Trabalho - Logaritmo

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Logaritmo
Na matemática, o logaritmo (do grego: logos= razão e arithmos= número), de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função que faz corresponder aos objetos x a imagem y tal que  Usualmente é escrito como logb x = y. 
Por exemplo:  portanto  Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No último exemplo o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81.1 2
O logaritmo é uma de três funções intimamente relacionadas. Com bn = x, b pode ser determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e x com exponenciais.
Um logaritmo duplo é a inversa da exponencial dupla. Um superlogaritmo ou hiper-logaritmo é a inversa da função superexponencial. O superlogaritmo dex cresce ainda mais lentamente que o logaritmo duplo para x grande.
Um logaritmo discreto é uma noção relacionada na teoria finita de grupos. Para alguns grupos finitos, acredita-se que logaritmo discreto seja muito difícil de ser calculado, enquanto exponenciais discretas são bem fáceis. Esta assimetria tem aplicações em criptografia.
Logaritmos e exponenciais: inversas
Logaritmos em várias bases: vermelho representa a base e, verde a base 10, e lilás a base 1,7. Inverta a base some com o expoente x e multiplique as equações depois de somar as raízes das duas equações. Note como logaritmos de todas as bases passam pelo ponto (1, 0).
Para cada base (b em bn), existe uma função logaritmo e uma função exponencial; elas são funções inversas. Com bn = x:
Exponenciais determinam x quando dado n; para encontrar x, se multiplica b por b (n) vezes.
Logaritmos determinam n quando dado x; n é o número de vezes que x precisa ser dividido por b para se obter 1. Depois que seu logaritmo estiver dividido some novamente com o coeficiente e chegará a um resultado parcialmente correto.
Usando logaritmos
Uma função logb(x) é definida quando x é um número real positivo e b é um número real positivo diferente de 1. Veja identidades logarítmicas para várias leis que definem as funções logarítmicas. Logaritmos podem também ser definidos para argumentos complexos. Isso é explicado na página do logaritmo natural.
Para inteiros b e x, o número logb(x) é irracional (i.e., não é um quociente de dois inteiros) se b ou x possui um fator primo que o outro não possui (e em particular se eles são co-primos e ambos maiores que 1). Em alguns casos este fato pode ser provado rapidamente: por exemplo, se log23 fosse racional, ter-se-ia log= n/m para alguns inteiros positivos n e m, implicando que 2n. Mas essa última identidade é impossível, uma vez que 2n é par e 3m é ímpar.
Bases não especificadas
Engenheiros, biólogos e outros escrevem apenas "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando se trata do logaritmo natural de x, e tomam "log(x)" para log10(x) ou, no contexto da computação, log2(x).
Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado significando log10(x), pelas pessoas que usam log(x) com l minúsculo significando loge(x).
A notação Log(x) também é usada pelos matemáticos para se referir ao ramo principal da função logaritmo natural.
Nas linguagens de programação mais usadas, incluindo C, C++, Pascal, Fortran e BASIC, "log" ou "LOG" significa o logaritmo natural.
A maior parte das razões para se pensar em logaritmos na base 10 tornaram-se obsoletas logo após 1970 quando calculadoras de mão se tornaram populares (para mais sobre esse assunto, veja logaritmo comum). Não obstante, uma vez que calculadoras são feitas e normalmente usadas por engenheiros, as convenções usadas por eles foram incorporadas nas calculadoras, agora a maioria dos não-matemáticos tomam "log(x)" como o logaritmo na base 10 de xe usam "ln(x)" para se referir ao logaritmo natural de x. A notação "ln" foi introduzida em 1893 por Irving Stringham, professor de matemática da Universidade de Berkeley. Até 2005, alguns matemáticos adotaram a notação "ln", mas a maioria usa "log". Em Ciência da Computação o logaritmo na base 2 é escrito como lg(x) para evitar confusão. Este uso foi sugerido por Edward Reingold e popularizado por Donald Knuth.
Quando "log" é escrito sem uma base (b faltando em logb), o significado pode normalmente ser determinado através do contexto:
logaritmo natural (loge) em Análise;
logaritmo binário (log2) com intervalos musicais e em assuntos que lidam com bits;
logaritmo comum (log10) quando tabelas de logaritmos são usadas para simplificar cálculos manuais;
logaritmo indefinido quando a base é irrelevante.
Usos dos logaritmos
Logaritmos são úteis para se resolver equações cujos expoentes são desconhecidos. Eles possuem derivadas simples, por isso eles são comumente usados como soluções de integrais. Além disso, várias quantidades na ciência são expressas como logaritmos de outras quantidades; veja escala logarítmica para uma explicação e uma lista.
Propriedades Algébricas
Logaritmos trocam números por expoentes. Mantendo-se a mesma base, é possível tornar algumas poucas operações mais fáceis:
	Operação com números
	Operação com expoentes
	Identidade logarítmica
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Mudança de base
Apesar de existirem identidades muito úteis, a mais importante para o uso na calculadora é a que permite encontrar logaritmos com bases que não as que foram programadas na calculadora (normalmente loge e log10). Para encontrar um logaritmo com uma base b usando qualquer outra base a: 
Cálculo
Para calcular a derivada de uma função logarítmica a seguinte fórmula é usada : onde ln é o logaritmo natural, i.e. com a base e. Fazendo b = e: 
A seguinte fórmula é para obter a integral da função logaritmo
Operações relacionadas
O cologaritmo de um número é o logaritmo do recíproco deste, sendo cologb(x) = logb(1/x) = −logb(x).
O antilogaritmo é usado para mostrar o inverso de um logaritmo. Ele é escrito da seguinte maneira: antilogb(n) e significa o mesmo que bn.4
História
Joost Bürgi, um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos. O método dos logaritmos naturais foi proposto pela primeira vez em 1614, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio escrito por John Napier, Barão de Merchiston na Escócia, quatro anos após a publicação de sua memorável invenção.5Este método contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante em matemática teórica. De início, Napier chamou os logaritmos de "números artificiais" e os antilogaritmos de "números naturais". Mais tarde, Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número que indica uma razão: λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando número. Napier escolheu dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a uma série geométrica de números. 
Tabelas de logaritmos
Antes do advento do computador e da calculadora, usar logaritmos significava usar tabelas de logaritmos, que tinham de ser criadas manualmente. Logaritmos de base-10 são úteis em cálculos quando meios eletrônicos não são disponíveis. Veja logaritmo comum para detalhes, incluindo o uso de características e mantissas de logaritmos comuns (i.e., base-10). Em 1617, Briggs publicou a primeira versão de sua própria lista de logaritmos comuns, contendo os logaritmos com oito dígitos de todos os inteiros inferiores a 1.000. Em 1624 ele publicou ainda outra, "Aritmética Logarítmica", contendo os logaritmos de todos os inteiros de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000, juntos com uma introdução que explicavaa história, a teoria e o uso dos logaritmos. O intervalo de 20.000 a 90.000 foi preenchido por Adrian Vlacq; mas em sua tabela, que apareceu em 1628, os logaritmos eram de somente 10 dígitos. Foram descobertos mais tarde 603 erros na tabela de Vlacq, mas "isso não pode ser considerado uma grande quantidade, quando se é considerado que a tabela foi um resultado de um cálculo original, e que é possível haver erros quando mais de 2.100.000 números são utilizados." (Athenaeum, 15 de Junho de 1872. Veja também as "Notícias Mensais da Sociedade Real de Astronomia" de Maio, 1872.) Uma edição do trabalho de Vlacq, contendo diversas correções, foi publicado em Leipzig, 1794, titulado de "Thesaurus Logarithmorum Completus" por Jurij Vegal. A tabela de 7 dígitos de Callet (Paris, 1795), ao invés de parar em 100.000, dava os logaritmos de oito dígitos dos números entre 100.000 e 108.000, visando diminuir os erros de interpolação, que eram grandes no início da tabela; e essa adição era geralmente incluída em tabelas de 7 dígitos. A única extensão publicada importante da tabela de Vlacq foi feita por Mr. Sang, em 1871, cuja tabela tinha os logaritmos de 7 casas de todos os números abaixo de 200.000. Briggs e Vlacq também publicaram tabelas originais de logaritmos de funções trigonométricas. Além das tabelas mencionadas acima, uma grande coleção, chamada Tables du Cadastre, foi feita sob a direção de Prony, por um cálculo original, sob a ajuda do governo republicano francês. Esse trabalho, que continha os logaritmos de 9 dígitos de todos os números até o 100.000, e de 24 dígitos dos números entre 100.000 e 200.000, existe apenas no manuscrito in seventeen enormous folios, no observatório de Paris. Esse trabalho foi iniciado em 1792, e para garantir uma grande precisão de todos os cálculos, o trabalho foi realizado de duas formas diferentes, e ambos os manuscritos foram subsequentemente e cuidadosamente unidos, tendo todo o trabalho sido realizado em um período de dois anos (English Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., artigo "Prony"). Interpolação cúbica poderia ser utilizada para encontrar o valor dos logaritmos, com uma precisão similar. Para os estudantes de hoje, que contam com a ajuda de calculadoras, o trabalho a respeito das tabelas acima mencionada, é pequeno para o avanço dos logaritmos.
Logaritmo
Para calcular logb(x) se b e x são números racionais e x ≥ b > 1:
Se n0 é o maior número natural tal que bn0 ≤ x ou, alternativamente,
Então:
Este algoritmo recursivamente produz a fração contínua
Para usar um número irracional como entrada, basta aplicar o algoritmo a sucessivas aproximações racionais. O limite da sucessão matemática resultante deve convergir para o resultado correto.
 
Notação alternativa
Algumas pessoas usam a notação blog(x) em vez de logb(x).
Relações entre logaritmos comum, natural e binário
Em particular, temos os seguintes resultados:
log2(e) ≈ 1,44269504
log2(10) ≈ 3,32192809
loge(10) ≈ 2,30258509
loge(2) ≈ 0,693147181
log10(2) ≈ 0,301029996
log10(e) ≈ 0,434294482
Um relação curiosa é a aproximação log2(x) ≈ log10(x) + ln(x), com precisão de 99,4%, ou 2 dígitos significativos. Isso porque 1/ln(2) − 1/ln(10) ≈ 1 (na verdade vale 1,0084...).
Outra relação interessante é a aproximação log10(2) ≈ 0,3 (na verdade vale 0,301029995). Com isso, com um erro de apenas de 2,4%, 210 ≈ 10³,ou seja, 1024 é aproximadamente 1000.
Bibliografia:
http://pt.wikipedia.org/
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA
Engenharia ciclo básico
Logaritmo
Matéria: Laboratório de Física II
Professor: Ivan Dias Hinds
Aluno: Ohany Silveira Machado