Aula 3 Revisão de Estatística Intervalo de Confiança e Teste de Hipótese

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05/12/12	
  
1	
  
1 
TQC – UFF 
Eng. de Produção 
 
Revisão de Estatística – Parte 3 
 
Intervalo de Confiança e 
Teste de Hipóteses 
05/12/12	
   TQC	
  -­‐	
  Prof.	
  Fernando	
  Ferraz	
  -­‐	
  Rev	
  Esta;s<ca	
  
ERRO	
  DA	
  AMOSTRA	
  
|| 
amostragem de erro 
µε
ε
−=
=
x
O	
  quanto	
  a	
  média	
  amostral	
  se	
  afasta	
  da	
  média	
  da	
  
população.	
  Ao	
  se	
  es<mar	
  a	
  média	
  populacional	
  por	
  uma	
  
média	
  amostral	
  pode-­‐se	
  perguntar:	
  
Qual	
  o	
  erro	
  associado	
  a	
  esta	
  es<ma<va?	
  
8.1	
  ESTIMATIVA	
  POR	
  INTERVALO	
  PARA	
  
MÉDIA	
  (σ	
  conhecido)	
  
05/12/12	
  
2	
  
ε =	
  Erro	
  da	
  amostra	
x
1x
3x
2x
µ	
ε1 =	
  x1-­‐µ	
ε2 =	
  x2-­‐µ	
ε3 =	
  x3-­‐µ	
α/2	
 α/2	
Se	
  n≥30	
  =>X(x)	
  ~	
  N(µ,	
  σx)	
  
se	
  n/N	
  ≤	
  0,05	
  	
  
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
nx
σ
σ 
Zα/2.σx	
  x – µ = 
1-α	
•  Declaração	
  de	
  Precisão	
  	
  	
  
	
  	
  Há	
  uma	
  probabilidade	
  1	
  -­‐	
  α	
  	
  que	
  o	
  valor	
  da	
  
média	
  da	
  amostra	
  apresente	
  um	
  erro	
  de	
  zα/2.σx	
  
ou	
  menos	
  
µ	
α/2 α/2 
1 - α de 
todos os valores 
Distribuição das 
médias amostrais x
x
[----------------- -----------------] 1x
2x[----------------- -----------------] 
3x[----------------- -----------------] 
05/12/12	
  
3	
  
EsNmaNva	
  por	
  intervalo	
  com	
  σ 
conhecido	
  
Para	
  n	
  ≥	
  30	
  a	
  distribuição	
  da	
  média	
  amostral	
  
independe	
  da	
  distribuição	
  da	
  variável	
  e	
  pode	
  
ser	
  considerada	
  normal.	
  	
  
Assim:	
  	
   x ± zα 2
σ
n
é o intervalo de confiança onde: 
•  1-α é o coeficiente de confiança (= 0,95), 
•  zα/2 é o valor de z que fornece a área α/2. 
lembrem − se σ x =
σ
n
 
p/ n/N ≤ 0,05
Seja	
  uma	
  variável	
  “sa<sfação	
  do	
  cliente”	
  e	
  uma	
  amostra	
  de	
  100	
  
indivíduos.	
  Vamos	
  assumir	
  que	
  o	
  σ da	
  população	
  seja	
  20	
  e	
  
encontramos	
  uma	
  média	
  de	
  83	
  para	
  os	
  100	
  indivíduos.	
  
100
83x
20 
dodesconheci é 
=
=
=
n
σ
µ
Há	
  uma	
  probabilidade	
  
de	
  95%	
  de	
  que	
  a	
  
amostra	
  apresente	
  um	
  
erro	
  de	
  3,92	
  ou	
  
menos.	
  
Como	
  n>30	
  =>	
  Distribuição	
  normal	
  
Com	
  média	
  µ	
  e	
  Desvio-­‐padrão	
  σ/√n	
  
 = 20/√100 = 2	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
xσ
Logo:	
  	
  95%	
  de	
  todos	
  os	
  	
  	
  x	
  devem	
  estar	
  entre	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  x	
  ±	
  1,96.2	
  ou	
  x	
  ±	
  3,92	
  
83-­‐3,92	
   83+3,92	
  83	
  
05/12/12	
  
4	
  
Um intervalo de confiança exige: 
a)  Uma estimativa pontual e, 
b)  Um valor ± que é chamado de margem de erro. 
No	
  intervalo	
  de	
  	
  x	
  ±	
  3,92	
  temos	
  a	
  confiança	
  de	
  que	
  
teremos	
  	
  95%	
  das	
  médias.	
  	
  
Em	
  esta;s<ca	
  dizemos	
  que	
  o	
  intervalo	
  de	
  confiança	
  
está	
  estabelecido	
  a	
  um	
  nível	
  de	
  confiança	
  de	
  95%.	
  
O	
  valor	
  0,95	
  é	
  chamado	
  coeficiente	
  de	
  confiança.	
  
EXEMPLO	
  
• Uma	
   rede	
   de	
   lojas	
   decide	
   por	
   novas	
   unidades	
  
em	
  parte	
  pela	
  renda	
  média	
  anual	
  dos	
  indivíduos	
  
da	
  região.	
  
• Pesquisas	
   similares	
   de	
   renda	
   anual	
   média	
  
mostram	
  um	
  σ =	
  R$	
  5.000,00.	
  
• A	
  rede	
  realizou	
  uma	
  pesquisa	
  com	
  uma	
  amostra	
  
aleatória	
  simples	
  de	
  64	
  indivíduos.	
  
• Qual	
  o	
  erro	
  máximo	
  esperado	
  para	
  esta	
  média	
  
em	
  relação	
  à	
  média	
  do	
  universo?	
  
05/12/12	
  
5	
  
DECLARAÇÃO	
  DE	
  PRECISÃO	
  
σ x
95% das médias amostrais que podem ser observadas estão 
contidas em + 1.96 da média populacional µ. 
σ σx n= = =
5 000
64 625
, σ xSe , então 1.96. = 1.225,00. 
xσ
Há uma probabilidade de 95% que o valor da média amostral 
terá um erro de z2,5%. ou menos, conforme podemos ver 
abaixo: 
NO	
  NOSSO	
  EXEMPLO	
  
Vimos	
  que	
  há	
  uma	
  probabilidade	
  de	
  95%	
  que	
  o	
  valor	
  da	
  
média	
  amostral	
  terá	
  um	
  erro	
  máximo	
  de	
  R$1.225,00.	
  
	
  	
  	
   	
  	
  
σ xIsto	
  é,	
  95%	
  das	
  médias	
  amostrais	
  estarão	
  dentro	
  de	
  +	
  1.96	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  da	
  média	
  populacional	
  µ.	
  
Se	
  a	
  média	
  da	
  amostra	
  encontrada	
  for	
  de	
  R$	
  21.100,00	
  podemos	
  afirmar	
  que	
  o	
  
nosso	
  intervalo	
  es<mado	
  para	
  µ	
  é	
  	
  
R$	
  21.100,00	
  +	
  R$1.225,00	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
   	
   	
  ou	
  R$19.875,00	
  até	
  R$	
  22.325,00	
  
Estamos	
  95%	
  confiantes	
  que	
  este	
  intervalo	
  contém	
  a	
  média	
  populacional	
  
verdadeira	
  
05/12/12	
  
6	
  
Es<ma<va	
  de	
  Intervalo	
  para	
  a	
  Média	
  
Populacional:	
  	
  	
   σ conhecido	
  
•  Com	
  σ Conhecido	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  
onde:	
  	
  	
  	
  	
  1	
  -­‐α	
  	
  	
  é	
  o	
  coeficiente	
  de	
  confiança	
  
	
   	
  	
  	
  zα/2	
  	
  	
  	
  é	
  o	
  valor	
  de	
  z	
  que	
  define	
  uma	
  área	
  de	
  α/2	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  na	
  cauda	
  superior	
  da	
  Curva	
  Normal	
  Reduzida	
  
	
   	
  	
  n	
  	
  	
  é	
  o	
  tamanho	
  da	
  amostra	
  
	
  
x z
n
± α
σ
/2
EXERCÍCIO	
  5	
  	
  
p.277	
  
05/12/12	
  
7	
  
EXERCÍCIOS	
  
p.	
  277	
  
2	
  
P.277	
  	
  
6	
  
7	
  
	
  
	
  
8.2	
  EsNmaNva	
  por	
  intervalo	
  da	
  	
  
Média	
  Populacional:	
  
σ	
  desconhecido	
  
05/12/12	
  
8	
  
8.2	
  Es<ma<va	
  por	
  intervalo	
  da	
  	
  
Média	
  Populacional:	
  
σ	
  desconhecido	
  
População	
  tem	
  Distribuição	
  Normal	
  e	
  σ	
  	
  é	
  
desconhecido.	
  
	
  
A	
  es<ma<va	
  de	
  intervalo	
  adequada	
  é	
  baseada	
  na	
  distribuição	
  de	
  	
  
probabilidade	
  chamada	
  t	
  de	
  student.	
  	
  
DISTRIBUIÇÃO	
  	
  t	
  
•  A	
  distribuição	
  t	
  é	
  uma	
  família	
  de	
  distribuição	
  de	
  
probabilidades	
  
•  A	
  distribuição	
  t	
  	
  depende	
  de	
  um	
  parâmetro	
  
conhecido	
  como	
  graus	
  de	
  liberdade.	
  
•  Quando	
  o	
  número	
  de	
  graus	
  de	
  liberdade	
  
aumenta,	
  diminui	
  a	
  diferença	
  entre	
  a	
  
distribuição	
  t	
  e	
  a	
  distribuição	
  normal	
  padrão.	
  
•  A	
  distribuição	
  t	
  	
  com	
  mais	
  graus	
  de	
  liberdade	
  
tem	
  uma	
  dispersão	
  menor.	
  
•  A	
  média	
  da	
  distribuição	
  t	
  	
  é	
  zero.	
  
05/12/12	
  
9	
  
t	
  Student	
  	
  e	
  graus	
  de	
  liberdade	
  
EsNmaNva	
  por	
  intervalo	
  para	
  a	
  Média	
  da	
  População:	
  
σ	
  desconhecido	
  
•  EsNmaNva	
  do	
  intervalo	
  
	
  
	
  
	
  onde	
  	
  	
  	
  1	
  -­‐α	
  	
  	
  =	
  é	
  o	
  coeficientede	
  confiança 	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  	
  tα/2	
  	
  =	
  o	
  valor	
  t	
  	
  denota	
  a	
  área	
  de	
  α/2	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  na	
  cauda	
  superior	
  da	
  distribuição	
  t	
  	
   	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  com	
  n	
  -­‐	
  1	
  graus	
  de	
  liberdade	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  s	
  	
  =	
  é	
  o	
  desvio-­‐padrão	
  da	
  amostra	
  
x t s
n
± α/2
05/12/12	
  
10	
  
EsNmaNva	
  por	
  intervalo	
  para	
  a	
  Média	
  da	
  População:	
  
σ	
  desconhecido	
  
•  EsNmaNva	
  do	
  intervalo	
  
	
  
	
  
•  Se	
  a	
  Distribuição	
  de	
  “x”	
  não	
  é	
  normal	
  o	
  intervalo	
  
é	
  aproximado	
  e	
  a	
  qualidade	
  da	
  aproximação	
  
depende	
  tanto	
  da	
  distribuição	
  quanto	
  do	
  
tamanho	
  da	
  amostra	
  “n”.	
  
•  Geralmente	
  se	
  n	
  ≥	
  30	
  a	
  aproximação	
  é	
  boa,	
  mas	
  
se	
  a	
  assimetria	
  é	
  muito	
  grande	
  sugere-­‐se	
  n	
  ≥	
  50	
  	
  
x t s
n
± α/2
Exemplo:	
  	
  Aluguel	
  de	
  Apartamento	
  
•  Es<ma<va	
  por	
  intervalo	
  da	
  média	
  da	
  população:	
  
	
  Caso	
  com	
  σ	
  	
  desconhecido.	
   	
  	
  
	
  Um	
  estudante	
  fez	
  uma	
  pesquisa	
  sobre	
  moradia.	
   	
  Uma	
  
amostra	
   de	
   10	
   aptos	
   de	
   1	
   quarto	
   em	
   até	
   1	
   km	
   do	
  
Campus	
   apresentou	
   uma	
  média	
   de	
   R$	
   350,00/mês	
   e	
  
um	
  desvio-­‐padrão	
  da	
  amostra	
  de	
  	
  R$	
  30,00.	
  
	
   	
   Assumindo	
   que	
   a	
   distribuição	
   é	
   normalmente	
  
distribuída,	
  qual	
  o	
  intervalo	
  de	
  confiança	
  de	
  95%	
  	
  para	
  
a	
   média	
   da	
   população	
   de	
   aluguéis	
   de	
   aptos	
   de	
   1	
  
quarto	
  a	
  até	
  1km	
  do	
  Campus?	
  
05/12/12	
  
11	
  
•  Valor	
  de	
  t	
  
	
  A	
  95%	
  de	
  confiança,	
  1	
  -­‐	
  α	
  =	
  0,95	
  	
  ⇒	
  α	
  =	
  0,05	
  	
  e	
  	
  α/2	
  =	
  0,025.	
  
	
  t.025	
  é	
  baseado	
  em	
  n	
  -­‐	
  1	
  =	
  10	
  -­‐	
  1	
  =	
  9	
  graus	
  de	
  liberdade.	
  
	
  Na	
  tabela	
  da	
  distribuição	
  t	
  	
  podemos	
  ver	
  que	
  t.025	
  =	
  
2,262.	
  
Graus de Área na cauda superior (α/2)
Liberdade 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005
. . . . . .
7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169
. . . . . .
•  Es<ma<va	
  por	
  intervalo	
  da	
  média	
  da	
  população:	
  
	
  Caso	
  com	
  σ	
  	
  desconhecido.	
  	
  
n
stx 025.± 10
30262.2350±=
350	
  +	
  21,46	
  	
  	
  	
  	
  ou	
  	
  	
  	
  	
  	
  R$	
  328,54	
  	
  a	
  	
  R$	
  371,46	
  
	
  
	
   Estamos	
   95%	
   confiantes	
   que	
   a	
   média	
   de	
  
aluguéis	
  mensais	
  para	
  a	
  população	
  de	
  aptos	
  de	
  
1	
   quarto	
   distantes	
   até	
   1	
   km	
   do	
   Campus	
   está	
  
entre	
  R$	
  328,54	
  e	
  R$	
  371,46.	
  
05/12/12	
  
12	
  
EXERCÍCIOS	
  
P.286	
  
•  21	
  
	
  
	
  	
  	
  Média	
  =	
  108	
  
	
  	
  	
  Desvio	
  padrão	
  =	
  9,67	
  
	
  
	
  
	
  
8.3	
  Determinando	
  o	
  Tamanho	
  da	
  
Amostra	
  
•  Seja	
  E	
  =	
  o	
  erro	
  amostral	
  máximo	
  definido	
  na	
  
declaração	
  de	
  precisão.	
  
•  E	
  é	
  a	
  quan<dade	
  a	
  ser	
  adicionada	
  ou	
  subtraída	
  da	
  
es<ma<va	
  por	
  ponto	
  para	
  definir	
  o	
  intervalo	
  de	
  
confiança	
  
•  E	
  é	
  também	
  conhecido	
  como	
  a	
  	
  margem	
  de	
  erro.	
  
•  Então:	
  
	
  
•  Resolvendo	
  para	
  	
  n:	
  	
  
E z
n
= α
σ
/2
n z
E
=
( )/α σ2
2 2
2
05/12/12	
  
13	
  
EXEMPLO	
  
	
   Uma	
   população	
   tem	
   estatura	
   média	
   de	
   1,72m	
   e	
  
desvio-­‐padrão	
  de	
  0,10m,	
  qual	
  o	
  número	
  de	
  indivíduos	
  
em	
   uma	
   amostra	
   aleatória	
   simples	
   para	
   prover	
   um	
  
intervalo	
  de	
   confiança	
   com	
  um	
  nível	
   de	
   confiança	
  de	
  
95%	
  e	
  um	
  erro	
  máximo	
  de	
  0,05m?	
  
2
22
2/ )(
E
zn σα= == 2
22
)05,0(
)10,0.()96,1(
15,37	
  =16	
  indivíduos	
  
E	
  se	
  a	
  margem	
  de	
  erro	
  fosse	
  definida	
  em	
  0,5cm	
  
(0,005m)?	
  
n	
  =	
  1.537	
  indivíduos	
  
EXERCÍCIOS	
  
P.289	
  	
  
26	
  
•  30	
  (considerar	
  	
  “geralmente	
  ,	
  em	
  95%	
  dos	
  	
  
casos”)	
  
	
  
	
  
	
  
05/12/12	
  
14	
  
8.4	
  Es<ma<va	
  por	
  Intervalo	
  de	
  uma	
  
Proporção	
  da	
  População	
  
•  Estimativa do intervalo 
 
 
 onde: 1 -α é o coeficiente de confiança 
 zα/2 é o valor de z que define uma área 
 de α/2 na cauda superior da curva 
 normal padrão 
 é a proporção da amostra 
 n é o tamanho da amostra 
p	
   z	
  
p	
   p	
  
n	
  
±	
  
-	
  
α	
  /	
  
(	
   )	
  
2	
  
1	
  
p	
  
Aproximação	
  Normal	
  da	
  Distribuição	
  Amostral	
  
de	
  	
  	
  	
  	
  quando	
  np	
  ≥	
  5	
  e	
  n(1-­‐p)	
  ≥	
  5	
  
Distribuição 
Amostral de p	
  n	
  
p	
  p	
  
p	
  
)	
  1	
  .(	
   -	
  =	
  σ	
  
p	
  
pz σα 2/
p 
α/2 α/2 1 - α 
pz σα 2/
p	
  
05/12/12	
  
15	
  
	
   	
   Uma	
   empresa	
   de	
   pesquisa	
   eleitoral	
   quer	
  
uma	
  confiança	
  de	
  99%	
  de	
  que	
  a	
  proporção	
  
amostral	
   esteja	
   em	
   um	
   intervalo	
   de	
   no	
  
máximo	
   ±	
   0,03	
   da	
   proporção	
   populacional	
  
real.	
  Em	
  um	
  estudo	
  piloto	
  foi	
  es<mada	
  uma	
  
proporção	
  de	
  0,44.	
  
	
   	
  Qual	
  o	
   tamanho	
  da	
  amostra	
  necessário	
  
para	
  atender	
  à	
  precisão	
  desejada?	
  
Exemplo:	
  	
  Pesquisa	
  pré-­‐eleitoral	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  A	
  99%	
  de	
  confiança,	
  z.005	
  =	
  2.576.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  Note:	
  	
  usamos	
  0,44	
  como	
  a	
  melhor	
  es<ma<va	
  de	
  	
  p	
  
no	
  cálculo.	
  Se	
  nenhuma	
  informação	
  sobre	
  p	
  é	
  
disponível	
  usamos	
  0,5	
  pois	
  esta	
  es<ma<va	
  implica	
  
no	
  maior	
  tamanho	
  da	
  amostra.	
  
	
   	
  Se	
  <véssemos	
  usado	
  0,5	
  teríamos	
  encontrado	
  	
  
	
   	
  n	
  =	
  1843.	
  
n z p p
E
=
−
= ≅
( ) ( ) ( . ) (. )(. )
(. )
/α 2
2
2
2
2
1 2 576 44 56
03
1817
05/12/12	
  
16	
  
Gráfico de p.(1-p)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
p
p.
(1
-p
)
EXERCÍCIO	
  
	
  Uma	
  amostra	
  de	
  532	
  assinantes	
  da	
  revista	
  
Business	
  Week	
  revelou	
  que	
  o	
  tempo	
  médio	
  que	
  o	
  
assinante	
  gasta	
  usando	
  a	
  internet	
  é	
  de	
  6,7	
  horas	
  
semanais.	
  Se	
  o	
  desvio-­‐padrão	
  da	
  amostra	
  é	
  de	
  
5,8h,	
  qual	
  o	
  intervalo	
  de	
  confiança	
  para	
  a	
  
verdadeira	
  média	
  de	
  tempo	
  gasto	
  na	
  internetpelos	
  assinantes,	
  para:	
  
a)	
  90%;	
  	
  b)	
  95%;	
  	
  c)	
  99%	
  
d)	
  Considerando	
  uma	
  confiança	
  de	
  95%	
  e	
  um	
  erro	
  
máximo	
  para	
  a	
  média	
  verdadeira	
  de	
  0,5h	
  qual	
  
deveria	
  ser	
  o	
  tamanho	
  da	
  minha	
  amostra?	
  517	
  
05/12/12	
  
17	
  
EXERCÍCIO	
  
	
   Uma	
   amostra	
   de	
   100	
   equipes	
   terceirizadas	
  
revelou	
   que	
   80	
   delas	
   haviam	
   recebido	
   o	
  
treinamento	
   adequado	
   em	
   Segurança,	
   Meio	
  
Ambiente	
  e	
  Saúde.	
  	
  
Qual	
   o	
   intervalo	
   que	
   deverá	
   conter	
   a	
   proporção	
  
verdadeira	
  com	
  95%	
  de	
  confiança?	
  
	
  Se	
  usarmos	
  80%	
  como	
  uma	
  es<ma<va	
  razoável	
  
para	
   a	
   proporção,	
   qual	
   o	
   tamanho	
   da	
   amostra	
  
para	
   conseguirmos	
   99%	
   de	
   confiança	
   de	
   que	
  
cometeremos	
   um	
   erro	
   de	
   no	
   máximo	
   1%	
   em	
  
relação	
  à	
  proporção	
  verdadeira?	
  
34	
  
9.1	
  Desenvolvendo	
  as	
  Hipóteses	
  
Nula	
  e	
  Alterna<va	
  
•  Teste	
  de	
  Hipóteses	
  pode	
  ser	
  usado	
  para	
  determinar	
  se	
  
uma	
  afirmação	
  sobre	
  um	
  valor	
  de	
  um	
  parâmetro	
  da	
  
população	
  deve	
  ou	
  não	
  ser	
  rejeitada.	
  
•  A	
  Hipótese	
  Nula,	
  denotada	
  por	
  H0	
  ,	
  é	
  uma	
  afirmação	
  
sobre	
  um	
  parâmetro	
  da	
  população	
  	
  
•  A	
  Hipótese	
  Alterna<va,	
  denotada	
  por	
  Ha,	
  é	
  o	
  oposto	
  do	
  
que	
  foi	
  definido	
  na	
  Hipótese	
  Nula.	
  
•  Teste	
  de	
  Hipóteses	
  é	
  semelhante	
  a	
  um	
  processo	
  
criminal.	
  	
  As	
  hipóteses	
  são:	
  
	
   	
   	
  H0:	
  	
  O	
  réu	
  é	
  inocente	
  
	
   	
   	
  Ha:	
  	
  O	
  réu	
  é	
  culpado	
  
05/12/12	
  
18	
  
35	
  
•  Testando	
  as	
  Hipóteses	
  da	
  Pesquisa	
  
–  A	
  hipótese	
  de	
  pesquisa	
  deve	
  ser	
  expressa	
  como	
  hipótese	
  
alterna<va.	
  
–  A	
  conclusão	
  de	
  que	
  a	
  hipótese	
  de	
  pesquisa	
  é	
  verdadeira	
  
ocorre	
  caso	
  você	
  possa	
  rejeitar	
  a	
  hipótese	
  nula.	
  
•  Testando	
  a	
  validade	
  da	
  afirmação	
  
–  A	
  afirmação	
  do	
  produtor	
  geralmente	
  tem	
  o	
  bene}cio	
  da	
  
dúvida	
  e	
  a	
  par<r	
  dela	
  é	
  que	
  se	
  estabelece	
  	
  a	
  hipótese	
  
nula.	
  
–  A	
  conclusão	
  de	
  que	
  a	
  afirmação	
  é	
  falsa	
  é	
  baseada	
  em	
  
uma	
  amostra	
  que	
  contradiz	
  a	
  hipótese	
  nula.	
  
9.1	
  Desenvolvendo	
  as	
  Hipóteses	
  Nula	
  e	
  
AlternaNva	
  
36	
  
Ø A tomada de decisão 
• Um tomador de decisão pode ter que 
escolher entre dois cursos de ação, um 
associado à hipótese nula e outro 
associado à hipótese alternativa 
Ø Exemplos: 
• Aceitar ou devolver um carregamento de 
produtos de um fornecedor. 
• Realizar ou não um investimento. 
9.1	
  Desenvolvendo	
  as	
  Hipóteses	
  Nula	
  e	
  
AlternaNva	
  
05/12/12	
  
19	
  
37	
  
Resumo:	
  desenvolvimento	
  das	
  
Hipóteses	
  Nula	
  e	
  AlternaNva	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  H0:	
  	
  µ	
  >	
  µ0	
  	
  	
  	
  	
  	
  H0:	
  	
  µ	
  <	
  µ0	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  H0:	
  	
  µ	
  =	
  µ0	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  Ha:	
  	
  µ	
  <	
  µ0	
   	
  	
  	
  	
  	
  Ha:	
  	
  µ	
  >	
  µ0	
  	
  	
  	
  	
  Ha:	
  	
  µ	
  ≠	
  	
  µ0	
  
	
  	
  
•  A parte de igualdade aparece sempre na 
hipótese nula. 
•  Em geral, uma hipótese que faz um teste sobre 
o valor de uma média populacional µ deve ter 
uma das três formas a seguir (onde µ0 é o valor 
da média considerado na hipótese nula). 
38	
  
Exemplo	
  de	
  desenvolvimento	
  de	
  
Hipóteses	
  Nula	
  e	
  Alterna<va	
  
Um	
  gerente	
  quer	
  expedir	
  seus	
  produtos	
  a	
  par<r	
  do	
  
recebimento	
   de	
   um	
   pedido	
   em	
   no	
   máximo	
   36	
  
horas.	
   Ele	
   quer	
   saber	
   se	
   seu	
   processo	
   está	
  
atendendo	
   a	
   este	
   requisito	
   ou	
   não,	
   isto	
   é,	
   se	
   ele	
  
consegue	
   cumprir	
   seus	
   compromissos	
   com	
   seus	
  
clientes.	
  	
  
Ele	
   quer	
   realizar	
   uma	
   amostragem	
   para	
   testar	
   se	
  
pode	
  confiar	
  que	
  sua	
  média	
  de	
  atendimento	
  é	
  de	
  
36	
  horas	
  ou	
  menos.	
  
Como	
  definir	
  as	
  hipóteses	
  do	
  teste?	
  
05/12/12	
  
20	
  
39	
  
Exemplo	
  de	
  desenvolvimento	
  de	
  
Hipóteses	
  Nula	
  e	
  Alterna<va	
  
• Hipóteses	
  Nula	
  e	
  Alterna<va	
  	
  
	
   	
  	
  Hipóteses	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Conclusão	
  e	
  Ação	
  
	
   	
  H0:	
  	
  µ < 36	
   	
  Seu	
  processo	
  atende	
  aos	
  requisitos	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
  especificados,	
  logo	
  não	
  é	
  	
   	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
  necessária	
  nenhuma	
  ação.	
  
	
   	
  	
  Ha: µ > 36	
   	
  	
  Seu	
  processo	
  não	
  atende	
  aos	
  
	
   	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  	
  requisitos	
  especificados,	
  logo	
  é	
  
	
   	
   	
   	
  	
   	
   	
  	
  necessária	
  uma	
  ação	
  	
   	
  	
  
	
  
Onde:	
  	
  µ	
  =	
  tempo	
  médio	
  de	
  atendimento	
  para	
  a	
  população	
  
de	
  	
  pedidos	
  colocados	
  por	
  clientes.	
  
	
  
40	
  
EXERCÍCIO:	
  
Um	
  certo	
  resíduo	
  industrial	
  tem	
  um	
  teor	
  médio	
  aceitável	
  
de	
   contaminação	
   de	
   10	
   ppm	
   de	
   um	
   contaminante.	
   O	
  
processo	
   deve	
   respeitar	
   tal	
   determinação	
   para	
   evitar	
  
multas	
  do	
  órgão	
  ambiental.	
  Historicamente,	
  as	
  amostras	
  
re<radas	
  indicam	
  que	
  o	
  desvio-­‐padrão	
  é	
  de	
  0,5	
  ppm.	
  Foi	
  
encontrada	
   uma	
   amostra	
   com	
   11,1ppm.	
   Como	
   montar	
  
um	
  teste	
  de	
  hipótese	
  para	
  saber	
  se	
  há	
  desvio	
  na	
  média?	
  
• Hipóteses 	
  	
  
	
  H0:	
  	
  µ < 10ppm	
  	
  
	
  Ha: µ > 10ppm	
  	
05/12/12	
  
21	
  
41	
  
42	
  
EXERCÍCIO	
  
•  2,	
  pag.	
  312	
  
05/12/12	
  
22	
  
43	
  
9.2	
  ERROS	
  DO	
  TIPO	
  I	
  E	
  TIPO	
  II	
  
•  O	
  teste	
  é	
  feito	
  sobre	
  dados	
  de	
  uma	
  amostra,	
  logo,	
  existe	
  
probabilidade	
  de	
  erro.	
  
•  Um	
  Erro	
  do	
  <po	
  I	
  é	
  rejeitar	
  	
  H0	
  quando	
  ela	
  é	
  verdadeira.	
  
•  Um	
  Erro	
  do	
  <po	
  II	
  é	
  não	
  rejeitar	
  	
  H0	
  quando	
  ela	
  é	
  falsa.	
  
•  A	
   pessoa	
   que	
   conduz	
   o	
   teste	
   especifica	
   o	
   máximo	
   de	
  
probabilidade	
  que	
  ela	
  quer	
  correr	
  de	
  cometer	
  o	
  erro	
  <po	
  
I,	
   denotado	
   por	
  α	
   e	
   chamado	
  nível	
   de	
   significância	
   do	
  
teste.	
  
•  Geralmente	
   não	
   controlamos	
   a	
   probabilidade	
   de	
  
ocorrência	
  do	
  erro	
  do	
  <po	
  II,	
  também	
  chamado	
  de	
  β.	
  
•  Os	
  esta;s<cosevitam	
  o	
  erro	
  β	
  	
  usando	
  a	
  terminologia	
  de	
  
“não	
  rejeitar”	
  e	
  não	
  usando	
  o	
  termo	
  “aceitar” H0.	
  
44	
  
No	
  nosso	
  exemplo:	
  
• Erros	
  do	
  Kpo	
  I	
  e	
  Kpo	
  II	
  
	
  	
   	
   	
   	
  	
  Condições	
  da	
  População	
  
	
   	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  	
  	
  	
  H0	
  Verdadeiro 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Ho	
  Falso	
  
	
   	
  Conclusão 	
   	
  	
  	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  (µ <36	
  )	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  (µ >36	
  )	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  Não	
  Rejeito	
  H0 	
  	
  
	
  	
  	
  (Concluo	
  que	
  µ <36)	
   	
  	
  	
  	
   	
  	
  
	
  
	
   	
  	
  	
  Rejeito	
  H0 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  	
  
	
  	
  	
  	
  (Concluo	
  que	
  µ >36) 	
 	
  	
  
Conclusão	
  
Correta	
  
Conclusão	
  
Correta	
  
Erro	
  do	
  
Tipo	
  I	
  (α)	
  
Erro	
  do	
  
Tipo	
  II	
  (β)	
  
NÍVEL	
  DE	
  SIGNIFICÂNCIA	
  
05/12/12	
  
23	
  
45	
  
≤	
  36	
   >	
  36	
  
Regra de Rejeição 
Rejeito Ho Não Rejeito Ho 
Distância entre µo e Xbarra da Regra de Rejeição: 
 z= x−µ0
σ / n ou x−µ0=z.σ / n
x
46	
  
EXERCÍCIO:	
  
Um novo método de produção será implantado se um teste 
evidenciar que haverá redução de custos médios 
operacionais por hora. 
• Hipóteses 	
  	
  
	
  H0:	
  	
  µ > 220,00	
  	
  
	
  Ha: µ < 220,00	
  	
  
a)  Estabeleça o TH onde o custo atual é de R$ 220,00/h. 
b)  Qual o Erro do tipo I (alfa) e quais as conseqüências em se 
cometer tal erro? 
c)  Qual o Erro do Tipo II (beta) e quais as conseqüência em se 
cometer tal erro? 
05/12/12	
  
24	
  
47	
  
EXERCÍCIO:	
  
O rótulo em um recipiente de três quartos de litro de suco 
de laranja indica que o suco de laranja contém uma média 
de um grama de gordura ou menos. 
a)	
  Hipóteses 	
  	
  
H0:	
  	
  µ ≤ 1,00	
  g	
  
Ha: µ > 1,00	
  g	
  
a)  Estabeleça o TH com hipóteses nula e alternativa. 
b)  Qual o Erro do tipo I (alfa) e quais as conseqüências em se 
cometer tal erro? 
c)  Qual o Erro do Tipo II (beta) e quais as conseqüência em se 
cometer tal erro? b) Assumo que tem mais 
gordura do que realmente 
tem. 
c) Assumo que tem menos 
gordura quando na realidade 
tem mais de 1 grama. 
48	
  
EXERCÍCIO	
  
•  7,	
  pag.	
  314	
  
05/12/12	
  
25	
  
49	
  
9.3	
  Testes	
  unicaudais	
  para	
  a	
  média	
  da	
  
população:	
  	
  σ Conhecido	
  
•  Hipóteses 	
  	
  
	
   	
  H0:	
  	
  µ < µ0 	
 ou	
  	
   	
  H0:	
  	
  µ > µ0	
  
	
   	
   	
   	
  Ha: µ > µ0 	
	
 	
 	
Ha: µ < µ0	
  
•  EstansNca	
  de	
  teste 	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  σ Conhecido	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  	
  
•  Regra	
  de	
  Rejeição	
  	
  
	
   	
  	
  	
  Rejeito	
  H0	
  se	
  z	
  >	
  zα Rejeito	
  H0	
  se	
  z	
  <	
  -­‐zα	
z x n=
−µ
σ
0
/
50	
  
No	
  nosso	
  exemplo:	
  
•  Teste	
  unicaudal	
  para	
  a	
  média	
  da	
  população	
  
	
   	
  Seja	
  α	
  =	
  P	
  (Erro	
  <po	
  I)	
  =	
  0,05	
  	
  
Rejeito H0 
Distribuição amostral 
de (assumindo H0 
verdadeiro e µ = 36) 
x
36 
x
1,645σ	
x
α = 0,05	
 c 
(Valor Crítico) 
Não rejeito H0 
05/12/12	
  
26	
  
51	
  
No	
  nosso	
  exemplo:	
  
• Teste	
  unicaudal	
  para	
  a	
  média	
  da	
  população	
  	
  	
  
	
   	
   	
   	
   	
  (σ Conhecido):	
  
	
  	
  	
  	
  Seja	
  	
  n	
  =	
  40,	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  =	
  38	
  horas,	
  	
  	
  	
  	
  σ	
  =	
  4	
  horas	
  
	
  
	
  
Como	
  3,1623	
  >	
  1,645,	
  rejeitamos	
  H0.	
  
	
  	
  	
  	
  Conclusão:	
  	
  Estamos	
  95%	
  confiantes	
  que	
  a	
  média	
  não	
  
está	
  atendendo	
  à	
  minha	
  expecta<va	
  de	
  36	
  horas	
  de	
  
resposta	
  aos	
  pedidos,	
  logo	
  devo	
  tomar	
  medidas	
  para	
  
solucionar	
  o	
  problema.	
  
3,16
40/4
3638
/
=
−
=
−
=
n
xz
σ
µ
x
52	
  
Uso	
  do	
  valor	
  de	
  p	
  
•  O	
  valor	
  p	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  se	
  obter	
  um	
  
resultado	
  amostral	
  pelo	
  menos	
  tão	
  improvável	
  
quanto	
  o	
  observado	
  (nível	
  de	
  significância	
  
observado).	
  
•  O	
  valor	
  p	
  pode	
  ser	
  usado	
  para	
  tomar	
  decisões	
  
no	
  teste	
  de	
  hipóteses	
  da	
  seguinte	
  forma:	
  
–  Se	
  	
  p	
  é	
  menor	
  que	
  o	
  nível	
  de	
  significância	
  do	
  teste	
  α,	
  
então	
  está	
  na	
  região	
  de	
  rejeição.	
  
–  Se	
  	
  p	
  é	
  maior	
  que	
  o	
  nível	
  de	
  significância	
  do	
  teste	
  α,	
  
então	
  não	
  está	
  na	
  região	
  de	
  rejeição.	
  
•  Rejeito	
  H0	
  se	
  o	
  valor	
  	
  p	
  <	
  α.	
  
05/12/12	
  
27	
  
p= .0008	
0 1.645 
Não rejeito H0 
Rejeito H0 
z 
3,16 
53	
  
•  Usando	
  o	
  valor	
  p	
  para	
  testar	
  a	
  hipótese:	
  
	
  Lembre	
  que	
  z	
  =	
  3,16	
  para	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  =	
  38	
  dias.	
  	
  
Então	
  p	
  =	
  0,0008.	
  
	
  Como	
  p	
  <	
  α,	
   	
   	
   	
  (p=	
  0,0008	
  <	
  0,05)	
  
	
  	
  	
  	
  rejeitamos	
  H0.	
  
	
  
No	
  nosso	
  exemplo:	
  
x
54	
  
Passos	
  para	
  o	
  Teste	
  de	
  Hipóteses	
  
•  Determine	
  as	
  hipóteses	
  apropriadas.	
  
•  Selecione	
  a	
  esta;s<ca	
  de	
  teste	
  para	
  decidir	
  como	
  vai	
  
rejeitar	
  ou	
  não	
  a	
  hipótese	
  nula.	
  
•  Especifique	
  o	
  nível	
  de	
  significância	
  α	
  para	
  o	
  teste.	
  
•  Use	
  α para	
  desenvolver	
  a	
  regra	
  de	
  rejeição	
  de	
  H0.	
  
•  Levante	
  os	
  dados	
  da	
  amostra	
  e	
  calcule	
  a	
  esta;s<ca	
  do	
  
teste.	
  
•  (a)	
  Compare	
  a	
  esta;s<ca	
  do	
  teste	
  com	
  o	
  valor	
  crí<co	
  
(s)	
  da	
  regra	
  de	
  rejeição,	
  ou	
  (b)	
  Calcule	
  o	
  valor	
  	
  p	
  
baseado	
  na	
  esta;s<ca	
  do	
  teste	
  e	
  compare	
  com	
  α	
  para	
  
determinar	
  se	
  rejeita	
  ou	
  não	
  H0.	
  
05/12/12	
  
28	
  
55	
  
RESUMO:	
  USO	
  DE	
  ESTATÍSTICAS	
  PARA	
  O	
  
TH	
  
1.  Z	
  –	
  Comparo	
  o	
  Z	
  calculado	
  com	
  o	
  Z	
  crí<co	
  de	
  α	
  
(nível	
  de	
  significância	
  do	
  teste)	
  que	
  é	
  atribuído	
  a	
  
priori.	
  
2.  	
  p	
  –	
  Comparo	
  a	
  probabilidade	
  p	
  com	
  o	
  próprio	
  α.	
  
3.  Valor	
  Crí<co	
  da	
  Variável	
  –	
  Calculo	
  X	
  crí<co	
  a	
  par<r	
  
dos	
  valores	
  da	
  média	
  (H0)	
  do	
  desvio-­‐padrão	
  e	
  do	
  Z	
  
do	
  nível	
  de	
  significância	
  e	
  comparo	
  com	
  a	
  média	
  
encontrada.	
  
56	
  
EXERCÍCIOS	
  
•  15,	
  pag.	
  327	
  
•  19,	
  	
  pag	
  328	
  
05/12/12	
  
29	
  
57	
  
Exemplo:	
  	
  Pastas	
  de	
  dente	
  Glow	
  
Testes	
  Bicaudais	
  para	
  a	
  média	
  da	
  
população:	
  	
  σ Conhecido	
  
58	
  
Exemplo:	
  	
  Pastas	
  de	
  dente	
  Glow	
  
Testes	
  bicaudais	
  para	
  a	
  média	
  da	
  populaçãoσ Conhecido	
  
	
   A	
   linha	
   de	
   produção	
   da	
   Glow	
   é	
   projetada	
   para	
  
encher	
   os	
   tubos	
   de	
   pasta	
   com	
   uma	
   média	
   de	
   170g.	
  
Dados	
  históricos	
  mostram	
  que	
  o	
  desvio-­‐padrão	
  do	
  peso	
  
é	
  de	
  5,7g.	
  
	
   Periodicamente	
   uma	
   amostra	
   de	
   30	
   tubos	
   é	
  
selecionada	
  para	
  avaliar	
  o	
  processo	
  de	
  enchimento.	
  Os	
  
procedimentos	
   de	
   garan<a	
   da	
   qualidade	
   permitem	
   a	
  
con<nuidade	
  do	
  processo	
  se	
  houver	
  consistência	
  com	
  a	
  
premissa	
   de	
   que	
   o	
   peso	
   médio	
   é	
   de	
   170g.	
   Caso	
  
contrário	
  o	
  processo	
  deve	
  parar	
  para	
  ser	
  ajustado.	
  	
  
05/12/12	
  
30	
  
59	
  
Exemplo:	
  	
  Pastas	
  de	
  dente	
  Glow	
  
Testes	
  bicaudais	
  para	
  a	
  média	
  da	
  população	
   	
  	
  
	
   	
  Um	
  teste	
  de	
  hipóteses	
  sobre	
  a	
  média	
  da	
  população	
  
pode	
  ser	
  usado	
  para	
  ajudar	
  a	
  determinar	
  se	
  o	
  processo	
  
de	
  enchimento	
  deve	
  con<nuar	
  ou	
  não.	
  
–  Hipóteses	
  	
  	
  
	
   	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  H0:	
  	
  µ = 170 	
 	
	
	
 	
	
 	
	
 	
 Ha: µ ≠ 170	
–  Regra	
  de	
  rejeição	
  
	
 	
 Com um	
  nível	
  de	
  significância	
  de	
  0,05,	
  	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Rejeito	
  H0	
  se	
  	
  z	
  <	
  -­‐1.96	
  ou	
  se	
  	
  z	
  >	
  1.96	
  
Note:	
  Z	
  de	
  α/2	
  
60	
  
Exemplo:	
  	
  Pastas	
  de	
  dente	
  Glow	
  
Testes	
  bicaudais	
  para	
  a	
  média	
  da	
  população	
  
α /2= 0,025	
Distribuição amostral 
 de (assumindo que 
 H0 é verdadeiro 
 e µ = 170) 
x
0 1,96 
Rejeito H0 Não Rejeito 
H0 
z 
Rejeito H0 
 -1,96 
α /2= 0,025	
05/12/12	
  
31	
  
61	
  
Exemplo:	
  	
  Pastas	
  de	
  dente	
  Glow	
  
Testes	
  bicaudais	
  para	
  a	
  média	
  da	
  população	
  
Seja	
  uma	
  amostra	
  de	
  30	
  tubos	
  de	
  pasta	
  de	
  dentes	
  que	
  
tenha	
  uma	
  média	
  amostral	
  de	
  172,9	
  g.	
  
	
   	
  n	
  =	
  30,	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  =	
  172,9	
  g,	
  	
  	
  	
  σ	
  =	
  5,7	
  g	
  
	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Como	
  2.79	
  >	
  1.96,	
  rejeito	
  H0.	
  
	
  Conclusão:	
  	
  Estamos	
  95%	
  confiantes	
  que	
  a	
  média	
  de	
  peso	
  
	
  de	
  enchimento	
  dos	
  tubos	
  não	
  é	
  de	
  170	
  g.	
  Portanto,	
  
	
  devo	
  parar	
  o	
  processo	
  para	
  ajustes.	
  
79.2
30/7,5
1709,172
/
0 =
−
=
−
=
n
xz
σ
µ
x
62	
  
Exemplo:	
  	
  Pastas	
  de	
  dente	
  Glow	
  
Uso	
  do	
  valor	
  de	
  p	
  para	
  o	
  teste	
  de	
  hipóteses	
  bicaudal	
  
No teste bicaudal o p deve ser definido considerando área das 
duas caudas da curva normal. 
Com z = 2,79, a tabela da distribuição normal padrão nos 
apresenta uma probabilidade de 0,5000 – 0,4974 = 0,0026 
de probabilidade de encontrar uma diferença maior do 
que 2,9g (172,9-170) na parte superior da cauda. 
Considerando a mesma probabilidade na parte inferior 
da cauda temos um valor de 
 p = 2(0,0026) = 0,0052. 
O valor de p = 0,0052 é menor que α = 0,05, então H0 é 
rejeitada. 
05/12/12	
  
32	
  
63	
  
Uso	
  do	
  intervalo	
  de	
  confiança	
  para	
  um	
  
Teste	
  Bicaudal	
  sobre	
  a	
  Média	
  Populacional	
  
•  Selecione	
  uma	
  amostra	
  aleatória	
  simples	
  de	
  
uma	
  população	
  e	
  use	
  o	
  valor	
  da	
  média	
  amostral	
  
para	
  desenvolver	
  o	
  intervalo	
  de	
  confiança	
  para	
  	
  
µ.	
  
•  Se	
  o	
  intervalo	
  de	
  confiança	
  contém	
  a	
  média	
  µ0	
  
da	
  hipótese	
  nula,	
  não	
  se	
  rejeita	
  H0.	
  	
  Caso	
  
contrário,	
  rejeita	
  H0.	
  
64	
  
Exemplo:	
  	
  Pastas	
  de	
  dente	
  Glow	
  
Intervalo	
  de	
  Confiança	
  para	
  um	
  Teste	
  Bicaudal	
  sobre	
  a	
  
Média	
  Populacional	
  
	
  
O	
  Intervalo	
  de	
  Confiança	
  de	
  95%	
  para	
  µ	
  é	
  
	
  
	
  
	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ou	
  	
  	
  170,86	
  a	
  174,94	
  
	
  
Como	
  o	
  valor	
  da	
  média	
  populacional,	
  µ0	
  =	
  170,	
  não	
  está	
  no	
  intervalo	
  encontrado,	
  a	
  
conclusão	
  é	
  que	
  a	
  hipótese	
  nula	
  testada	
  	
  
H0:	
  	
  µ	
  =	
  170	
  	
  pode	
  ser	
  rejeitada.	
  
04,29,172)307,5(96.19,1722/ ±=±=± n
zx σα
05/12/12	
  
33	
  
65	
  
EXERCÍCIOS	
  
•  32,	
  pag.	
  334	
  
	
  
66	
  
9.4	
  Testes	
  sobre	
  a	
  média	
  da	
  população	
  
σ	
  Desconhecido	
  
•  EstansNca	
  do	
  Teste	
  	
   	
  σ	
  Desconhecido	
  
	
   	
   	
   	
  	
  
	
   	
   	
  	
  
	
  Esta	
  esta;s<ca	
  de	
  teste	
  tem	
  a	
  distribuição	
  t	
  com	
  n	
  -­‐	
  1	
  graus	
  de	
  liberdade.	
  
•  Regra	
  de	
  Rejeição	
  	
  	
  	
  	
  
	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  	
  Unicaudal 	
  	
   	
  Bicaudal	
  
	
  H0:	
  	
  µ ≤ µ0	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Rejeito	
  H0	
  se	
  t	
  >	
  tα	
  
	
  H0:	
  	
  µ ≥ µ0	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Rejeito	
  H0	
  se	
  t	
  <	
  -­‐tα	
  
	
  H0:	
  	
  µ = µ0	
  	
   	
   	
  	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
   	
   	
  Rejeito	
  H0	
  se	
  |t|	
  >	
  tα/2	
t x
s n
=
−µ0
/
05/12/12	
  
34	
  
67	
  
Valores	
  de	
  p	
  e	
  a	
  Distribuição	
  t	
  
•  As	
  tabelas	
  da	
  distribuição	
  t	
  encontradas	
  nos	
  
livros	
  geralmente	
  não	
  são	
  detalhadas	
  o	
  
suficiente	
  para	
  determinar	
  o	
  exato	
  valor	
  de	
  p	
  	
  
para	
  um	
  teste	
  de	
  hipóteses	
  
•  Entretanto,	
  nos	
  podemos,	
  ainda	
  assim,	
  usar	
  a	
  
distribuição	
  t	
  para	
  iden<ficar	
  o	
  intervalo	
  para	
  o	
  
valor	
  de	
  p.	
  
•  Uma	
  vantagem	
  dos	
  pacotes	
  computacionais	
  de	
  
esta;s<cas	
  é	
  que	
  calculam	
  o	
  valor	
  de	
  p	
  	
  para	
  a	
  
distribuição	
  t.	
  	
  
68	
  
EXERCÍCIO:	
  
Em fevereiro de 95, o custo médio para um vôo 
doméstico, ida e volta, com desconto foi de US$ 258. 
Uma amostra aleatória dos preços de 15 passagens de ida 
e volta com desconto durante o mês de março forneceu os 
seguintes dados: (310, 260, 265, 255, 300, 310, 230, 250, 
265, 280, 290, 240, 285, 250 e 260) 
a) Calcule média para os dados. 
b) Calcule o DP para os dados. 
c) Para α=5% veja se o preço aumentou em março. 
d) Qual é o valor de p? 
05/12/12	
  
35	
  
69	
  
33.	
  	
  
a. 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  =	
  270	
  
b.	
  
	
  
	
   	
  	
  
c. 	
  H0: 	
  µ	
  	
  ≤	
  	
  258	
  
	
  Ha: 	
  µ	
  	
  >	
  	
  258	
  
	
  Rejeito	
  H0	
  se	
  t(14gl,α=0,05)	
  	
  >	
  	
  1,761	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
  	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
  logo, 	
   	
  	
  
	
  
	
  rejeito	
  H0;	
  concluo	
  que	
  a	
  média	
  da	
  tarifaaumentou	
  em	
  
março.	
  
d.	
  Pela	
  tabela	
  posso	
  ver	
  que	
  p	
  é	
  menor	
  que	
  0,05,	
  porém	
  
maior	
  que	
  0,025.	
  
s x x
n
i=
∑ −
−
=
( ) .
2
1
24 78
x x ni= ∑ /
t x
s n
=
−
=
−
=
µ0 270 258
24 78 15
188
/ . /
.
70	
  
EXERCÍCIOS	
  
•  32	
  
	
  
05/12/12	
  
36	
  
71	
  
9.5	
  TESTE	
  SOBRE	
  A	
  PROPORÇÃO	
  DA	
  
POPULAÇÃO	
  
•  A	
  parte	
  da	
  igualdade	
  sempre	
  aparece	
  na	
  hipótese	
  
nula.	
  
•  Geralmente	
  um	
  teste	
  de	
  hipóteses	
  para	
  a	
  proporção	
  
da	
  população	
  toma	
  uma	
  das	
  seguintes	
  formas	
  (p0	
  é	
  o	
  
valor	
  proposto	
  como	
  hipótese	
  para	
  a	
  proporção	
  da	
  
população)	
  	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  H0:	
  	
  p	
  >	
  p0	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  H0:	
  	
  p	
  <	
  p0	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
   	
  H0:	
  	
  p	
  =	
  p0	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Ha:	
  	
  p	
  <	
  p0	
   	
  	
  	
  	
  Ha:	
  	
  p	
  >	
  p0	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
  Ha:	
  	
  p	
  ≠	
  p0	
  	
  
72	
  
Testes	
  sobre	
  a	
  Proporção	
  da	
  População	
  :	
  
Amostra	
  Grande	
  (np	
  >	
  5	
  e	
  n(1	
  -­‐	
  p)	
  >	
  5)	
  
•  Esta;s<ca	
  de	
  teste	
  
	
  
	
   	
  onde:	
  
	
  
•  Regra	
  de	
  Rejeição	
  
	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  Unicaudal 	
  	
   	
  	
  
	
  H0:	
  	
  p ≤ p0	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Rejeito	
  H0	
  se	
  z	
  >	
  zα	
  
	
  H0:	
  	
  p ≥ p0	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Rejeito	
  H0	
  se	
  z	
  <	
  -­‐zα	
  
	
  H0:	
  	
  p = p0	
  	
   	
   	
  	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  Rejeito	
  H0	
  se	
  |z|	
  >	
  zα/2	
z p p
p
=
− 0
σ
σ p
p p
n
=
−0 01( )
Bicaudal	
  
05/12/12	
  
37	
  
73	
  
EXERCÍCIO:	
  
Em um estudo sobre contaminação de peixes em lagos e 
rios a Agência de Proteção Ambiental concluiu que 91% 
dos locais em que se realizaram testes da qualidade da 
água mostraram a presença de PCB, um agente 
cancerígeno (América by Numbers, 1993). Suponha que 
um estudo de acompanhamento de 200 rios e lagos em 
1998 mostrou a presença de PCB em 160 casos. Há 
evidência estatística da diminuição da contaminação a um 
nível significância de 5%? 
74	
  
H0: 	
  p	
  	
  ≥	
  0,91	
  
Ha:	
   	
  p	
  	
  <	
  0,91	
  
Rejeito	
  H0	
  se	
  z	
  	
  <	
  	
  -­‐1.645.	
  
	
  	
  =	
  0,80	
  p
z = − = −. .
(. )(. )
.80 91
91 09
200
544
05/12/12	
  
38	
  
75	
  
EXERCÍCIOS	
  
•  38,	
  pag.	
  338