Trabalho sobre algarismos significativos

Prévia do material em texto

1. Algarismos significativos
 As medições de certa grandeza nunca exprimem com certeza o valor verdadeiro desta grandeza: por mais preciso que tenha sido o processo de medição, existe sempre uma incerteza intrínseca associada a este processo. Convém, então, saber quão certo é o resultado obtido e como se deve expressá-lo de maneira correta. Para tanto, uma das preocupações fundamentais a que se deve atentar o observador, é em expressar sua resposta com a quantidade correta de algarismos.
 Por exemplo, considera-se uma situação hipotética em que temos um objeto AB e desejamos medi-lo com uma régua graduada em centímetros, como mostra a figura abaixo.
 Na leitura do comprimento do objeto AB, podemos afirmar com certeza que ele possui 8 cm exatos, mas a fração de 1 cm a mais dos 8 cm não podemos afirmar com certeza qual é. Esta fração não se pode medir, mas pode ser avaliada ou estimada pelo experimentador dentro de seus limites de percepção.
 Se experimentadores fossem anotar o comprimento de AB, todos os três anotariam os 8 cm exatos, mas poderiam avaliar a fração do 1 cm restante de formas diferentes, como: fração de 1 cm = 0,7 cm ou 0,8 cm ou 0,6 cm. E nenhum dos três estaria errado. Logo, o comprimento de AB poderia ser anotado como sendo: 8 cm + 0,7 cm, ou 8 cm + 0,8 cm ou 8 cm + 0,6 cm.
 Podemos dizer que as medidas realizadas pelos três experimentadores é composta de 1 algarismo exato, (não duvidoso, o 8) e o algarismo duvidoso (onde reside a incerteza da leitura, o 7 ou o 8 ou o 6).
 Definimos então, algarismos significativos de uma medida com todos os algarismos que temos certeza (os exatos) e mais um duvidoso (sempre o algarismo duvidoso é o último da direita).
 Exemplos:
 21,3 cm: 3 algarismos significativos (2 e 1 são exatos e 3 é o duvidoso).
 42,57 m: 4 algarismos significativos (4, 2 e 5 são exatos e 7 é o duvidoso).
 6,0 m/s: 2 algarismos significativos (6 é o exato e 0 é o duvidoso).
	2. Incerteza
 É a fração avaliada da menor divisão da escala, isto é, no dígito duvidoso é que reside a incerteza da medida. Se tomarmos, como exemplos, a medida do objeto AB como sendo 8,6 cm, sendo o algarismo 6 duvidoso, isto significa que a medida AB poderia ser 8,5 ou 8,7 cm; 8,4 ou 8,8 cm. No primeiro caso a amplitude da incerteza é 0,1 cm e no segundo 0,2 cm. De forma geral, a amplitude da incerteza é fixada pelo experimentador. Caso ele faça a opção para a amplitude de ± 0,2, a medida do objeto AB = (8,6 ± 0,2) cm. Desta forma o experimentador nos revela que a medida é confiável dentro dos limites de 8,4 a 8,8 cm, mas que o valor mais provável da medida, em sua opinião, é AB = 8,6 cm.
 A incerteza de uma medida pode ser classificada em dois tipos:
 	2.1. Incerteza Absoluta
 Definida como a amplitude de incertezas fixada pelo experimentador, com o sinal ±. A incerteza absoluta depende da perícia do experimentador, de sua segurança, da facilidade de leitura da escala e do próprio instrumento utilizado na medição. Apesar de não ser norma, costuma-se adotar como incerteza absoluta, o valor da metade da menor divisão da escala tomado em módulo. Na medida AB = (8,6 ± 0,2) cm, 0,2 cm é a incerteza absoluta.
	2.2. Incerteza Relativa
 É igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da grandeza e é, frequentemente expressa em termos percentuais. Por exemplo, para a medida AB = (8,6 ± 0,2) cm, temos:
Incerteza absoluta = ± 0,2 cm
Incerteza relativa = (± 0,2/8,6) = ± 0,023 ou ± 2,3 %
 Poderíamos dizer que quanto menor a incerteza relativa, maior a “qualidade” da medida. Quando o valor de uma grandeza é obtido a partir de uma medida única, costuma-se exprimi-lo com a respectiva incerteza absoluta.
	3. Arredondamento
 Arredondamentos são de fundamental importância para os estudos, principalmente ao calcular valores que tem muitas casas decimais. Muitas vezes, é conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada ordem, também é muito mais fácil e mais compreensível usarmos valores arredondados para melhor entendimento do público que terá acesso à informação. Esta técnica é denominada arredondamento de dados ou valores.
	3.1. Para números menores que 5. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, ficará inalterado o último algarismo que permanece.
 Exemplos:
 43,24 passa para 43,2.
 54,13 passa para 54,1.
 	3.2. Para números maiores que 5. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é o 6, 7, 8, ou 9, aumenta-se em uma unidade o algarismo que permanece.
 Exemplos:
 23,87 passa para 23,9.
 34,08 passa para 34,1.
 74,99 passa para 75,0.
	3.3. Igual a 5. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções:
 A) Se após o 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo que permanece.
 Exemplos:
 6,352 passa para 6,4.
 55,6501 passa para 55,7.
 96,250002 passa para 96,3.
B) Se o 5 for o último algarismo ou após o 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentando de uma unidade se for ímpar.
 Exemplos:
 14,75 passa para 14,8.
 24,65 passa para 24,6.
 34,7500 passa para 34,8.
	4. Dispersão de medidas
 Ao se realizar várias medidas experimentais, de certa grandeza, temos como objetivo alcançar o seu “valor verdadeiro” ou “valor real”. Mas atingir este objetivo é praticamente impossível. Pode-se chegar, após uma série de medidas, a um valor que mais se aproxima do valor real, ou seja, ao valor mais provável de uma grandeza medida.
 O “valor real” seria aquele obtido teoricamente por meio de algum modelo “exato” ou então aquele obtido por meio de uma medida experimental “perfeita”. Ambos os casos são situações ideais não alcançadas na prática.
 Se conhecermos o valor real da grandeza e o compararmos com o valor medido, podemos definir o que se denomina “erro”.
 Erro é a diferença entre o valor medido e o verdadeiro valor da grandeza.
 As dispersões que acompanham todas as medidas são as causas que limitam o objetivo de se atingir o valor verdadeiro da grandeza. E estas dispersões ou erros são de origem sistemática e de origem acidentais ou aleatórias.
 É interessante saber de quanto às medidas individuais Xi se afastam, em média, do valor médio, ou seja, de que maneira as medidas Xi se distribuem em torno do valor médio. A esse fato denominamos “dispersão”. Para medir a dispersão são utilizadas algumas propriedades da série de medidas, tais como o Desvio médio, Desvio Relativo, a Variância e o Desvio Padrão.
	4.1. Desvio médio (δ)
 Desvio médio é a soma dos módulos dos desvios de cada medida em relação a média pelo número de medidas, ou seja
	
	4.2. Desvio relativo (dr)
 O desvio relativo é definido como a razão entre o desvio médio e o valor médio da grandeza, ou seja,
 O desvio relativo é geralmente dado em termos percentuais. Ele representa em porcentagem, o quanto o valor medido difere do valor médio.
	4.3. Variância
 A variância é definida como a média aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, em relação ao valor médio, ou seja,
	
	4.4. Desvio padrão
 O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e, portanto, expresso na mesma unidade da grandeza medida:
 Este valor representa uma estimativa da dispersão em torno do valor médio quando se tem poucos valores (uma amostra) de um universo maior de valores (população).
	5. Propagação de erros
 Algumas medidas são obtidas indiretamente de outras medidas, fazendo-se operações matemáticas com os valores medidos. Como cada parcela contém um erro ou incerteza, é fácil imaginar que estes erros devem se propagar para a medida indireta.
	Exemplo: Qual o erro experimental no valor de uma velocidade média que foi obtida dividindo-se uma distância de d1± erro por um tempo t1 ± erro?
 Podemos calcular o erro propagado, através do raciocínio abaixo, obtendo a propagação de erros de uma medida C obtida a partir da soma das medidas A + B e finalmente teremos o resultado para medidas obtidas das outrastrês operações básicas.
	5.1. Propagação de erros da soma
 Seja C = A + B onde: A tem incerteza dA, isto é, A pode ser qualquer valor entre A - dA e A + dA B tem incerteza dB, isto é, B pode ser qualquer valor entre B - dB e A + dB.
 O valor máximo de C será: (A + dA) + (B + dB) = (A + B) + (dA + dB)
 O valor mínimo de C será: (A - dA) + (B - dB) = (A + B) - (dA + dB)
 Logo (A + B) tem incerteza: d(A + B) = dA + dB
	5.2. Propagação de erros da subtração
 Seja C = A - B onde: A tem incerteza dA, isto é, A pode ser qualquer valor entre A - dA e A + dA B tem incerteza dB, isto é, B pode ser qualquer valor entre B - dB e A + dB.
 d(A - B) = dA + dB
	5.3. Propagação de erros do produto
 Seja C = A.B onde: A tem incerteza dA, isto é, A pode ser qualquer valor entre A - dA e A + dA B tem incerteza dB, isto é, B pode ser qualquer valor entre B - dB e A + dB.
 d(A.B) = B.dA + A.dB
	5.4. Propagação de erros da divisão
 Seja C = A/B onde: A tem incerteza dA, isto é, A pode ser qualquer valor entre A - dA e A + dA B tem incerteza dB, isto é, B pode ser qualquer valor entre B - dB e A + dB.
 d(A/B) = [dA/B + dB.(A/B²)]
	6. Operações
 Quando efetuamos medições, nunca temos certeza se o valor aferido corresponde, de fato, ao valor verdadeiro daquilo que medimos. Logo, existe um limite na quantidade de algarismos significativos em nossas respostas, já que sempre existe um “algarismo duvidoso”.
 Nos processos de medições, podemos avaliar a quantidade de algarismos significativos das respostas através da sensibilidade e precisão do instrumento com o qual fazemos a medição, da perícia do observador e da incerteza associada à grandeza que medimos.
 Por exemplo, imaginando que se queira determinar a razão do comprimento de uma barra por sua espessura. O comprimento, medido com uma escala milimetrada, foi registrado como 27,5 mm. Para a espessura, foi encontrado o valor de 12,0 mm. Se fizermos os cálculos com uma calculadora, obtemos um valor para a razão igual a R = 2,291666666... Nesse caso, pode surgir à dúvida sobre quantos algarismos significativos deve-se expressar a resposta para R. Sendo assim, devem-se contar os algarismos significativos dos operandos e depois aplicar a seguinte regra:
	No caso de adição e subtração: em geral, a resposta não deve ter mais casas decimais que a parcela mais pobre em casas decimais. Nesse caso, o bom senso acaba sendo a arma mais eficaz para expressar a resposta com a quantidade correta de algarismos significativos.
	No caso da multiplicação e divisão e em geral das outras operações: a quantidade de algarismos significativos da resposta é igual à quantidade de significativos do operando que tiver a menor quantidade de algarismos significativos.
 Como resultado do cálculo da razão entre o comprimento da barra e a espessura obtém, então, R = 2,29.
 Exemplos:
	1,6 + 2,39 + 500,004.
 Fazendo os cálculos, obtém-se: 503,994. Porém, aplicando o bom senso, notamos que a primeira parcela (1,6) nos leva a conclusão de que o primeiro dígito depois da vírgula é duvidoso. Logo, na resposta final, o primeiro dígito após a vírgula já sendo duvidoso, não faz sentido expressar as demais casas decimais. Devemos arredondar a resposta, então, para 504,0.
	1,506 x 50,5.
 Fazendo os cálculos: 76,053. Utilizando a regra, verificamos que a resposta deve ter somente 3 algarismos significativos, ou seja, a resposta é: 76,1.