4ª Lista Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SUL
CAMPUS CERRO LARGO
CURSO: Engenharia Ambiental e Fı´sica
DISCIPLINA: A´lgebra Linear
PROFESSOR: Fabiano Pereira
4a LISTA DE EXERCI´CIOS
Exercı´cio 1: Determine se o conjunto dado com as operac¸o˜es especificadas de adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o por escalar e´ um espac¸o vetorial. Caso na˜o seja, indique pelo menos
uma propriedade que na˜o e´ satisfeita.
(a) V = {x ∈ R/x > 0}, com a adic¸a˜o ⊕ definida por x⊕y = xy, e a multiplicac¸a˜o por
escalar � definida por α� x = xα.
(b) V = {(x, y)/x ≥ y}, com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de vetores e multiplicac¸a˜o
por escalar.
(c) V =
{[
a b
c d
]
/a, b, c, d ∈ R e ad = 0
}
. Com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o
de matrizes e multiplicac¸a˜o por escalar.
(d) V = P3 = {d+ cx+ bx2 + ax3}, o conjunto de todos os polinoˆmios de grau menor
ou igual a 3 com as operac¸o˜es usuais de soma de polinoˆmios e multiplicac¸a˜o por
escalar.
Exercı´cio 2: Determine se W e´ ou na˜o um subespac¸o de V .
(a) V = R3, W = {(x, y,0)/x, y ∈ R)}
(b) V =M2×2, W =
{[
a b
b 2a
]
/a, b ∈ R
}
.
(c) V =M2×2, W =
{[
a b
c d
]
/a, b, c, d ∈ R
}
.
(d) V =M2×2, W = {A ∈M2×2/ det(A) = 1}.
(e) V =Mn×n, W e´ o conjunto das matrizes diagonais n× n.
(f) V = P2, W = {bx+ ax2/a, b ∈ R}.
(g) V = P2, W = {c+ bx+ ax2/a+ b+ c = 0, a, b, c ∈ R}.
(h) V = F(R), W = {f ∈ F(R)/ lim
x→0 f(x) =∞}.
1
Exercı´cio 3: Mostre que o conjunto das soluc¸o˜es de um sistema linear homogeˆneo
AX = O, A ∈ Mm×n, e´ um subespac¸o vetorial de Mm×1. O mesmo vale se o sistema
for na˜o homogeˆneo? Por queˆ?
Exercı´cio 4: Escreva cada vetor v como combinac¸a˜o linear dos demais.
(a) v = (3,−2, 1) v1 = (1,0,0), v2 = (1, 1,0), v3 = (1, 1, 1)
(b) v = (−4,−18, 7) v1 = (1,−3, 2), v2 = (2,4,−1)
(c) v = (−9,−7,−15) v1 = (2, 1,4), v2 = (1,−1, 3), v3 = (3, 2, 5)
(d) v = (2, 1) v1 = (1,0), v2 = (0, 1)
Exercı´cio 5: No espac¸o V = P2, escreva cada vetor v como combinac¸a˜o linear dos
demais.
(a) v = x2 + 1 v1 = 1, v2 = x+ 1, v3 = x2 + x+ 1
(b) v = 7x2 + 11x− 26 v1 = 5x2 − 3x+ 2, v2 = 2x2 + 5x− 8
Exercı´cio 6: Determine os escalares a, b, c ∈ R tal que
(1, 2, 3) = a(1,0,0) + b(1, 1,0) + c(1, 1, 1)
Exercı´cio 7: Determine o valor de x para que o vetor v = (−1, x,−7) seja combinac¸a˜o
linear dos vetores v1 = (1,−3, 2), v2 = (2,4,−1).
Exercı´cio 8: Em cada item escreva as matrizes como combinac¸a˜o linear das matrizes
A =
[
4 0
−2 −2
]
, B =
[
1 −1
2 3
]
, C =
[
0 2
1 4
]
(a)
[
6 −8
−1 −8
]
(b)
[
0 0
0 0
]
(c)
[
6 0
3 8
]
Exercı´cio 9: Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de R3 e R2 sa˜o LI ou
LD. Justifique a resposta.
(a) {(1, 3,4)} (b) {(1,−1, 1), (−1, 1, 1)} (c) {(2,−1,0), (−1, 3,0), (3, 5,0)}
(d) {(2, 1, 3), (0,0,0), (1, 5, 2)} (e) {(1, 2,−1), (2,4,−2), (1, 3,0)}
2
(f) {(1,−1,−2), (2, 1, 1), (−1,0, 3)} (g) {(1, 3)} (h) {(1, 3), (2, 6)}
(i) {(2,−1), (3, 5)} (j) {(1,0), (−1, 1), (3, 5)} (k) {(2,0), (0,0)}
Exercı´cio 10: Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de P3 sa˜o LI ou LD.
(a) {x− 1, x2 + 1, x3 − x2 − x+ 3} (b) {3x+ 2,−x3 + 2x− 1, 3x2 + 2x2,−4x3 + 3}
(c) {x2 + 1,−x3 + 2x2 + 1,−x2 + 2x+ 1,−2x3 + 2x2 + 6x+ 6}
Exercı´cio 11: Escreva o polinoˆmio ax2 + bx + c como combinac¸a˜o linear dos po-
linoˆmios p1 = (x − 1)2, p2 = x − 1 e p3 = 1. [Assim, dizemos que p1, p2, p3 geram o
espac¸o P2 dos polinoˆmios de grau ≤ 2.]
Exercı´cio 12: Considere os vetores u = (1, 2, 3) e v = (2, 3, 1) de R3.
(a) escreva w = (1, 3, 8) como combinac¸a˜o linear de u e v.
(b) Escreva w = (2,4, 5) como combinac¸a˜o linear de u e v.
(c) Encontre k de tal modo que w = (1, k,4) seja combinac¸a˜o linear de u e v.
(d) Encontre condic¸o˜es sobre x, y, z tais que w = (x, y, z) seja uma combinac¸a˜o linear
de u e v.
Exercı´cio 13: Verifique se os seguintes conjuntos de matrizes quadradas sa˜o LI ou
LD.
(a)
{[
1 0
1 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
2 −1
3 0
]}
(b)
{[
1 0
1 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
2 −1
0 0
]}
3