Apostila sao carlos - fundações

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(1) Mecânica dos Solos Volume II- Orencio Monje Vilar & Benedito de Souza Bueno- Departamento de Geotecnia- Escola de 
Engenharia de São Carlos 
 
69
 
 
CAPÍTULO 14 (1) 
 
ESTABILIDADE DE TALUDES 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Os maciços sob o aspecto genético podem ser agrupados em duas categorias: naturais e 
artificiais. Estes frequentemente exibem uma homogeneidade mais acentuada que os maciços naturais 
e, por isto, adequam-se melhor às teorias desenvolvidas para as análises de estabilidade. Dois outros 
aspectos elucidativos deste ponto merecem atenção: o primeiro refere-se ao fato de que os taludes 
naturais possuem uma estrutura particular que só é conhecida através de um criterioso programa de 
prospecção; o segundo está associado à vida geológica do maciço natural intimamente ligada ao 
histórico de tensões sofrido por ele - erosão, tectonismo, intemperismo, etc. 
São vários os fatores naturais que atuam isolada ou conjuntamente durante o processo de 
formação de um talude natural e que respondem pela estrutura característica destes maciços. Estes 
fatores podem ser agrupados em duas categorias: 
 
*Fatores Geológicos *Fatores Ambientais 
- Litologia 
- Estruturação 
- Geomorfologia 
- Clima 
- Topografia 
- Vegetação 
 
Os fatores geológicos são responsáveis pela constituição química, organização e modelagem 
do relevo terrestre; à ação deles, soma-se a dos fatores ambientais. Assim, a litologia, com os 
constituintes dos diversos tipos de rocha, a estruturação dos maciços - através dos processos 
tectônicos, de dobras, de falhamentos, etc, e a geomorfologia - tratando da tendência evolutiva dos 
relevos, apresentam um produto final que pode ser alterado pelos fatores climáticos, principalmente 
pela ação erosiva influenciada pelo clima, topografia e vegetação. 
As paisagens naturais são dinâmicas alterando-se continuamente ao longo do tempo sob a ação 
destes fatores. Ao lado, destas ações naturais pode surgir a ação humana que altera a geometria das 
paisagens e atua sobre os fatores ambientais, mudando ou destruindo a vegetação, alterando as formas 
topográficas e às vezes mesmo o clima; em razão disto, estes maciços diferem bastante dos aterros 
artificiais cujo controle de colocação das terras permite conhecê-los intimamente melhor. 
Na diversidade de formas geométricas em que se apresentam os maciços podem ou não, por si 
só, manter as suas conformações originais. Em caso negativo, será necessário estabilizá-los. Isto 
requer a execução de obras que vão desde uma simples mudança em sua geometria, incluindo-se, por 
vezes, bermas, que além de alterar a forma geométrica permitem fazer a drenagem superficial do 
maciço, até obras de contenção, abrangendo os muros de arrimo, as placas de ancoragem, os 
escoramentos, etc. Os dimensionamentos e as análises da estabilidade das estruturas de sustentação 
serão estudados nos capítulos seguintes. 
Nos projetos de estabilização o fundamental é atuar sobre os mecanismos instabilizadores. 
Assim, sufocando a causa com obras ou soluções de alto efeito não só se ganha em tempo como 
efetivamente em custo e segurança. Se a ação instabilizadora é a percolação interna no maciço, devem 
ser convenientes obras de drenagem profunda e/ou impermeabilização a montante do talude; os efeitos 
da erosão podem ser combatidos com a proteção vegetal; e, se o deslizamento ocorre por efeito das 
forças gravitacionais o retaludamento deve ser a primeira opção a ser pensada. 
Nas obras de estabilização é importante considerar também as soluções mais simples, às vezes, 
elas são as mais adequadas. As obras mais caras só se justificam quando o processo de instabilização 
não pode mais ser controlado pelas obras mais simples ou quando as condições geológicas e 
geotécnicas 
 
 
70
obrigam a utilização de obras mais complexas.Este capítulo abordará a estabilidade dos 
taludes,quantificando os coeficientes de segurança contra o escorregamento. Na hipótese de não se 
obter o coeficiente de segurança requerido opta-se por um dos caminhos delineados no parágrafo 
anterior. Nos maciços artificiais, além das alternativas propostas, podem auxiliar no processo de 
majoração destes coeficientes, as escolhas do material constituinte, dos parâmetros de compactação, 
etc. 
Antes de iniciar o estudo das análises de estabilidade será conveniente tratar das causas que 
podem levar os taludes a escorregar. Estas causas são complexas pois envolvem uma infinidade de 
fatores que se associam e entrelaçam. O conhecimento delas permite ao engenheiro escolher com mais 
critério as soluções que se apresentam satisfatórias e mesmo prever o desempenho destas alternativas. 
 
 
2. TIPOS E CAUSAS DOS ESCORREGAMENTOS 
 
"O movimento dos maciços de terra depende, principalmente, da sua resistência interna ao 
escorregamento" (Terzaghi - 1925). 
Os escorregamentos de taludes são causados por uma redução da resistência interna do solo 
que se opõe ao movimento da massa deslizante e/ou por um acréscimo das solicitações externas 
aplicadas ao maciço. Os movimentos de terra são separados em três categorias consoante à velocidade 
em que se ocorrem. Podem distinguir-se: os desmoronamentos, os escorregamentos e os rastejos. 
Varnes (l958) estabeleceu uma classificação destes movimentos baseada na velocidade de 
ocorrência, Figura 14.1. 
 
 
Figura 14.1- Escala de velocidade de Varnes para classificação dos deslocamentos de terra. 
 
Os desmoronamentos são movimentos rápidos, resultantes da ação da gravidade sobre a massa 
de solo que se destaca do restante do maciço e rola talude abaixo. Há um afastamento evidente da 
massa que se desloca em relação a parte fixa do maciço. 
Os escorregamentos procedem da separação de uma cunha de solo que se movimenta em 
relação ao resto do maciço, segundo uma superfície bem definida. O movimento é ainda rápido, mas 
não há uma separação efetiva dos corpos. 
Os rastejos são movimentos bastante lentos que ocorrem nas camadas superiores do maciço. 
Diferem dos escorregamentos, pois neles não existe uma linha separatória nítida entre a porção que se 
desloca e a parte remanescente, estável, do maciço. 
 
 
71
Terzaghi (l950) divide ainda os rastejos em duas categorias, quais sejam, contínuos e sazonais. 
Estes ocorrem numa camada superficial de pequena espessura onde o solo sofre as influências das 
variações frequentes de umidade e temperatura. Os contínuos atingem profundidades maiores e 
diferem dos escorregamentos pela baixa velocidade de deslocamento e por não apresentar uma 
superfície de deslizamento claramente definida. O comportamento do solo no rastejo contínuo pode 
ser comparado ao de um corpo viscoso; o escorregamento, ao de um corpo plástico. 
As causas dos escorregamentos enumerados por Terzaghi são colocadas em três níveis: 
a) causas externas: são devidas a ações externas que alteram o estado de tensão atuante sobre o 
maciço. Esta alteração resulta num acréscimo das tensões cisalhantes que igualando ou superando a 
resistência intrínseca do solo leva o maciço à condição de ruptura, são elas: 
- aumento da inclinação do talude; 
- deposição de material ao longo da crista do talude; 
- efeitos sísmicos. 
b) causas internas: são aquelas que atuam reduzindo a resistência ao cisalhamento do solo constituinte 
do talude, sem ferir o seu aspecto geométrico visível, podem ser: 
- aumento da pressão na água intersticial; 
- decréscimo da coesão. 
c) causas intermediárias: são as que não podem ser explicitamente classificadas em uma das duas 
classes anteriormente definidas: 
- liquefação expontânea; 
- erosão interna; 
- rebaixamento do nível d'água. 
 
A Tabela 14.1 a seguir (Terzaghi, 1950), resume as causas e os agentes que provocam a 
instabilização dos maciços, referindo os solos que são mais susceptíveis a cada tipo de ação.Tabela 14.1 - Agentes e Fenômenos Causadores de Escorregamentos 
A B C D E F 
Nome do agente Causa inicial da ação do agente 
Modalidade da 
ação do agente 
Material mais 
susceptível de 
ataque 
Natureza física 
das ações 
significativas 
Efeitos sobre as 
condições de 
equilíbrio do 
talude 
Qualquer material 
 
 
 
Modifica as 
tensões do material 
no talude 
 
Aumenta as 
tensões de 
cisalhamento 
 
Agente de 
transporte 
Operações de 
construção ou 
erosão 
1) Aumento da 
altura ou ângulo 
do talude 
Argila fissurada 
rija, folhelho 
Modifica o estado 
das tensões e 
provoca a abertura 
de fendas 
Aumenta as 
tensões ao 
cisalhamento e 
inicia a ação do 
processo 8 
Tensões tectônicas Movimentos tectônicos 
2) Deformação da 
crosta terrestre em 
grande escala 
Qualquer material Aumenta o ângulo do talude 
Aumento das 
tensões cisalhantes 
Tensões tectônicas 
ou explosões 
Terremotos ou 
deformações 
3) Vibrações de 
alta freqüência Qualquer material 
Produz 
modificações 
transitórias das 
tensões 
 
 
Loess, areia pouco 
cimentada e 
pedregulho 
Danifica as 
ligações 
intergranulares 
Diminui a coesão e 
aumenta a tensão 
de cisalhamento 
 
Areia fina ou 
média solta em 
estado saturado 
Inicia rearranjo 
dos grãos. 
Liquefação 
espontânea 
 
 
 
 
72
 
Tabela 14.1 –(Cont.) Agentes e Fenômenos Causadores de Escorregamentos 
4) Movimento de 
rastejo do talude 
Argila fissurada 
rija, folhelho ou 
resíduos de 
escorregamentos 
antigos 
Abre juntas 
fechadas e produz 
novas juntas 
Reduz a coesão e 
acelera a ação do 
processo8 
Peso do material 
do talude 
Fenômeno que deu 
origem ao talude 
5) Movimento de 
rastejo em camada 
fraca abaixo do pé 
do talude 
Material rijo 
encima do outro, 
plástico 
 
6) Deslocamento 
do ar nos vazios Areia úmida 
Aumenta a pressão 
da água nos poros 
Diminui a 
resistência do 
atrito. 
7) Deslocamento 
do ar nas juntas 
abertas 
Rocha diaclasada, 
folhelho 
8) Redução de 
pressão capilar 
ligado a expansão 
Argila fissurada 
rija e alguns 
folhelhos 
Dá origem a 
expansão 
Diminuição da 
coesão 
Chuvas ou águas 
provenientes de 
degelo 
9) Alteração 
química 
Rocha de qualquer 
natureza 
Enfraquece as 
ligações entre os 
grãos (alteração 
química) 
 
10) Expansão da 
água devido à 
formação de gelo 
Rocha diaclasada 
Alarga as juntas 
existentes e produz 
novas juntas 
 
Geada 
11) Formação e 
degelo das 
camadas de gelo 
Silte e areia siltosa 
Aumenta o teor de 
água no solo das 
camadas 
superficiais 
Diminui a 
resistência por 
atrito 
Estiagem 12) Contração Argila Produz juntas de contração Diminui a coesão 
Abaixamento 
rápido do nível do 
lençol de água 
13) Produz 
percolação de água 
para o pé do talude
Areia fina ou 
média, solta, em 
estado saturado 
Produz pressão 
excessiva da água 
nos vazios 
Diminui a 
resistência por 
atrito 
Mudança rápida do 
nível do lençol de 
água 
14) Inicia o 
rearranjo dos grãos
Areia fina ou 
média solta, em 
estado saturado 
Aumento 
espontâneo da 
pressão da água 
dos vazios 
Liquefação 
espontânea 
Elevação do nível 
de água em lençol 
freático distante 
15) Causa 
elevação da 
superfície 
piezométrica 
natural do talude 
Silte e camadas de 
areia entre ou 
abaixo de camadas 
argilosas 
Aumenta a pressão 
de água dos vazios 
Diminui a 
resistência por 
atrito 
16) Infiltração em 
direção do talude Silte saturado 
Aumenta a pressão 
da água nos vazios 
Diminuição da 
resistência por 
atrito 
17) Desloca o ar 
dos vazios Areia fina, úmida 
Elimina a tensão 
superficial 
Diminuição da 
coesão 
18) Remove o 
cimento solúvel Loess 
Destrói a ligação 
intergranular 
Água 
Infiltração 
proveniente de 
reservatório ou 
canais 
19) Erosão 
subterrânea Areia fina ou silte 
Solapa o pé do 
talude 
Aumenta a tensão 
de cisalhamento 
 
 
 
 
73
 
3.FATOR DE SEGURANÇA 
 
Por fator de segurança (FS) entende-se o valor numérico da relação estabelecida entre a 
resistência ao cisalhamento, disponível, do solo ( )( )'' tguc φ−σ+=τ e a resistência ao 
cisalhamento mobilizado (τ m ) para garantir o equilíbrio do corpo deslizante, sob o efeito dos esforços 
atuantes. 
 
( )[ ]'m tgucFS1 φ−σ+=τ 
 
A resistência ao cisalhamento, τ, que se desenvolve ao longo da superfície de ruptura pode ser 
explicitada através das forças resultantes de coesão e atrito, Rc e Rφ respectivamente, que são o 
produto dos parâmetros de resistência pela área (A) da superfície onde se desenvolve essa resistência. 
 ( ) '' tgAuAcAS φ⋅⋅−σ+⋅=⋅τ= 
 
φ+= RRcS 
 
De acordo com a definição de fator de segurança propostas resistência mobilizada (τ m ) ou 
necessária para manter o equilíbrio do corpo potencialmente deslizante será: 
 
mmm RRcFS
R
FS
Rc
FS
S φ+=φ+==τ 
 
onde: - RC, - coesão mobilizada 
-Rφ m - atrito mobilizado 
 
As solicitações que provocam o deslizamento dos maciços, dentre elas a força peso, serão 
designadas através de suas resultantes Fa. 
Porque certos métodos de estabilidade atestam o equilíbrio dos taludes através da somatória de 
forças que atuam sobre eles, resistindo (Rc + Rφ ) ou provocando seus deslizamentos (Fa), o 
coeficiente de segurança é definido como: 
 
atuantes forças
sresistente forças 
Σ
Σ=FS 
 
Em outros processos o fator de segurança será tomado como a razão entre os momentos 
devido as forças que atuam do sobre a cunha tendem a mantê-la em equilíbrio (M R ) e os momentos 
das forças que tendem a instabilizá-la (Ma). Estes momentos são tomados em relação a um ponto 
situado fora do talude: 
 
 atuantes momentos
sresistente momentos 
Σ
Σ=FS 
 
Um valor de FS > l implica em estabilidade do maciço, ou seja, os esforços atuantes são 
melhores do que os esforços resistentes. 
 
 
74
Da análise da Tabela 14.1 fica patente que o fator de segurança pode variar com o tempo e que 
o seu valor teria um significado maior se fosse definido em termos probabilísticos, onde se pudesse, 
inclusive definir os períodos de recorrência e um intervalo de confiança. Esta forma de abordagem 
começa agora a ser estudada. A Figura 14.2 (Terzaghi, 1950) mostra a evolução de FS ao longo do 
tempo para alguns taludes jovens e antigos, onde se podem notar a ação de algumas das causas listadas 
na Tabela 14.1. 
 
Figura 14.2 - Evolução do fator de segurança com o tempo (Terzaghi 1950). 
 
Cada curva representa um talude individual e entre parênteses aparece a modalidade de ação 
do agente ou agentes que resultaram na redução do Fator de Segurança. 
Sem analisar todos os casos, verifica-se por exemplo, que o talude C rompeu por liquefação 
provocada por explosões numa pedreira vizinha; no talude D, inicialmente estável (FS ≅ 1,50), a 
infiltração de água que veio de um canal não revestido recentemente construído provocou a ruptura. 
As flutuações no FS que se observam nos taludes de A e E referem-se a variações sazonais (épocas 
secas e úmidas). 
Isto posto, conclui-se que a avaliação da estabilidade de um talude não pode ser concretizada 
se não conhecerem os fenômenos que podem induzir situações críticas e que, além disso, é necessário 
quantificar as condicionantes quanto à estabilidade, o que nem sempre é fácil ou possível. 
 
 
4. MÉTODOS DE ESTABILIDADE 
 
4.1 - Introdução 
 
As análises de estabilidade, na sua maioria, foram desenvolvidas segundo a abordagem. do 
equilíbrio limite. 
O equilíbrio limite é uma ferramenta empregada pela teoria da plasticidade para análises do 
equilíbrio dos corpos, em que se admite como hipótese:a) existência de uma linha de escorregamento de forma conhecida: plana, circular, espiral-log 
ou mista, que delimita, acima dela, a porção instável do maciço. Esta massa de solo instável, sob a 
ação da gravidade, movimenta-se como um corpo rígido; 
b) respeito a um critério de resistência, normalmente utiliza-se o de Mohr-Coulomb, ao longo 
da linha de escorregamento. 
 
 
75
 
As equações da Mecânica dos Sólidos são utilizadas para a verificação do equilíbrio da porção 
de solo situada acima desta superfície de deslizamento. As forças participantes são as causadoras do 
deslizamento e as resistivas. Como deficiência o equilíbrio limite ignora a relação tensão x 
deformação do solo. 
De uma forma geral, as análises de estabilidade são desenvolvidas no plano, considerando-se 
uma seção típica do maciço situada entre dois planos verticais e paralelos de espessura unitária. 
Existem algumas formas alternativas para estudar o equilíbrio tridimensional de um corpo deslizante, 
porém estas ainda não estão suficientemente desenvolvidas, sendo pouco usual e sua utilização. 
Além do método do equilíbrio limite existe a possibilidade de análise através do método da 
análise limite. As formulações deste método apoiam-se no conceito de plastificação do solo, associado 
a uma condição de fluxo plástico iminente e considera, ainda, a curva tensão-deformação do solo. O 
método da análise limite, apesar de sua alta potencialidade, não logrou ainda uma difusão entre os 
meios geotécnicos, como era de se prever, devido a que as soluções, particulares a cada geometria e 
tipo de solo, utilizam tratamentos matemáticos mais elaborados do que os processos tradicionais do 
equilíbrio limite. 
Apresentam-se a seguir os principais métodos de estabilidade desenvolvidos a partir dos 
conceitos de equilíbrio limite. 
 
4.2 - Método do Talude Infinito 
 
Um talude é denominado infinito quando a relação entre as suas grandezas geométricas, 
extensão e espessura, for muito grande. Nestes taludes a linha potencial de ruptura paralela a 
superfície do terreno. Eles podem ser maciços homogêneos ou estratificados, neste caso, porém os 
estratos devem ter os planos de acamamento paralelos à superfície do talude. 
Quando submetidos a um regime de percolação, admitir-se-á neste trabalho, que as linhas de 
fluxo serão paralelas à superfície do terreno. Esta ressalva é feita pois se tem notado até mesmo fluxo 
vertical dirigido a estratos profundos. 
A análise deste problema através do método do equilíbrio limite admite que a cunha potencial 
de desligamento movimenta-se como um corpo rígido. Para uma análise das forças que atuam sobre 
um elemento de solo do interior deste corpo, considere-se a Figura 14.3, na qual se representa o caso 
mais genérico do talude saturado e o nível de água atingindo a superfície do terreno. Os esforços 
sobre uma lamela genérica ABCD estão representados na Figura 14.3 b. 
As tensões induzidas pelo peso da cunha ABCD sobre a face CD tem como força resultante 
W, que atua verticalmente no ponto médio do segmento CD . A esta força se opõe a reação do resto 
do maciço sobre a cunha, R, que por ser a única força vertical deve ter também o mesmo ponto de 
aplicação de W. As forças do empuxo, lateral Fd e Fe, em razão do exposto, devem ser iguais e ter 
linha de ação coincidente. 
 
Figura 14.3 - Talude Infinito - a) Geometria e rede de fluxo; b) Esforços sobre uma lamela 
isolada. 
 
 
76
As letras maiúsculas correspondem às resultantes das tensões. Podemos então determinar as 
diversas solicitações. 
pressão neutra: icosh=uou icoshhwu 2w
2
w
⋅⋅γ⋅==γ 
 icoshbobouU 2w ⋅⋅⋅γ=⋅= 
 
peso da lamela: hbW sat ⋅⋅γ= icosbob ⋅= 
i coshbicosWN sat ⋅⋅⋅γ=⋅= 
isen hbisenWT sat ⋅⋅⋅γ=⋅= 
i coshboN 2sat ⋅⋅γ==σ 
i cosisen hboT sat ⋅⋅⋅γ==τ 
 
O Fator de Segurança é definido como a relação entre as forças resistentes e atuantes: 
 
FS = 
i cosisen h
tgicosh)(+c
boT
tgu)-(+c
T
bos
FA
FR
sat
2
wsat
⋅⋅⋅γ
φ⋅⋅γ−γ=φ⋅σ=⋅= 
 
FS = ⋅⋅⋅⋅γ
φ⋅⋅⋅γ
i cosisen h
tgicosh '+c
sat
2
 obs.:γ ' =γ γsat − w 
 
Esta é uma expressão geral que fornece o valor de FS para a situação mais completa. As 
soluções particulares podem ser obtidas a partir dela fazendo nulos os termos não participantes, ou 
substituindo adequadamente os termos. No caso de talude não saturado: γ ' por γ nat e γ sat por γ nat 
 
 
EXEMPLO 14.1 
 
Um maciço com talude infinito constituído de solo silto-arenoso rompeu após uma chuva 
intensa em virtude de ter ficado totalmente saturado e de ter perdido a sua parcela de resistência devida 
à coesão. Calcular o coeficiente de segurança que existia antes da chuva, quando o NA estava abaixo 
do topo da rocha, admitindo que a ruptura se deu com coeficiente de segurança unitário. 
Dados: antes da chuva após a chuva 
c = 2 tf/m3 c = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77
icossenih
tgicosh'+cFS
sat
2
⋅⋅⋅γ
φ⋅⋅⋅γ= 
 
após a chuva: FS = l Obs.: l tf = 10 kN 
icosisenhtgcoshc sat
2' ⋅⋅⋅γ=φ⋅⋅⋅γ+ 
φ⋅⋅γ=⋅γ tgicosisen 'sat 
60,0
5,3
1
0,90
1,90= i tg
'
tg sat =⋅⋅γ
γ=φ 
o1,31=φ 
 
antes da chuva: 
3
natsat
3
nat
' cm/tf70,1;cm/tf70,1;0u =γ→γ=γ→γ= 
20,3FS
16cos16sen47,1
1,31tg16cos4,71+2
FS oo
oo2
=∴⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
 
 
4.3 - Método de Culmann 
 
Este método apóia-se na hipótese que considera uma superfície de ruptura plana passando pelo 
pé do talude. A cunha assim definida é analisada quanto a estabilidade como se fosse um corpo rígido 
que desliza ao longo desta superfície, como se representa na Figura 14.4. 
 
 
Figura 14.4 - Método de Culmann - a) geometria do talude; b)polígono de forças. 
 
Uma vez conhecida a geometria do talude e arbitrada a superfície de ruptura, temos as forças 
participantes do equilíbrio da cunha. 
- força peso: W (módulo, direção, sentido e ponto de aplicação conhecidos) 
- força de coesão: Cm (módulo, direção e sentido conhecidos) 
- força de atrito: F (sentido e direção e conhecidos) 
 
Observe que para resistir ao esforço atuante (T) é necessário mobilizar parcelas de resistência: 
Cm-coesão mobilizada e tgφm - coeficiente de atrito mobilizado. 
 
 
78
FS
ADcCm
⋅= 
FS
 tgtg m
φφ 
 
Como deveremos ter 
FS
 tgN 
FS
AD*ctgNCT mm
φ+=φ⋅+= + 
 
resulta 
FA
FR
T
ADs
T
tgNADcFS =⋅=φ⋅+⋅= 
 
Sabe-se que θ⋅= cosWN e θ⋅= senWT . O peso da cunha (W) resulta 
 
isen 
)-isen(ADH
2
1W θ⋅⋅⋅= 
 
Com estes dados pode-se resolver algebricamente o problema, sempre que se arbitre uma 
superfície de ruptura. O Fator de Segurança do talude será o menor fator obtido dentre as várias 
superfícies arbitradas. 
Da expressão mm tgNCT φ⋅+= ou substituindo os valores de N e T 
 
θ⋅θ⋅⋅⋅γ⋅=φ⋅θ⋅θ⋅⋅⋅γ⋅+⋅ sen
isen 
)-isen(ADH
2
1tgcos
isen 
)-isen(ADH
2
1ADmC m 
 
pode-se obter o chamado número de estabilidade (N): 
 
i cosisen 
)sen()-isen(
H
2
1
H
cmN m⋅
φ−θ⋅θ⋅⋅γ⋅=⋅γ= 
 
Assim, arbitrado θm, o plano onde ocorrerá máxima tensão cisalhante será aquele definido por 
um plano de inclinação o que necessitará da máxima coesão mobilizada. Diferenciando a expressão 
em relação a θ, o máximo ocorrera para um plano definido por θcr. 
 
( )mcr i2
1 φ+⋅=θ 
 
A expressão se transforma nessa situação para 
 
)]cos(i-[1
 cosisen 4cm
=Hou 
i cosisen 
)cos(i-1
4
1
H
cm
m
mm
φ−γ
φ⋅⋅
⋅
φ−⋅=⋅γ 
 
Finalmente, se ocorrerem quaisquer outros esforços como sobrecargas ou pressões neutras, 
basta calcular as resultantes e incluí-las no polígono de forças. 
 
 
EXEMPLO 14.2 
 
Determinar a máximaprofundidade que poderá ter um corte vertical (i = 90o) em um solo com 
3m/tf80,1=γ , 2o m/tf25tg4 ⋅σ+=τ para que resulte um FS = 2. 
 
 
 
79
2
2
4cm == om
o
m 1,132332,02
 25 tgtg =φ→==φ = 0,2332 
 
m6,5
)1,1390cos(180,1
1,13cos90sen24H o
oo
=−−⋅
⋅⋅⋅= 
 
 
4.4 - Métodos que admitem superfície de Ruptura Circular 
a . Método do Círculo de Atrito - Gráficos de Taylor 
 
O método do círculo de atrito pressupõe uma superfície de escorregamento circular e analisa a 
estabilidade do corpo rígido formado pelo solo situado acima desta superfície. 
As forças participantes são o peso da cunha, a força de coesão que se desenvolve ao longo da 
cunha e a força de atrito que se constitui no produto da componente normal da força peso pela tangente 
do ângulo de atrito do solo. Estas três forças, nas condições de equilíbrio ou concorrem para um ponto 
ou fornecem um polígono de forças fechado (neste caso particular um triângulo). 
A Figura 14.5 mostra esquematicamente as grandezas participantes na analise de estabilidade 
quando se utiliza este método. 
 
 
Figura 14.5- Método do círculo de atrito: esquema de abordagem. 
 
W = força peso, com direção, sentido, módulo e ponto de aplicação conhecidos; 
C = força resultante da coesão do solo que se desenvolve ao longo da superfície de desligamento e que 
se constitui do produto da coesão do solo pelo comprimento do arco AB, ou seja, C = c.L.. A 
resultante C tem sentido de atuação conhecido e direção da corda AB. O ponto de aplicação dista do 
centro 0 um valor a dado pela expressão: 
 
Lc
LRa ⋅= Lc= comprimento da corda AB 
 
F = força de atrito, cuja direção faz ângulo φ com a normal à cunha e que portanto tangencia 
um círculo de centro em o e de raio φ⋅= senRr . O módulo de F é desconhecido. 
 
 
80
Em termos práticos pode calcular-se o coeficiente de segurança através do método do circulo 
de atrito com no seguinte roteiro: 
 
a) arbitra-se uma superfície de escorregamento; 
b) determinam-se as forças W e C; 
c) aplica-se W no centro de gravidade da cunha e determina-se o ponto de intersecção desta 
com a força C; 
d) por este ponto de intersecção traça-se uma reta tangente ao circulo de centro 0 e raio 
φ⋅= senRr , esta reta é a linha de ação de F; 
e)a partir daí pode montar-se o polígono de forças e determinar os valores de F e de Cm, 
parcela da força C, mobilizada para manter o equilíbrio da cunha. 
 
mC
CFS = 
 
Prossegue-se estudando novas tentativas com o propósito de localizar a superfície de 
escorregamento que corresponde ao menor coeficiente de segurança. 
Caso haja percolação de água no maciço, entrará em ação a força U, resultante das pressões 
neutras que atuam sobre a cunha de deslizamento cujo módulo, sentido e ponto de aplicação são 
conhecidos. E, como antes, monta-se o polígono de forças com as mesmas incógnitas. 
 
 
Gráficos de Taylor 
 
Utilizando um processo matemático de tentativas, Taylor, baseado no método do circulo de 
atrito, elaborou gráficos que fornecem o número de estabilidade (N). 
As hipóteses embutidas na solução apresentada são: talude homogêneo e sem percolação de 
água, superfície de ruptura cilíndrica e envoltória de resistência do solo φ⋅σ⋅+=τ tgc . As análises 
foram efetuadas em termos de tensões totais e a seguinte notação aparece nos gráficos: 
 
FS - fator de segurança 
cm - coesão mobilizada 
FS
ccm = 
φm - ângulo de atrito mobilizado tgφ m = 
FS
tgtg m
φ=φ 
N - número de estabilidade 
H
c
N m= ou ( )m,ifN φ= - Figura 14.6 a. 
 ( )n,i,DfN = - Figura 14.6 a.b 
H,i - altura e. inclinação do talude 
D,n - definidos nos próprios gráficos 
 
As Figuras 14.6 a e b mostram os gráficos de Taylor. 
Taylor divide os taludes em três classes. Para as duas primeiras apresenta o ábaco a, Figura 
14.6, e para a terceira, o ábaco b Figura 14.6. 
Nestas figuras existem esquemas indicando qual o caso a que pertence determinado talude e 
quais as curvas que deverão ser utilizadas. Para melhor esclarecer: 
a) a primeira classe, caso A do ábaco a, corresponde aos taludes íngremes, cujo círculo de 
ruptura passe pelo pé do talude que é o ponto mais baixo do círculo. As linhas cheias do ábaco 
deverão ser utilizadas neste caso. A seqüência de cálculo será: 
- arbitrar FSφ 
 
 
81
- mm FS
tgtg φ→φ=φ
φ
 
- φm e 
H
c
Ni mγ=→ 
- 
mc
cFS = 
- prosseguir até que FSC= FSφ 
 
b) a segunda classe, caso B do ábaco a possui três subdivisões, Bl, B2 e B3. Nesta classe o 
círculo crítico pode ou não passar pelo pé do talude e este já não é o ponto mais baixo do círculo. 
- no caso Bl em que o círculo passa pelo pé do talude deve utilizar-se as linhas cheias; 
quando elas não mais aparecem este caso pode ser aproximado ao caso B2; 
- no caso B2, o círculo crítico passa abaixo do pé do talude. Isto ocorre em taludes pouco 
íngremes ou quando o solo possui valores de ângulo de atrito baixos. Neste caso utilizam-se as 
linhas tracejadas longas; quando elas não aparecem o círculo crítico passa pelo pé do talude e então 
usa-se as linhas cheias; 
- no caso B3, o círculo crítico corta a superfície inclinada exposta, do talude. Esta situação 
leva o círculo cujo ponto mais baixo acha-se à mesma cota do pé do talude. Deve tomar-se as linhas 
tracejadas curtas do ábaco a. 
 
c) a terceira classe, casos A e B do ábaco 2, é denominada "0" =φ . Apesar do nome, isto não 
implica que o ângulo de atrito do solo deva ser nulo; admite-se, sim, que a resistência ao cisalhamento 
do solo não apresenta variações consideráveis ao longo da linha de escorregamento, ou seja, que haja 
uma aproximada constância desta resistência com a profundidade. 
Em taludes íngremes i > 54o deve se usar o ábaco a. 
- o caso A desta terceira classe engloba os taludes cujos círculos críticos passam além do pé 
dos taludes, cortando a linha de escavação a uma distancia Hn ⋅ , sendo H a altura do talude. O 
círculo crítico tangencia o estrato resistente situado a uma profundidade HD ⋅ . 
Com os valores de n, D e i e utilizando-se as linhas tracejadas curtas determina-se o número de 
estabilidade. 
- no caso B desta classe, o círculo crítico passa pelo pé do talude e o seu ponto mais baixo, 
situado a uma profundidade HD ⋅ da superfície do terreno, tangencia o estrato resistente; para este 
caso utilizam-se as linhas cheias do ábaco b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82
 
 
 
Figura 14.6 - Gráficos de Estabilidade de Taylor 
 
 
83
EXEMPLO 14.3 
 
Deseja-se fazer um corte com inclinação de 60o num solo de 3 tf/m1,90=γ e 
2o m/tf10tg4,1 ⋅σ+=τ . Qual poderá ser a. máxima altura desse corte para que o fator de 
segurança com relação a altura seja 1,6. 
- máxima altura → toda resistência mobilizada 
 
o
m 10=φ=φ 
o60i = ? 140,0N = ? 
H
c
N mγ= → m26,59,1140,0
4,1H máx =⋅= 
4,1cc m == 
H
HmáxFSH = → m20,360,1
26,5H == 
 
Obs.: l tf = 10 kN 
 
EXEMPLO 14.4 
 
Calcular o fator de segurança para um talude de inclinação 1V:3H e altura H=38m. O solo 
apresenta 3 tf/m2,00=γ e 2o m/tf18tg4 ⋅σ+=τ 
 
lV:3H → i ≅ 18,5o 
l.a tentativa 0,2FS =φ omm 5,92
tgtg ≅φ→φ=φ 
04,0N = 04,3380,204,0cm =⋅⋅= 
32,1
04,3
4FSC == 
 
2.a tentativa 32,1FS =φ om 0,11≅φ ? 033,0N = 
 51,2380,2033,0cm =⋅⋅= 
59,1
51,2
4FSC == 
 
3.a tentativa 65,1FS =φ om 1,11≅φ → 036,0N = 
43,2380,2036,0cm =⋅⋅= 
65,1
43,2
4FSC == 
 
b. Métodos das Lamelas 
 
Normalmente os taludes apresentam-se compostos de vários solos com características 
diferentes. A determinação dos esforços atuantes sobre a superfície de ruptura torna-se complexa e 
para superar essa dificuldade utiliza-se o expediente de dividiro corpo potencialmente deslizante em 
lamelas. Assim, pode-se determinar o esforço normal sobre a superfície de ruptura, partindo da 
hipótese que esse esforço vem determinado basicamente pelo peso do solo situado acima daquela 
superfície. 
 
 
84
A superfície de ruptura pode ter uma forma qualquer (Janbu, 1956), se bem que os métodos 
mais utilizados, como os de Fellenius e de Bishop, empreguem superfície de ruptura circular. 
A Figura 14.7 mostra o esquema adotado nas análises pelos métodos das lamelas, os esforços 
que atuam numa lamela genérica e o equilíbrio de forças nessa lamela. 
 
 
Figura 14. 7 - Método das Lamelas: grandezas participantes 
 
En, En+1 = resultantes das forças horizontais totais atuantes nas secções n e n + l, 
respectivamente; 
xn ,xn+1 = resultantes das forças cisalhantes que atuam nas secções n e n + 1, respectivamente; 
W·= peso total da lamela; 
N = força normal atuante na base da lamela; 
b = largura da lamela; 
h = altura da lamela; 
L = comprimento da corda AB; 
θ = ângulo da normal N com a vertical; 
x = distancia do centro do círculo ao centro da lamela; 
R = raio do círculo. 
 
Como característica dos métodos de lamelas o fator de segurança é definido como a relação 
entre a somatória dos momentos resistentes e os momentos atuantes: 
 
∑
∑=
MA
MRFS 
 
No Método de Fellenius, considera-se que não há iteração entre as várias lamelas, ou seja, 
admite-se que as resultantes das forças laterais em cada lado da lamela são colineares e de igual 
magnitude, o que permite eliminar o efeito dessas forças considerando o equilíbrio na direção normal a 
base da lamela. 
 
 
85
A única iteração entre as lamelas advém da consideração de ruptura progressiva que sempre 
ocorre quando há ruptura de qualquer massa de solo. Este fato é considerado implicitamente nos 
parâmetros de resistência do solo, coesão e ângulo de atrito. 
Na análise que se segue, considera-se o caso mais genérico de talude com percolação de água. 
O valor da pressão neutra ao longo da superfície de ruptura é obtido traçando-se a rede de percolação. 
Em cada ponto desta superfície toma-se o valor da carga piezométrica, hw. 
O momento resistente será: 
 
( )[ ] ( )[ ]∑ φ⋅+⋅⋅⋅=∑ φ⋅σ+⋅⋅=⋅=
==
n
1i
'''n
1i
''' tgNbocboRtgcboRRSMr 
 
O equilíbrio na direção normal a lamela fornece. 
 
α⋅=+= cosWUNN ' 
 
boucosWUcosWN ' ⋅−α⋅=−α⋅= 
 
O momento atuante será: 
 
( ) ( )∑ α⋅⋅=∑ ⋅=
=
n
1i
senWRxWMA 
 
Fator de Segurança pelo método de Fellenius resulta: 
 
( )[ ]
∑
∑
=
=
⋅
⋅⋅⋅⋅
= n
i
n
i
tg
FS
1
1
senW
bou - cosW+boc'
α
φα
 
 
Havendo qualquer esforço externo ao talude, (uma sobrecarga ou um berma no pé do talude, 
por exemplo), considera-se a sua interferência incluindo-o no somatório de momentos. 
No Método de Bishop leva-se em conta a iteração entre as varias lamelas. A resistência 
mobilizada (τm) é dada por: 
 
sm = [ ] ' tgu) - (+ c'
FS
1
FS
s
m φ⋅σ=τ 
 
porém 
bo
N=σ 
 
Considerando a relação entre momentos resistentes e atuantes resulta, identicamente ao 
método de Fellenius: 
 
∑∑ 


 ⋅⋅⋅⋅⋅= 'tgbo) u - (N+bo c'xW
R
N'
φ43421FS 
 
O valor de N’ ( )bouNN' ⋅−= pode ser conhecido da somatória de forças na direção 
vertical: 
 
 
86
FS
'tg sen+cos
bo)sen
FS
c'+ cosu()x(x+W
N
1nn
'
φ⋅αα
αα⋅−−
= + 
 
Substituindo na expressão do FS e lembrando que α⋅= senRx e α⋅= secbbo resulta: 
 
[ ]∑ −⋅φ⋅∑ α= αM)xx+b u -(W ' tg+ b c'Wsen
1 FS 1+nn 
 
onde 
FStg
sencosM
'φ⋅α+α=α 
 
Os valores de (xn - xn+l ) são determinados por aproximações sucessivas e devem satisfazer a 
condição: 
 
∑ =+ 0) x- x( 1nn 
 
Estabelecendo-se a equação de equilíbrio para forças que agem na direção tangencial, tem-se: 
 ( ) ( ) α−+α⋅−+= ++ cosEEsenxxWS 1nn1nn 
 
A partir desta expressão pode-se computar o valor de: 
 
∑ + )E - E( 1nn 
 
A análise de estabilidade deve ser conduzida através de aproximações sucessivas de tal forma 
que se possa, no final, ter satisfeito todas as equações envolvidas. 
Um processo variante do método apresentado denomina-se Método de Bishop Simplificado, e 
considera que: 
 
∑ =+ 0) x- x( 1nn 
 
0)E - E( 1nn =∑ + 
 
e a expressão geral de FS será: 
 
[ ]αφ⋅α⋅= Mub) -(W ' tg+ b c'sen W 
1 FS 
 
onde: Mα é o valor já definido anteriormente. 
 
As expressões de Mα, dependem de FS. As análises por qualquer um dos dois processos são 
feitas atribuindo-se um valor arbitrário para FS. Se os valores de FS e FSarb não são coincidentes, 
utiliza-se agora FSarb = FS para calcular um novo Mα , O método é convergente para a solução exata. 
Para uma primeira estimativa à comum tomar-se FS = FSFellenius. 
A Figura 14. 8 permite a rápida determinação de Mα . 
 
 
 
 
 
87
 
Figura 14.8 - Gráfico para determinação de Mα . 
 
Como procedimento prático recomenda-se dividir o talude em cerca de dez lamelas; a partir 
deste valor há pouco ganho na precisão e um considerável aumento dos cálculos. Cada par de valores, 
centro e raio de um círculo hipotético, conduz a um valor de fator de segurança. O valor crítico será 
obtido por tentativas. 
Desenhado o talude em escala, determina-se uma malha de centros potenciais; em seguida, 
escolhe-se um centro e um raio que determinarão uma superfície de deslizamento e calcula-se o fator 
de segurança para essa superfície. 
Mantendo-se o centro do círculo, adota-se um novo raio e determina-se um novo fator de 
segurança. Prossegue-se variando o raio até obter-se o FS mínimo. 
Escolhe-se um novo centro e repetem-se os passos anteriores, até percorrer toda a malha 
desejada. Após a determinação dos valores mínimos de FS para cada centro, traçam-se curvas que 
unem os fatores se segurança iguais (como se faz com as curvas de nível da topografia com o intuito 
de determinar a posição do centro que fornece o menor deles). 
Como este processo pode ser programável, como mostra o fluxograma representado na Figura 
14.9, existe atualmente uma série de programas que permitem determinar com precisão e velocidade o 
valor do fator de segurança. 
 
 
EXEMPLO 14.5 
Determinar o Fator de Segurança para a encosta esquematizada na Figura 14.10, considerando 
um círculo de centro O e raio OX. Empregar os métodos de Fellenius e de Bishop Simplificado. O 
solo saturado apresenta 3m/tf05,2=γ , o28tg4 ⋅σ+=τ e o não saturado (acima da linha 
freática), 3m/tf80,1=γ e o30tg6 ⋅σ+=τ . 
 
ETAPAS 
 
1. Determinar o diagrama de pressões neutras sobre a superfície de ruptura; 
2. Dividir o corpo deslizante em lamelas; 
3. Em cada lamela: largura (b); altura média (h); pressão neutra média (u); ângulo α 
comprimento da base (bo); 
4. Efetuar cálculos. 
 
A Tabela 14.2 apresenta os cálculos efetuados e os fatores de segurança obtidos. 
 
 
88
não 
sim
sim
não 
Fim
Escolha de FS
mínimo dos míni-
mos, Escolha de
R
Todos os
centros estudados
Criação matriz
FS mín
FS=FSmín
Cálculo
de FS
Divisão em lamelas,
cálculo das forças e
momentos
Escolha do raio
Escolha do centro
Criação da matriz
de centros
hipotéticos
Geometria
do talude
c´, φ´
Início
 
Figura 14.9 - Fluxograma para Cálculo da Estabilidade de Taludes - Método das Lamelas. 
 
 
 
89
 
Figura 14.10 - Exemplo de calculo de Estabilidade pelo Método das Lamelas. 
 
 
Tabela 14.2 - Cálculos das Análises de Estabilidade 
Mα R/Mα 
L. b ha hb α u W W.cosα b0 u.b0 u.b W.senα RF RB F1= 
2.70 
F2= 
2.74 
F1 
 
F2 
 
1 1.00 2.10 - 71 0 3.78 1.23 3.39 0 0 3.57 21.05 8.18 0.53 0.52 15.50 15.59 
2 1.50 3.25 1.20 56 0.60 12.47 6.97 2.57 1.54 0.90 10.34 13.17 12.15 0.72 0.72 16.82 16.82 
3 1.15 3.252.60 44 2.15 12.86 9.25 1.65 4.46 2.47 8.93 9.15 10.12 0.86 0.85 11.82 11.85 
4 1.40 2.80 3.30 35.5 2.70 16.53 13.45 1.65 4.45 3.78 9.60 11.39 12.38 0.93 0.93 13.33 13.33 
5 1.70 1.45 3.80 25.5 3.30 17.68 15.96 1.83 6.05 5.61 7.61 12.59 13.22 0.99 0.99 13.39 13.39 
6 1.85 0.20 3.70 15 3.30 14.70 14.20 1.83 6.05 6.11 3.80 11.65 11.97 1.02 1.02 11.77 11.77 
7 1.65 - 3.15 5.5 2.40 10.65 10.61 1.65 3.96 3.96 1.02 10.14 10.16 1.01 1.01 10.02 10.02 
8 1.95 - 1.85 -4.5 1.50 7.40 7.37 2.02 3.02 2.93 -0.58 10.39 10.18 0.98 0.98 10.37 10.37 
9 2.0 - 0.70 -18 0.30 4.16 3.96 3.02 0.91 0.87 -1.29 13.70 13.35 0.89 0.89 15.00 15.00 
 Σ 43.00 113.23 118.0 118.14 
 
Fellenius ( ) φ⋅⋅−α⋅+⋅= tgbucosWbcR i0iiii0iFi 
 
 ∑ α⋅∑= iiFip senWRFS 
 
 63.200.4323.113FSp == 
 
Bishop simplificado ( ) φ⋅⋅−+⋅= tgbuWbcR iiiiiBi 
 
 
( )
∑ α⋅
∑= α
ii
ii
B senW
M/R
FS 
 
 
90
70.274.2
00.43
02.118FS1 ≠== 
 
74.275.2
00.43
43.118FS1 ≅== 
 
75.2FSB = 
 
 
4.5 - Método das Cunhas 
 
Em muitas análises de estabilidade é possível delimitar o corpo potencialmente deslizante 
segundo alguns planos predeterminados. A presença de extratos menos resistentes no interior de um 
maciço ou a construção de maciços sobre camadas de baixa resistência constituem exemplos onde é 
possível definir de antemão a possível superfície potencial de ruptura. Existem várias outras situações 
onde isso pode ocorrer. A Figura 14.11 ilustra dois exemplos. 
 
 
Figura 14.11 - Aplicações do Método das Cunhas 
 
A divisão do copo deslizante segundo duas ou trás cunhas permite conduzir uma rápida e 
confiável análise de estabilidade. A Figura 14.12 mostra as cunhas do exemplo da Figura 14.11 a, 
conjuntamente com os esforços que nelas atuam. 
 
 
Figura 14-12 Esforços sobre as cunhas e polígono de forças. 
 
A cunha BDR recebe o nome de cunha ativa e a cunha ABR, passiva. 
 
 
91
São desconhecidos os seguintes esforços: Fl, F2, E, α e o FS, o que torna o problema 
indeterminado. Assumindo-se um valor para α, porém, pode-se tornar o problema determinado. 
Costuma-se assumir que a direção dos esforços (E) entre as cunhas fica determinada pela resistência 
mobilizada ao longo da superfície de ruptura, isto é: 
 
α φ φ = = arc( tg
FSm
) 
 
Outra alternativa é considerar α igual à inclinação do talude. Qualquer alternativa adotada 
conduz a resultados praticamente iguais. Arbitrando um Fator de Segurança inicial é possível definir 
as direções de Fl e F2. 
 



 φ=φ→φ
φ=
i
1
1
m1
1
FS
tg
arctgm
tg
tg
 Fsi 
 



 φ=φ→φ
φ=
i
2
2
m2
2
FS
tg
arctgm
tg
tg
 Fsi 
 
Pode-se ainda determinar a intensidade de Cm1: 
 
i
1
FS
AB C
 Cm1
⋅= 
 
A coesão mobilizada ao longo de BD serve para verificar o acerto do FS escolhido: conduz-se 
a análise gráfica para os valores calculados com o FS inicial e determina-se, do polígono de forças, a 
coesão necessária para manter o equilíbrio da cunha ativa (Figura 14.12). Assim o Fator de Segurança 
calculado (FS c ) é: 
 
2
2
Cm
BD C
 FSc
⋅= Cm2 - obtido do polígono de forças 
 
Freqüentemente resulta FSi ≠ FSc e é possível obter o Fator de Segurança (FS) procurado, por 
interpelação (Figura 14.12). Na construção do polígono de forças seguiu-se a seguinte ordem, 
começando pelo equilíbrio da cunha passiva (ABR): 
 
- peso Wl, direção vertical. 
- coesão mobilizada Cml, direção de AB 
- força de atrito mobilizada F1, direção φm1 
- empuxo E, direção α (no caso 1mφ=α ) 
- peso W2, empuxo E 
- força F2, direção φm2 
- coesão mobilizada Cm2, direção BD, fechando o polígono. 
 
Havendo outros esforços, como por exemplo, pressões neutras sobre algumas das superfícies, 
basta determinar sua resultante e incluí-la no polígono de forças. Finalizando cumpre verificar para a 
superfície ABD, qual posição de BR é a mais crítica. Varia-se a posição de R (BR1, BR2) de forma a 
determinar o menor fator de segurança. 
 
 
 
 
92
EXEMPLO 14.6 
 
Calcular o Fator de Segurança para o talude esquematizado na Figura 14.13, considerando a 
ruptura segundo as cunhas ABD e BCD. Admitir que sobre AB atuem pressões neutras cuja 
resultante corresponda a 20% do peso da cunha. 
Resolução: 
 
CUNHA ABD 
 
m/tf991W = ; m/tf80,19992,0W2,0U =⋅=⋅= 
 
m15AB = 
 
CUNHA BCD 
 
m/tf1352W = ; m15BC = 
 
1a TENTATIVA 
 
0,2FS = φm arc(tg 27
21
o
o= ≅) ,14 3 α φ= =m1 o14 3, 
 
0m 2 =φ 
 
m/tf5,37
2
15 5
FS
BC CCm 2 =⋅=⋅= 
 
do polígono de forças da Figura 14.13. 
 
m/tf14Cm1 = 29,414
154
Cm
C
FS
1
1
cal =⋅== 
 
2a TENTATIVA 3a TENTATIVA 
 
0,3FS = α==φ o1 6,9m 4,2FS = α==φ o1 12m 
 
m/tf0,25Cm 2 = m/tf25,31Cm 2 = 
 
m/tf34Cm1 = m/tf25Cm1 = 
 
76,1
34
60FScal == 4,225
60FScal == 
 
 
 
 
 
 
 
 
93
 
Figura 14.13 - Exemplo de Cálculo de Estabilidade pelo Método das Cunhas 
 
 
4.6- Outros Métodos de Estabilidade 
 
Existem vários outros métodos de estabilidade que permitem estudar diversas situações. 
Entretanto os princípios utilizados são basicamente os mesmos aqui já apresentados e deixa-se de 
apresentá-los pelo volume de gráficos que seria necessário reproduzir. Faz-se em seguida referência a 
alguns desses métodos. 
O método de Bishop e Morgenstern ("Stability Coefficients for Earth Slopes", Géotechnique, 
Vol. 10, pg. 129-150, 1960) fornece ábacos para análise de vários casos comuns na pratica. A análise 
é feita em termos de tensões efetivas, a partir do método de Bishop. 
A variação do fator de segurança de taludes de barragem provocada por rebaixamento rápido é 
apresentada em forma de ábacos por Morgenstern ("Stability Charts for Earth Slopes During Rapid 
Drawndown", Géotechnique, Vol. 13, pg. 121-131,1963). A análise é efetuada para taludes 
homogêneos, em termos de tensões efetivas. 
 
 
94
Uma análise de estabilidade, considerando qualquer forma de superfície de ruptura e interação 
entre as lamelas, é desenvolvida matematicamente por Morgenstern e Price ("The Analysis of the 
Stability of General Slipe Surfaces”, Géotechnique, Vol. 15, pg. 79-93, 1965). Empregam-se os 
conceitos do equilíbrio limite e dado ao volume de cálculo necessário é preciso recorrer à programação 
eletrônica. 
 
 
SINOPSE 
 
1. Os maciços podem ser naturais ou artificiais. Dada a maior homogeneidade dos maciços 
artificiais, estes adequam-se melhor aos métodos correntes de análise de estabilidade. 
2. A instabilização de um talude pode se manifestar das mais variadas formas. Genericamente, 
pode-se ter desmoronamentos, nos quais uma massa de solo se desloca do maciço remanescente; 
rastejos, quando a massa de solo exibe movimentos lentos, semelhantes aos que ocorrem em um 
líquido viscoso e escorregamentos nos quais o solo se movimenta em relação ao resto do maciço, 
segundo uma superfície bem definida. Os escorregamentos resultam de rupturas por cisalhamento. 
3. Vários são os agentes que provocam a instabilização de um talude (Tabela 14.1). Podem-se 
ter genericamente causas externas, internas e intermediárias. Aumentos de altura, de inclinação, bem 
como a ação da água situam-se entre as causas mais comuns. 
4.O Fator de Segurança (FS) corresponde ao valor numérico da real ação entre a resistência ao 
cisalhamento disponível (S) e a mobilizada (Sm) para garantir o equilíbrio do corpo deslizante, sob o 
efeito dos esforços atuantes. Costuma-se calcular o FS, também, considerando a relação entre esforços 
resistentes e esforços atuantes (forças ou momentos). 
5. Os métodos de estabilidade empregam os conceitos do equilíbrio limite, no qual se 
considera a rupturaincipiente quando as tensões atuantes igualam a resistência do solo, sem 
preocupação com as deformações envolvidas. 
6. O método do talude infinito é empregado quando a relação entre extensão e espessura do 
talude é muito grande. Nestes casos a linha potencial de ruptura desenvolve-se paralelamente à 
superfície do talude. 
7.O método de Culmann admite superfície ruptura plana passando pelo pé do talude. 
8. Os gráficos de Taylor foram desenvolvidos a partir do método de círculo de atrito 
(superfície de ruptura circular) e empregam tensões totais. A sua utilização pode resultar muito útil 
em fases iniciais de projeto. 
9. O método de Fellenius considera superfície de ruptura circular e assume que as resultantes 
das forças laterais sobre as lamelas são colineares e de igual intensidade. Os fatores de segurança 
obtidos por este método são geralmente conservadores. 
10. No método de Bishop são considerados os esforços laterais sobre as lamelas. No método 
de Bishop simplificado despreza-se a ação da resultante dos esforços verticais sobre as faces laterais 
das lamelas. O processo de cálculo do Fator de Segurança é iterativo. 
11. Planos ou estratos de menor resistência podem condicionar as superfícies de ruptura. 
Quando é possível aproximar estas superfícies por retas, a análise de estabilidade pode ser conduzida 
de uma forma rápida através do método das cunhas.