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Capítulo 3 3ª parte

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25/05/14 
1 
3.3. Gráficos Alternativos ao Gráfico de R para Monitoramento da Dispersão
3.3.1 Gráfico da Variância 2S :
1n
XX
S
n
1j
2iij
2
i −
∑ −
=
=
)(
 (3.93)
2
1n
2
2 ~S
1n
−χ
σ
−
 (3.94)
2
2/1,1n
2
0
S 1n
ˆ
LIC 2
α−−
χ
−
σ
= (3.97)
2
0S ˆLM 2 σ= (3.96)
2
2/,1n
2
0
S 1n
ˆ
LSC 2
α−
χ
−
σ
= (3.95)
Para n>10 é mais eficiente 
que o Gráfico de R 
3.3.1 Gráfico da Variância 2S :
Tabela D: Pontos da Distribuição de Qui-quadrado
2
p,1n−χ
2
1n−χ
 p
 0
2
2
02
9975,0;4
2
S 0
0
2 04,0
4
145,0
1n
LIC σ=σ=
−
σ
= χ
2
2
02
0025,0;4
2
0
S 02 11,44
42,16
1n
LSC σ=σ=
−
σ
= χ n-1
p 2 3 4 5
0,9980 0,004 0,039 0,129 0,280
0,9975 0,005 0,045 0,145 0,307
0,9970 0,006 0,051 0,159 0,332
0,9960 0,008 0,062 0,184 0,375
0,9950 0,010 0,072 0,207 0,412
0,0040 11,043 13,316 15,365 17,279
0,0030 11,618 13,931 16,015 17,957
0,0025 11,983 14,320 16,42 18,385
0,0020 12,429 14,796 16,923 18,908
0,0015 13,005 15,407 17,566 19,577
Limites de controle para alfa= 0,5% e 
n=5 
25/05/14 
2 
3.3.1 Gráfico da Variância 2S :
Pd = Pr
n−1
2
χ > n−1
1
2
σ
"
#
$$
%
&
''.LSC 2S
(
)
*
*
+
,
-
-
= Pr
n−1
2
χ > n−1
1
2
σ
"
#
$$
%
&
''.

σ 02
n−1. n−1,α
2
χ"
#
$
%
&
'
(
)
*
*
+
,
-
-
= Pr
n−1
2
χ >

σ 02
1
2
σ
.
n−1,α
2
χ
"
#
$$
%
&
''
(
)
*
*
+
,
-
-
=
n−1
2
χ >
1
2λ
. n−1,α2χ
"
#
$
$$
%
&
'
''
(
)
*
*
*
+
,
-
-
-
Poder do Gráfico da Variância 
Se usar apenas o LSC use α e não α/2 
2
1n
2
2 ~S
1n
−χ
σ
−
 (3.94) 
 
3.3.1 Gráfico da Variância 2S : 
2
2
02
005,0;4
2
S 0
0
2 72,3
4
86,14
1n
LSC σ=σ=
−
σ
= χ (3.102)
0,4600 1,553 2,586 3,619 4,651
0,4400 1,642 2,701 3,756 4,806
0,4200 1,735 2,821 3,898 4,966
n-1
 p 2 3 4 5
0,0050 10,597 12,838 14,860 16,750
 
 
 
2
p,1n−χ 
 
2
1n−χ 
 
 p 
 0 
 
Para LICS2 = 0 e σ1=2.σo 
logo λ=2 e λ2=4 (Ho falsa!) 
Pd = Pr
n−1
2
χ > n−1
1
2
σ
"
#
$$
%
&
''.LSC 2S
(
)
*
*
+
,
-
-
= Pr 1
2σ
n−1
"
#
$
%
&
'. n−12χ > LSC 2S
(
)
*
*
*
+
,
-
-
-
= Pr 0
2λ.σ
n−1
"
#
$
%
&
'. n−12χ > LSC 2S
(
)
*
*
*
+
,
-
-
-
2
1n
2
2 ~S
1n
−χ
σ
−
 (3.94) 
 
Poder (Ho Falsa! σ1=2.σo ) 
Pd = Pr[S2 > LSCS2 σ 2 = 4σ 0
2 ;n = 5] = Pr[4.σ 0
2
n−1 χn−1
2
> LSCS2 ]= Pr[χn−1
2
> 3, 72]= 0, 44
25/05/14 
3 
3.3.1 Gráfico da Variância 2S :
Usando 3 σ	
3.3.1 Gráfico da Variância 2S :
Usando 3 σ para	
Lembrando que: 
25/05/14 
4 
3.3.1 Gráfico da Variância 2S :
Poder do Gráfico da Variância 
χ
Exercício 3.06 c.1 
Exercício 3.29 
 
3.3.2 Gráfico da Desvio Padrão S: 
χ
sµ = 4c .σ
s
2
σ = 1−c42( ). 2σ co

σ =S =S
4c
LMS = 4c . 0σ
25/05/14 
5 
3.4 Gráfico de Controle X com Regras Suplementares de Decisão
 
C1: (1; 1; k; ∞) ou (1; 1; -∞; -k) 
C2 2 2 2:( ; ; ; )∞ ou ( ; ; ; )2 2 2−∞ − 
C3 2 3 2:( ; ; ; )∞ ou ( ; ; ; )2 3 2−∞ − 
);6,1;4;3(:C4 ∞ ou )6,1;;4;3( −−∞ 
);0;8;8(:C5 ∞ ou ( ; ; ; )8 8 0−∞ 
C6 10 10 0:( ; ; ; )∞ ou ( ; ; ; )1010 0−∞ 
 
 
 
 15 30 45 60 75 90 105 Minutos 
X 
n/3LIC 00 σ−µ= 
 
0LM µ= 
 
n/3LSC 00 σ+µ= 
 
n/2LSA 00 σ+µ= 
 
n/2LIA 00 σ−µ= 
LSA = µ0 +1,6.σ 0 / n
LSA = µ0 −1,6.σ 0 / n
Notação: (L; m; a; b) 
L = no. pontos entre µo+a.σxb e µo+b.σxb 
m = últimos pontos considerados para L pontos 
a = número de desvios de µ do primeiro limite 
b = número de desvios de µ do último limite 
Regras
Utilizadas
Probabilidade de
Alarme Falso
Freqüência Esperada de
Alarmes Falsos
C1 0,0027 1 a cada 370,4 inspeções
C1 e C2 0,0036 1 a cada 278,0 inspeções
C1 e C3 0,0044 1 a cada 225,5 inspeções
C1 e C4 0,0035 1 a cada 286,2 inspeções
C1 e C5 0,0065 1 a cada 152,8 inspeções
C1 e C6 0,0037 1 a cada 273,8 inspeções
3.4 Gráfico de Controle X com Regras Suplementares de Decisão
Tabela 3.13 Freqüência de alarmes falsos
no gráfico de X com regras suplementares
Regras
Utilizadas
Novo Valor
para k
C1 3,0000
C1 e C2 3,1274
C1 e C3 3,3492
C1 e C4 3,1072
C1 e C5 -------
C1 e C6 3,1316
A inclusão de novas regras de decisão sempre 
aumenta os alarmes falsos. 
Para manter α = 0,0027 (cf. Shewhart) muda-se o 
valor de k 
 
C1: (1; 1; k; ∞) ou (1; 1; -∞; -k) 
C2 2 2 2:( ; ; ; )∞ ou ( ; ; ; )2 2 2−∞ − 
C3 2 3 2:( ; ; ; )∞ ou ( ; ; ; )2 3 2−∞ − 
);6,1;4;3(:C4 ∞ ou )6,1;;4;3( −−∞ 
);0;8;8(:C5 ∞ ou ( ; ; ; )8 8 0−∞ 
C6 10 10 0:( ; ; ; )∞ ou ( ; ; ; )1010 0−∞ 
 
25/05/14 
6 
δ NMA 
(n=4) C1 C1 e C2 C1 e C3 C1 e C4 C1 e C6 
0,00 370 370 370 370 370 
0,20 199 166 147 148 120 
0,40 71,6 49,7 41,3 40,1 33,8 
0,60 27,80 17,9 15,0 14,3 15,2 
0,80 12,40 8,00 7,03 6,82 9,09 
1,00 6,30 4,35 4,07 4,08 6,05 
1,20 3,65 2,79 2,76 2,84 4,02 
1,40 2,38 2,02 2,09 2,16 2,68 
1,60 1,73 1,61 1,70 1,71 1,90 
1,80 1,38 1,36 1,45 1,41 1,47 
2,00 1,19 1,20 1,27 1,22 1,24 
 
3.4 Gráfico de Controle X com Regras Suplementares de Decisão
Tabela 3.15 Valores de NMA com diversas
combinações de regras de decisão
LISTA DE EXERCÍCIOS Cap 3 
3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 
 
3.10, 3.11, 3.12, 3.19, 
 
3.23, 3.29, 
 
3.30, 3.34 
25/05/14 
7 
LISTA DE EXERCÍCIOS Cap 3 
Um processo é controlado com alfa=0,0027, para um gráfico de 
Xbarra. Calcule o intervalo entre amostras para obter um tempo 
médio até a Alarme Falso de no mínimo 500 h. O processo 
funciona 24h/7dias na semana. 
 Regra de decisão 
δ Um ponto fora 
(regra básica) 
Dois pontos fora- 
 Caso (b) 
Dois pontos fora- 
 Caso (a) 
0 370,4 137196 740,8 
0,25 161,0 25921 322,0 
0,5 44,0 1936 88,0 
1,0 6,3 39,7 12,6 
1,5 2,0 4,0 4,0 
 
3.5 Gráfico de Controle X com Outras Regras de Decisão
Comparação do NMA para diferentes regras de decisão 
25/05/14 
8 
3.7 Determinação dos Valores Ótimos para os Parâmetros do Gráfico de X 
TES = h×NMA-h/2 = h/Pd – h/2 (3.121)
TMAF=h/α TI=n/h 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ−= −
)(2
1
TMAF
hk (3.122)
]nkZPr[]nkZPr[Pd δ−−<+δ+−<= (3.56, repetida)

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