ∂f/∂s , s = x,y 1 f = k ( k = constante) fs = 0 (derivada de 1 const.) 2 f = x ou f = y fs = 1 s = x ou y 3 f = un ; u = f(x,y) Ds un = n un-1 us , us=∂u/∂(x,y) 4 f = n mu Ds n msn m uun umu = 5 f = ln u Ds ln u = u u s 6 f = lga u Ds lga u = au u s ln 7 f = au Ds au = au lna us 8 f = eu Ds eu = eu us 9 f = u v fs = v us + u vs 10 f = u / v , us=∂u/∂(x,y) fs =(v us – u vs ) / v2 11 f = senu fs = cosu .us 12 f = cosu fs = -senu .us 13 f = tanu fs = sec2u .us 14 f = secu fs = secu.tanu.us 15 f = cscu fs = -cscu.cotu.us 16 f = cotu fs = -cotu.cscu.us Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 25 1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y" considera x como constante. fx = ∂ f / ∂ x → y=constante fy = ∂ f / ∂ y → x=constante Ex.1- Derivar a função f(x,y) =3 x3y2 fx = ∂ (3x3y2) / ∂ x = 9x2y2 fy = ∂ (3x3y2) / ∂ y = 6x3y Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2 fx = ∂ ( x2 + y2) / ∂ x = 2x fy = ∂ (x2 + y2) / ∂ y = 2y Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 ) f = u / v , u =x e v = x2 + y2 fs = [ v us – u vs ]/v2 fx =[(x2 + y2).1 – x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2 fy =[(x2 + y2).0 – x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2 Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48). Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante. 332 8)()4( yyxyx x yx xx z −=∂ ∂−∂ ∂=∂ ∂ mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se tanα = )2,3( x f ∂ ∂ = 40 ⇒ α = tan-1(40) = 88,57° Ex. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície z = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4). Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 26 x f ∂ ∂ = 3x2 + 2y tanα = )1,1( x f ∂ ∂ = 5 ⇒ α = tan-1(5) = 78,69° Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx x f ∂ ∂ = x vu ∂ ∂ ).( = x vuv x u ∂ ∂+∂ ∂ .. = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx y f ∂ ∂ = y vu ∂ ∂ ).( = y vuv y u ∂ ∂+∂ ∂ .. = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx 1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua diferencial total é : dyy fdx x fzd ∂ ∂+∂ ∂= Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1 x f ∂ ∂ = 9x2y2 – 2y3 +y e y f ∂ ∂ = 6x3y – 6xy2 + x assim, a diferencial da função é df = (9x2y2 – 2y3 +y ) dx + (6x3y – 6xy2 + x) dy A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n variáveis é: dF = 1 1 dx x F ∂ ∂ + 2 2 dx x F ∂ ∂ +......+ n n dx x F ∂ ∂ = ∑ = ∂ ∂n i i i dx x F 1 Ex.2-Calcule a diferencial da função F(x,y,z) =2x+3xy-2zy Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 27 dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz 1.8 – Derivada de funções compostas Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A derivada desta função em relação a “t” é td yd y f td xd x f td fd ∂ ∂+∂ ∂= Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 , onde x(t) = et e y(t) = t3 . a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e2t +3t3 – 5 E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2 b) Calcula-se pelas derivadas parciais x f ∂ ∂ = 2x ; y f ∂ ∂ = 3 ; = td xd et ; = td yd 3t2 Assim td Fd = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2 Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t), x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é dada pela regra da cadeia td xd x f dt df in i ∑ = ∂ ∂= 1 = td xd x f td xd x f td xd x f n n∂ ∂++∂ ∂+∂ ∂ ...2 2 1 1 Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2 fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t tet td fd t 4.3cos.2 −+= Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 28 Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt 1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3 2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-1 3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3 1.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na forma implícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc. A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação a x é 0=∂ ∂+∂ ∂ dx dy y f dx dx x f → 0=∂ ∂+∂ ∂ dx dy y f x f ou, Ex.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente a fórmula acima, 215 4 y x y f x f dx dy −= ∂ ∂ ∂ ∂ −= Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y2 – 6xy = 0 xy y y f x f dx dy 68 6 −= ∂ ∂ ∂ ∂ −= Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) e diferenciando, e após algumas considerações teremos y x f f y f x f dx dy −= ∂ ∂ ∂ ∂ −= Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 29 Ex.3 - Achar as derivadas xz ∂∂ e yz ∂∂ , da função x2+y3- z=0. Solução; zf xf x z ∂∂ ∂∂−=∂ ∂ = x x 2 1 2 =− − zf yf y z ∂∂ ∂∂−=∂ ∂ = 2 2 3 1 3 yx =− − Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar xz ∂∂ e yz ∂∂ , nas expressões abaixo 1) 2 x3- 4 y2 – 6 z = 0 2) x2 + xy2 + xyz3 –3 =0 1.10 – Derivadas parciais de segunda ordem Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por 2 2 x ff xx ∂ ∂= , yx ff xy ∂∂ ∂= 2 , xy ff yx ∂∂ ∂= 2 , xy ff yy ∂∂ ∂= 2 Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx . Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 – 6xy fx =∂f /∂x = 8x – 6y e fy = ∂f /∂y = 6y – 6x z x f f zf xf x z −=∂∂ ∂∂−=∂ ∂ e z y f f zf yf y z −=∂∂ ∂∂−=∂ ∂ Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 30 2 2 x ff xx ∂ ∂= = 8 ;; xy ff yx ∂∂ ∂= 2 = -6 yx ff xy ∂∂ ∂= 2 = -6 ; xy ff yy ∂∂ ∂= 2 = -6 EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y fx =∂f /∂x = 2e2x+5y fy = ∂f /∂y = 5e2x+5y 2 2 x ff xx ∂ ∂= = 4e2x+5y ; xy ff yx ∂∂ ∂= 2 = 10e2x+5y yx ff xy ∂∂ ∂= 2 = 10e2x+5y ; xy ff yy ∂∂ ∂= 2 = 25e2x+5y EX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2) fx =∂f /∂x = 22 2 yx x + ; fy = ∂f /∂y = V U yx y =+ 22 2 2 2 x ff xx ∂ ∂= = 2 .. V VUUV xx − = 222 22 )( )(2 yx xy + − ; xy ff yx ∂∂ ∂= 2 = 222 )( 4 yx xy + − yx ff xy ∂∂ ∂= 2 = 2 .. V VUUV yy − = 222 )( 4 yx xy + − ; xy ff yy ∂∂ ∂= 2 = 222 22 )( )(2 yx yx + − Note que fxy = fyx Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 31 1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis e são representadas da mesma forma. Exemplos: 1) f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x fx = 2x+z2 ; fy = 3y2 ; fz = 2zx 2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 ) fx = 2232 2 tzyx +−+ ; fy = 2232 3 tzyx +−+ fz = 2232 2 tzyx z +−+ − ; ft = 2232 2 tzyx t +−+ Exercícios propostos - Derivar as funções: 1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z 2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz 3) f(x,y,z) = zx yx − + 4) f(x,y,z) = xyz 5) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3 6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt 7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3) 1.12 – Derivadas de Ordem Superior Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas. fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc. Ex.1 – f(x,y,z) = x2 + 4xy2 – 3y2z3 fx = 2x + 4y2 ; fxx =2 ; fxy = 8y ; fxz = 0 fy = 8xy – 6yz3 ; fyx = 8y ; fyy= 8x – 6 z3 ; fyz =-18yz2 fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 z Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 32 Ex.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função : f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us fx = y2z3 / xy2z3 =1/x ; fxx = )( 1−∂ ∂ x x = -1.x-2 = -1/x2 fxy = 0 ; fxz = 0 fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ; fyx = 0 ; fyy = )2( 1−∂ ∂ y y = -2y-2 = -2 / y2 fyz = )2( 1−∂ ∂ y z = 0 fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ; fzy = 0 ; fzz = -3 /z2 EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas) 1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3 f yx=2 ; fyy=0 ; fyz=4 fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0 2) f(x,y,z) = zy yx − + ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2 fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ; fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)3 3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2 ;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z) ;fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z) ; fzz= 18(x+2y+3z) . 4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2 fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ; fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ; fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ; Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 33 fzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ; fzz=(1/2)(yx)2(xyz)-1/2 . 5) f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2) fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2; fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2; fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2/(2x2+y2-zt2)2; fzx=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2/(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4/(2x2+y2-zt2)2 6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ; fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2); fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2) fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2) fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2) fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ; fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2) 7) f(x,y,z) = 322 zyxe ++ ; fx=2x 322 zyxe ++ ; fy=2y 322 zyxe ++ ; fz=3z2 322 zyxe ++ fxx=2 322 zyxe ++ +4x2 322 zyxe ++ ; fxy=4xy 322 zyxe ++ ; fxz=6xz2 322 zyxe ++ fyx=fxy ; fyy=2 322 zyxe ++ + 4y2 322 zyxe ++ ; fyz= 6yz2 322 zyxe ++ fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z 322 zyxe ++ +9z4 322 zyxe ++ Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 34 1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar seu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de uma variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos extremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tipo são esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano calculado no ponto (x0,y0 ), que é definido a seguir. H(x0,y0 ) = ),( 00 yx yyyx xyxx ff ff Assim , Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) é um extremo, e a) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) <0 então (x0,y0) é um máximo. b) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 então (x0,y0) é um mínimo. c) H(x0,y0 )<0 então (x0,y0) é um ponto de sela. d) H(x0,y0 )= 0 o teste é inconclusivo. P Q S L T Os pontos P e Q são pontos de máximo, porque qualquer deslocamento em sua vizinhança, irá descer. O ponto S é uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe, mas no sentido SL ou ST desce. F(x,y) Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 35 Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cm de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidade máxima. A área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos dois triângulos. A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x) (a) f(x, θ) = x2 cosθsenθ + 12xsenθ -2x2senθ Estudar os extremos (máximos e mínimos) da função. fx = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0 2xcosθ = 4x – 12 ou cosθ = 2-6/x fθ = (∂ f / ∂θ ) = x2 cos2θ + 12xcosθ - 2x2 cosθ=0 = x ( 2cos2θ - 2cosθ-1)+12cosθ substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2a equação e resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2 cosθ = ½ → θ = 60o O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2as derivadas, também pó causa do trabalho que estasdariam. Mas para ter certeza podemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acima destes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima. sen2θ = 2senθcosθ =2 cos2θ - 1 cos2θ =cos2θ - sen2θ = 2cos2θ -1 x x x senθ y cosθ 12-2x θ Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 36 X Y, Z, Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 ) 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 XYZ 0 1 2 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 4 6 3.336 4 12 6.58 4 18 9.647 4 24 12.453 4 30 14.928 4 36 17.013 4 42 18.662 4 48 19.846 4 54 20.553 4 60 20.785 4 66 20.562 4 72 19.919 4 78 18.904 4 84 17.576 4 90 16 = Ex.2 – Achar os extremos da função f(x,y) = sen[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y) + 4,5]. Calculando as primeiras derivadas , tem-se: fx = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0 fy = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0 Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula) então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 = 0 , que resulta x = 10 e y =10 . Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se as segundas derivadas. fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045 fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045 Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se: fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função. máximo 100 75 50 25 Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 37 Substituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai dar zero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso é confirmado pelo gráfico tridimensional da função. M Gráfico 3D da função seno 0 5 10 15 0 5 10 15 0.5 0 0.5 Ex.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores do exemplo 2, para uma exponencial. f(x,y) = 5,4)(45,0)(0225,0 22 ++++− yxyxe = ef(x,y) fx = [-0,045 x + 0,45] . 5,4)(45,0)(0225,0 22 ++−+ yxyxe fy = [-0,045 y + 0,45] . 5,4)(45,0)(0225,0 22 ++−+ yxyxe fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) No ponto x=y=10, tem-se: fxx + fyy < 0 que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode ser verificado no gráfico da função. Note que nos pontos x =10 e y =10, a função tem um de seus mínimos. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 38 M Gráfico 3D da função exponencial 0 10 20 0 10 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ex.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é dada pela equação T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região. fx = (∂ f / ∂x) =32x +24 ; fy = (∂ f / ∂y) = 80y Os pontos extremos são calculados para fx =0 e fy =0 , resultando x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 . H(x0,y0 ) = ),( 00 yx yyyx xyxx ff ff = )0,4/3(800 032 − > 0 H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 é um ponto de mínimo. O ponto de mínimo é (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outro ponto na vizinhança dele, a temperatura já será maior, conforme mostra o gráfico da superfície. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 39 X Y, Z, Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0) 0 5 10 15 200 5 10 15 20 0 100 XYZ 0 1 2 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 -1 1.2 49.6 -1 1.6 94.4 -1 2 152 -0.8 -2 151.04 -0.8 -1.6 93.44 -0.8 -1.2 48.64 -0.8 -0.8 16.64 -0.8 -0.4 -2.56 -0.8 0 -8.96 -0.8 0.4 -2.56 -0.8 0.8 16.64 -0.8 1.2 48.64 -0.8 1.6 93.44 -0.8 2 151.04 -0.6 -2 151.36 = Ex.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x2 + y2 –2x . Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema: fx = 2x –2 = 0 , ou x=1 fy = 2y =0 , ou y=0 , o ponto é (x,y) =(1,0) Por outro lado, fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2 H(1,0) = yyyx xyxx ff ff = 20 02 = 4 >0 fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto é um mínimo de f(x,y). 1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveis Seja f uma função de n variáveis x1,x2,...xn , diz-se que um ponto P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de máximo local de f(x1,x2,...xn), quando f(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho de P0(x10,x20,...xn0). mínimo Escala em x = x-10Escala em y =y-10 Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 40 Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de mínimo local de f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho de P0(x10,x20,...xn0). O ponto P0 é encontrado, pela solução das equações: fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes à superfície no ponto) O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de máximo ou de mínimo, para o caso de n variáveis é dado por: H(P0) = )(....)()( ................ )(....)()( )(....)()( 000 000 000 11 12212 12111 PfPfPf PfPfPf PfPfPf nnnn n n xxxxxx xxxxxx xxxxxx Além disso é necessário calcular os n determinantes ∆0 =1 ∆1 = )( 011 Pf xx ∆2 = )()( )()( 00 00 2212 2111 PfPf PfPf xxxx xxxx ∆3 = )()()( )()()( )()()( 000 000 000 332313 322212 312111 PfPfPf PfPfPf PfPfPf xxxxxx xxxxxxx xxxxxx .................................................................. ∆n = )(....)()( ................ )(....)()( )(....)()( 000 000 000 11 12212 12111 PfPfPf PfPfPf PfPfPf nnnn n n xxxxxx xxxxxx xxxxxx Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 41 Então, se: a) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n forem todos positivos, P0 é um ponto de mínimo de f . b) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n são alternadamente positivos e negativos, P0 é um ponto de máximo de f. Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 e verificar se são de máximos ou de mínimos. H(0,0,0) = 200 020 002 = 8 ∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = 20 02 = 4 ; ∆3 = 200 020 002 =8 todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) é um ponto de mínimo de f. Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 . Os pontos críticos da função são: fx = 2x = 0 →x =0 fy = 2y = 0 →y =0 → P0(0,0,0) ,que é o único ponto crítico fz = 2z =0 → z =0 fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0 fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0 fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2 fx = -2x = 0 →x =0 fy = -2y+4 = 0 →y =2 → P0(0,2,1) ,que é o único ponto crítico fz = -2z=2 =0 → z =1 fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0 fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0 fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = - 2 Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 42 H(0,2,1) = 200 020 002 − − − = - 8 ∆0=1 ; ∆1= 2− = -2 ; ∆2 = 20 02 − − = 4 ;∆3 = 200 020 002 − − − =-8 Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P0(0,2,1) é um ponto de máximo da função f. Ex.3 – Estudar os extremos da função: f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 – 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2 O Hessiano calculado nestes pontos é H(x,y) = 2040 062 − − y x H(4,7) = 80 02 >0 e ∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = 80 02 = 4 ; O ponto é de mínimo. H(4,3) = 80 02 − <0 (sela) H(2,7) = 80 02− < 0 (sela) H(2,3) = 80 02 − − >0 e ∆0=1 ; ∆1= 2− = -2 ; ∆2 = 80 02 − − = 16 fxx =2x-6 , fxy =0 , fyx = 0 , fyy = 4y - 20 . → existem pontos que podem ser críticos, ou seja P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3) fx = x2 – 6x +8 = 0 → x1=4 e x2 =2 fy = 2y2 – 20y + 42 = 0 → y1=7 e y2=3 Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 43 O ponto é de máximo. Exercícios propostos: 1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 – y3/3 +1 Resp. P1(0,0) é mínimo e P4(4,6) é máximo e P2(0,6) e P3(4,0) são selas. 2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+π/2) Resp. P1(π/2,0) é máximo. 3- Achar os extremos da função f(x,y)= x3/3 + y4/4 - 25x + 27y + 1 Resp. P1(5,-3) é mínimo. 4- Achar os extremos da função f(x,y)= -x3/3 -y3/3 -2x2-3y2+4x+8y+1 Resp. P1(2,4) e P2(2,2) são de máximo. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 44 1.15 – Operadores especiais da física 1.15.1 - Gradiente Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se por grad f ou ∇f, a expressão: grad f = ∇f = ix f ˆ∂ ∂ + jy f ˆ∂ ∂ + kz f ˆ ∂ ∂ O gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários. 1.15.2 - Divergência Denomina-se divergência de um vetor kVjViVV zyx ˆˆˆ ++= r , e representa-se por div V ou ∇. V , a expressão div V = ∇. V = x Vx ∂ ∂ + y Vy ∂ ∂ + z Vz ∂ ∂ Uma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento de um fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pela velocidade então div (ρ v) representa o escoamento por unidade de volume num ponto do fluido. 1.15.3 - Rotacional O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V é definido por rot V = ∇×V = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ zyx VVV zyx kji ˆˆˆ = i z V y V yz ˆ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ + j x V z V zx ˆ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ + k y V x V xy ˆ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação (Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma Ω = (1/2). rot (ρ v) Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 45 1.16 – Integrais múltiplas As integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou podem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integrais simples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas de integração simples: ∫ undx = 1 1 + + n u n + C , onde u =f(x) e n≠ 1 =∫ udu ln u + C ∫ eudu = eu + C ∫ audu = au / lna + C ∫cosu du = senu + C ∫senu du = -cosu + C ∫ tanu du = -ln|cosu ⎢ + C ∫secu du = ln ⎢secu + tanu ⎢ + C ∫csu du = ln ⎢cscu - cotu⎢ + C ∫cotu du = ln ⎢senu ⎢ + C ∫ sec2u du = tanu + C ∫ csc2u du = - cotu + C ∫ secu tanu du = secu + C ∫ cscu cotu du = -cscu + C ∫sen2 u du = [2u - sen2u] / 4 + C ∫cos2 u du = [2u + sen2u] / 4 + C A integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular a área de uma figura plana. x y dx dy x1 x2 f(x) dA A área infinitesimal dA = dx. dy é obtida integrando de x1 até x2 [ ]∫∫ ∫ == 2 1 2 1 )( 0 )( 0 . x x xfx x xf dxydydxA ∫= 2 1 )( x x dxxfA Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 46 Ex.1 Achar a área sob a função y= -2x2 + 18 , de x=0 até x=3. A = ∫ ∫2 1 )( 0 . x x xf dydx = ∫ 2 1 )( x x dxxf = ∫ +−30 2 )182( dxx = [ ]30 3 18 3 2 xx +− A = - 18 + 54 = 46 (unid2) Outros exemplos de integrais são: Ex. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida) ∫ ∫ 2x x xydxdy Solução: ∫ ∫ 2x x xydxdy = dxyx x x ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 2 . 2 = dx xxx∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − 22 . 24 = cxx +− 812 46 Ex.3 Calcular a integral múltipla mista ∫ ∫ +x o dxdyyx )sen( ∫ ∫ +x o dxdyyx )sen( = [ ] dxyx x∫ +− 0)cos( = - ∫ − dxxx ]cos)2[cos( = = cxx ++− sen)2sen( 2 1 As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais de volume de sólidos, conforme mostra a figura dx dy dz x y z O volume do sólido pode ser calculado por uma integral tripla, do tipo: ∫ ∫ ∫= a b c dxdydzV 0 0 0 Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 47 1.16.1- Volume de sólidos de revolução Um sólido de revolução se forma girando uma figura plana em torno de uma reta fixa. Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se: Ex1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2]. V = π 1 2 7 xdxxdx]x[dx)]x(f[ 72 1 62 1 232 1 2 π∫ =π∫ =π=∫ = π7 127 (unid)3 Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = 22 xa − em [-a, a] a b x y = f(x) r = f(x) dV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx ∫= b a dxxfV 2)]([π y Figura plana girando em x Cálculo do elemento de volume 1 2 x y = x3 (1,1) (2,8) R y (1,1) (2,8) x r Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 48 V = π a a 3 xxadx]xa[dx]xa[dx)]x(f[ 3 22 1 22a a 222a a 2 −⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −π∫ =−π∫ =−π=∫ −− = π ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +−− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − 3 aa 3 aa 3 3 3 3 = π ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −+− 3 aa 3 aa 3 3 3 3 = π ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − 3 a2a2 3 3 = 2πa3 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ − 3 11 = 3 4 πa3 que é o volume da esfera gerada. Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4]. V = π 0 4 2 yydydy]y[dy)]y(g[dyr 4 0 24 0 2b a 2b a 2 ∫ π=π=∫π=∫π=∫ = 8π = 25,13 unid3.Sólido (esfera) gerado pela rotação do semi-círculo -a a x y y = 22 xa − = r Semi-círculo em rotação y 4 0 x y = x2 Seção plana parábola girando em y x = y x y Sólido gerado pela parábola de revolução Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 49 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x2+2xy+z3 Resp. gradΦ = (2x+2y)i + 2xj + 3z2 k 2) Dada a função vetorial V = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k , calcule a sua divergência. Resp. div V = 6x2 + 3xz2 3) Calcule o rotacional do vetor V = x2 i + 2xy j + 5yz2 k Resp. rot V = 5z2 i + 2y k 4) Calcular a integral ∫ ∫ +x dxdyyx 0 )( Resp. x3 / 2 = C 5) ∫ ∫a b xydxdy 0 0 Resp. a2b2 / 4 6) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana, transformando integral dupla em integral simples. As expressões em integral dupla são: xc = (1/A) ∫ ∫2 1 )( )( x x xf xg dxdyx e yc = (1/A) ∫ ∫2 1 )( )( x x xf xg dxdyy Resp. xc =(1/A). ∫ −2 1 .)]()([ x x dxxxgxf e yc =(1/2A). ∫ −2 1 )]()([ 22 x x dxxgxf 7) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de 0,5 até 3 Resp . V = π ∫∫ == 3 5,0 2 3 5,0 2 ]1[)]([ dx x dxxf π 8,34 unid3
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