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INTEGRAIS TRIPLAS

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Ca´lculo III
Departamento de Matema´tica - ICEx - UFMG
Marcelo Terra Cunha
Integrais Triplas
Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em va´ria regio˜es. Seja
motivado pelas aplicac¸o˜es, seja apenas pelo gosto matema´tico de procurar
generalizac¸o˜es, voceˆ deve estar se perguntando: existem integrais triplas?
4.1 Origem e Noc¸a˜o Intuitiva
Sim, se temos uma func¸a˜o (bem comportada, como todas as func¸o˜es do
ca´lculo) f : R→ R, onde R e´ uma regia˜o do R3 (ou seja, f e´ uma func¸a˜o de
treˆs varia´veis), podemos calcular a integral tripla de f na regia˜o R.
Novamente, a ide´ia e´ particionar R em “pedacinhos”, que agora sera˜o
pequenos volumes ∆VI , onde I indexa os va´rios pedacinhos. Tendo uma
partic¸a˜o, podemos definir somas de Riemann de f subordinada a essa partic¸a˜o
(da mesma forma que para integrais definidas e para integrais duplas)
S (f,R) =
∑
I
f (pI) ∆VI ,
onde pI e´ um ponto no “pedacinho” correspondente da partic¸a˜o. Novamente
podemos falar de somas inferiores, somas superiores e as mesmas condic¸o˜es
de “bom comportamento” da f que permitiam definir a integral dupla sa˜o
suficientes para mostrar o resultado ana´logo para integral tripla: a integral
tripla de f na regia˜o R, denotada∫ ∫ ∫
R
f dV,
e´ o limite das somas de Riemann correspondentes, quando as partic¸o˜es sa˜o
tomadas arbitrariamente finas.
Para as aplicac¸o˜es do tipo ca´lculo de valor me´dio de func¸o˜es, a inter-
pretac¸a˜o segue exatamente a mesma das integrais duplas: estamos olhando
o valor da func¸a˜o em um regia˜o pequena (se a func¸a˜o for cont´ınua e a regia˜o
1
realmente pequena, este valor depende muito pouco do ponto espec´ıfico es-
colhido), multiplicando pelo volume do pedacinho (antes era a a´rea, mas que
diferenc¸a faz?) e somando todas estas contribuic¸o˜es. Se queremos calcular
uma me´dia, precisamos depois dividir pela soma dos pequenos volumes, que
da´ o volume total da regia˜o.
Este u´ltimo ponto lembra outra aplicac¸a˜o simples da integral tripla: do
mesmo modo que ao integrar a func¸a˜o constante igual a 1 em uma regia˜o do
plano estamos de fato calculando a a´rea desta regia˜o (ou seja, a integral dupla
tambe´m serve para calcular a´reas), a integral tripla da func¸a˜o constante igual
a 1 em uma regia˜o do espac¸o calcula o volume desta regia˜o:∫ ∫ ∫
R
dV = V (R) .
Por fim, a mesma dificuldade que temos em pensar em um gra´fico de
uma func¸a˜o de treˆs varia´veis e´ o que torna pouco usual nos referirmos a`
integral tripla de uma func¸a˜o f na˜o-negativa como um “hiper-volume” da
regia˜o acima de R no espac¸o tridimensional e abaixo do gra´fico de f . Se voceˆ
puder visualizar um gra´fico de uma func¸a˜o de treˆs varia´veis desta forma, a
descric¸a˜o anterior fara´ sentido da mesma forma que a integral dupla de uma
f na˜o-negativa pode ser vista como uma volume e a integral definida de uma
f de uma varia´vel como uma a´rea.
E claro, uma vez que se entenda que a passagem de duas para treˆs
varia´veis so´ traz novidades te´cnicas (que ainda discutiremos), ale´m de uma
necessidade maior de abstrac¸a˜o, voceˆ ja´ estara´ pronto para definir por conta
pro´pria o conceito de integral mu´ltipla, para uma func¸a˜o de n varia´veis, e de
pensar em poss´ıveis aplicac¸o˜es e interpretac¸o˜es para ela.
4.2 Como Calcular
Um primeiro caso simples de se calcular e´ quando a regia˜o de integrac¸a˜o e´ um
paralelep´ıpedo: P = [a, b] × [c, d] × [p, q] e a func¸a˜o escrita em coordenadas
cartesianas se mostra de fa´cil integrac¸a˜o.
Neste caso, assim como para as integrais duplas, resolvemos a integral
tripla fazendo integrais iteradas. Por exemplo:∫ ∫ ∫
P
f (x, y, z) dV =
∫ q
p
∫ d
c
∫ b
a
f (x, y, z) dx dy dz.
2
Naturalmente, a escolha da ordem de integrac¸a˜o cabe a quem vai resolver
a integral. E a escolha natural e´ aquela que torna a integral mais fa´cil de
resolver.
Se para integrais duplas tambe´m havia outras regio˜es bem adaptadas a
coordenadas cartesianas (como aquelas entre dois gra´ficos de func¸o˜es de uma
varia´vel, as chamas regio˜es tipo I e tipo II), para integral tripla a situac¸a˜o
na˜o seria outra. Na˜o vamos ficar aqui enumerando ou descrevendo regras
de como proceder em cada caso (pois realmente achamos isso contraprodu-
cente). A melhor estrate´gia e´: busque uma descric¸a˜o da regia˜o de integrac¸a˜o
em notac¸a˜o de conjuntos e ali reconhec¸a como esta descric¸a˜o se adequa a uma
ordem adequada de integrac¸o˜es iteradas. Por exemplo, considere que quere-
mos fazer uma integral no interior de uma esfera de raio a, e que, por razo˜es de
simetria, basta integrarmos no primeiro octante. Uma maneira de descrever
esta regia˜o e´: R = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. Mas
essa forma na˜o e´ adequada para escrevermos integrais iteradas cartesianas.
Mas se notarmos que
R =
{
(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤
√
a2 − x2, 0 ≤ z ≤
√
a2 − x2 − y2
}
,
a´ı sim poderemos escrever∫ ∫ ∫
R
f (x, y, z) dV =
∫ a
0
∫ √a2−x2
0
∫ √a2−x2−y2
0
f (x, y, z) dz dy dx.
Onde, e´ claro, se a func¸a˜o f for mais bem adaptada a outra ordem de inte-
grac¸a˜o, devemos usar outra descric¸a˜o desta mesma regia˜o (ja´ que ela permite)
e adotar aquela que tornar a integral mais simples.
Nas pro´ximas aulas trataremos de outros sistemas de coordenadas, da
mesma forma que utilizamos coordenadas polares para integrais duplas.
4.3 Aplicac¸o˜es
As aplicac¸o˜es das integrais mu´ltiplas sa˜o va´rias, mas entre elas se destacam
aquelas relacionadas a obtenc¸a˜o de me´dias. Casos particulares destas me´dias
sa˜o obtenc¸o˜es de centros de massa. Vamos nos concentrar agora no seguinte
problema: seja T o tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);
considerando T um so´lido homogeˆneo, obtenha seu centro de massa.
3
Este problema ja´ e´ dado em coordenadas cartesianas, e os eixos ja´ foram
escolhidos de maneira muito bem adaptada. Na˜o ha´ necessidade buscar qual-
quer outro sistema de coordenadas1.
Ha´ uma clara e importante simetria no problema: o papel das coorde-
nadas x, y e z sa˜o os mesmos. Assim, se em princ´ıpio precisamos calcular as
treˆs coordenadas do centro de massa, na pra´tica basta calcularmos uma vez,
pois teremos xcm = ycm = zcm. Geometricamente, isso corresponde a dizer
que o centro de massa estara´ no segmento que une a origem ao baricentro da
face oposta.
Como ja´ sabemos das integrais duplas, a coordenada xcm sera´ dada pelo
valor me´dio da func¸a˜o x na regia˜o T , assim, queremos resolver
xcm =
∫ ∫ ∫
T
xρ dV∫ ∫ ∫
T
ρ dV
,
onde ρ e´ a densidade do so´lido. Como ρ e´ constante (o so´lido e´ homogeˆneo),
e aparece nas duas integrais, podemos elimina´-lo e o problema passa a ser
calcular duas integrais: ∫ ∫ ∫
T
x dV
e ∫ ∫ ∫
T
dV,
que reconhecermos ser o volume do tetraedro. Este volume deve ser calculado
geometricamente (1
3
Abh) e resulta
1
6
. Resta enta˜o calcularmos∫ ∫ ∫
T
x dV =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 1−x−y
0
x dz dy dx
=
∫ 1
0
∫ 1−x
0
1− x− y2
2
dy dx
=
∫ 1
0
∫ 1−x
0
ξ2
2
dξ dx
=
∫ 1
0
1− x3
6
dx =
1
24
,
de onde conclu´ımos que xcm =
1
4
= ycm = zcm.
1Embora possamos oferecer uma outra soluc¸a˜o que, implicitamente, faz uso de outro
sistema de coordenadas.
4
Com um pouco mais de geometria, poder´ıamos resolver esse exerc´ıcio
apenas com as te´cnicas do ca´lculo I. Mas isso fica como um desafio para
quem estiver interessado.
5

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