Capítulo 3 2ª parte

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1 
Capítulo 3: Gráficos de Controle por Variáveis 
3.1 Construindo Gráficos de Controle R e 
 
Definições básicas: 
LM = Linha Média 
LIC = Limite Inferior de Controle 
LSC = Limite Superior de Controle 
LM = X
LSC =
Xµ + X3.σ
LIC =
Xµ − X3.σ
LM =
Rµ = 2d . 0σ
LSC =
Rµ + R3.σ = 2d . 0σ + 33.d . 0σ
LIC =
Rµ − R3.σ = 2d . 0σ − 33.d . 0σ
0

σ =
R
d2
Rσ = d3. 0

σ
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2 
Capítulo 3: Gráficos de Controle por Variáveis
3.2 Análise de Sensibilidade
Hipótese 0H 
Decisão 
Aceitar 0H 
Probabilidade 
Rejeitar 0H 
Probabilidade 
Verdadeira Decisão Correta 1-α Erro do Tipo I α 
Falsa Erro do Tipo II β Decisão Correta 1-β 
 
0H : Réu inocente (3.34)
1H : Réu culpado (3.35)
3.2.1 Gráfico de Controle de X
]LICXou LSCXPr[ 0XX µµα =<>=
] LSCXLICPr[ 0XX µµβ ≠<<=
(3.46) 
(3.47) 
H0 : µ µ= 0 (3.44)
H1 : µ µ≠ 0 (3.45)
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3 
3.2.1 Gráfico de Controle de X
Figura 3.7: Gráfico de X – ocorrência de um alarme falso
 15 30 45 60 75 90 105 Minutos
)n/;(N~);(N~X 00XX σµσµ
LM = µ0
n/3LSC 00 σ+µ=
Alarme falso
n/3LIC 00 σ−µ=
Figura 3.9: Determinação do Risco de Alarme Falso
X
 
 
 
 
 
 
 
 
)n/;(N);(N~X 00XX σµ=σµ 
)1;0(~ N
X
Z
X
X
σ
µ−
= 
n/kLIC 00 σ−µ=
 
-k 
n/kLSC 00 σ+µ= 
 
0 k 
 
 
 
Tradicionalmente k=3,00 
Xa. v. 
 
Za. v. 
 
α = Pr[ Z > k] (3.53) 
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4 
α = Pr[ Z > k] (3.53) 
Distribuição Geométrica 
Se α = p, então 
Seja L = número de amostras até o alarme 
falso 
Pr(L = d) = p.(1− p)d−1....onde...d =1,2,3... 
NÚMERO MÉDIO DE AMOSTRAS ATÉ O ALARME 
FALSO - NMAF 
NMAF= 1/p = 1/α	
3.2.1 Gráfico de Controle de X
α = Pr[ Z > k] (3.53) 
Tabela A1: Área em caudas simétricas da
distribuição Normal Padrão
0
Z ~ N (0 ,1 )
- z z
z 0,00 0,01 0,02
2,9 0,00373 0,00361 0,00350
3,0 0,0027 0,00261 0,00253
3,1 0,00194 0,00187 0,00181
3,2 0,00137 0,00133 0,00128
3,3 0,00097 0,00093 0,00090
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5 
]Pr[ 0RR LSCRLIC1 σσα =<<−= (3.61)
]Pr[ 0RR LSCRLIC σσβ ≠<<= (3.62)
3.2.2 Gráfico de Controle de R
00 σσ =:H (3.59)
01 σσ ≠:H (3.60)
3.2.2 Gráfico de Controle de R
00 σσ =:H (3.59)
01 σσ ≠:H (3.60)
σµ 2R d=
σσ 3R d=
R
Figura 3.16: Distribuição da amplitude R
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6 
3.2.2 Gráfico de Controle de R
00 σσ =:H (3.59)
01 σσ ≠:H (3.60)
02R d σ=µ R0302R d3dLSC σ+σ=0302 d3d σ−σ
0027,0>α
03R d σ=σ
0LICR =
Figura 3.17: Distribuição da Amplitude R- limites de 3 sigma
 
 
 15 30 45 60 75 90 Minutos 
n/3LSC 00 σ+µ= 
 
)n/;(N~);(N~X 000XX σδσ+µσµ 
 
 
Alarme verdadeiro 
00 δσ+µ=µ 
n/3LIC 00 σ−µ= 
δσ 
3.2.1 Gráfico de Controle de X para 
 µ1=µo+δσo 
Figura 3.10: Gráfico de X – ocorrência de um alarme verdadeiro
Calcular a probabilidade de 
um alarme verdadeiro para a 
nova distribuição 
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7 
 
 
 
 
 
 
0LM µ= )n/;(N~X 000 σδσµ + 
 
)1;0(N~
X
Z
X
X
σ
µ−
= 
 
n/kLIC 00 σµ −= 
n/kLSC 00 σµ += 
 
 0 
00X δσµµ += 
 
nk δ− 
 
nk δ−− 
Pd 
Xa. v. 
Za. v. 
 
 
nδ− 
 
Figura 3.11: Determinação do Poder do Gráfico de Controle (Pd)
Pd = Pr[Z < −k −δ n ]+Pr[Z < −k +δ n ] (3.56) 
]nkZPr[]nkZPr[Pd δδ −>+−−<=
3.2.1 Gráfico de Controle de X
Tabela A2: Distribuição Normal Padrão Acumulada
Z~N(0,1) z
-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 z
0,00734 0,00755 0,00776 0,00798 0,00820 -2,4
0,00964 0,00990 0,01017 0,01044 0,01072 -2,3
0,01255 0,01287 0,01321 0,01355 0,01390 -2,2
0,01618 0,01659 0,01700 0,01743 0,01786 -2,1
0,02068 0,02118 0,02169 0,02222 0,02275 -2,0
Z dos Limites de Controle em relação à nova média 
Pd = Pr[Z < −k −δ n ]+Pr[Z < −k +δ n ] (3.56) 
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8 
 n 
 2 3 4 5 9 
δ z Pd z Pd z Pd z Pd z Pd 
0,25 2,646 0,004 2,567 0,005 2,5 0,006 2,441 0,007 2,25 0,012 
0,50 2,293 0,011 2,134 0,016 2 0,023 1,882 0,030 1,5 0,067 
0,75 1,939 0,026 1,701 0,044 1,5 0,067 1,323 0,093 0,75 0,227 
1,00 1,586 0,056 1,268 0,102 1 0,159 0,764 0,222 0 0,500 
1,25 1,232 0,109 0,835 0,202 0,5 0,309 0,205 0,419 -0,75 0,773 
1,50 0,879 0,19 0,402 0,344 0 0,500 -0,354 0,638 -1,5 0,933 
2,00 0,172 0,432 -0,464 0,679 -1 0,841 -1,472 0,930 -3 0,999 
3,00 -1,243 0,893 -2,196 0,986 -3 0,999 -3,708 1,000 -6 1,000 
 
Tabela 3.7: Valores de Pd para Diferentes Combinações de n e de δ 
3.2.1 Gráfico de Controle de X
Pd = Pr[Z < −k +δ n ]+Pr[Z < −k −δ n ] k=3,00 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
δ (deslocamento)
Pd
n=2
n=3
n=4
n=5
n=9
n=16
Figura 3.12: Curvas de Pd versus δ (k=3,00) 
3.2.1 Gráfico de Controle de X
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9 
1
10
100
0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
δ (deslocamento)
NMA
n=2
n=3
n=4
n=5
n=9
n=16
Figura 3.13: Curvas de NMA versus δ (k=3,00) 
3.2.1.3 Gráfico de Controle de X 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número da Amostra
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (%
)
delta=1,0 delta=1,5
Figura 3.14: Curva de Probabilidades de Não-Detecção (n=4)
3.2.1 Gráfico de Controle de X
P(M=m) = p.(1-p)(m-1) onde m= 1, 2, 3, ... 
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10 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número da Amostra
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (%
)
n=9 n=4
Figura 3.15: Curva de Probabilidades de Não-Detecção (δ = 1,0) 
3.2.1 Gráfico de Controle de X
]Pr[ 0RR LSCRLIC1 σσα =<<−= (3.61)
]Pr[ 0RR LSCRLIC σσβ ≠<<= (3.62)
3.2.2 Gráfico de Controle de R
00 σσ =:H (3.59)
01 σσ ≠:H (3.60)
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11 
3.2.2 Gráfico de Controle de R
00 σσ =:H (3.59)
01 σσ ≠:H (3.60)
σµ 2R d=
σσ 3R d=
R
Figura 3.16: Distribuição da amplitude R
3.2.2 Gráfico de Controle de R
00 σσ =:H (3.59)
01 σσ ≠:H (3.60)
02R d σ=µ R0302R d3dLSC σ+σ=0302 d3d σ−σ
0027,0>α
03R d σ=σ
0LICR =
Figura 3.17: Distribuição da Amplitude R- limites de 3 sigma
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12 
02R d σ=µ R0302R d3dLSC σ+σ=0302 d3d σ−σ
0027,0>α
03R d σ=σ
0LICR =
Figura 3.17: Distribuição da Amplitude R- limites de 3 sigma
==<<=− ] Pr[ 0RR LSCRLIC1 σσα (3.63)
( ){ } ( )[ ]3232 d3dWd3d0 +<<−= ,maxPr (3.64)
( ){ } ( ) ] ,Pr[max 0032032 d3dRd3d0 σσσσ =+<<−= =
Gráfico de Controle de R- Risco α 
Fazendo W = R/σ AMPLITUDE RELATIVA 
{/σo} 
Ho Verdadeira 
( ){ } ( )[ ]03232 nnd3dWd3d01 =+<<−=− |,maxPrα (3.64)
Tabela 3.9: Risco α para n 0 =2, 4, e 5 
n d 2 3d máx{0, d2-3d3} d2+3d3 α NMAF 
2 1,128 0,833 0 3,69 0,0090 111 
4 2,059 0,880 0 4,70 0,0050 200 
5 2,326 0,864 0 4,92 0,0047 213 
 
[ ]4n704W1 =<=− |,Prα
Gráfico de Controlede R- Risco α 
Ho Verdadeira 
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13 
n
W0 2 3 4 5 6
4,50 0,9985 0,9958 0,9920 0,9873 0,9817
4,55 0,9987 0,9963 0,9929 0,9887 0,9837
4,60 0,9989 0,9967 0,9937 0,9899 0,9855
4,65 0,9990 0,9971 0,9944 0,9911 0,9871
4,70 0,9991 0,9974 0,9951 0,9921 0,9885
4,75 0,9992 0,9977 0,9956 0,9930 0,9898
4,80 0,9993 0,9980 0,9962 0,9938 0,9910
4,85 0,9994 0,9982 0,9966 0,9945 0,9920
4,90 0,9995 0,9985 0,9970 0,9952 0,9930
4,95 0,9995 0,9986 0,9974 0,9958 0,9938
0R 704LSC σˆ,=
09950R wLSC σˆ,=
( ) ],Pr[ 0032 704d3dR1 σσα =+<=−
Gráfico de Controle de R- Risco α 
Ho Verdadeira 
n
W0 2 3 4 5 6
4,50 0,9985 0,9958 0,9920 0,9873 0,9817
4,55 0,9987 0,9963 0,9929 0,9887 0,9837
4,60 0,9989 0,9967 0,9937 0,9899 0,9855
4,65 0,9990 0,9971 0,9944 0,9911 0,9871
4,70 0,9991 0,9974 0,9951 0,9921 0,9885
4,75 0,9992 0,9977 0,9956 0,9930 0,9898
4,80 0,9993 0,9980 0,9962 0,9938 0,9910
4,85 0,9994 0,9982 0,9966 0,9945 0,9920
4,90 0,9995 0,9985 0,9970 0,9952 0,9930
4,95 0,9995 0,9986 0,9974 0,9958 0,9938
5,00 0,9996 0,9988 0,9977 0,9963 0,9945
5,05 0,9996 0,9990 0,9980 0,9967 0,9952
5,10 0,9997 0,9991 0,9982 0,9971 0,9958
5,15 0,9997 0,9992 0,9985 0,9975 0,9963
5,20 0,9998 0,9993 0,9987 0,9978 0,9968
5,25 0,9998 0,9994 0,9988 0,9981 0,9972
5,30 0,9998 0,9995 0,9990 0,9983 0,9975
5,35 0,9998 0,9995 0,9991 0,9985 0,9979
5,40 0,9999 0,9996 0,9992 0,9987 0,9981
5,45 0,9999 0,9997 0,9993 0,9989 0,9984
5,50 0,9999 0,9997 0,9994 0,9990 0,9986
0R 305LSC σˆ,= (3.70)
09990R wLSC σˆ,= (3.68)
Gráfico de Controle de R- Risco α 
Ho Verdadeira 
25/05/14 
14 
Gráfico de Controle de R- Poder Pd 
se σ = λ .σo 
λ = σ/σo = 2 
Ho: σ = σo Ha: σ = λ.σo 
 Amplitude Relativa W para Ho e para Ha (vermelha) 
 
Wo W 
A tabela fornece Pr[W<W0] 
LSC 
β 
α 
Ho Ha 
 
Ho FALSA 
Gráfico de Controle de R- Poder Pd 
se σ = λ .σo 
4105901462
2
924
2
d3dWPd 32 ,,5n ,,Pr =−=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ===
+
>= (3.66)
( )
=!"
#
$%
& =
+
>= 0
032 2d3dRW σσ
σ
σ
σ
 Pr !
 
!"
#
$%
& +>
2
d3dW 32Pr (3.65) 
Pd = Pr R > LSCR = d2 +3d3( )σ 0 σ = 2σ 0!" #$=
 n 
W0 4 5 6 7 
2,40 0,6748 0,5643 0,4663 0,3820 
2,45 0,6932 0,5861 0,4899 0,4059 
2,50 0,7110 0,6075 0,5132 0,4300 
 
λ = σ/σo = 2 
 Amplitude Relativa W para Ho e para Ha (vermelha) 
 
Wo W 
A tabela fornece Pr[W<W0] 
LSC 
β 
α 
Ho Ha 
λ.σ
ο 
 
Ho FALSA 
25/05/14 
15 
Gráfico de Controle de R- Poder Pd 
se σ = λ .σo 
PdR = Pr W >
d2 +3d3
λ
!
"#
$
%&
!
λ = σ/σo 
(qualquer) 
Ho FALSA 
PdR = Pr W =
R
σ
>
d2 +3d3( )σ 0
σ
 σ = λ.σ 0
!
"
#
$
%
&=
Gráfico de Controle de R- Poder Pd
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
λ
Pd
n=2
n=3
n=4
n=5
n=9
n=16
Figura 3.18: Curvas do Poder Pd versus λ 
Ho FALSA 
25/05/14 
16 
EXERCÍCIO 3.3 
menos letra f 
3.2.3 Gráficos de Controle X e R: Análise do Desempenho Conjunto
000 σσµµ == e :H (3.72)
001 σσµµ ≠≠ e/ou :H (3.73)
RXRX ααααα −+= (3.74)
 [ ]00XXX LSCXLIC1 σσµµα ==<<−= ;Pr (3.75)
[ ]0RRR LSCRLIC1 σσα =<<−= Pr (3.76)
Para Ho verdadeira: 
25/05/14 
17 
3.2.3 Gráficos de Controle X e R: Análise do Desempenho Conjunto
LSCX = µ0 + kσ 0 / 4 (3.77) 
2kLIC 00X /σµ −= (3.78) 
Para Xα =0,0012  k=3,24 
Pag. 81 
Tabela A1: Área em caudas simétricas da
distribuição Normal Padrão
0
Z ~ N (0 ,1 )
- z z
z 0,03 0,04 0,05
3,1 0,00175 0,00169 0,00163
3,2 0,00124 0,00120 0,00115
3,3 0,00087 0,00084 0,00081
3,4 0,00060 0,00058 0,00056
3,5 0,00042 0,00040 0,00039
Para n = 4 
Então α=0,0024 assim α<0,0027 
Xα = 0,0012 e αR = 0,0012 Fazendo 
n
W0 2 3 4 5
5,15 0,9997 0,9992 0,9985 0,9975
5,20 0,9998 0,9993 0,9987 0,9978
5,25 0,9998 0,9994 0,9988 0,9981
5,30 0,9998 0,9995 0,9990 0,9983
5,35 0,9998 0,9995 0,9991 0,9985
5,40 0,9999 0,9996 0,9992 0,9987
5,45 0,9999 0,9997 0,9993 0,9989
5,50 0,9999 0,9997 0,9994 0,9990
0R 255LSC σˆ,=
3.2.3 Gráficos de Controle X e R: Análise do Desempenho Conjunto
099880R wLSC σˆ,= (3.79)
Para αR = 0,0012 
25/05/14 
18 
3.2.3.2 Poder conjunto dos gráficos de Controle X e R
RXRX PdPdPdPdPd −+= (3.80) 
==<−= ],/,Pr[ 62522255w1PdR 1-0,75=0,25 (3.85)
n
W0 2 3 4 5
2,55 0,9286 0,8315 0,7282 0,6283
2,60 0,9340 0,8429 0,7448 0,6487
2,65 0,9390 0,8537 0,7607 0,6685
2,70 0,9438 0,8640 0,7759 0,6877
5,15 0,9997 0,9992 0,9985 0,9975
5,20 0,9998 0,9993 0,9987 0,9978
5,25 0,9998 0,9994 0,9988 0,9981
5,30 0,9998 0,9995 0,9990 0,9983
5,35 0,9998 0,9995 0,9991 0,9985
PdR = Pr W >
d2 +3d3
λ
!
"#
$
%&
 
Para Ho falsa (µ=µο + δ.σο e σ= λ.σο) : 
 
 )n/;(N);(NX 000XX λσδσµσµ +≈≈ 
 
3.2.3.2 Poder conjunto dos gráficos de Controle X e R
Figura 3.20: Gráfico de Controle de X - ocorrência de um alarme verdadeiro
 
 
 15 30 45 60 75 90 Minutos 
0LM µ= 
Alarme verdadeiro 
00 δσµµ += 
 
n/3LSC 00 σµ += 
n/3LIC 00 σµ −= 
 
00 δσµµ += 
 
0LM µ= 
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19 
3.2.3.2 Poder conjunto dos gráficos de Controle X e R
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
λδ− /)nk( 
 
λδ+− /)nk( 
 
λδ− /n 
Figura 3.21: Determinação do Poder do Gráfico de Controle de X 
Calculem o Z de LIC, LSC e µo 
 
3.2.3.2 Poder conjunto dos gráficos de Controle X e R
RXRX PdPdPdPdPd −+= (3.80)
===>+==<= ];LSCXPr[];LICXPr[Pd 11X11XX σσµµσσµµ
]n/kXPr[]n/kXPr[ 0000 σµσµ +>+−<=
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −+
>+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
<=
n/
n/k
ZPr
n/
n/k
ZPr
1
100
1
100
σ
µσµ
σ
µσµ
(3.82) 
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−+
>+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−−
<=
n/
)(n/kZPr
n/
)(n/kZPr
1
0000
1
0000
σ
δσµσµ
σ
δσµσµ
= Pr Z < µ0 − kσ 0 / n − (µ0 +δσ 0 )
λ.σ 0 / n
"
#
$
%
&
'+Pr Z > µ0 + kσ 0 / n − (µ0 +δσ 0 )
λ.σ 0 / n
"
#
$
%
&
'=
]/)nk(ZPr[]/)nk(ZPr[ λδλδ −>++−<=
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20 
3.2.3.2 Poder conjunto dos gráficos de Controle X e R
RXRX PdPdPdPdPd −+= (3.80)
===>+==<= ];LSCXPr[];LICXPr[Pd 11X11XX σσµµσσµµ
]/)nk(ZPr[]/)nk(ZPr[ λδλδ −>++−<= (3.82) 
Pdx = Pr[Z < −(k +δ n ) / λ]+Pr[Z < (−k +δ n ) / λ]
Tabela A2: Distribuição Normal Padrão Acumulada
Z~N(0,1) z
-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 z
0,00734 0,00755 0,00776 0,00798 0,00820 -2,4
0,00964 0,00990 0,01017 0,01044 0,01072 -2,3
0,01255 0,01287 0,01321 0,01355 0,01390 -2,2
0,01618 0,01659 0,01700 0,01743 0,01786 -2,1
0,02068 0,02118 0,02169 0,02222 0,02275 -2,0
3.2.3.2 Poder conjunto dos gráficos de Controle X e R
Exemplo A: No nosso exemplo para α=0,0024 (k=3,24 e W = W(0,9988)= 5,25). 
Suponha que a média do processo aumentou de 0,5 desvios-padrão (δ =0,5) e o 
desvio-padrão dobrou (λ=2). Então, para n=4, 
]12,12/)45,024,3(Pr[
]12,22/)45,024,3(Pr{
]/)(Pr[]/)(Pr[
−=+−<+
+−=×+−<=
+−<++−<=
Z
Z
nkZnkZPd X λδλδ
= 0,1314 + 0,0170 = 0,1484 (3.84)
Tabela A2: Distribuição Normal Padrão Acumulada
Z~N(0,1) z
-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 z
0,00734 0,00755 0,00776 0,00798 0,00820 -2,4
0,00964 0,00990 0,01017 0,01044 0,01072 -2,3
0,01255 0,01287 0,01321 0,01355 0,01390 -2,2
0,01618 0,01659 0,01700 0,01743 0,01786 -2,1
0,02068 0,02118 0,02169 0,02222 0,02275 -2,0
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21 
3.2.3.2 Poder conjunto dos gráficosde Controle X e R
Exemplo A: Suponha que a média do processo aumentou de 0,5 desvios-padrão 
(δ =0,5) e o desvio-padrão dobrou (λ=2). Então, para n=4, 
==<−= ],/,Pr[ 62522255w1PdR 1-0,75=0,25 (3.85)
n
W0 2 3 4 5 6
2,50 0,9229 0,8195 0,7110 0,6075 0,5132
2,55 0,9286 0,8315 0,7282 0,6283 0,5364
2,60 0,9340 0,8429 0,7448 0,6487 0,5592
2,65 0,9390 0,8537 0,7607 0,6685 0,5816
2,70 0,9438 0,8640 0,7759 0,6877 0,6036
3.2.3.2 Poder conjunto dos gráficos de Controle X e R
Exemplo A: Suponha que a média do processo aumentou de 0,5 desvios-padrão 
(δ =0,5) e o desvio-padrão dobrou (λ=2). Então, para n=4, 
]12,12/)45,024,3(Pr[
]12,22/)45,024,3(Pr{
]/)(Pr[]/)(Pr[
−=+−<+
+−=×+−<=
+−<++−<=
Z
Z
nkZnkZPd X λδλδ
= 0,1314 + 0,0170 = 0,1484 (3.84)
25,075,01]2/25,5Pr[1 =−=<−= wPd R (3.85)
Pd=0,1484+0,25–0,25×0,1484=0,3613. 
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22 
EXERCÍCIO 3.3 
letra f 
 
 
 
LISTA 4 – PRÓXIMA AULA 
 
ATÉ 3.8 (menos item c-1 do 3.6)