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UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SUL CAMPUS CERRO LARGO CURSO: Engenharia Ambiental e Fı´sica DISCIPLINA: A´lgebra Linear PROFESSOR: Fabiano Pereira 5a LISTA DE EXERCI´CIOS Exercı´cio 1: Considere os vetores (a, b), (c, d) no plano. (a) Se ad− bc = 0, mostre que os vetores sa˜o LD. (b) Se ad− bc 6= 0, mostre que os vetores sa˜o LI. Exercı´cio 2: Considere em R2 o conjunto S = {(1, 1), (2, 2)}. (a) Mostre que o vetor (−5,−5) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de S. (b) Mostre que o vetor (1,0) na˜o e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de S. (c) O conjuto S gera R2? Justifique. (d) Determine a forma geral dos vetores (x, y) ∈ [(1, 1), (2, 2)]. Exercı´cio 3: Considere em R3 o conjunto S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 2, 2)}. (a) Mostre que o vetor (2, 3, 3) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de S. (b) Mostre que o vetor (0,0, 1) na˜o e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de S. (c) O conjuto S gera R3? Justifique. (d) Determine a forma geral dos vetores (x, y, z) ∈ [(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 2, 2)]. Exercı´cio 4: Considere em P2 o conjunto S = {(1+ x), (1− x2)}. (a) Mostre que o vetor x+ x2 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de S. (b) Mostre que o vetor x na˜o e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de S. (c) O conjuto S gera P2? Justifique. (d) Determine a forma geral dos vetores p(x) ∈ [(1+ x), (1− x2)]. 1 Exercı´cio 5: Determine quais dos seguintes conjuntos sa˜o bases de R2. (a) {(1,0), (0, 1)} (b) {(1, 1), (0, 3)} (c) {(1,0), (0, 3), (2, 5)} (d) {(1, 2)} (e) {(1, 1), (0,0)} Exercı´cio 6: Determine quais dos seguintes conjuntos sa˜o bases de R3. (a) {(1, 1, 1), (1,0, 1), (1, 1,0)} (b) {(1, 1, 1), (1,0, 1), (1, 2, 1)} (c) {(3,0,0), (1, 1,0), (2, 2, 2), (1, 3, 5)} (d) {(1, 1, 1), (2, 2,0)} Exercı´cio 7: Seja β = {v1, v2} a base de R2 formada pelos vetores v1 = (1,0) e v2 = (1, 1). (a) Qual e´ o vetor de R2 que nesta base tem coordenadas [ 2 2 ] ? (b) Calcule as coordenadas do vetor (3, 5) nesta base. (c) Mediante a uma matriz de mudanc¸a de base apropriada, calcule as coordenadas de um vetor qualquer (x, y) ∈ R2 nesta base. [Dica: Utilize a base canoˆnica] Exercı´cio 8: Seja β = {v1, v2, v3} a base de R3 formada pelos vetores v1 = (2,0,0), v2 = (1, 1,0) e v3 = (1, 1, 1). (a) Qual e´ o vetor de R3 que nesta base tem coordenadas 03 5 ? (b) Calcule as coordenadas do vetor (2,0, 1) nesta base. (c) Mediante a uma matriz de mudanc¸a de base apropriada, calcule as coordenadas de um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 nesta base. [Dica: Utilize a base canoˆnica] Exercı´cio 9: Seja β = {v1, v2, v3} o subconjunto de P2 constituido pelos polinoˆmios v1 = 1+ x, v2 = 1+ 2x, v3 = x2. (a) Mostre que β e´ uma base de P2. (b) Qual e´ o polinoˆmio que nesta base tem coordenadas 13 −2 ? (c) Calcule as coordenadas do vetor 2+ 2x− x2 nesta base. (d) Mediante a uma matriz de mudanc¸a de base apropriada, calcule as coordenadas de um polinoˆmio c+ bx+ ax2 nesta base. 2 Exercı´cio 10: Sejam β = {(1,0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {(2,0), (0, 2)} bases ordenadas de R2. (a) Ache as matrizes de mudanc¸a de base: i) [I]β1β ii) [I] β β1 iii) [I]ββ2 (b) Quais sa˜o as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relac¸a˜o a` base: i) β ii) β1 iii) β2 (c) As coordenadas de um vetor v em relac¸a˜o a` base β1 sa˜o dadas por [v]β1 = [ 4 0 ] Quais sa˜o as coordenadas de v em relac¸a˜o a` base: i) β ii) β2 Exercı´cio 11: Sejam β1 = {(1,0), (0, 2)}, β2 = {(−1,0), (1, 1)}, β3 = {(−1,−1), (0,−1)} treˆs bases ordenadas de R2. (a) Encontre: i) [I]β2β1 ii) [I] β3 β2 iii) [I]β3β1 iv) [I] β2 β1 · [I]β3β2 (b) Se for possı´vel, deˆ uma relac¸a˜o entre estas matrizes de mudanc¸a de base. Exercı´cio 12: (a) Qual e´ a definic¸a˜o de transformac¸a˜o linear? (b) Quando uma transformac¸a˜o linear e´ dita injetora? e sobrejetora? (d) Qual e´ a definic¸a˜o de nu´cleo e de imagem de uma transformac¸a˜o linear? Exercı´cio 13: Em cada item verifique se a func¸a˜o dada e´ uma transformac¸a˜o linear a) T : R2 → R2 dada por T(x, y) = (2x− y,0). b) F : R2 → R dada por F(x, y) = xy. c) G : R2 → R2 dada por G(x, y) = (x+ y, x− y). d) T : R3 → R dada por T(x, y, z) = x+ 2y+ 3z. e) F : R3 → R2 dada por F(x, y, z) = (2x+ y, y+ 3z). f) G : R3 → R3 dada por G(x, y, z) = (x, y, 1). 3
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