Exercicio Resolvido Caculo I

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Disciplina: Cálculo I 
Profa.: Fernanda Laureano 
1ª Lista de Exercícios 
 
1. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes 
funções: 
a) y = x2 – 3x para x=1 b) f(x) = x2 – 2x para x=2 
c) 𝑦 = √𝑥 para x=1 
d) y = 
1
3
x
 para x=2 
e) y = 
x
1
 para x=4 
f) f(x) = 2x2 – 3x +1 para x=3 
g) f(x) =








3x5
3x5
 
3
2
 
h) f(x) =
   x2x513x 1x 32 
 
i) y = 
x
2x
1x
2



 + ln5 j) y = x5 +
xsen
3
 – 
3
tgx
 
k) y = 
3xcos3
x
5
2

 l) y = 
4 x
 – 
6
4
x
2
x
2
1
1xsec
2


 
m) 








 x3
5
sen.xy
 
o) 
5tg)xcos(xseny 55 
 
q) 3
2
1x
x3x
y 








 
s) 








 x
5
cosy 2
 
n) f(x) = sen x  cos x + x  cosec x 
p) 
   lnx3xy 52
 
r) 
2
2
)2x(
x3x
y



 
t) 2
x
5
cosy 








 
 
2. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑦 = 𝑥3 nos pontos de abscissa: 
a) x = 0 
b) x = -1 
 
3. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑦 = 
1
𝑥
 no ponto (1/2;2). 
 
4. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥 − 1 no 
ponto em que x = 1. 
 
5. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes 
funções: 
a) f(x) = 7lnx - 2senx b) f(x) = 3x + 2tgx 
c) f(x) = cosx - 3lnx d) g(x) = ex.senx 
e) g(x) = 4x5.tgx f) g(x) = x2.ex.senx 
g) 
4x3x2e2y 
 i) 
33x 3x3y 
 
j) 
xcos
3
2
e
5y
tgx
xsec 
 k) 
x3x3 3.2y 
 
6. (Derivada na forma implícita) Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas 
indicadas abaixo: 
a) 
)3P(1, ponto no 
dx
dy
 , 4yx 22 
 
b) 
1x5x4y3y 24 
 ; 
dx
dy
 no ponto P (–1,0) 
c) 𝑦 − 𝑥 −
1
4
𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 0 
d) 
1 ordenada de ponto no , y , exyey 
 
 
 
7. a) Um garoto empina uma pipa que está a uma altura de 40m. Se a linha está esticada, com 
que velocidade deve o garoto soltar a linha para que a pipa permaneça a uma altura constante com 
velocidade de 3m/seg, quando a mesma está a 50m do garoto? 
 
b) Um automóvel que viaja à razão de 30m/s , aproxima-se de um cruzamento. Quando o 
automóvel está a 120m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40m/s atravessa o 
cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com 
a outra. Com que velocidade afastam-se o automóvel e o caminhão 2s depois do caminhão passar 
pelo cruzamento? 
 
c) Uma escada com 13m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. Num 
determinado instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, está escorregando, 
afastando-se da parede a uma velocidade de 2m/seg. Com que velocidade o topo da escada está 
deslizando neste momento? 
 
d) Um lado de um retângulo está crescendo a uma taxa de 17cm/min e o outro lado está decrescendo a uma 
taxa de 5cm/min. Num certo instante, os comprimentos desses lados são 10cm e 7cm, respectivamente. A 
área do retângulo está crescendo ou decrescendo neste instante? A que velocidade? 
 
8. Determinar os valores máximos e mínimos das seguintes funções nos intervalos indicados: 
 (a) f(x) = x2 – 4 ; [1,3] (b) f(x) = x3 – x2 ; [0,5] 
 
9. Resolva os seguintes problemas utilizando a teoria de Máximos e Mínimos: 
a) Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma montadora de automóveis indica que um 
operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado Q(t) = t3 +9t2 +15t unidades “t” 
horas depois. A que horas da manhã o operário trabalha com maior eficiência? Considere o 
intervalo [0,4] para t, que corresponde das 8 às 12 da manhã. (Dica: A eficiência é dada pela 
“velocidade” E(t) =Q’(t) = –3t2 + 18t +15 ) 
 
b) O Departamento de Trânsito de uma cidade depois de uma pesquisa constatou que, num dia 
normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente 
V(t) = 2t3  27t2 + 108t  35 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após 
o meio dia. A que horas no intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui 
mais lentamente? 
 
c) Um fazendeiro deve construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum. Se cada curral deve 
possuir uma área 300 m2, qual o comprimento da menor cerca necessária? 
 
 
 
 
d) Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter 125cm3. O custo, por centímetro quadrado, para a 
base é de R$8,00 e para os lados R$4,00. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo. 
 
Respostas: 
1. 
a) -1 
c) 1/2 
e) -1/16 
g) y´= 
  23x5
20


 
 
b) 2 
d) -3 
f) 9 
h) 
y´= (x2 – 1) (3x – 1) (15x2+2) + 3(x2 – 1) (5x3 +2x) + 2x(3x – 1) (5x3+2x) 
i) y´= 
x2
1
2)(x
22xx
22
2



 
j) y´= 5 4x – 3cossecx.cotgx – (sec
2x)/3 
k) y’=
3x10senx3 
 
l) y’ =
7
3
24 3 x
12
x2
)1x(sec
tgx.xsec2
x4
1



 
m)
















 x3
5
cosx3x3
5
seny
 n) y´= cos
2x – sen2x + cosec x – x cosec x cotg x 
 
o) 
)(cos. 544 xsenx5xxsen5y 
 
p) 
   3x2x3x5y 42 
 
b b b 
 
 
q) 

















2
2
2
2
)1x(
3x2x
1x
x3x
3y
 r) 
3)2x(
6x
y



 
s) 
















 x
5
sen.x
5
cos2y
 
t) 
















 x
5
.x
5
sen2y
2 
2. a) y = 0 b) y = 3x + 2 
 
3. y = -4x + 4 
 
4. Reta tangente: y = 9x - 5. Reta normal: 𝑦 = 
−𝑥+37
9
 
 
5. a) 7/x - 2cosx b) 3x.ln3 + 2sec2x c) -senx – 3/x 
 d) ex(senx + cosx) e) 20x.4tgx + 4x5.sec2x 
 f) xex.(2senx + xsenx + xcosx) g) 
  4x3x
2
e3x22y 
 i) 
2x x33ln3y 
 
 j) 
 
2
xsec.e
35ln.5tgx.xsecy
2tgx
xsec 
 k) 
1x3
x3x3
3
3ln22ln.2
y



 
 
6. a) 
y
x
y 
; 
3
3
yp 
 ; b) 
3y4
5x8
dx
dy
3 


; 
1yp 
 
 c) 
ycos4
4
y


 ; d) 
xe
y
y
y 

 ; 
e
1
yp 
 
 
7. (a) 
5
9
m / s (b) 14 m / s; (c) 
6
5
m / s , aproximando-se do solo; (d) A área está 
crescendo a uma velocidade de 69 
n/micm2
 
 
8. a) f(0) = 4 é mínimo e f(3) = 5 é máximo 
 b) f(2/3) =  4/27 é mínimo e f(5) = 100 é máximo 
 
9. (a) 11 horas; 
 (b) Mais rapidamente às 3 da tarde com velocidade de 100km/h e mais lentamente às 6 horas 
com velocidade de 73km/h 
 (c) 120 m;(d) base: 5 x5cm2 e altura: 5cm.