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CA´LCULO III - LISTA 3
1. Calcule a integral
∫ ∫ ∫
E
(
xz − y3) dV , onde
E = {(x, y, z) /− 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1} .
2. Calcule a integral iterada
∫ 3
0
∫ 1
0
∫ √1−z2
0
zey dx dz dy.
3. Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos
coordenados e o plano 2x+ y + z = 4.
4. O valor me´dio de uma func¸a˜o f (x, y, z) sobre uma regia˜o so´lida E e´ definido como
fme´d =
1
V (E)
∫ ∫ ∫
E
f (x, y, z)DV
onde V (E) e´ o volume de E. Determine o valor me´dio da func¸a˜o f (x, y, z) = x2z + y2z
sobre a regia˜o delimitada pelo parabolo´ide z = 1− x2 − y2 e pelo plano z = 0.
Utilize coordenadas cil´ındricas.
5. Calcule
∫ ∫ ∫
E
x2 dV , onde E e´ o so´lido que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 1,
acima do plano z = 0 e abaixo do cone z2 = 4x2 + 4y2.
6. Determine o volume do so´lido que se encontra “fora” do cilindro x2 + y2 = 1 e
“dentro” da esfera x2 + y2 + z2 = 4.
7. Calcule
∫ ∫ ∫
E
(
x3 + xy2
)
dV , onde E e´ o so´lido do primeiro octante que esta´ abaixo
do parabolo´ide z = 1− x2 − y2.
Utilize coordenadas esfe´ricas.
8. Calcule
∫ ∫ ∫
B
(
x2 + y2 + z2
)
dV , onde B e´ a bola unita´ria x2 + y2 + z2 ≤ 1.
9. Determine o volume do so´lido que esta´ acima do cone φ = pi/3 e abaixo da esfera
ρ = 4 cosφ.
10. Determine o volume do so´lido que esta´ dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 4, acima do
plano xy e abaixo do cone z =
√
x2 + y2.
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