Apostila transformada de Laplace versao atual a

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Sumário 
 
 
4. TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................ 1 
Propriedades da Transformada de Laplace ....................................................... 6 
Transformada de uma função contínua definida por partes .............................. 7 
Transformada inversa de Laplace. ........................................................................ 8 
A transformada de uma derivada .......................................................................... 9 
Resolvendo EDOs Lineares ............................................................................ 11 
Translação sobre o eixo s .................................................................................... 17 
Teorema: Teorema de translação sobre o eixo s ............................................. 17 
A forma inversa do teorema da translação em s.............................................. 18 
Translação sobre o eixo t ..................................................................................... 25 
Função degrau ou função de Heaviside........................................................... 25 
A derivada de uma transformada ........................................................................ 38 
Transformada de Laplace e função gama ............................................................ 39 
Lista de Figuras 
 
Figura 1 - Representação esquemática da transformada de Laplace _____________________________ 2 
Figura 2 - Função contínua por partes (Fonte Dennis Zill) ______________________________________ 8 
Figura 3 - Solução de equações diferenciais usando Transformada de Laplace ____________________ 12 
Figura 4 - Gráfico do deslocamento no eixo s _______________________________________________ 18 
Figura 5 - Gráfico da função degrau unitário _______________________________________________ 26 
Figura 6 - Gráfico da função 𝒇𝒕 = 𝟐𝒕 − 𝟑𝒖(𝒕 − 𝟏) __________________________________________ 26 
Figura 7 - Deslocamento em t ___________________________________________________________ 27 
Figura 8 - a) gráfico da função 
   f t sen t
 , b) gráfico da função 
     2f t sen t u t  
__ 27 
Figura 9 - Gráfico da função 𝒇𝒕 = 𝟐 − 𝟑𝒖𝒕 − 𝟐 + 𝒖(𝒕 − 𝟑). __________________________________ 28 
Figura 7 - Força eletromotriz ____________________________________________________________ 38 
 
4. TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Introdução 
 
E você pode está se perguntando, e o que isto tem haver com equações 
diferenciais? Nós podemos dizer que tudo, a transformada de Laplace torna mais fácil a 
resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes: 
 
 
   0...
n
na y a y g x  
 (1) 
 
Em que, por exemplo, a função independente 
 g x
não é contínua. Nesta aula 
estudaremos todo o fundamento teórico necessário de como aplicar a transformada de 
Laplace na resolução de equações diferenciais ordinárias. 
 
4.1. Definição e exemplos 
 
A transformada de Laplace foi encontrada muito antes de Laplace nos trabalhos 
de Euler. Nesta seção, vamos examinar um tipo especial de transformação integral 
chamada transformada de Laplace, a qual tem várias propriedades utilizadas na 
resolução de problemas lineares e valor inicial. 
Antes de darmos a definição de transformada de Laplace, relembraremos o 
conceito de funções contínuas por partes, uma vez que esse conceito será necessário 
para descrevermos o conjunto em que a transformada de Laplace existe. 
 A transformada de Laplace transforma uma ED em uma equação algébrica. Será 
primeira feita uma analogia com as derivadas, podemos dizer que a transformada de 
Laplace é um operador, neste caso temos a derivada com operador: 
 
 
   3 ' 23
dy
dxf x x f x x  
 (2) 
 
 A entrada neste caso da Eq. (2) temos uma função de x e trabalhamos com o 
operador 
dy
dx
 e com saída teremos uma derivada. Porém, no caso da transformada de 
Laplace teremos uma função de entrada, ao trabalhar com o operador de transformada 
de Laplace o resultado será outra função: 
 
 
     
0
TLaplace stf t F s e f t dt

  
 (3) 
 
onde 
ste
é denominado núcleo. É importante notar que o “s” é tratado como constante 
na integração dt. Portanto, quando integra-se resulta em uma função de s. Logo notamos 
que a transformada é uma integral é linear, teremos a propriedade de linearidade. Todas 
essas transformações envolvem integrais, muitas vezes são denominadas transformadas 
integrais de Laplace. Será usado a transformada de Laplace para resolver ED com 
coeficientes constantes e sistemas dessas equações. O intervalo de interação é 
[0, )
. Se 
 f t
 for definida para 
0t 
: Ela resulta em uma simplificação dessas soluções de ED’s, 
ou seja: 
 
 
Figura 1 - Representação esquemática da transformada de Laplace 
     
      
0
st
L f t F s
L f t f t e dt F s



  
 (4) 
 
O expoente 
st
 deve ser adimensional. Será para todo 
s
onde a integral converge. 
Assim, quando a variável independente 
t
 for tempo, a dimensão de 
s
 deve ser o 
inverso do tempo, isto é, frequência. Neste caso, por ser uma variável complexa, 
s
 é 
frequentemente denominada “frequência complexa”. 
Porque introduzir mais um método? Porém esse método trata muito bem ED’s de 
coeficientes constantes e o lado direito não precisa ser contínuo, modela muito bem 
modelos físicos cuja força externa tem alto impacto instantânea, e também não precisa 
ser contínua. 
Antes de qualquer cálculo precisamos recordar o que é uma integral imprópria, o 
que é a convergência de uma integral imprópria, ou seja: 
 
 
   
0 0
lim
b
Definição
b
g t dt g t dt


 
 (5) 
 
A integral definida é preciso fazer o limite, a integral converge se existe o limite, 
caso contrário ela diverge. 
 
 
0
1 1 1
1 1 lim lim 0
0
st sb
st
b b
be e
L e dt
s s s s s
  

 
   
           
     

 (6) 
 
Neste caso precisamos testar o limite para ver se ele existe. Para 
0s 
 o limite 
não existe (é ilimitada). Então, precisa ser maior que zero
0s 
, pois o expoente 
sb
é 
negativo e 
0sbe
 quando 
b
. Dessa forma: 
 
 
 
1
1 , 0L s
s
 
 (7) 
Podemos da mesma maneira verificar o valor da transformada de Laplace de 
ttf )(
: 
 
0 0 0
0
stL t e tdt udv uv vdu
  


     
 (8) 
'
0
0
,
lim
0,
0
st
st st
st
b
LHopital
s s
u t dv e dt
be e
t dte
s sdu dt v
s
e e
s s

 


   
 
 
   
    

 
 

'
2 2
0
0
1 1 1
lim 0
0
LHopital
st st
sb sb btb
s
e b e
dt
s se e s e s s s
  


   
    
        
       
     
 (9) 
 
  2
1
, 0L t s
s
 
 (10) 
 
 
 Consideremos agora um caso mais geral, onde 
n
 é inteiro positivo: 
 
 
0 0 0
0
n st nL t e t dt udv uv vdu
  


         
 (11) 
 
1 1 1
0 0
,
,
0
n st
st st st
n n n st n
u t dv e dt
e e e n
du nt v t nt dt e t dt
s s s s

   
   
 

    
   
 (12) 
 
1n nnL t L t
s
      
 (13) 
 
Dando alguns valores para 
n
: 
 
 
 
 2 2 3 
2 2 1 2
2, Ln t L t
s s s S
     
 (14)
 
 
3 2
3 4
 
3 3 2 3!
3, Ln t L t
s s s S
         
 (15)1
!
 L n
n
n
t
s 
   
 (16) 
 
 
Vamos agora calcular a transformada de uma função exponencial: 
 
 
3
1
3
0
)3(
0
)3(
0
33











 ss
e
dtedteeeL
ts
tststt
, 
03s
 ou 
3s
 
 
E na forma geral essa transformada pode ser obtida como segue: 
 
 
 
 
 
 
     
0 0
1 1 1
lim lim 0
0
 0 , 
st s aat st at
t s a b s a
b b
L e e e dt e dt
be e
s a s a s a s a s a
s a s a
 
 
   
 
    
   
       
           
  
 
 (17) 
 
Neste caso se 
0s a 
, ou seja, negativo não irá existir o limite. No entanto, a 
expressão é valida para 
0s a 
. 
Obs: neste caso se 
a i  
 também é válido, ocorre à mesma coisa, ou seja: 
 
 
 
Então, novamente quem esta determinando o comportamento do limite é  s b
e
  , 
ou seja, quando 
0s  
, onde 
 Real a 
. Isso se torna importante porque algumas 
funções podem ser representadas por exponenciais, assim usaremos destes resultados 
para representar outras funções. Como a propriedade de Laplace é linear 
          L af t bg t aL f t bL g t  
, será usada para calcular o próximo exemplo: 
 
  






 


00
)3(
0
2cos
22
.22 tdte
ss
tsene
dtedttsenetsenL st
st
tsst
 



0
2cos
2
tdte
s
st
, 
0s
 
0,02coslim 

ste st
t
 












0
0
2
22cos2
tdtsene
ss
te
s
st
st 
 tsenL
ss
2
42
22

 
 
Nesse ponto, temos uma equação em 
 tsenL 2
 que aparece nos dois lados da 
igualdade. Resolvendo essa equação obtemos: 
 
 
4
2
2
2 

s
tsenL
, 
0s
 
 
Podemos também resolver as transformadas de funções trigonométricas por 
soluções da fórmula de Euler: 
 
 
 
 
 
 
0
2 2 2 2
cosh cosh
1 1
cosh , 
2
1 1 1 1
cosh
2 2
1
2
st
kt kt kt
kt kt
s k
s k
L kt e ktdt
kt e e L e
s k
L kt L e L e s k
s k s k
s k s k s
s k s k






 
     
 
 
                  
 
 
  
 
 

 (18) 
 
Obs: Cosh nunca se anula é a soma de duas exponenciais. Notamos que: 
 
 
 
 
2 2 2 2
1 1 1 1
sinh
2 2
1 2
2
kt ktL kt L e L e
s k s k
k k
s k s k
                  
 
 
 (19) 
 
Veremos a transformada de seno pela fórmula de Euler: 
 
 
coskt sinktikte i 
 (20) 
    
   
 im
cos sin
cos sin
ikt
função par função par
ikt
e kt i kt
kt i kt


   
 
 (21) 
 
Somadas as duas expressões resultam em: 
 
 
1
cos
2
ikt ikte e  
 (22) 
Se subtraídas tem-se: 
 
 
1
sin
2
ikt ikte e
i
  
 (23) 
 
Essas relações serão utilizadas para calcular as transformadas de seno e cosseno. 
 
 
   
 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
sin
2 2 2
1 1 2
2 2
ikt ikt ikt ikt iL kt L e e L e L e
i i i s ik s ik
s ik s ik ik k
i s k i s k s k
                         
   
   
   
 (24) 
 
Esse resultado também pode ser obtido usando a definição da transformada de 
Laplace, assim teremos que usar a integração por partes. 
 
 
 
   
1 1
cos
2 2
1 1 1 1
2 2
ikt ikt ikt iktL kt L e e L e L e
s i k
s ik s ik
                 
 
     
s i k 
2 2 2 2
s
s k s k

 
 (25) 
 
Propriedades da Transformada de Laplace 
 
A transformada de Laplace é uma transformação linear. Ou seja, dadas as 
funções 
 f t
e 
 g t
 contínuas por partes para 
0t 
 e de ordem exponencial e 
a
 uma 
constante, segue que: 
 
 
          
     
L f t g t L f t L g t
L af t aL f t
  

 
 
 
De fato, 
 
         
   
     
0
0 0
,
st
st st
L f t g t e f t g t dt
e f t dt e g t dt
L f t L g t


 
 
  
 
 

 
 
 
e 
      
  
  
0
0
.
st
st
L af t e af t dt
a e af t dt
aL f t









 
 
Essa propriedade é muito útil, pois usando a linearidade da transformada, não 
precisamos calcular a transformada de toda função: 
 
 Exemplo: Calcule a transformada de Laplace da função
3 2 4 5 7( ) tf t t cos t e   
. 
Se calcularmos pela definição, temos que resolver a integral: 
 
   3 2
0
 4 5 ( ) 7st tL f t e t cos t e dt

   
 
 
Contudo, usando a propriedade de linearidade da transformada esse cálculo é 
significativamente reduzido quando se conhece a transformada das funções que 
aparecem na expressão de 
f
. Dessa maneira, temos: 
 
 
         3 2
4 2
 4 +5L 1 +L cos7 +L
3! 1 1
4 5 , 2
4
(
9
)
2
tL f t L t t e
s
s
s s s s

    
  
 
Transformada de uma função contínua definida por partes 
 
 )(tfL
, para 






3,2
30,0
)(
t
t
tf
 
 
Essa função contínua por partes de ordem exponencial para 
0t
 é apresentada 
na figura abaixo. Uma vez que
f
está definida em duas partes, 
 )(tfL
 pode ser 
expressa como a soma de duas integrais: 
 
 
 
Figura 2 - Função contínua por partes (Fonte Dennis Zill) 
 
 
     



 
3
3
00
20)()( dtedtedttfetfL ststst
 
s
e
s
e sst 3
3
22
0






, 
.0s
 
Transformada inversa de Laplace. 
 
Se 
 F s
for a transformada de Laplace da função 
 f t
, então definimos 
 f t
como a transformada inversa de Laplace de 
 F s
 e denotamos por 
  1L F s
. 
Assim, enunciamos o seguinte: 
 
Seja 
k
um número real. Então, 
 
 
 
A transformada inversa de Laplace também possui as mesmas propriedades da 
transformada de Laplace. 
 
Teorema: Sejam 
 F s
 e 
 G s
 as transformadas das funções 
 f t
 e 
 g t
, 
respectivamente, e a; b constantes, então: 
 
          
1
1 1 1
1) ;L é uma transformação linear
L aF s bG s aL F s bL G s

    
 
 
    12) .atL F s a e f t  
 
 
      13) , 0.tF sL e f t t        
 
 
Teorema. Seja 
    L f t F s
, então: 
 
      1 11
n
n n
n
d
L F s t L F s
ds
     
 
 
 
 
Exemplo: Calcule 
1
2
3
5
L
s
  
 
 
. Observe que 
2 2
3 3 5
5 55s s

 
. Assim, 
 
1 1
2 2
3 3 5 3
5
5 55 5
L L senh t
s s
 
   
    
     
 
 
Exemplo: Usando frações parcias 
 
Calcule 
  
1 1
3 1
L
s s

  
 
   
. Podemos calcular essa transformada começando por 
decompor a expressão racional 
  
1
3 1s s 
como soma de duas funções racionais, cuja 
a transformada é conhecida. Para isso, a técnica de frações parciais, será muito útil. 
Vamos recordá-la um pouco. A idéia é achar constantes A e B tais que: 
 
     
1
3 1 3 1
A B
s s s s
 
   
 
 
Multiplicando ambos os lados da igualdade acima por 
  3 1s s 
e igualando 
os coeficientes de mesma potência em s, obtemos 
1 1
;
4 4
A B  
.Assim, 
 
          
3
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
3 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 4
t te e
L L L L
s s s s s s

   
              
            
                   
 
A transformada de uma derivada 
 
Antes de resolvermos equações diferenciais precisaremos obter expressões para, 
por exemplo, a transformada das derivadas. Assim, nesta seção, estudaremos a 
transformada de derivadas. Observe que se 
'f
for uma função contínua para 
0t 
, 
obtemos, pela integração por partes, vamos fazer a demonstração: 
 
 
    
   
     
 
   
   
  
 
' '
'
0
0
0
0 0
 0
lim lim 0
0
sb cb sb
b s csb
dv st st
st
u
b
st st bt st
b b
e f b Me e
L f t
e f b Me
b se s c é igual a
u e du se dt
L f t e f t dt uv vdu
dv f t dt v f t
e f t s e f t dt e f b e f s e f t dt
f sL
 
 
 

 
    
 


 
    
   
  
    
  
 
 
      0f t sF s F 
 (26) 
  )()( sFtfL 
 
  )0()()(' FssFtfL 
 
 
Onde 
    F s L f t
(no cálculo acima assumimos que 
  0ste f t 
 quando 
t
). Usamos da Eq. (26) e procedendo de maneira análoga, obtemos: 
 
 
        
          
'' 2 '
''' 3 2 '
0 0
0 0
L f t s F s sf f
L f t s F s s f s sf f
  
   
 (27) 
 
 
Teorema: Se 
 1', ,...,
n
f f f

 forem contínuas em 
[0, )
 e de ordem exponencial, 
e se 
   nf t
 for contínua por partes em 
[0, )
, então: 
 
 
          1 2 ' 10 ... 0n n n n nL f t s F s s f s s f f      
 (28) 
Onde 
    F s L f t
. 
 
O exemplo a seguir representa a transformada caso a 
'f
é contínua por partes, ou 
seja: 
 
   
11
' '
00
lim lim
i
i
tb n
st st
b b
i t
e f t dt e f t dt

 
 

  
 (29) 
Novamente preciso fazer a integral por partes, onde a ideia é particionar a 
integral 
 
 
 
1
1
1
i
i
st
t
st
t
e f t
e f t

 

   0 20 2st ste f t e f t        
1
1
ste f t   2 2ste f t      
   
3
3
1
1...
st
st stn n
n n
e f t
e f t e f t
 
  

 
 
 
 
11
0
i
i
i
tn
st
i
i t
se f t dt



 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 (30) 
 
Os limites pela esquerda e pela direita 
 1f t 
e 
 1f t 
são iguais por isso podem ser 
cancelados e assim teremos: 
 
 
 
       
 
 
1
1
0
0 0
0
0 0
1
0
0
i
i
i
i
i
stt bn
st st sbn
n
t
tn
t stst
it
i t
s e f t dt
e f t e f t f e f b
e f t se f t dt



 
  




    
   
      
   
    
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 (31) 
 
Teremos a mesma reposta, porém, é preciso dividir o intervalo. Assim, temos o 
seguinte teorema para 
 f t
 contínua por partes 
     1 1 10 stf e f t f t     
 esta 
medindo a descontinuidade no 
1t
 é o salto que a função dá e assim posso escrever todas 
as somas, considerando que 
0t 
 ou posso ter finitos pontos: 
 
 
     
 
   
         
1 2
1 1 2 2
'
1
0 ...
L 0
i
i
st st
j t
st
i
i
f e f t f t e f t f t
f t sL f t f e j t
    




 
         
  
  
 (32) 
 
Resolvendo EDOs Lineares 
 
Fica evidente com base no resultado geral dado no teorema anterior que 






n
n
dt
yd
L
depende de 
 )()( tyLSY 
 e das 𝑛 − 1 derivadas de 
)(ty
 calculadas em 𝑡 =
0. Essa propriedade torna a transformada de Laplace idealmente adequada para a 
resolução de problemas lineares de valor inicial nos quais a equação tem coeficientes 
constantes. 
 
  
       
1
1 01
1'
0 1 1
...
0 , 0 ,..., 0 ,
n n
n nn n
n
n
d y d y
a a a y g t
dt dt
y y y y y y

 


   
  
 (33) 
 
 
onde 
,ia ni ,...,1,0
e
110 ,...,, nyyy
 são constantes. Pela linearidade, a transformada de 
Laplace dessa combinação linear é uma combinação linear de transformadas de 
Laplace: 
 
 
    
1
1 01
...
n n
n nn n
d y d y
a L a L a L y L g t
dt dt

 
   
      
   
 (34) 
 
Do teorema, torna-se: 
 
 
       
       
   
11
21 2
1
0
0 ... 0
0 ... 0
...
nn n
n
nn n
n
a s Y s s y y
a s Y s s y y
a Y s G s

 

    
 
   
 
  
 (35) 
 
Onde 
  )()( SYtyL 
 e 
  )()( SGtgL 
. Em outras palavras, a transformada de 
Laplace de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes torna-se uma 
equação algébrica 
)(SY
. Se resolvermos a equação geral transformada para determinar 
o símbolo 
)(SY
, obtemos primeiramente 
)()()()( SGSQSYSP 
e então escrevemos: 
 
)(
)(
)(
)(
)(
SP
SG
SP
SQ
SY 
 
 
Onde 
0
1
1)( aSaSaSP
n
n
n
n 


é um polinômio em 
s
de grau menor ou igual a 
1n
, que consiste nos vários produtos dos coeficientes 
ia
, 
ni ,...,1,0
 e das condições 
iniciais prescritas 
110 ,...,, nyyy
, e 
)(SG
é a transformada de Laplace de 
)(tg
. 
 
 
 
Figura 3 - Solução de equações diferenciais usando Transformada de 
Laplace 
Exemplo 1: Dada uma ED usar a transformada de Laplace, em uma equação 
simples, neste caso temos um método fácil de resolver pela equação característica: 
 
     
 
 
'' '
'
6 0
0 2
0 1
x t x t x t
x
x
   



 
 
 
Aplicando Laplace teremos que: 
 
     
        
           
     
  
 
 
'' '
'' '
2 '
2
2
2
6 0
6 0
0 0 0 6 0
6 2 1 2 0
6 2 3
2 3
6
x t x t x t
L x t L x t L x t
s X s sx x sX s x X s
s X s sX s X s s
X s s s s
s
X s
s s
  
  
     
     
   


 
 
 
Preciso saber quem é o 
 x t
, devido a unicidade teremos a inversa, ela esta bem 
definida, ou seja, será feiro a inversa. Primeiramente precisamos tentar decompor o 
denominador para encontrar formas que já existam de forma direta as transformadas. 
  
        
   
2
2 3 2 3
2 3 3 26
2 3 2 3
2 7 3
5 7 ;A
2 3 3 5 5
s s A B
X s
s s s ss s
A s B s s
A B
B B
A B
 
   
    
    
 
      
  
 
 
O que resulta em: 
 
 
        2
2 3 2 3 3 1 7 1
2 3 5 3 5 26
s s
X s
s s s ss s
 
   
    
 
Ou seja, 
 
 
   
 
1 1
3 2
3 1 7 1
5 3 5 2
3 7
5 5
t t
x t L L
s s
x t e e
 

      
    
       
 
 
 
Neste caso não faz sentido resolvero PVI com transformada de Laplace, com 
poucas linhas seria resolvido pelo método de coeficientes constantes, porém foi 
utilizado por fins didáticos. 
 
Exemplo 2: Dada uma ED usar a transformada de Laplace para resolver: 
 
       
 
 
 
''' 6 '' 11 ' 6 1
'' 0 0
' 0 0
0 0
y t y t y t y t
y
y
y
   




 
 
Essa resolução por fins didáticos será realizada por etapas: 
Etapa 1: Aplicação da transformada de Laplace 
 
            ''' 6 '' 11 ' 6 1L y t L y t L y t L y t L     
 
             
     
3 2 20 ' 0 '' 0 6 0 ' 0
1
11 0 6
s Y s s y sy y s Y s sy y
sY s y Y s
s
            
    
 
 
 
     3 2
1 1
1 2 36 11 6
Y s
s s s ss s s s
 
    
 
 
Etapa 2: Expansão por frações parciais 
 
     1 2 3
A B C D
Y s
s s s s
   
  
 
1 1 1 1
; ; ;
6 2 2 6
A B C D     
 
 
 
     
1 1 1 1
6 2 1 2 2 6 3
Y s
s s s s
   
  
 
 
Etapa 3: Aplicar a transformada inversa de Laplace 
 
 
     
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
6 2 1 2 2 6 3
y t L L L L
s s s s
   
           
          
              
 
  2 3
1 1 1 1
6 2 2 6
t t ty t e e e    
 
 
 
 
Exemplo 3: Dada uma Edo resolva usando a TL, este caso para a transformada 
inversa teremos que usar a translação em s. 
 
     
 
 
'' ' 2
'
3 2 4
0 3
0 5
ty t y t y t e
y
y
   

 


 
 
 
 
 
 
Neste caso teremos que usar o teorema da inversa da translação em s, dado pela 
Eq.(36), ou seja: 
 
       
 
1 1
1 1 2
2 2
1 1
2
at
s s a
t
s s a
L F s a L F s e f t
L L e t
ss
 
 
 
 
  
    
    
    
 
 
Exercícios 
 
1 - Resolva a Ed com condições iniciais: 
 
   
 
 
'' sin 2 t
) ' 0 1
0 2
y t y t
a y
y
 




 
 
 
   
 
 
 
 
0
''' 0 0
b) '' 0 0
' 0 1
0 0
IVy t y t
y
y
y
y
  






 
 
 
 
 
   
 
 
'' 4 sin 3
) ' 0 0
0 0
x t x t t
c x
x
 




 
 
 
 
d) Ache a solução do P.V.I. 
 
   '' '4 3, 0 0, 0 0y y y y   
 
Solução: 
 
3 3
cos2
4 4
y t t 
 
 
 
Translação sobre o eixo s 
 
O cálculo de transformadas tais como 
 35 teL t 
e 
 teL t 4cos2
 é direto desde que 
conheçamos 
 3L t
 e 
 tL 4cos
. Em geral quando conhecemos a transformada de 
Laplace de uma função 𝑓, 
  )()( sFtfL 
, é possível computar a transformada de 
Laplace de um múltiplo exponencial de 𝑓, isto é, 
 )(tfeL at
, sem nenhum esforço. 
 
Teorema: Teorema de translação sobre o eixo s 
 
Se 
    L f t F s
 e a for um número real qualquer, então: 
 
 
    atL e f t F s a 
 
 
Demonstração: 
Pela definição de transformada, temos que: 
 
          
0 0
s a tat st atL e f t e e f t dt e f t dt F s a
 
     
 
 
 Se considerarmos 𝑠 uma variável real, o gráfico de 𝐹(𝑠 − 𝑎) será o gráfico de 
𝐹(𝑠) deslocado sobre o eixo 𝑠 pelo valor de |𝑎|. Se 𝑎 > 0, o gráfico 𝐹(𝑠) será 
deslocado 𝑎 unidades para a direita, enquanto, se 𝑎 < 0, o gráfico será deslocado |𝑎| 
unidades para a esquerda. 
 
 
 
 
Figura 4 - Gráfico do deslocamento no eixo s 
 
Para enfatizar, é às vezes proveitoso usar o simbolismo: 
 
     at s s aL e f t L f t  
 
 
 
Exemplo 1: Calcule a transformada 
 5 3tL e t
. 
 
   
 
5 3 3
4
5
6
5
t
s s
L e t L t
s 
 

 
 
Exemplo 2: Calcule a transformada 
 2 cos 4tL e t
. 
   
 
2
22
2
cos 4 cos 4
2 16
t
s s
s
L e t L t
s

 

 
 
 
 
A forma inversa do teorema da translação em s 
 
As transformações geralmente precisam ser ajustadas pelas frações parcias e a 
transformada inversa resulta em: 
 
 
       1 1 at
s s a
L F s a L F s e f t 
 
  
 (36) 
 
Exemplo 3: Calcule a transformada inversa
1
2
2 3
4 20
s
L
s s
  
 
  
. Aqui tentaremos usar a 
propriedade da translação. Dessa maneira, observe que: 
 
 
 
 
 
   
2 22
2 2
2 2 72 3 2 3
4 20 4 16 4 16
2 22 7 4
1 44 16 4 16
ss s
s s s s
s
s s
  
  
     
   
   
         
 
 
Como, pela propriedade de translação, temos que: 
 
 
 
1 2
2
2
cos 4
2 16
t
s
L e t
s

  
 
   
 
e 
 
 
1 2
2
4
4
2 16
tL e sen t
s

 
 
 
   
 
 
Fica fácil ver que: 
 
1 2 4
2
2 3 7
2 4 4
4 20 4
t tsL e sen t e sen t
s s
     
   
Exercícios 
a) Calcule a transformada inversa de 
 
1
2
2 5
3
s
L
s

  
 
  
: usando frações parciais 
teremos: 
 
1 3 3
2
2 5
2 11
3
t tsL e e t
s

  
  
  
 
 
b) Calcule a transformada inversa de 1
2
5
2 3
4 6
s
L
s s

 
 
 
  
 
 
   3 3cos 2 2t te t e sen t  
 
 
 
      
2 2
1 1
2 2
2 10 2 10
)
2 5 1 1 4 1
s s s s
c L L
s s s s s
 
      
   
           
 
Solução: 
 
Exemplo 4: Vamos resolver um problema de valor inicial: 
   
'' 2 ' 5 8
)
0 2; ' 0 12
ty y y e
d
y y
    

  
 
Aplicando a transformada de Laplace tem-se: 
 
 
Chegamos ao mesmo resultado do exemplo c. 
 
 
Exemplo 5: Usar a transformada de Laplace para resolver o PVI 
 
   
   
' 2 3
'
'' 6 9
0 2, 0 17
ty t y y t t e
y y
  
 
 
 
 
Decompondo em frações parciais, 
 
 
 
Aplicando a transformada inversa, 
 
 
 
 
Exemplo 6: 
   
   
'
'
'' 6 34 0
0 3, 0 1
x t x x t
x x
  
 
 
 
 
 
Exemplo 7: 
 
   
   
'
'
'' 6 34 30sin 2
0 0, 0 0
x t x x t t
x x
  
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Ache a solução do PVI usando as transformadas de Laplace: 
 
 
 
'' ' 2
'
4 13 2 3 cos
0 0
0 1
ty y y t e t
y
y
    



 
 
 
Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados desta equação e 
aplicando as condições iniciais dadas, obtemos: 
 
     
 
 
2
22
3 22
1 4 13
2 9
s
s F s sF s F s
s s

    
 
, 
onde 
    F s L y t
. Assim, 
 
 
 
 
 
22 2 2 2
3 21 2
4 13 4 13 4 13
s
F s
s s s s s s s

  
     
 
 
Agora, devemos achar a transformada inversa de cada termo da soma acima, 
comecemos pelo primeiro termo. 
 
   
22
1 1 1 3
4 13 32 9 2 9s s s s
 
     
 
Logo, 
 
1 2
2
1 1
3
4 13 3
tL e sen t
s s
     
  
 
 
Para o segundo membro da soma, usamos frações parciais: 
 
  2 22 2
2
4 134 13
A B Cs D
s s s ss s s

    
 
 
Resolvendo a igualdade acima, obtemos 
8 2 8 6
; , ,
169 13 169 169
A B C D    
. 
Portanto, 
 
 
   
2 22 2
2 22
2 8 1 2 1 1 8 6
169 13 169 4 134 13
8 1 2 1 1 2 10 3
169 13 169 3 1692 9 2 9
s
s s s ss s s
s
s s s s

   
  

    
   
, 
 
e, assim 
 
 
1 2 2
2 2
2 8 2 8 10
cos3 3
169 13 169 5074 13
t tL t e t e sen t
s s s
  
  
     
   
 
 
E, finalmente a terceira soma pode ser vista como: 
 
 
   
2 222
3 2 3 1 1 3
2 4 13 24 13 2 9
s d d
ds s s dss s s
                 
 
 
Portanto, pelo Teorema 11.6 e pelo item 2 do Teorema 11.5, segue que : 
 
 
 
1 2
2
2
3 2 1
3
24 13
t
s
L te sen t
s s
 
  
 
   
 
 
Portanto, 
 
 
 
2 2 2 2
2 2 2
1 8 2 8 10 1
3 cos3 3 3
3 169 13 169 507 2
179 8 1 2 8
3 cos3 3
507 169 2 13 169
t t t t
t t t
y t e sen t t e t e sen t te sen t
y t e sen t e t te sen t t
   
  
      
     
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1 - Resolva as Edo’s com condições iniciais: 
 
     
 
 
'' 4 ' 6 1
) ' 0 0
0 0
ty t y t y t e
a y
y
    




 
2 21 1 1 2( ) cos 2 2
6 3 2 3 2
t t ty t e e t e sen t     
 
 
 
     
 
 
2'' 4 ' 4
b) ' 0 0
0 0
y t y t y t t
y
y
   




 
 
   
   
0
'
'' sin
)
0 0, 0 0
x t x t F t
c
x x
 

 
 
 
 
       
         
4
3
2 '' 4
)
0 '' 0 ' 0 0 0
ty t y t y t te
d
y y y y
   

   
 
 
 
   
   
'
'
'' 6 34 0
)
0 3, 0 1
x t x x t
e
x x
   

  
 
 
   
   
'
'
'' 6 34 30sin 2
)
0 0, 0 0
x t x x t t
f
x x
   

 
 
Resposta: 
     3
5 2
2cos2 5 2 5cos5 2 5
29 29
tx t t sen t e t sen t    
 
 
 
 
g) Ache a solução do PVI usando as transformadas de Laplace: 
 
 
 
'' ' 2
'
4 13 2 3 cos
0 0
0 1
ty y y t e t
y
y
    



 
 
Solução: 
  2 2 2
179 8 1 2 8
3 cos3 3
507 169 2 13 169
t t ty t e sen t e t te sen t t       
 
 
Translação sobre o eixo t 
 
Nas engenharias são frequentemente encontradas funções que pode ser “ligadas” 
e “desligadas”. Por exemplo, uma força externa agindo sobre um sistema mecânico ou 
uma voltagem sendo aplicada a um circuito elétrico que pode ser desligada a certo 
período. Essa função é muito importante porque ela descreve funções descontínuas, ou 
contínuas por partes mais simples. Para trabalhar com esse tipo de processos vamos 
introduzir a função de Heaviside. 
 
 
 Função degrau ou função de Heaviside 
 
Definição: uma função é contínua por partes em I se existe uma partição de I 
0; ip p
 tal que 
 f t
 é contínua em cada subintervalo 
 1;i ip p 
 intervalo aberto e os 
limites laterais 
 lim
it p
f t

 e 
 lim
it p
f t

são finitos. 
É conveniente então definir uma função especial que seja número 0 (desligada) 
até um determinado tempo 𝑡 = 𝑎 e número 1 (ligada) após esse tempo. 
 
 
   
0 0 
1 
a
se t a
u t a u t
se t a
 
   

 (37) 
 
Como Laplace trabalha com t>0 o gráfico da função de Heaviside é: 
 
 
Figura 5 - Gráfico da função degrau unitário 
 
Quando uma função 𝑓 for multiplicada por 𝑢(𝑡 − 𝑎), a função degrau unitário 
“desliga” uma parte do gráfico dessa função. Por exemplo, considere a função 
𝑓(𝑡) = 2𝑡 − 3. Para desligar a parte do gráfico de 𝑓 sobre o intervalo 0 ≤ 𝑡 < 1, 
simplesmente tomamos o produto (2𝑡 − 3)𝑢(𝑡 − 1). Em geral, o gráfico de 
𝑓(𝑡)𝑢(𝑡 − 1) é “desligado” para 0 ≤ 𝑡 < 𝑎 e “ligado” para 𝑡 ≥ 𝑎. 
 
 
Figura 6 - Gráfico da função 𝒇(𝒕) = (𝟐𝒕 − 𝟑)𝒖(𝒕 − 𝟏) 
Em um outro ponto de vista podemos afirmar que quando multiplicamos uma 
𝑓(𝑡) pela função de Heaviside, estamos aplicando uma translação da 𝑓(𝑡) em relação ao 
seu domínio, como podemos observar na figura 7. 
 
Figura 7 - Deslocamento em t 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
     
 
 
 
0 0 2 0 0 2
2 , 2
sen 2 sen 2
se t se t
f t sen t u t uma vez que u t
t se t t se t
                
 
 
Representação gráfica: 
 
 
Figura 8 - a) gráfico da função 
   f t sen t
 , b) gráfico da função 
     2f t sen t u t  
 
 
A função degrau unitário Eq. (37) também pode ser usada para descrever funções 
definidas por partes em uma forma compacta. Por exemplo, se considerarmos os 
intervalos 0 ≤ 𝑡 < 2, 2 ≤ 𝑡 < 3 e 𝑡 ≥ 3 e os valores correspondentes de 𝑢(𝑡 − 2) e 
𝑢(𝑡 − 3), deve ser claro que a função definida no gráfico abaixo pode ser escrita pela 
expressão 𝑓(𝑡) = 2 − 3𝑢(𝑡 − 2) + 𝑢(𝑡 − 3). 
 
 
Figura 9 - Gráfico da função 𝒇(𝒕) = 𝟐 − 𝟑𝒖(𝒕 − 𝟐) + 𝒖(𝒕 − 𝟑). 
 
Da mesma forma, uma função definida por partes do tipo: 






atth
attg
tf
),(
0),(
)(
 
É idêntica a 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎) + ℎ(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎) 
 
Analogamente, uma função do tipo: 









bt
bta
at
tgtf
0
,0
),(
,0
)(
 
Pode ser escrita como: 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡)[𝑢(𝑡 − 𝑎) − 𝑢(𝑡 − 𝑏)] 
 
Uma forma alternativa e descomplicada de escrever a função de Heaviside é 
multiplicar a parte da 𝑓(𝑡) pelas funções de Heavise que representam a região onde está 
é ligada ou desligada. Por exemplo a figura 9 representa um gráfico de uma função com 
três partes. 









3
32
20
,0
,1
,2
)(
t
t
t
tf
. 
A 𝑓(𝑡) é composta pela seguinte soma: 
𝑓(𝑡) = 2[𝑢(𝑡 − 0) − 𝑢(𝑡 − 2)] − 1[𝑢(𝑡 − 2) − 𝑢(𝑡 − 3)] + 0[𝑢(𝑡 − 3)] 
 
Desta forma 𝑓(𝑡) = 2 − 3𝑢(𝑡 − 2) + 𝑢(𝑡 − 3) 
 
Com base nesse conceito, podemos ter outras aplicações práticas; observe 
abaixo: 
FUNÇÃO PULSO: Uma aplicação bastante prática está relacionada abaixo em 
que desliga a função para t < a e t > b deixando somente a função entre o intervalo "a" e 
"b
 
Imagine que você tenha que restringir o intervalo da sua função; podemos usar a 
função pulso; basta multiplicar a função pela função pulso. 
 
Exemplo 2: A voltagem em um circuito é dada por uma função definida por 
partes: 
 
 
 
20 , 0 5 
0, 5
t se t
E t
se t
 
 

 (38) 
 
Lembrando que é essa função que precisamos definir, então teremos que a 
função degrau é 
 
0, 0 5 
5
1, 5
se t
u t
se t
 
  

podemos expressar a Eq. (38) como: 
 
Resp: 
   20 20 5E t t t u t   
 
 
Considere uma função genérica 𝑦 = 𝑓(𝑡) definida para 𝑡 ≥ 0. A função definida 
por partes 






atatf
at
atuatf
),(
0,0
)()(
 
desempenha um papel significativo 
 
 
Veremos agora como calcular a transformada de Laplace desse tipo de função: 
 
Segundo teorema da Translação 
 
Se 𝐹(𝑠) = 𝐿{𝑓(𝑡)} 𝑒 𝑎 > 0, então 
 
   )()( sFeatuatfL as
 (39) 
 
Observe abaixo a demonstração do teorema em que colocamos a função f (t) = f 
(t - a) u (t - a) e achamos a transformada de Laplace (lembrando que u (t - a) é igual a 1 
para t ≥ a, e criamos uma variável x = t -a para isolar "t" e integramos em função de x): 
 
 
Prova: 
 
Pela propriedade aditiva das integrais, 
 
  dtatuatfeatuatfL st )()()()(
0
 


 
 
Pode ser escrita como soma de duas integrais: 
 
  dtatfedtatuatfedtatuatfeatuatfL st
atparaum
a
st
atparazero
a
st )()()()()()()(
0
__0__
0
 







44 3444 2144 3444 21
 
 
Agora se fizermos na última integral 𝑣 = 𝑡 − 𝑎, 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡, então: 
 
   )()()()()(
00
)( tfLedvvfeedvvfeatuatfL svsvasavs 




 
 
 
 
Exemplo 4: Calcule as transformadas de Laplace: 
a) 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 2)3𝑢(𝑡 − 2) 
b) 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑡 − 4)𝑢(𝑡 − 2) 
c) 𝑓(𝑡 − 𝑎) = 1 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
a) Observe que a forma de deslocamento da função e do degrau unitário são 
iguais, (t - 2). Basta aplicar diretamente a fórmula (usamos a tabela de transformada de 
Laplace, item 19). 
 
b) Temos que manipular matematicamente a função para colocar a função senh 
(2t - 4) na mesma forma de deslocamento u (t - 2). Usamos o item 6 da tabela de 
transformada de Laplace. 
 
c) Basta substituir na fórmula f(t - a) = 1. Usamos a tabela de transformada de 
Laplace item 1. 
 
d) Observe que o gráfico é uma função por partes para explicar como definimos 
a função por partes de forma compacta dividirei o gráfico em 3 funções (f1(t) = 2, f2(t) = 
-1 e f3(t) = 0): 
 
 Para montar o intervalo com funções definidas por partes, basta somar as 
funções usando afunção pulso nos respectivos intervalos. Obtemos a função: 
f(t) = f1(t) [u (t - a) - u (t - b)] + f2(t) [u (t - a) - u (t - b)] 
Substituindo os valores das funções, obtemos (u(t), para t ≥ 0, é igual a 1): 
f(t) = 2 [u (t - 0) - u (t - 2) + -1 [u (t - 2) - u (t - 3)] ---> 
f(t) = 2 u(t) - 2 u (t - 2) + (-1) u (t - 2) - (-1) u (t - 3) ---> 
f(t) = 2 - 2 u (t - 2) - 1 u (t - 2) + 1 u (t - 3) ---> 
f(t) = 2 - 3 u (t - 2) + u (t - 3) 
Calculando a transformada de Laplace (Obtive a transformada 
inversa consultando a tabela de transformada de Laplace): 
 
e) Observe que o gráfico é uma reta, portanto temos uma equação do 1º grau; 
basta substituir dois pontos na equação e montar um sistema e observe que a função esta 
deslocada 1 unidades, u(t - 1). 
 
 Achamos a função; Temos que colocar a função (2t - 3) na mesma forma de 
deslocamento u(t - 1). Observe que podemos escrever -3 como - 3 = -2 - 1. Observe 
abaixo a resolução; usamos atabela de transformada de Laplace itens 1 e 2. 
 
 
 
 
Exemplo 5: A figura é representada pela seguinte equação 
     2 3 2 3f t u t u t    
, ou seja: 
 
             
0, 0
- - - , 
0, 
t a
f t g t g t u t a h t u t a g t a t b
t b
 

    


 
 
Fazendo a transformada da função teremos: 
 
 
 
 
 
Obs: precisa ser cuidado quem é o a da função degrau com o da função a ser 
transformada. 
 Ela é muito importante porque outras funções descontínuas ou contínuas por 
partes podem ser descritas pela função degrau. De maneira geral podemos fazer a 
transformada dessas funções de forma alternativa, ou seja: 
 
 
        ( )
0 0
st s u aL g t u t a e g t dt e g u a du
 
      
 (40) 
Isto é, 
 
 
       asL g t u t a e L g t a  
 (41) 
 
Vamos resolver a transformada de uma função simples 
  cosL t u t  
: 
Solução: 
  cosg t t
 e 
a 
, então 
   cos cosg t t t     
 pela fórmula 
da adição para a função cosseno. Logo, pela Eq. (41), tem-se: 
 
 
     2cos cos 1
s ssL tu t e L t e
s
       

 
 
Exemplo 6: considerando um exemplo de valor inicial: 
 
       
 
0, 0
' , 
3cos , 
0 5
t
y t y t f t onde f t
t t
y


 
   


 
 
Solução: A função f pode ser escrita como 
   3cosf t t u t   
 e, portanto, 
por linearidade teremos que: 
 
       
     
   
'
2
2
3 cos
0 3
1
3
1 5
1
s
s
L y L y L t u t
s
sY s y Y s e
s
s
s Y s e
s





   
   

  

 
Ou seja, 
 
 
  2
5 3
1 1 1
ssY s e
s s s
 
  
 
Expandindo em frações parciais: 
 
      2 2
3
11 1 1
3 3
;
2 2
ss A Bs Ce
ss s s
B C A
  
  
    
 
 
Assim, 
 
 
   2 2
5 3 1 1
1 2 1 1 1
s s ssY s e e e
s s s s
    
 
     
     
 
Procedendo para a transformada de Laplace inversa: 
 
   
   
   
1
1
2
1
2
1
1
1
1
cos
1
ts
s
s
L e e u t
s
L e sen t u t
s
s
L e t u t
s




 
 
  
 
 
 
  
 
 
   
 
 
   
 
 
 
Assim, a inversa é: 
 
             
         
3 3 3
5 cos
2 2 2
3
5 cost 
2
5 , 0
tt
tt
t
y t e e u t sen t u t t u t
e u t e u t sent Identidades trigonométricas
e t


    
 

 
 

        
         
 
 

     
3
5 cos , 
2
tte u t e u t sent t t
   



        
 
Exemplo 4:          
   
t, 0 1
'' 3 ' 2 , 
, 1
' 0 0 0
t
y t y t y t f t onde f t
t t
y y
 
    
 
 
 
 
 
 
Aqui foi usado do teorema da Eq. (41). 
 
 
 
É preciso analisar onde 
 u t 
 é zero e formular a resposta no intervalo já que 
ela multiplica a solução. 
 
Exercícios: 1 - Resolver as Edo’s usando TL 
 
a) A equação diferencial para a carga 𝑞(𝑡) em um capacitor em um circuito em 
série R-C é 𝑅
𝑑
𝑑𝑡
𝑞(𝑡) +
1
𝐶
𝑞(𝑡) = 𝐸(𝑡), onde 𝑅 é a resistência, 𝐶 é a 
capacitãncia e 𝐸(𝑡) é a força eletromotriz (𝑓. 𝑒. 𝑚). 
Use as transformadas de Laplace para determinar a carga no capacitor em um 
circuito em série R-C se 𝑞(0) = 0, 𝑅 = 2,5 𝑜ℎ𝑚𝑠, 𝐶 = 0,08 faradays e 𝐸(𝑡) 
é dada pelo gráfico da figura abaixo. 
 
Figura 10 - Força eletromotriz 
 
 
       
   
t, 0 1
) ' 2 , 
0, 1
' 0 0 0
t
b y t y t f t onde f t
t
y y
 
   

 
 
 2018 
 Solução 
 
 
A derivada de uma transformada 
 
Exemplo: Calcular a transformada da 
 L tsenkt
 utilizando o teorema da 
derivada duas vezes. 
 
 
   ' 2cos '' cos cos
f t
L tsenkt f t senkt tk kt f t k kt k k tk senkt
  
       
  
 
 
Agora sim apareceu novamente a função seno. Vamos usar o teorema da 
derivada: 
 
         
   
   
 
 
'' 2 '
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
0 0
2 *0 0
2
2
L f t s L f t sf f
s
k kL tsenkt s L tsenkt s
s k
s
k s k L tsenkt
s k
s
L tsenkt k
s k
  
   

 



 
 
É uma forma de utilizar o teorema da derivada. 
 
 
Transformada de Laplace e função gama 
Antes de querer obter a transformada de um polinômio é preciso ser citado à 
função gama, neste caso o 
n
 não necessita ser inteiro isso se torna um problema maior. 
No caso para n inteiro teremos:1
0
!n st n
n
n
L t e t dt
s



     
 (42) 
 
0,1,2,...n 
 (43) 
 Se fizer: 
 
0
1, ! t ns n e t dt

  
 (44) 
Vamos fazer algo parecido ao tentar calcular a transformada de Laplace da: 
 
 
0
x st xL t e t dt

    
 (45) 
 
A função gama pode ser definida como (ela é definida sob o sinal de integração): 
 
  1
0
t xx e t dt

   
 (46) 
Necessitamos de uma propriedade dessa função, assim afirma-se que ela é 
recursiva, para isso iremos calcular 
 1x 
. 
 
 
0
1 t xx e t dt

   
 (47) 
Essa expressão aparece frequentemente na física-matemática sendo definida por 
 1x 
. Em que, 
1x
 é questão de conveniência. 
 
    1
0 0
1 , :t x t xe t dt x x e t dt
 
       
 (48) 
Neste caso teremos que aplicar partes: 
 
   1 1
0
0 0 0
lim
1
1
b x
b
t x x t t x t x
u
e b
x
t
x e t dt t e e xt dt x e t dt x x
du xt dt
v e


  

     



        

 
  
 (49) 
Um polinômio 
lim
b x
b
e b



 dividido por uma exponencial aplica L’Hopital e esse 
limite tende a zero, portanto prova-se que a função é recursiva. 
Ou seja, basta aplicar L’Hopital na primeira suposição depois da igualdade para 
perceber que ele vai a zero. 
 
   1
0
1 t xx x e t dt x x

     
 (50) 
 
   1x x x   
 (51) 
 
Precisamos usar a recursividade para saber quem é a função, ou seja, quem seria 
 1
. 
 
 
 
       
     
     
0
0
0
0
1
lim 1
1 2 1 1 1
3 2 1 2 1 2 1
4 3 1 3 3 3 2 1
t t
b
b
e t dt e
e e
x x x


 
 

   
  
       
       
        

 (52) 
 
 
Vamos calcular a transformada de Laplace de 
xt
 da função Gama. 
 
0
U
x st xL t e t dt

    
 (53) 
 
U st
 (54) 
 
 
 
1
1 1
0 0
1 1
1
x
x
x U U x
x x x
U dU
L t e e U dU x
s s s s
 
 
 
 
         
 (55) 
 
Nota-se que, nos chegamos na expressão para o fatorial de 
x
 for um inteiro: 
 
   1
0
1 t xx x e t dt x x

     
 (56) 
 
   1 !n n n n    
 (57) 
 
Voltando a transformada de Laplace voltamos a nossa expressão: 
 
 1
1
, 1x
x
L t x x x
s 
      
 (58) 
Vamos provar que para que essa transformada exista 
1x  
. A função gama é 
um número se x foi inteiro eu terei um fatorial. 
 
Função escada 
 
Essa função tem as descontinuidades em todos os inteiros positivos, ou seja: 
 
 
 
Queremos a transformada de Laplace dessa função, como é uma constante 
teremos e cada salto é igual a 1, ou seja, 
  1ij t 
: 
 
 
 
         
         
'
1
'
1
1
'
1 1 0
 inf
0
0 0
0 1 1
i
i
st
i
i
n
st sn s
i
i n n
Soma pg inita
f t
L f t sL f t f e j t
L f t sL f t e j t e e





  
  
  

   
        

  
 
Em uma soma da Pg infinita temos que: 
 
 
0
1
0
 inf
1
1
1
1
n
n
x
n
s
s
n
Soma pg inita
x
x
e
e













 
 
Então, 
 
  
  
 
1
1
1
1
s
s
sL f t
e
L f t
s e






 
 
Novamente estamos usando o teorema da derivada e suas aplicações. Agora 
passamos a ver o Teorema da Integral. 
Teorema da Integral: para integral teremos o efeito de dividir por s. Seja 
 f t
 
contínua por partes e com ordem exponencial quanto 
t
. 
 
 
 
    
   
       
  
  
'
'
'
 
0 0
t
o
g t
L f t F s
L f d
s s
Pelo TFC g t f t
L g t sL g t g
L g t
L g t
s
 

 
 
 
  
 
  
 
   


 


 
 
Esse Teorema tem muitas aplicações úteis. Vamos entender a inversa: 
 
 
 1
0
tF s
L f d
s
 
 
 
 

 
Sempre se torna necessário voltar a propriedade, exemplo: 
 
 
 
  3 31 1 3
0 0
1
31 1
3 3 3 3
tt ts e e
L L e d
s s s

  
 
      
       
    
  
 
 
Preciso sempre isolar o s, ou seja, s no denominador eu preciso olhar para o 
numerador e saber que é o f. Vamos ver outro problema. 
 
 
  3 3 31 1
2
0 0
1
31 1 1 1 1
3 3 3 9 3 3 3 9
t
t ts s e e e
L L d t
s s s
 
  
 
          
              
        
  
 
 
Neste caso teria que usar o Teorema duas vezes.