Produto Escalar

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Dados dois vetores u e v , não nulos, e escolhido um 
ponto O qualquer, podemos escrever:
A = O + u e B = O + v.
A
O B
Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AOB 
determinado pelas semi-retas OA e OB.
^ 
u
v
Indicamos AOB = (u ,v ) , onde
 ),(0 vu
.Observe que se ( u ,v ) = 0 , os vetores u e v tem o mesmo 
sentido e se ( u, v ) = π , estes vetores tem sentidos contrários
Sejam u e v vetores não nulos. O produto escalar de 
u por v, indicado por u. v, é o número real : 
u . v = | u |. | v |. cos ( u , v )
PRODUTO ESCALAR
Se um dos vetores for nulo temos u . v = 0.
Ex: Dado um quadrado cujo lado mede 2, calcule:
AB. BC
AB. AC
AB. CD
Sejam u e v dois vetores representados abaixo:
O vetor v se exprime de maneira única na forma 
v = v1 + v2, onde v1 é paralelo a u e v2 é ortogonal a u.
v1
v2
vv
u
Chamamos o vetor v1 de projeção de v na direção de u.
oov
u uuvprojv ).(1 
Chamamos de
ouv.
a medida algébrica da projeção 
de v na direção de u e indicamos
v
uprojamed ..lg.
Sejam u, v e w vetores quaisquer e t um número real.
1)v.u = u.v
2)t (v.u) = (tv)u = v(tu)
3)u (v+w) = u.v + u.w
4)u.u = |u|2
5)u.v = 0 se e somente se u v
Expressão cartesiana do produto escalar
Dados os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) 
na base { i, j, k }, temos: u . v = x1x2 + y1y2 + z1z2