Aula 2 Revisão de Estatística Distribuições

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1 
TQC – UFF 
Eng. de Produção 2012/1 
 
Revisão de Estatística 
 
Distribuições 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
Variável	
  Aleatória	
  
Discreta	
  
É	
  aquela	
  variável	
  que	
  só	
  
pode	
  assumir	
  valores	
  
discretos	
  (nominal,	
  
ordinal	
  e	
  quan<ta<va)	
  
É	
  a	
  descrição	
  numérica	
  de	
  um	
  experimento	
  
DISTRIBUIÇÕES	
  DE	
  VARIÁVEIS	
  
Variáveis	
  Aleatórias	
  
Variável	
  Aleatória	
  
ConFnua	
  
É	
  aquela	
  variável	
  que	
  
pode	
  assumir	
  qualquer	
  
valor	
  numérico	
  em	
  um	
  
intervalo	
  ou	
  uma	
  
coleção	
  de	
  intervalos.	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   2	
  
EXPERIMENTO VARIÁVEL ALEATÓRIA (x)
POSSÍVEIS 
VALORES DE x
Contatar Cinco Clientes 
para venda
Número de clientes que coloca 
pedido 0, 1, 2, 3, 4, 5
Inspecionar um embarque 
de 50 equipamentos
Número de equipamentos 
defeituosos 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... 49, 50
Operar um restaurante por 
dia Número de clientes atendidos 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... .....
Venda de automóvel Gênero do cliente 0 - masculino 1 - feminino
EXEMPLO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
EXPERIMENTO VARIÁVEL ALEATÓRIA (x)
POSSÍVEIS VALORES 
DE x
Operar um Banco Tempo entre as chegadas dos clientes em minutos x ≥ 0
Encher um recipiente de 
refrigerante (máx = 343 ml) Número de ml 0 ≤ x ≤ 343 ml
Trabalhar em um projeto Porcentagem de término do projeto após 6 meses 0 ≤ x ≤ 100%
Testar um novo processo 
químico
Temperatura quando a 
desejada reação tem lugar 
(min. 65ºC; máx. 100ºC)
65 ≤ x ≤ 100 
EXEMPLO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
DISTRIBUIÇÃO	
  DISCRETA	
  DE	
  
PROBABILIDADES	
  
A	
  distribuição	
  de	
  
probabilidade	
  
para	
  uma	
  
variável	
  aleatória	
  
descreve	
  como	
  
as	
  probabilidades	
  
estão	
  distribuídas	
  
sobre	
  os	
  valores	
  
da	
  variável.	
  
x f(x)
0 0,18
1 0,39
2 0,24
3 0,14
4 0,04
5 0,01
Total = 1,00
Distribuição de probabilidade da venda 
diária de automóveis em uma loja
Imaginemos	
  uma	
  loja	
  de	
  automóveis.	
  
Representação	
  gráfica	
  da	
  distribuição	
  de	
  
probabilidade	
  para	
  as	
  vendas	
  de	
  automóveis	
  
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0 1 2 3 4 5
Nº automóveis vendidos
pr
ob
ab
ili
da
de
CONDIÇÕES	
  EXIGIDAS	
  PARA	
  UMA	
  
FUNÇÃO	
  DISCRETA	
  DE	
  PROBABILIDADES	
  
f(x)	
  ≥	
  0	
  
∑f(x)	
  =	
  1	
  
	
  
 
FUNÇÃO	
  DISCRETA	
  UNIFORME	
  DE	
  
PROBABILIDADES	
  
f(x)	
  =	
  1/n	
  
Onde:	
  
n	
  =	
  o	
  número	
  de	
  valores	
  que	
  a	
  variável	
  aleatória	
  pode	
  assumir.	
  
Se	
  	
  	
  x	
  =	
  1,	
  2,	
  3,	
  4,	
  5,	
  6	
  	
  
	
  f(x)	
  =	
  1/6	
  
f(x)	
  é	
  a	
  probabilidade	
  
de	
  que	
  o	
  valor	
  “x”	
  	
  
ocorra.	
  
x f(x) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
VALOR	
  ESPERADO	
  E	
  VARIÂNCIA	
  
•  VALOR	
  ESPERADO	
  ou	
  MÉDIA,	
  de	
  uma	
  variável	
  
aleatória	
  discreta	
  é	
  a	
  medida	
  da	
  posição	
  
central	
  para	
  a	
  variável	
  
∑== )()( xxfxE µ
•  VARIÂNCIA	
  de	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  é	
  a	
  
medida	
  da	
  dispersão	
  da	
  variável	
  em	
  relação	
  à	
  
Média	
  (Valor	
  Esperado).	
  
∑ −== )()()( 22 xfxxVar µσ
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   9	
  
Para	
  um	
  dado	
  de	
  6	
  faces	
  não	
  
viciadas	
  (x	
  =	
  valor	
  da	
  face)	
  
Σ(x-­‐µ)2.f(x)	
  
(1-­‐3,5)2.1/	
  6	
  =	
  1,04	
  	
  
(2-­‐3,5)2.1/	
  6	
  =	
  0,38	
  
(3-­‐3,5)2.1/	
  6	
  =	
  0,04	
  
(4-­‐3,5)2.1/	
  6	
  =	
  0,04	
  
(5-­‐3,5)2.1/	
  6	
  =	
  0,38	
  
(6-­‐3,5)2.1/	
  6	
  =	
  1,04	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Var(x)=2,92	
  	
  	
  	
  	
  
	
  x	
  	
  	
  	
  	
  f(x)	
  	
  	
  	
  	
  x.f(x)	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  x.f(x)	
  
1	
  	
  	
  	
  1/	
  6	
  	
  	
  	
  	
  1.1/6	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  1/	
  6	
  	
  
2 	
  1/	
  6	
  	
  	
  	
  	
  2.1/6	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  2/	
  6	
  	
  
3 	
  1/	
  6	
  	
  	
  	
  	
  3.1/6	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  3/	
  6	
  	
  
4 	
  1/	
  6	
  	
  	
  	
  	
  4.1/6	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  4/	
  6	
  
5 	
  1/	
  6	
  	
  	
  	
  	
  5.1/6	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  5/	
  6	
  	
  
6 	
  1/	
  6	
  	
  	
  	
  	
  6.1/6	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  6/	
  6	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  E(x)	
  =	
  Σx.f(x)	
  =	
  3,5	
  	
  	
  	
  	
  
x f(x)
0 0,18
1 0,39
2 0,24
3 0,14
4 0,04
5 0,01
Total = 1,00
Distribuição de probabilidade da venda 
diária de automóveis em uma loja
Na	
  nossa	
  loja	
  de	
  automóveis...	
  
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   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   11	
  
0,00
0,39
0,48
0,42
0,16
0,05
1,50
0
1
2
3
4
5
0,18
0,39
0,24
0,14
0,04
0,01
0 - 1,50 = -1,50
1 - 1,50 = -0,50
2 - 1,50 = 0,50
3 - 1,50 = 1,50
4 - 1,50 = 2,50
5 - 1,50 = 3,50
2,25
0,25
0,25
2,25
6,25
12,25
0 x 0,18 =
1 x 0,39 =
2 x 0,24 =
3 x 0,14 =
4 x 0,04 =
5 x 0,01 =
x f(x) x-µ (x-µ)^2 (x-µ)^2 . f(x)
Cálculo da Média e Variância para o número de automóveis vendidos
∑== )()( xxfxE µ
∑ −== )()()( 22 xfxxVar µσ
0,405
0,098
0,060
0,315
0,250
0,123
1,2501,250
Distribuição	
  Binomial	
  
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   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   13	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  BINOMIAL	
  
Ø  Está	
  associada	
  a	
  um	
  experimento	
  de	
  
múl<plas	
  etapas	
  com	
  as	
  seguintes	
  
caracterís<cas:	
  
1.  O	
  experimento	
  consiste	
  em	
  uma	
  etapa	
  de	
  n	
  
ensaios	
  idên<cos.	
  
2.  Dois	
  resultados	
  são	
  possíveis	
  em	
  cada	
  
ensaio	
  (sucesso	
  ou	
  fracasso).	
  
3.  As	
  probabilidades	
  não	
  se	
  modificam	
  de	
  
ensaio	
  a	
  ensaio.	
  
4.  P(sucesso)	
  =	
  p	
  	
  	
  e	
  	
  	
  	
  P(fracasso)	
  =	
  1-­‐p	
  (=q).	
  
5.  Os	
  ensaios	
  são	
  independentes	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   14	
  
Lojas	
  Mar<n	
  
•  Probabilidade	
  de	
  um	
  cliente	
  que	
  entra	
  fazer	
  
uma	
  compra	
  é	
  p	
  =	
  0,30	
  
•  Qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  2	
  em	
  cada	
  3	
  
clientes	
  que	
  entram	
  comprarem	
  (2	
  
sucessos	
  em	
  três	
  ensaios).	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   15	
  
S	
  
F	
  
S	
  
S	
  
F	
  
F	
  
S	
  
S	
  
S	
  
S	
  
F	
  
F	
  
F	
  
F	
  
(SSS)	
  	
  
(SSF)	
  
(SFS)	
  
(SFF)	
  
(FSS)	
  
(FSF)	
  
(FFS)	
  
(FFF)	
  
RESULTADOS	
  
VALORES	
  	
  
DE	
  X3	
  	
  
2	
  
2	
  
1	
  
2	
  
1	
  
1	
  
0	
  
Nº	
  de	
  resultados	
  possíveis	
  de	
  2	
  
compras	
  em	
  3	
  clientes:	
  
3
)!1(!2
!2.3
)!23(!2
!3 32 ==−
=C
Cliente	
  1	
   Cliente	
  2	
  
Cliente	
  3	
  
Loja	
  
Vazia	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   16	
  
Esses	
  três	
  resultados	
  se	
  referem	
  às	
  possibilidades	
  (SSF,	
  
SFS,	
  FSS).	
  Nos	
  três	
  casos	
  as	
  probabilidades	
  de	
  S	
  e	
  F	
  são:	
  
	
   	
  P(S)	
  =	
  p	
  
	
   	
  P(F)	
  =	
  1-­‐p	
  
Assim	
  temos	
  as	
  seguintes	
  probabilidades	
  experimentais	
  
	
  
1º Cliente 2º Cliente 3º Cliente
Compra Compra Não SSF pp(1-p) = p 2 (1-p)
Compra Não Compra SFS p(1-p)p = p 2 (1-p)
Não Compra Compra FSS (1-p)pp = p 2 (1-p)
Probabilidade
Resultados dos ensaios
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   17	
  
Note	
  que	
  p2(1-­‐p)	
  é	
  px(1-­‐p)(n-­‐x)	
  e	
  que	
  esta	
  probabilidade	
  se	
  
relaciona	
  a	
  cada	
  uma	
  das	
  possibilidades	
  (total	
  de	
  3)	
  de	
  
ocorrerem	
  2	
  sucessos	
  em	
  três	
  entradas	
  de	
  clientes	
  na	
  loja.	
  
Logo,	
  devemos	
  mul<plicar	
  esta	
  probabilidade	
  pelo	
  número	
  
de	
  alterna<vas	
  possíveis,	
  neste	
  caso	
  3.	
  
Assim	
  temos:	
  
3.	
  p2(1-­‐p)	
  	
  onde	
  	
  
	
   	
   	
   	
  3	
  =	
   	
  	
  	
  	
  ou 	
  	
  	
   	
  	
  
	
   	
   	
   	
  p2(1-­‐p)	
  	
  é	
  	
  	
  px(1-­‐p)(n-­‐x)	
  	
  
Generalizando	
  temos:	
  
3
2C
n
xC
)()1()( xnxnx ppCxf
−−=
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   18	
  
xnx pp
x
n
xXP −−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== )1()(
Valor esperado e Variância de uma distribuição binomial 
 
 E(X) = np Var (X) = np(1-p) 
E(X) 
DISTRIBUIÇÃO	
  BINOMIAL	
  
	
  
n	
  =	
  número	
  de	
  ensaios	
  
x	
  =	
  número	
  de	
  sucessos	
  nos	
  n	
  ensaios	
  
p	
  =	
  Probabilidade	
  de	
  sucesso	
  em	
  um	
  ensaio	
  
Onde:	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   19	
  
EXERCÍCIO	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   20	
  
“A	
  PROVA”	
  
Imaginem	
  uma	
  prova	
  de	
  esta;s<ca	
  de	
  10	
  questões	
  com	
  
múl<pla	
  escolha.	
  Ela	
  é	
  aplicada	
  na	
  rua,	
  onde	
  se	
  espera	
  que	
  
ninguém	
  conheça	
  a	
  matéria.	
  
A	
  probabilidade	
  dos	
  resultados	
  respeita	
  uma	
  distribuição	
  
binomial?	
  	
  
Qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  acerto	
  (sucesso)	
  para	
  o	
  caso	
  de	
  2	
  e	
  
5	
  opções?	
  Calcule	
  a	
  média	
  e	
  variância	
  em	
  cada	
  caso?	
  
Esboce	
  o	
  histograma	
  para	
  as	
  duas	
  distribuições.	
  
p	
  será	
  50%	
  ou	
  20%	
  respec<vamente.	
  
n	
  =	
  10	
  questões	
  
x	
  =	
  número	
  de	
  acertos	
  nas	
  10	
  questões	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   21	
  
Número de sucessos	
  
Distribuições Binomiais para p=0,5 e p=0,2	
  
0,000	
  
0,050	
  
0,100	
  
0,150	
  
0,200	
  
0,250	
  
0,300	
  
0,350	
  
0	
   1	
   2	
   3	
   4	
   5	
   6	
   7	
   8	
   9	
   10	
  
Pr
ob
ab
ili
da
de
s	
  
p=50% para	
  2	
  questões	
  
	
  p=20% para	
  5	
  questões	
  
SOLUÇÃO	
  
opções 2 para )5,01(5,0)( )10(10 xxxCxf
−−=
opções 5 para )2,01(2,0)( )10(10 xxxCxf
−−=
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p=50%
0,001
0,010
0,044
0,117
0,205
0,246
0,205
0,117
0,044
0,010
0,001
f(x)	
  
p=20%
0,107
0,268
0,302
0,201
0,088
0,026
0,006
0,001
0,000
0,000
0,000
E(X) = np 
Var (X) = np(1-p) 
E1(x) = 10.0,5=5 
E2(x) = 10.0,2=2 
Var1 (X) = 10.0,5(1-0,5) 
Var1 (X) = 2,5 
Var2 (X) = 10.0,2(1-0,2) 
Var2 (X) = 1,6 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   22	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  DE	
  POISSON	
  
	
  
PARÂMETROS:	
  µ	
  e	
  x	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   23	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  DE	
  POISSON	
  
2,71828 e onde 
!
)( ==
−
x
exf
x µµ
APLICAÇÃO:	
  
-­‐  Es<mar	
  número	
  de	
  ocorrências	
  sobre	
  um	
  intervalo	
  de	
  
tempo	
  ou	
  de	
  espaço	
  específicos	
  	
  
-­‐  Ex:	
  chegada	
  de	
  carros	
  em	
  lava-­‐jatos	
  em	
  uma	
  hora,	
  
número	
  de	
  buracos	
  em	
  cada	
  km	
  de	
  uma	
  estrada.	
  
PROPRIEDADES:	
  
-­‐  A	
  probabilidade	
  de	
  uma	
  ocorrência	
  é	
  a	
  mesma	
  para	
  
quaisquer	
  dois	
  intervalos	
  de	
  igual	
  comprimento.	
  
-­‐  A	
  ocorrência	
  ou	
  não	
  em	
  qualquer	
  intervalo	
  é	
  
independente	
  da	
  ocorrência	
  ou	
  não	
  em	
  qualquer	
  outro	
  
intervalo.	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   24	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  DE	
  POISSON	
  
!
)(
x
exf
x µµ −
=
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   25	
  
!
)(
x
exf
x µµ −
=
Média = 1
0, 00
0, 10
0, 20
0, 30
0, 40
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
Média = 2
0,00
0,10
0,20
0,30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Média = 3
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
Média = 4
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
Média = 5
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
Média = 10
0,00
0,05
0,10
0,15
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   26	
  
APLICAÇÃO	
  
Um	
  terminal	
  costuma	
  receber	
  96	
  navios	
  por	
  ano.	
  
Qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  se	
  receber	
  10	
  navios	
  em	
  um	
  
mês?	
  
POISSON	
  
f (10) = 8
10e−8
10! =
1.073.741.824 x 0,00033546
10! = 9,93%
Ou	
  direto	
  na	
  tabela	
  com	
  	
  	
  média	
  =	
  8	
  e	
  	
  	
  x	
  =	
  10	
  
p.567	
  1ª	
  Ed	
  p.551	
  2ª.	
  ed	
  
E(x)=96navios/12meses=8navios/mês	
  
f (x) = µ
xe−µ
x! onde e = 2,71828
Exercícios	
  
Pag.	
  225	
  
-­‐  26	
  
Pag.	
  226	
  
-­‐  31	
  
Pag.	
  230	
  
-­‐  39	
  
Pag.	
  231	
  
-­‐  41	
  
	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   28	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  
HIPERGEOMÉTRICA	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  HIPERGEOMÉTRICA	
  
•  é	
  uma	
  distribuição	
  de	
  probabilidade	
  discreta	
  
que	
  descreve	
  a	
  probabilidade	
  de	
  se	
  re<rar	
  	
  
•  x	
  elementos	
  do	
  <po	
  A	
  	
  
•  numa	
  sequência	
  de	
  n	
  extrações	
  	
  
•  de	
  uma	
  população	
  finita	
  de	
  tamanho	
  N,	
  	
  
•  com	
  K	
  elementos	
  do	
  <po	
  A	
  e	
  	
  
•  N-­‐K	
  elementos	
  do	
  <po	
  B,	
  	
  
•  sem	
  reposição	
  	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  HIPERGEOMÉTRICA	
  
•  Seja	
  N	
  um	
  conjunto	
  tal	
  que	
  existemK	
  elementos	
  do	
  
<po	
  A	
  e	
  	
  
•  N-­‐K	
  elementos	
  do	
  <po	
  B.	
  	
  
•  Um	
  conjunto	
  de	
  n	
  elementos	
  é	
  selecionado,	
  
aleatoriamente	
  e	
  sem	
  reposição,	
  do	
  conjunto	
  
de	
  N	
  elementos.	
  	
  
•  A	
  variável	
  aleatória	
  X	
  denota	
  o	
  número	
  de	
  elementos	
  
<po	
  A.	
  	
  
•  Então,	
  X	
  tem	
  distribuição	
  hipergeométrica	
  	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  HIPERGEOMÉTRICA	
  
•  Fusíveis	
  elétricos	
  são	
  embalados	
  em	
  caixas	
  de	
  
12	
  unidades.	
  Um	
  controlador	
  de	
  qualidade	
  
seleciona	
  uma	
  amostra	
  de	
  3	
  fusíveis	
  em	
  uma	
  
caixa	
  que	
  contém	
  exatamente	
  5	
  defeituosos.	
  
Qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  um	
  controlador	
  
encontrar	
  exatamente	
  1	
  dos	
  fusíveis	
  
defeituosos?	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  HIPERGEOMÉTRICA	
  
•  N=12	
  
•  K=5	
  
•  n=3	
  
•  x=1	
  
	
  
Resp.:	
  f(1)=0,4773	
  
f (x) =
5
1
!
"
#
$
%
&
7
2
!
"
#
$
%
&
12
3
!
"
#
$
%
&
DISTRIBUIÇÃO	
  HIPERGEOMÉTRICA	
  
35	
  
DISTRIBUIÇÕES	
  
CONTÍNUAS	
  DE	
  
PROBABILIDADE	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
36	
  
DISTRIBUIÇÕES	
  CONTÍNUAS	
  DE	
  
PROBABILIDADE	
  
Na distribuição discreta temos uma função de 
probabilidades associada a um dado valor de x 
(discreto). 
Na distribuição contínua temos uma FUNÇÃO 
DENSIDADE DE PROBABILIDADES. 
Na distribuição contínua não há probabilidades 
associadas a valores específicos de x, mas a 
regiões entre dois valores de x. 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
37	
  
Distribuição Normal 
	
  	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
38	
  
FUNÇÃO	
  DENSIDADE	
  DE	
  PROBABILIDADE	
  
2
2
1
2
1)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
= σ
µ
πσ
x
exf
Distribuição Normal 
ONDE:	
   	
  µ	
  =	
  média	
  
	
   	
  σ	
  =	
  desvio-­‐padrão	
  
	
   	
  π	
  =	
  3,14159	
  
	
   	
  e	
  =	
  2,71828	
  
Qual	
  o	
  valor	
  da	
  função	
  
para	
  a	
  média?	
  
x=µ	
  =>f(x)=1/(σ	
  √	
  2π)	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
39	
  
PROPRIEDADES DA CURVA 
NORMAL 
esperado)ou valor (média E(X) µ=
) padrão-Desvio (logo, Var(X) 2 σσ ==
±∞→→ xquando 0 f(x)
f(x) de máximo ponto o é x µ=
µ de tornoem simétrica é normal curvaA 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
40	
  
σ
µ−
=
XZ
 
CURVAS NORMAIS COM MESMO DESVIO 
PADRÃO MAS COM MÉDIAS DIFERENTES 
(µ 2 > µ 1) 
µ 2 > µ 1 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
41	
  
CURVAS NORMAIS COM MESMA MÉDIA 
MAS COM DESVIOS-PADRÕES 
DIFERENTES (σ2 > σ1) 
σ
µ−
=
XZ
 
σ2 > σ1 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
42	
  
USANDO	
  A	
  MEDIDA	
  	
  
DE	
  POSIÇÃO	
  RELATIVA	
  “z”	
  
•  Onde	
  z	
  é	
  a	
  distância	
  de	
  xi	
  à	
  média	
  em	
  desvios-­‐padrões;	
  
•  E	
  assim	
  teremos	
  uma	
  distribuição	
  normal	
  padrão	
  com	
  
média	
  zero	
  (0)	
  e	
  desvio	
  padrão	
  1.	
  
s
xxz i −=
•  Como já havíamos visto podemos transformar uma 
distribuição de x em uma distribuição da posição de 
x em relação à sua média e como uma proporção do 
desvio-padrão. 
x-­‐ Distância	
  de	
  xi	
  à	
  média	
  =	
  (xi	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  )	
  
• Comparando	
  com	
  s	
  temos:	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
43	
  
REDUÇÃO DE UMA CURVA NORMAL A UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
Z = X – µ 
 σ 
E(Z) = 0 
σ2 (Z) = 1 
Se X ~ N (µ; σ2) 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
44	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  NORMAL-­‐PADRÃO	
  DE	
  
PROBABILIDADE	
  
σ
µ−
= i
xz
1
0
=
=
σ
µ
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
45	
  
CÁLCULO	
  DE	
  PROBABILIDADES	
  
	
  P(a < X < b) = área sob a curva e acima do eixo horizontal (x) entre a e b 
 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
46	
  
CÁLCULO DE PROBABILIDADE EM UMA 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
- Calcular P(Z ≤ 1,79) 
A	
  
1,79	
  
Área	
  tabelada	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
47	
  
TABELA	
  	
  
DA	
  NORMAL	
  
PADRONIZADA	
  
Calcule	
  a	
  probabilidade	
  
de	
  um	
  ponto	
  entre	
  a	
  
média	
  e	
  1,79.	
  
P	
  (0	
  <	
  z	
  <	
  1,79)	
  =	
  	
  
z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3 0,4986 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
0,4633	
  
48	
  
CÁLCULO DE PROBABILIDADE EM UMA 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
- Calcular P(Z ≤ 1,79) 
P(Z ≤ 1,79) = 0,500 + 0,4633 = 0,9633 ou 96,33% 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  FernandoFerraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
49	
  
EXERCÍCIO	
  
a)  Calcular P(Z > 1,5) 
b)  Calcular P(1,32 < Z <1,79) 
c)  Calcular P(-2,3 < Z < -1,49) 
d)  Calcular z para P(0 < Z < z) = 0,4975 
e)  Calcular z para P(- ∞ < Z < z) = 0,3192 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
Exercícios	
  
Pag.	
  257	
  
-­‐  8,	
  9	
  
Pag.	
  258	
  
-­‐  12	
  
Pag.	
  259	
  
-­‐  20	
  e	
  22	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
   50	
  
51	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  
EXPONENCIAL	
  
0 0, para 1)( ≥≥=
−
µ
µ
µ xexf
x
Ex:	
  Tempo	
  entre	
  chegadas	
  em	
  um	
  terminal,	
  tempo	
  
entre	
  chegadas	
  de	
  caminhões,	
  distância	
  entre	
  os	
  
maiores	
  defeitos	
  em	
  um	
  oleoduto.	
  
µ
ox
exxP
−
−=≤ 1)( 0
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
52	
  
P(x	
  ≤	
  6)	
  =	
  ?	
  
0,07	
  
0,06	
  
0,05	
  
0,04	
  
0,03	
  
0,02	
  
0,01	
  
0	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  EXPONENCIAL	
  
1-­‐e-­‐6/15=0,3297	
  
Qual	
  a	
  probabilidade	
  do	
  tempo	
  entre	
  carregamentos	
  de	
  	
  
6	
  minutos	
  ou	
  menos	
  para	
  um	
  sistema	
  com	
  tempo	
  médio	
  entre	
  
carregamentos	
  de	
  15	
  minutos	
  
 
15
1)( 15
x
exf
−
= 15
6
1)6(
−
−=≤ exP
53	
  
AMOSTRAGEM	
  E	
  
DISTRIBUIÇÕES	
  
AMOSTRAIS	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
54	
  
CONCEITOS 
POPULAÇÃO	
  –	
  É	
  o	
  conjunto	
  de	
  todos	
  os	
  elementos	
  
de	
  interesse	
  em	
  um	
  estudo.	
  
AMOSTRA	
  –	
  É	
  um	
  subconjunto	
  da	
  população.	
  
PARÂMETRO	
  –	
  é	
  a	
  medida	
  usada	
  para	
  descrever	
  
uma	
  caracterís<ca	
  numérica	
  da	
  população.	
  
ESTIMADOR	
  –	
  ou	
  esta9s:ca	
  é	
  uma	
  caracterís<ca	
  
numérica	
  de	
  uma	
  determinada	
  amostra.	
  
ERRO	
  AMOSTRAL	
  –	
  É	
  o	
  erro	
  que	
  ocorre	
  justamente	
  
pelo	
  uso	
  da	
  amostra.	
  
INFERÊNCIA	
  –	
  São	
  suposições	
  que	
  são	
  feitas	
  sobre	
  o	
  
universo	
  (população)	
  a	
  par<r	
  de	
  caracterís<cas	
  e	
  
informações	
  ob<das	
  da	
  amostra.	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
55	
  
Tabela	
  de	
  números	
  aleatórios	
  
51772 74640 42331 29044 46621 62898 93582 4186 19640 87056
24033 23491 83587 6568 21960 21387 76105 10863 97453 90581
45939 60173 52078 25424 11645 55870 56974 37428 93507 94271
30586 2133 75797 45406 31041 86707 12973 17169 88116 41287
3585 79353 81938 82322 96799 85659 36081 50884 14070 74950
64937 3355 95863 20790 65304 55189 745 65253 11822 15804
15630 64759 51135 98527 62586 41889 25439 88036 24034 67283
9448 56301 57683 30277 94623 85418 68829 6652 41982 49159
21631 91157 77331 60710 52290 16835 48653 71590 16159 14676
91097 17480 29414 6829 87843 28195 27279 47152 35683 47280
50532 25496 95652 42457 73547 76552 50020 24819 52984 76168
7136 40876 79971 54195 25708 51817 36732 72484 94923 75936
27989 64728 10744 8396 56242 90985 28868 99431 50995 20507
85184 73949 36601 46253 477 25234 9908 36574 72139 70185
54398 21154 97810 36764 32869 11785 55261 59009 38714 38723
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
56	
  
ESTIMATIVA	
  POR	
  PONTO	
  
• 	
  	
  É	
  a	
  es<ma<va	
  do	
  parâmetro	
  populacional	
  	
  	
  
	
  feita	
  com	
  uma	
  única	
  amostra	
  da	
  
população.	
  
• EXEMPLO:	
  
Para	
  a	
  população	
  de	
  colaboradores	
  de	
  uma	
  
empresa	
  uma	
  es<ma<va	
  para	
  a	
  altura	
  é:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  	
  	
  	
  =	
  1,76m	
  
s	
  	
  	
  =	
  0,08m	
  
x
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
57	
  
DISTRIBUIÇÕES	
  AMOSTRAIS	
  
µ=)(xE
7.5	
  DISTRIBUIÇÃO	
  AMOSTRAL	
  DE	
  x	
  
É	
  a	
  distribuição	
  de	
  probabilidade	
  de	
  todos	
  os	
  
valores	
  possíveis	
  da	
  média	
  da	
  amostra,	
  x.	
  
	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
58	
  
população da padrão-desvio
 de ãodistribuiç da padrão-desvio 
=
=
σ
σ x
x
n	
  =	
  tamanho	
  da	
  amostra	
  
N	
  =	
  tamanho	
  da	
  população	
  
SEJA:	
  
Desvio-­‐Padrão	
  da	
  distribuição	
  de	
  
x	
  (erro	
  padrão	
  da	
  média)	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
59	
  
finita População
.
1
 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
nN-
N-n
x
σ
σ
infinita População
 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
nx
σ
σ
Na	
  prá<ca	
  quando	
  
n/N	
  ≤	
  0,05	
  	
  
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
nx
σ
σ 
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
Desvio-­‐Padrão	
  da	
  distribuição	
  de	
  
x	
  (erro	
  padrão	
  da	
  média)	
  
60	
  
TEOREMA	
  DO	
  	
  
LIMITE	
  CENTRAL	
  
•  Ao	
  selecionar	
  amostras	
  aleatórias	
  simples	
  
de	
  tamanho	
  n	
  a	
  par<r	
  de	
  uma	
  população,	
  a	
  
distribuição	
  amostral	
  da	
  média	
  da	
  amostra	
  
pode	
  ser	
  aproximada	
  pela	
  distribuição	
  
normal	
  de	
  probabilidade	
  à	
  medida	
  que	
  o	
  
tamanho	
  da	
  amostra	
  se	
  torna	
  maior.	
  
A	
  distribuição	
  da	
  média	
  tende	
  à	
  normal	
  quando	
  n	
  
aumenta.	
  (n>30	
  =>X(x)	
  ~	
  N(µ, σx)	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
61	
  
62	
  
Relação	
  entre	
  o	
  tamanho	
  da	
  amostra	
  e	
  a	
  
distribuição	
  de	
  x	
  
RECORDANDO:	
  A	
  distribuição	
  de	
  x	
  é	
  normal	
  se:	
  
	
   	
   	
  	
  n	
  ≥ 30	
  
p.	
  267	
  
63	
  
EXERCÍCIO	
  
0,05n/N para 
1
)(
 0,05n/N para 
≥
−
−
=
≤=
N
nN
n
n
x
x
σσ
σσ
a)	
  
200)(
)(
=
=
xE
xE µ
Uma população tem média de 200 e um desvio-padrão de 50. 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 100 é tomada e a 
média da amostra será usada para estimar a média da 
população µ. 
a) Qual o valor esperado de x? 
b) Qual o desvio-padrão da distribuição de x? 
b)	
   Considerando	
  N	
  da	
  população	
  suficientemente	
  grande	
  
(>2.000)	
  podemos	
  dispensar	
  o	
  uso	
  do	
  fator	
  correwvo	
  	
  
(N-­‐n)/(N-­‐1)	
  
510/50
10050/
 
==
==
== nx
σσ
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
64	
  
EXERCÍCIO	
  
Uma população tem média de 200 e um desvio-padrão de 50. 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 100 é tomada e a 
média da amostra será usada para estimar a média da 
população µ. 
a)  Qual a probabilidade que média da amostra esteja dentro de ±5 
 da média da população 
b) Qual a probabilidade que média da amostra esteja dentro de ±10 
 da média da população 
5
200)(
=
===
x
xxE
σ
µµ
%26,68)205xP(195 logo 
1z então ,5 e 5 
 se 5 
5)
=<<
===
=−=⇒
−
=⇒±
σσ
µσ
σ
µµ
z
xz
xza
x
x
%	
  44	
  ,	
  95	
  	
  	
  	
  	
  	
  
)	
  210	
  x	
  P(190	
  	
  	
  logo	
  	
  	
  	
  	
  	
  
2	
  10	
  )	
  
=	
  <	
  <	
  
=	
  ⇒	
  ±	
   z	
  b	
   x	
  µ	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
65	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  AMOSTRAL	
  DA	
  
PROPORÇÃO	
  p	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
66	
  
É	
  a	
  distribuição	
  de	
  probabilidade	
  de	
  todos	
  os	
  
valores	
  possíveis	
  da	
  proporção	
  da	
  amostra	
  p.	
  
População	
  com	
  
proporção	
  p=?	
  
Uma	
  amostra	
  aleatória	
  simples	
  de	
  
n	
  elementos	
  é	
  selecionada	
  a	
  
par<r	
  da	
  população	
  
O	
  valor	
  de	
  p	
  é	
  usado	
  para	
  fazer	
  
inferências	
  sobre	
  o	
  valor	
  de	
  p.	
  
Os	
  dados	
  da	
  amostra	
  fornecem	
  
um	
  valor	
  para	
  a	
  proporção	
  
amostral	
  de	
  p	
  
7.6	
  DISTRIBUIÇÃO	
  AMOSTRAL	
  DE	
  p	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
67	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  AMOSTRAL	
  DE	
  UMA	
  
PROPORÇÃO	
  p	
  
ppE =)( Valor	
  esperado	
  de	
  p	
  de	
  uma	
  população	
  com	
  proporção	
  p	
  
DESVIO-­‐PADRÃO	
  (ERRO	
  PADRÃO	
  DA	
  PROPORÇÃO)	
  PARA	
  
POPULAÇÕES	
  FINITAS	
  E	
  INFINITAS	
  
finita População 
)1(
1 n
pp
N
nN
p
−
−
−
=σ
infinita População
)1(
n
pp
p
−
=σ
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
68	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  AMOSTRAL	
  DE	
  UMA	
  
PROPORÇÃO	
  p	
  
A	
  distribuição	
  amostral	
  de	
  p	
  	
  
é	
  normal	
  se:	
  
n.p≥5	
  e	
  n.q	
  ≥	
  5	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
69	
  
7.7	
  OUTROS	
  MÉTODOS	
  DE	
  
AMOSTRAGEM	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
70	
  
AMOSTRAGEM	
  ALEATÓRIA	
  
ESTRATIFICADA	
  
•  A	
  população	
  é	
  dividida	
  em	
  estratos.	
  
•  Dentro	
  de	
  cada	
  estrato	
  há	
  uma	
  grande	
  
homogeneidade	
  ou	
  pequena	
  variabilidade	
  
•  Entre	
  os	
  estratos	
  há	
  uma	
  grande	
  
heterogeneidade	
  ou	
  variabilidade	
  
CARGOS POPULAÇÃO AMOSTRA
Chefe de seção 5.000 250
Operários especializados 15.000 750
Operários não especializados 30.000 1.500
TOTAL 50.000 2.500
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
71	
  
AMOSTRAGEM	
  POR	
  
CONGLOMERADOS	
  
•  A	
  população	
  é	
  dividida	
  em	
  grupos	
  ou	
  
conglomerados.	
  
•  Dentro	
  de	
  cada	
  grupo	
  há	
  uma	
  pequena	
  
homogeneidade	
  ou	
  grande	
  variabilidade	
  
•  Entre	
  os	
  grupos	
  há	
  uma	
  pequena	
  
heterogeneidade	
  ou	
  variabilidade	
  
EXEMPLO:	
  	
  
Estudar	
  a	
  aderência	
  aos	
  procedimentos	
  ambientais	
  
em	
  plataformas	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
72	
  
AMOSTRAGEM	
  SISTEMÁTICA	
  
•  Define-­‐se	
  um	
  indivíduo/elemento	
  inicial.	
  
•  Define-­‐se	
  fator	
  de	
  sistema<zação	
  s.	
  
•  A	
  amostra	
  é	
  tomada	
  considerando	
  a	
  ordem	
  
do	
  primeiro	
  elemento	
  m	
  somada	
  aos	
  
múl<plos	
  de	
  s	
  
2º	
  elemento	
  =>	
  m+s	
  
3º	
  elemento	
  =>	
  m+2s	
  
4º	
  elemento	
  =>	
  m+3s	
  
nº	
  elemento	
  =>	
  m+(n-­‐1)s	
  
1º	
  elemento	
  =>	
  m	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
73	
  
AMOSTRAGENS	
  NÃO	
  
PROBABILÍSTICAS	
  
AMOSTRAGEM	
  DE	
  CONVENIÊNCIA	
  
Quando	
  há	
  dificuldade	
  ou	
  é	
  impossível	
  
selecionar	
  indivíduos	
  aleatoriamente	
  
AMOSTRAGEM	
  DE	
  JULGAMENTO	
  
Quando	
  o	
  pesquisador	
  tem	
  grande	
  experiência	
  
e	
  escolhe	
  uma	
  amostra	
  que	
  considera	
  
representa<va.	
  
21/02/14	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca