AULA UNIDADE I UNIP

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Unidade I 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
Prof. Maurício Manzalli 
Objetivos da disciplina 
 Proporcionar ao aluno conhecimento da área financeira. 
 Conhecimento das ferramentas de Matemática Financeira. 
 Oferecer condições para que o aluno possa bem julgar 
oportunidades financeiras, tanto de financiamento quanto de 
investimentos. 
 Amplitude tanto no âmbito pessoal quanto no empresarial. 
Natureza do estudo da Matemática Financeira 
A Matemática Financeira estuda as relações entre os valores 
financeiros e suas datas, devido a: 
 inflação; 
 taxas de juros; 
 prazo de remuneração de capital. 
Assuntos da unidade 
 Fundamentos/conceitos básicos 
 Juro simples 
 Desconto simples 
 Taxa efetiva na operação de desconto 
Fundamentos/conceitos básicos 
 Principal (P): capital inicial de uma aplicação. 
 Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) 
pelo uso de um capital. 
 Montante (M): é a soma do Principal de uma aplicação com o 
seu Juro. 
M = P + J 
Fundamentos/conceitos básicos 
 Custo (C): quanto se paga por uma determinada mercadoria 
ou se gasta para prestar um determinado serviço. 
 Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou 
serviço para se calcular seu preço de venda. 
 Preço de Venda (V): resultado da soma do custo com o lucro. 
V = C + L 
 
 
Aplicação 
Exemplo 
 Por quanto devo vender um bem com custo de R$ 60.000,00 para eu ter 30% 
de lucro sobre o preço de venda? 
Fórmula V = C + L 
Solução: 
V = C + L 
V = 60.000,00 + [(30/100).V] 
V = 60.000,00 + 0,30.V 
V – 0,30.V = 60.000,00 
0,70V = 60.000,00 
V = 60.000,00/0,70 
V = R$ 85.714,28 
 Resposta: Devo vender o bem pelo preço de R$ 85.714,28. 
Fundamentos/conceitos básicos 
 Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma 
aplicação ou dívida, expressa na unidade de tempo da 
taxa de juros. 
 Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia, 
perfazendo um ano de 365 dias. 
 Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em 
meses de 30 dias, totalizando um ano de 360 dias. 
 
Fundamentos/conceitos básicos 
 Taxa de juros (r ou i): é o índice referido a uma unidade de 
tempo, por meio do qual calculamos os juros; será 
denominada r quando for percentual (base 100) ou i quando 
for de base unitária. De maneira geral, a unidade de tempo da 
taxa de juros é indicada de forma abreviada. 
 Exemplos: a.a. = ao ano; a.m. = ao mês; 
a.t. = ao trimestre; a.b. = ao bimestre. 
 
Fundamentos/conceitos básicos 
Exemplos de taxas proporcionais: 
2% ao mês = 24% ao ano 
1% ao bimestre = 3% ao semestre 
5% ao trimestre = 20% ao ano 
2% ao dia e 60% ao mês 
 
Interatividade 
Uma papelaria compra um mouse de computador por R$ 20,00 e 
o vende por R$ 30,00. Podemos afirmar que seu lucro sobre o 
preço de custo será de: 
a) 30% 
b) 25% 
c) 20% 
d) 50% 
e) 40% 
 
Juros simples 
 Em todos os períodos, o juro é calculado aplicando-se a taxa 
sobre o principal. 
 Também denominado: Juro não capitalizado, Juro linear, 
Juro proporcional. 
 
Juros simples 
Fórmulas 
a. Juro: como cada período renderá juro igual ao principal 
vezes a taxa de juros, em uma aplicação de n períodos, 
teremos o juro total igual a: 
J = P . i . n 
 
 
Juros simples 
Exemplo 
 Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de 
R$ 10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa 
cobrada é de 3% ao mês? 
Fórmula: J = P . i . n 
Solução: 
 J = 10.000,00 x (3/100) x 5 
 J = 10.000,00 x 0,03 x 5 
 J = 1.500,00 
 Resposta: o valor dos juros é de R$ 1.500,00. 
 
Juros simples 
b. Montante: será a soma do principal do período com o seu juro: 
M = P + J 
M = P + P.i.n 
M = P . (1 + i . n) 
 
 
Juros simples 
Exemplo 
 Se aplicar R$ 850,00 por três meses à taxa de juros simples de 
1,2% ao mês, quanto terei ao final do período? 
 
Fórmula: M = P . (1 + i . n) 
M = 850,00 . (1 + 0,012 . 3) 
M = 850,00 . 1,036 
M = 880,60 
 
 Terei, ao final do período, o montante de R$ 880,60. 
 
Juros simples: valor atual e valor nominal 
 Valor atual: valor de uma dívida em data anterior à do 
vencimento. 
 
 Valor atual = A = N/(1 + i.n) 
 
 Valor nominal: valor de uma dívida na data de vencimento. 
 
 Valor nominal = N = A.(1 + i.n) 
 
 
Juros simples: valor atual e valor nominal 
Exemplo 
 Calcule o prazo de vencimento de um título cujo valor atual é a 
metade do nominal correspondente, sabendo que a taxa de 
juros é de 5% ao mês. 
 
Resolução: 
 Julgar valores: 
 Nominal: R$ 100,00 
 Atual: R$ 50,00 
Juros simples: valor atual e valor nominal 
Resolução: 
 Julgar valores: 
 Nominal: R$ 100,00 
 Atual: R$ 50,00 
 N = A . (1 + i . n) 
 100,00 = 50,00 . (1 + 0,05 . n) 
 (100,00/50,00) = 1 + 0,05n 
 0,05n = 2 – 1 
 n = 1/0,05 
 n = 20 meses 
Juros simples 
ia = taxa de juros unitária anual 
im = taxa de juros unitária mensal 
 
 Número de períodos: um ano para a taxa anual ou doze meses 
para a taxa mensal. 
 
M = P.(1+ ia) e M = P.(1+ im .12) 
Juros simples 
Exemplo 
 Qual o capital que, aplicado à taxa de 117,6% a.a., durante cinco meses, 
deu um retorno de R$ 161.665,00? 
Resolução: 
Lembrando que 5 meses de um ano = 5/12 
Fórmula M = P . (1+ i . n) 
Solução: 
161.665,00 = P . (1 + (117,6/100) . (5/12) 
161.665,00 = P . (1 + (1,176 . 0,41) 
161.665,00 = P . (1 + 0,48216) 
161.665,00 = P . 1,48216 
P = 161.665,00 / 1,48216 
 Resposta: P = R$ 108.500,00 (valor arredondado, 
admitindo P = 161.665,00 / 1,49) 
Interatividade 
Um poupador aplica R$ 1.000,00 em um banco que paga juros 
simples de 2% a.m. Depois de sete meses, o cliente poderá 
sacar um montante de: 
a) R$ 1.150,00 
b) R$ 1.180,00 
c) R$ 1.140,00 
d) R$ 1.145,00 
e) R$ 1.135,00 
Desconto simples 
Conceitos 
 Desconto (D ou d): é o abatimento dado no valor nominal de 
uma dívida, como consequência da antecipação da sua data 
de pagamento. 
 Prazo de antecipação (n): é a medida do tempo que vai da data 
de pagamento efetivo até a data de vencimento. 
 
Desconto simples 
 Valor descontado ou líquido (VD ou Vd): é o valor 
efetivamente pago ou recebido, após o abatimento do 
desconto. 
 Taxa de desconto é a taxa de juros utilizada nos cálculos dos 
descontos. 
 
 
Desconto simples: racional ou por dentro 
 Utilizado para pagamento antecipado de uma dívida. 
 
 Uma forma de se calcular o desconto: 
 
 Desconto = 
 
 
 Valor descontado: 
 
 
Desconto simples: valor descontado racional 
Exemplo 
 Calcule o desconto simples racional de um título de valor 
nominal de R$ 3.000,00, em uma antecipação de seis meses, à 
taxa de desconto de 5% ao mês. 
Fórmula: D = (N.i.n) / 1 + (i.n) 
Solução: 
D = (3000,00 . (5/100) . 6) / 1 + (5/100) . 6 
D = (3000,00 . 0,05 x 6) / 1 + (0,05 . 6) 
D = 900,00 / 1 + 0,3 
D = 900,00 / 1,3 
D = 692,30 
 Resposta: O desconto simples racional é de R$ 692,30. 
 
 
 
Desconto simples: comercial ou por fora 
 Tem-se por base o valor nominal da dívida para o cálculo do 
desconto. 
 
Fórmulas: 
 
Desconto = d = N . i. n 
 
Valor descontado = Vd = N . (1 – i . n) 
 
Desconto simples: comercial ou por fora 
Exemplo 
 O portador de uma nota promissória de R$ 60.000,00; 
necessitando de dinheiro, procurou uma agência bancária, 
60 dias antes do vencimento do título, a fim de resgatá-lo. O 
banco fez o desconto comercial com taxa de 8% ao mês. 
 Calcule o valor do desconto feito pelo banco. 
 Determinar a quantia recebida pelo portador do título. 
Fórmulas: 
Desconto comerciald = N.i.n 
Valor descontado ou líquido comercial 
Vd = N.(1 – i.n) 
Desconto simples: comercial ou por fora 
Exemplo 
Dados 
N = 60.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 60 dias, que correspondem a 2 meses 
Solução: 
 Calcule o valor do desconto feito pelo banco 
d = N.i.n 
d = 60000,00 . (8/100) . 2 
d = 60000,00 . 0,08 . 2 
d = 9600,00 
 Resposta: O desconto foi de R$ 9.600,00. 
Desconto simples: comercial ou por fora 
Exemplo 
Dados 
N = 60.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 60 dias, que correspondem a 2 meses 
Solução: 
 Determinar a quantia recebida pelo portador do título: 
Vd = N . (1 – i . n) 
Vd = 60000,00 . (1 – (8/100) . 2) 
Vd = 60000,00 . 1 – (0,08 . 2) 
Vd = 60000,00 . 1 – 0,16 
Vd = 60000,00 . 0,84 
Vd = 50400,00 
 Resposta: O portador recebeu R$ 50.400,00 pelo título. 
Interatividade 
Um agiota calcula o juro que recebe pelo empréstimo de seu 
dinheiro, por meio do critério de desconto racional, usando a 
taxa de 6% a.m. Para um valor nominal de R$ 1.000,00; em oito 
meses, podemos afirmar que o valor líquido será: 
a) R$ 670,00. 
b) R$ 680,00. 
c) R$ 675,68. 
d) R$ 680,78. 
e) R$ 670,56. 
Desconto simples bancário 
Fórmulas 
 Desconto simples bancário: 
 db = N.( i.n + h ) 
 
 Valor descontado bancário (valor líquido bancário): 
 Vdb = N . [ 1 – ( i.n + h ) ] 
 
Desconto simples bancário 
Exemplo 
 Um banco faz empréstimos pelo critério de desconto bancário. Para um pedido 
de R$ 10.000,00 a cinco meses, o banco cobra taxa de 3% a.m., mais uma taxa 
administrativa de 1%. Qual o valor líquido retirado pelo cliente? 
Fórmula: Vdb = N . [1 – (i . n + h)] 
Solução: 
Vdb = N . [1 – (i . n + h)] 
Vdb = 10000,00 . [1 – (3/100) . 5 + (1/100)] 
Vdb = 10000,00 . [1 – (0,03 . 5) + 0,01] 
Vdb = 10000,00 . [1 – 0,15 + 0,01] 
Vdb = 10000,00 . [1 – 0,16] 
Vdb = 10000,00 . 0,84 
Vdb = 8400,00 
 Resposta: O valor líquido retirado pelo cliente é R$ 8.400,00. 
Desconto simples bancário 
Exemplo 
 Calcule o desconto simples bancário de um título no valor 
nominal de R$ 700,00; em uma antecipação de 4 meses, 
à taxa de desconto de 5% a.m., sabendo-se que a financeira 
cobrou 2% de taxa administrativa. 
 
db = N.(i.n+h) 
db = 700,00 . (0,05 . 4 + 0,02) 
db = 700,00 . (0,2 + 0,02) 
db = 700,00 . 0,22 
db = 154,00 
Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário 
Definição 
 Utilização em antecipação de recebíveis. 
 Taxa que o banco cobra, “ganha” em antecipações. 
 
Fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário 
Exemplo 
 Calculando a taxa efetiva e o desconto simples comercial de 
um título de valor nominal R$ 1.000,00; em uma antecipação 
de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês, quais os 
valores encontrados? 
 
Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário 
Solução 
Dados: 
 N = 1.000,00 
 n = 3 
 i = 4% 
Calculando o desconto comercial: 
 d = N . I . n 
 d = 1.000,00 . 0,04 . 3 
 d = 120,00 
 
 
Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário 
Solução 
Dados: 
 N = 1.000,00 
 n = 3 
 i = 4% 
Calculando a taxa efetiva: 
 if = d/(Vd . n) 
 if = 120,00 / [(1.000,00 – 120,00) . 3 
 if = 120,00 / (880,00 . 3) 
 if = 120,00 / 2.640,00 
 if = 0,045 a.m. 
 If = 4,55% a.m. 
 
Interatividade 
Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no banco X, que cobra 
2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi 
descontado três meses antes do seu vencimento e que a taxa 
corrente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto 
bancário? Quanto recebeu o proprietário do título? 
a) 660,00; 4.840,00. 
b) 4.840,00; 660,00. 
c) 66,00; 484,00. 
d) 6.600,00; 3.850,00. 
e) Não há informações suficientes para efetuar o cálculo 
solicitado. 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Objetivos da disciplina
	Natureza do estudo da Matemática Financeira
	Assuntos da unidade
	Fundamentos/conceitos básicos
	Fundamentos/conceitos básicos
	Aplicação
	Fundamentos/conceitos básicos
	Fundamentos/conceitos básicos
	Fundamentos/conceitos básicos
	Interatividade
	Resposta
	Juros simples
	Juros simples
	Juros simples
	Juros simples
	Juros simples
	Juros simples: valor atual e valor nominal
	Juros simples: valor atual e valor nominal
	Juros simples: valor atual e valor nominal
	Juros simples
	Juros simples
	Interatividade
	Resposta
	Desconto simples
	Desconto simples
	Desconto simples: racional ou por dentro
	Desconto simples: valor descontado racional 
	Desconto simples: comercial ou por fora 
	Desconto simples: comercial ou por fora 
	Desconto simples: comercial ou por fora 
	Desconto simples: comercial ou por fora 
	Interatividade
	Resposta
	Desconto simples bancário 
	Desconto simples bancário 
	Desconto simples bancário 
	Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário 
	Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário 
	Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário 
	Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário 
	Interatividade
	Resposta
	Slide Number 44