Lista 8

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10r
UNIRIO
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Departamento de Matemática e Estatística
Cálculo Diferencial e Integral I
Licenciatura em Matemática
Profa. Cristiane de Mello
LISTA DE EXERCí'CIOS 08
l. Para cada uma das funções abaixo, utilize o Teste da Derivada Primeira para deter-
minar, caso existam, os extremos relativos da função:
()()_132 .5a f x - - x + x - 8.1: + -3 2 (6) f(x) = x
4 - 2.1:2 + 1
2x
(c) f(x) = --=x2-+-1 (d) f (x) = x - 1x+2
{
. 2x - 1. ,
(e) f(x) =
2X3 + 3x2 - 12x + 1,
se x 2: 4
(f) f(x) ~ {
4 - x, se x < 1
se x < 4 x2 - X - 2, se x 2: 1
2. Para cada uma das funções abaixo, determine, caso existam:
(i) as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais do gráfico de f;
(ú) os intervalos onde f é crescente ou decrescente;
(iii) os extremos relativos de f (utilizando o Teste da Derivada Primeira);
(iv) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade para cima e aqueles onde a con-
cavidade é para baixo;
'.
(v) os pontos de infiexão.
Finalmente, faça um esboço do gráfico de' f.
(a) f (x) = x3 - 3x2 + 3 (b) f(x) = x + 4
x-I
3. Para cada uma das funções abaixo, utilize o Teste da Derivada Segunda para deter-
minar, caso existam, os extremos relativos da função:
(a) f(x) = 2.1:3 + 3x2 - 36x + 13 ()() 653431b f x = '5 x - 2 x - 4x + 2
(d) f(x) = x - 2
x+l
2(c) f(x) =-
x-I
1
•
4. Para cada uma das funções abaixo, determine, caso existam:
(i) as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais do gráfico de f;
(ii) os intervalos onde f é crescente ou decrescente;
/
(iii) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade para cima e aqueles onde a
concavidade é para baixo;
(iv) os extremos relativos de f (utilizando o Teste da Derivada Segunda);
(v) os pontos de infiexão.
Finalmente, faça um esboço do gráfico de f.
x-I(a) f(x) =-
x+2 (b) f(x) = x
3 - 3x2 4(c) f(x) =-
~c- 5
5. Suponha que a função f seja derivável até a segunda ordem em lR e tal que, para todo
x E lR,
x .f"(x) + f'(x) = 2.
(a) Se f possui um máximo relativo em a, prove que a < O.
(b) Se f possui um mínimo relativo em b, prove que b > O.
6. Para cada uma das funções abaixo, determine os extremos absolutos nos intervalos
considerados:
(a) f(x) = x3 - 3x2 - 9x em [-2,4];
x
( b) f (x) = 2 em [- 2, 2];
1+ J;
(c)f(.7:)=lx+11-2 em [-4,6];
(d) f(x) = 2X3 - 9x2 + 12x + 3 em [0,3];
(e) f(x) = )6 + x2 em [-1,2];
(f) f(x) = { x + 4, se x > 2 em [-3 4]x2 + 2x - 3, se x ~ 2 ' .
7. Determine dois números reais positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma do cubo do
menor com o quadrado do maior seja mínima.
8. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e o seu quadrado seja máxima.
9. O senhor Afonso deseja fazer um jardim retangular de 30 m,2 em seu quintal. Encontre
as dimensões desse jardim que minimize a quantidade de material necessário para cercá-lo.
2
10. Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1m3 de volume. Nas laterais
e no fundo será utilizado material que custa 10 reais o metro quadrado e na tampa material
de 20 reais o metro quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do
/
material empregado.
11. Determine as dimensões do retângulo de área máxima, cujo perímetro 2p é dado.
12. A empresa Tesouro Brasil & Lido: produz determinado produto e vende-o a um
preço unitário de 13 reais. Estima-se que o custo total para produzir e vender q unidades é
_,dado por:
·ti
c = q3 - 3q2 + 4q + 2..
Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, determine a
quantidade que deverá ser produzida para se obter lucro máximo.
13. Determine onde ocorre a inclinação máxima da curva y = x3 - 3x + 3 no intervalo
[-3/2,5/2].
14. A concentração C de certa substância química no fluxo sanguínio em t horas após ter
sido injetada no músculo é dada por
C(t) = 5t
16 + t2·
Em que instante a concentração é máxima?
BOM TRABALHO!