Transferência de Calor unid II

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Unidade II
Unidade II
5 Condução em SiStemaS RadiaiS
Paredes Cilíndricas
O mesmo desenvolvimento realizado para paredes planas será utilizado para as paredes cilíndricas, 
entretanto teremos que reescrever a equação da resistência térmica (Rtêrmica).
Figura 6 – Representação esquemática de uma associação de cilindros de diferentes materiais
Considere um duto cilíndrico composto, apresentado na figura 1, com comprimento l, constituído 
por uma camada de material com condutividade térmica k1, com raio interno r1 e raio externo r2, envolto 
por um novo material de condutividade térmica k2. O cilindro interno está exposto a uma temperatura T1 
e o cilindro externo está exposto a uma temperatura T2. Qual será o fluxo de calor desse sistema?
O fluxo de calor pode ser expresso pela lei de Fourier, mas agora com o gradiente da temperatura na 
 
direção radial:
ÿ
 = − ⋅ ⋅
dT
q k A
dr
.
Para configurações cilíndricas, a área é dada por A = 2π . r . l. Assim, retornando para a equação de 
Fourier e substituindo a área:
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Transferência de calor
( )2= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ dTq k r l
dr
pi
Isolando a variável radial de um dos lados da equação:
2⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
dr
q k l dT
r
pi
Integrando a equação anterior do ponto 1 ao ponto 2:
( ) ( ) [ ]
2 2
2 2 2
2 1 2 1 1 21 1
11 1
2 ln 2 ln( ) ln( ) 2 ( ) ln 2 ( )
 
⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −  ∫ ∫    rdrq k l dT q r k l T q r r k l T T q k l T Tr rpi pi pi pi
( ) ( ) [ ]
2 2
2 2 2
2 1 2 1 1 21 1
11 1
2 ln 2 ln( ) ln( ) 2 ( ) ln 2 ( )
 
⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −  ∫ ∫    rdrq k l dT q r k l T q r r k l T T q k l T Tr rpi pi pi pi
Portanto, o fluxo de calor em paredes cilíndricas será:
1 2
2
1
2
( )
ln
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ − 
  
 k lq T T
r
r
pi
Para se aplicar o conceito de resistência térmica, deve-se partir do conceito de fluxo de calor 
 
 equacionado em notas anteriores: 
∆
=
térmica
T
q
R
. Reescrevendo essa equação, pode-se notar qual será o 
 
novo conceito para a resistência térmica (em paredes cilíndricas):
1
= ∆ ⋅
térmica
q T
R
Observe que a resistência térmica é dada por:
2
1
2
1
ln
1 2
2
ln
 
  ⋅ ⋅ ⋅
= ⇒ =
⋅ ⋅ ⋅ 
  
térmica
térmica
r
rk l
R
R k lr
r
pi
pi
Para o caso em que temos n paredes cilíndricas, a resistência térmica total será dada por:
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Unidade II
1=
= ∑equivalente
n
T i
i
R R
Paredes Esféricas
O mesmo desenvolvimento realizado para paredes planas e cilíndricas também será utilizado para as 
paredes esféricas, sendo reescrita mais uma vez a equação da resistência térmica (Rtêrmica).
Considere um sistema esférico constituído por uma camada de material com condutividade térmica 
k1, com raio interno r1 (ou ri) e raio externo r2 (ou re), envolto por um novo material de condutividade 
térmica k2. A esfera interna está exposta a uma temperatura T1 e a esfera externa está exposta a uma 
temperatura T2. Qual será o fluxo de calor desse sistema?
Figura 7 – Representação esquemática de uma associação esférica de diferentes materiais
O fluxo de calor pode ser expresso pela Lei de Fourier, mas agora com o gradiente da temperatura 
também na direção radial:
= − ⋅ ⋅
dT
q k A
dr
Para configurações esféricas, a área de sua superfície é dada por A = 4π . r2. Assim, retornando para 
a equação de Fourier e substituindo a área:
2(4 )= − ⋅ ⋅ ⋅
dT
q k r
dr
pi
Isolando a variável radial de um dos lados da equação, temos:
2
4⋅ = − ⋅ ⋅
dr
q k dT
r
pi
Integrando a equação anterior para um ponto no interior (i) da esfera a um ponto no exterior (e) da 
mesma esfera:
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Transferência de calor
( ) ( )2 1 12 4 4 42 1 1
− + −   
⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ −   
− + −   ∫ ∫  
e ee e
e
e ii
i i i i
dr r r
q k dT q k T q k T T
r
pi pi pi
Portanto para o fluxo de calor em paredes esféricas, teremos:
( )1 14 4( ) ( )− −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ − ⇒ = ⋅ ∆ e ie e
i i
k k
q T T q T
r r
pi pi
Para aplicarmos o conceito de resistência, vamos partir do conceito de fluxo de calor equacionado 
 
em aulas anteriores: 
∆
=
Térmica
T
q
R
. Reescrevendo essa equação, podemos notar qual será o novo conceito 
 
para a resistência térmica (em paredes esféricas):
1
= ∆ ⋅
Térmica
q T
R
em que a resistência térmica será definida por:
1
1
1 1
( )1 4
4 4( )
−
−
−
⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
e
i e i
Térmica Térmicae
Térmica i
r r rk
R R
R k kr
pi
pi pi
6 FundamentoS da ConveCção
Ao se estudar a transferência de calor em um sólido ou fluido em repouso, o processo de condução 
é utilizado. Entretanto, o que ocorre quando o fluido entra em movimento?
Quando há movimento no fluido, o processo de transferência (transmissão) de calor utilizado é a 
convecção. A convecção pode ser classificada em:
• Natural (ou livre): qualquer movimento do fluido é causado por meios naturais, como o efeito do 
empuxo, o qual se manifesta com fluidos quentes subindo e fluidos frios descendo.
• Forçada: o fluido é forçado a escoar sobre uma superfície ou dentro de um tubo por meios 
externos, como bombas e ventiladores.
• Externa: o fluido escoa sobre uma superfície.
• Interna: o fluido escoa dentro de um tubo.
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Unidade II
Mecanismos de Convecção
Note que embora a condução e a convecção sejam semelhantes, diferente da radiação, ambos 
necessitam de um meio material para transferir calor. Lembre-se de que para o processo de convecção 
é necessário o movimento do fluido.
Analisando as taxas de transferência de calor por um fluido, é possível observar que elas serão 
maiores para o processo de convecção em relação ao processo de condução. Isso se deve ao movimento 
que aumenta a transferência de calor, colocando mais partes quentes e frias do fluido em contato. Note 
que quanto maior a velocidade do fluido, maior será a taxa de transmissão de calor.
A transmissão (transferência) de calor depende das propriedades do fluido como viscosidade 
dinâmica (µ), condutividade térmica (k), massa específica ou densidade (ρ) e calor específico (Cp), assim 
como a velocidade de escoamento do fluido (v). Além disso, a geometria e a rugosidade da superfície 
sólida, bem como o tipo de escoamento, podem interferir na transmissão de calor.
Embora a transmissão de calor por convecção demonstre uma grande complexidade, devido à 
quantidade de variáveis que influenciam o processo, a taxa de transmissão de calor por convecção é 
proporcional à diferença de temperatura e é expressa pela lei de resfriamento de Newton, como:
2( )( / )
∞
= −conv Sq h T T W m ou ( )( )∞= ⋅ ⋅ −

conv S SQ h A T T W
em que: h representa o coeficiente de transferência de calor por convecção (W / m2 . K), AS representa 
a área de transferência de calor (m2), TS representa a temperatura da superfície (ºC) e T∞ é a temperaturado fluido suficientemente longe da superfície (ºC).
O coeficiente de transferência de calor por convecção representa a taxa de transferência de 
calor entre uma superfície sólida e um fluido por unidade de área e por unidade de diferença de 
temperatura. A transferência de calor por convecção a partir de uma superfície sólida para um fluido é 
simplesmente a transferência de calor por condução a partir da superfície sólida para a camada de fluido 
adjacente à superfície. Assim, a determinação do coeficiente de transferência de calor por convecção 
quando a distribuição de temperatura no interior do fluido é conhecida, pode ser determinada por 
 
0 2
( / )
( / )=
∞
− ⋅ ∂ ∂
= ⋅
−
flui y
S
k T y
h W m K
T T
. O coeficiente de transferência de calor por convecção, em geral, 
 
varia ao longo da direção do escoamento.
Resistência Térmica
A expressão do fluxo de calor pode ser adaptada para que possamos fazer uma analogia com a 
resistência elétrica. Considere o fluxo de calor:
∆
= ⋅ ⋅ ∆ ⇒ = Tq h A T q
R
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Transferência de calor
em que: 
1
=
⋅
R
h A
 e representa a resistência térmica na convecção.
Camada Limite
É comum que o escoamento de fluidos ocorra em superfícies sólidas e lembre-se de que o quanto 
tais superfícies podem afetar o escoamento do fluido.
Considere o seguinte experimento: um fluido escoa em um tubo ao longo de uma superfície sólida 
estacionária e não porosa (ou simplesmente impermeável). Observando o experimento, é possível 
visualizar um perfil de velocidade, em que próximo à superfície, o fluido atinge o repouso, ou, como 
mencionado em Mecânica dos Fluidos, o fluido assume velocidade igual a zero (próximo às paredes). 
Dessa forma, lembre-se de que o fluido adere à superfície devido aos efeitos viscosos, resultando na 
condição de não escorregamento.
Ao se observar a evolução do gradiente de velocidade, a camada aderente à superfície atrasa a 
camada de fluido adjacente por causa das forças viscosas entre as camadas de fluidos, atrasando as 
sucessivas camadas existentes. A condição de não escorregamento é responsável pelo desenvolvimento 
do perfil de velocidade. A região adjacente à parede em que efeitos viscosos são significativos é 
denominada camada limite. A propriedade do fluido responsável pela condição de não escorregamento 
e pelo desenvolvimento da camada limite é a viscosidade.
Revisão da Classificação do Escoamento dos Fluidos
A transferência de calor por convecção está intimamente ligada à mecânica dos fluidos. Assim, será 
necessário revisar alguns conceitos provenientes do estudo dos fluidos.
Escoamento Viscoso e Não Viscoso
Quando duas lâminas (ou camadas) de fluido se movem uma em relação à outra, uma força de 
atrito se desenvolve em ambas e a camada mais lenta tenta frear a mais rápida. A resistência interna 
ao escoamento é denominada viscosidade, a qual mede a aderência interna do fluido. Escoamentos 
viscosos são escoamentos nos quais os efeitos viscosos são significativos. Se os termos viscosos são 
desprezados, trata-se de um escoamento não viscoso. No caso de um fluido escoando ao longo de uma 
placa, o escoamento viscoso está próximo à superfície da placa, enquanto o escoamento não viscoso 
está longe da placa.
Escoamento Interno e Externo
O escoamento do fluido sobre uma superfície como placa, fio ou tubo é denominado escoamento 
externo. O escoamento em um tubo ou duto é denominado escoamento interno.
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Unidade II
Escoamento Compressível e Incompressível
O escoamento é denominado incompressível quando a massa específica do fluido permanece 
praticamente constante ao longo do escoamento. Lembre-se de que os líquidos são conhecidos como 
substâncias incompressíveis.
Escoamento Laminar e Turbulento
O movimento de um fluido altamente ordenado, caracterizado por lâminas lisas de fluidos, é 
denominado laminar. O movimento altamente desordenado dos fluidos, geralmente observados em 
altas velocidades, é caracterizado por flutuações de velocidade, denominado turbulento.
Escoamento Natural e Forçado
Quando um fluido é forçado a escoar por um tubo ou superfície, com o auxílio de um meio externo 
como bombas e ventiladores, têm-se o escoamento forçado. Qualquer movimento de fluido devido a 
meios naturais, como o empuxo, é resultado do escoamento natural.
Escoamento Permanente e Transiente
Escoamento permanente é representado por nenhuma alteração com o tempo no ponto. O oposto 
será denominado transiente.
7 aletaS
Aletas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor. Considere uma superfície base 
sobre a qual estão fixadas aletas de seções transversais. 
Figura 8 – Representação esquemática de uma aleta e características de interesse
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Transferência de calor
Em uma superfície base, a temperatura da superfície (TS)é, geralmente, maior da temperatura 
ambiente (T∞) Afinal, a superfície estendida (aleta) está na base para trocar calor e o fluxo de calor 
sempre na direção da maior temperatura para a menor temperatura.
O fluxo de calor total transferido pela superfície com aleta é igual ao fluxo de calor transferido pela 
área exposta das aletas (AA) mais o fluxo de calor transferido pela área exposta da superfície base (AB). 
Assim, a transferência de calor será:
( ) ( )?∞ ∞= + ⇒ = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −   B A B s Aq q q q h A T T h A T T
Observe que a diferença de temperatura é desconhecida para a aleta e tal diferença deve ser corrigida 
pela eficiência da aleta (η).
Figura 9 – Diferença de temperatura em uma aleta
Observe que na base da aleta a temperatura é TS, porém haverá uma diminuição dela à medida que 
a temperatura se afasta da base até a borda da aleta.
Uma nova equação para a transferência de calor na aleta pode ser escrita, considerando-se a 
eficiência dessa aleta. Assim, o fluxo de calor transferido na aleta será:
( )
∞
= ⋅ ⋅ ⋅ −A A sq h A T Tη
Como o valor da eficiência pode ser determinado? Considerando o balanço de energia em uma aleta 
de seção uniforme, a eficiência seria determinada por:
( )⋅
=
⋅
tgh m l
m l
η
em que 
⋅
=
⋅ t
h P
m
k A
. As variáveis da equação são: h representa o coeficiente película ou o coeficiente 
 
de transferência de calor por convecção, P representa o perímetro e k representa o coeficiente de 
condutibilidade do material.
Portanto, o fluxo de calor trocado em uma superfície aleta será definido por:
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Unidade II
( ) ( ) ( ) ( )
∞ ∞ ∞
= + ⇒ = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ −    B A B s A s B A sq q q q h A T T h A T T q h A A T Tη η
Tipos de Aletas
Aleta de Seção Retangular
Uma aleta de seção retangular apresenta as características da figura 10.
Figura 10 – Aleta de seção retangular e suas características
A área transversal (At) da aleta é dada por At = b . e. O perímetro será P = 2 . b + 2 . e. Como b >> e, 
o perímetro se aproxima de 2≈ ⋅P b . Portanto, para determinar m:
2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ⇒ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅t
h P h b h
m m
k A k b e k e
É comum ter que determinar a quantidade de aletas que existe em certa base. Para isso, deve-se 
considerar o comprimento total da base (Lb), a espessura da aleta e o espaçamento (∆) entre cada aleta. 
Dessa forma,o número de aletas (n) será:
( )= + ∆ ⋅ ⇒ =
+ ∆
b
b
L
L e n n
e
Aleta Curva
Uma aleta curva apresenta as características da figura 6.
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Transferência de calor
Figura 11 – Representação esquemática de uma aleta curva com raio (r) e espessura (e)
A área transversal (At) da aleta é dada por At = 2 . π . r . e. O perímetro será P = 2 . (2 . π . r) + 2 . e. 
Como a espessura é muito inferior ao raio, 4≈ ⋅ ⋅P rpi . Portanto, para determinar m:
4 2
2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ⇒ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅t
h P h r h
m m
k A k r e k e
pi
pi
Aleta Pino
Uma aleta pino apresenta as características da figura 12.
Figura 12 – Representação esquemática de uma aleta pino
A área transversal (At) da aleta é dada por At = π . r
2. O perímetro será P = 2 . π . r. Portanto, para 
determinar m:
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Unidade II
2
2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ⇒ =
⋅ ⋅⋅ ⋅t
h P h r h
m m
k A k rk r
pi
pi
8 PaRâmetRoS adimenSionaiS e PlaCaS PlanaS
Camada Limite de Velocidade
Lembre-se de que a camada limite é uma fina camada de fluido em que o gradiente de velocidade e 
as tensões de cisalhamento são grandes. Assim, quando há movimento no fluido, o atrito está presente. 
Se for considerada a força de atrito por unidade de área, a tensão cisalhante na superfície será expressa 
 
a partir do gradiente de velocidade 
0=
 ∂
=  ∂ 
y
y
y
τ µ . Lembre-se de que a tensão de cisalhamento mantém 
um fluido em movimento.
Considerando um escoamento externo, o primeiro parâmetro adimensional, denominado coeficiente 
de atrito local, pode ser determinado por:
2
2
≡
⋅
fC u
τ
ρ
Ao longo de uma superfície, a força de atrito pode ser definida por: 
2
2
⋅ ⋅ ⋅
=
f S
f
C A v
F
ρ
.
Camada Limite Hidrodinâmica
Região do escoamento acima de um ponto, delimitado por uma espessura da camada limite ( )δ , em 
que as forças de cisalhamento viscoso são sentidas. Uma forma de definir a espessura da camada limite 
é medir a distância y a partir da superfície na qual 0,99= ⋅u v . Note que tal camada ocorre quando 
existe uma variação substancial da velocidade.
Camada Limite Térmica
Região do escoamento sobre a superfície em que a variação de temperatura, na direção normal à 
superfície, é significativa. A espessura da camada limite térmica é a distância a partir da superfície em 
que a diferença de temperatura equivale a 0,99 . (T∞ - TS).
Parâmetros Adimensionais
Número de Nusselt
Nos estudos de convecção, uma prática comumente utilizada é adimensionalizar as equações e 
combinar as variáveis que se agrupam em números adimensionais para reduzir o número total de 
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Transferência de calor
variáveis. O coeficiente de transferência de calor (h) adimensional pode ser obtido pelo número de 
 
Nusselt (Nu), 
⋅
=
ch LNu
k
, em que Lc corresponde ao comprimento característico.
O número de Nusselt representa o aumento da transferência de calor pela camada de fluido como 
resultado da convecção em relação à condução do mesmo fluido em toda a camada. Quanto maior for o 
número de Nusselt, mais eficaz será a convecção. Um número de Nusselt, Nu = 1, para camada de fluido 
representa a transferência de calor em toda a camada por condução pura.
Note que o número de Nusselt representa a razão entre a transmissão de calor por convecção e 
somente por condução.
Número de Prandtl
Este número adimensional relaciona a espessura relativa das camadas limites hidrodinâmicas e 
térmicas. Matematicamente:
=
difusividademoleculardequantidadedemovimento
Pr
difusividademoleculardecalor
⋅
= =
pcPr
k
µν
α
O número de Prandtl fornece uma medida da efetividade dos transportes, por difusão, de momento 
e de energia no interior das camadas limites de velocidade e térmica.
Número de Reynolds
Determina a existência de um escoamento laminar ou turbulento. Lembre-se de que o número de 
Reynolds é dado por:
Re
⋅ ⋅ ⋅
= = =
c cv L v LForçadeinércia
Forçaviscosa
ρ
ν µ
A magnitude do número de Reynolds tem uma influência direta com a espessura da camada-limite 
de velocidade. Observe que quanto menor for a influência das forças viscosas, menor será o valor da 
espessura da camada limite.
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Unidade II
Número de Grashof
Fornece uma medida da relação entre as forças de empuxo e as forças viscosas na camada limite de 
velocidade, Gr = g . β . (TS - T∞) . L
3v2, em que β representa o coeficiente de expansão volumétrica. No 
caso de gases ideais, 
1
=
T
β , com a temperatura absoluta.
Convecção – Placa Plana
A convecção deve ser expressa em termos das equações da continuidade, quantidade de movimento e 
energia, considerando o escoamento permanente e incompressível. Assim, uma quantidade relativamente 
sofisticada de cálculo deve ser desenvolvida para se estudar a propagação do calor no sistema.
Podemos redefinir alguns parâmetros já mencionados, utilizando os parâmetros adimensionais, 
quando problemas de escoamento paralelo, permanente e incompressível ao longo de uma placa plana 
forem estudados:
1. Camada limite hidrodinâmica: 
4,91 4,91
Re
⋅
= =
⋅
x
v
x
δ
ν
2. Camada limite térmica: 
1/3 1/3
4,91
Re
⋅
= =
⋅
T
x
Pr Pr
δδ
3. Coeficiente de atrito: 2
0,664
Re
2
= =
⋅
fC v
τ
ρ
4. Número de Nusselt: 30,332 Re
⋅
= = ⋅ ⋅
h x
Nu Pr
k
Determinando o Coeficiente de Transferência de Calor (h)
Devido à grande quantidade de variáveis relacionadas com tal parâmetro, a sua determinação 
pode se tornar uma tarefa árdua. Uma forma de diminuir tal tarefa é utilizar equações empíricas que 
relacionam os parâmetros adimensionais mencionados anteriormente. Assim:
• Convecção natural: utiliza-se os números de Nusselt e Grashof.
• Convecção forçada: utiliza-se os números de Nusselt, Reynolds e Prandtl.
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BIBLIogRAFIA BáSICA
ÇENGEL, Y. A. Transferência de Calor e Massa. 3. ed. Editora McGraw-Hill, 2009.
INCROPERA, F. P. et al. Fundamentos de Transferência de Calor. 6. ed. Editora LTC, 2008.
MORAN, M. J.; SHAPIRO, H. N. Princípios de Termodinâmica para Engenharia. 6. ed. Editora LTC, 2009.
BIBLIogRAFIA CoMPLEMENTAR
BEJAN, A. Transferência de Calor. 1. ed. Editora Edgard Blucher, 2004.
HOLMAN, J. P. Heat Trasnfer. 10. ed. Editora McGraw-Hill, 2010.
KREITH, F.; BOHN, M. S. Princípios de Transferência de Calor. 1. ed. Editora Thomson Learning, 2003.
TREVISAN, W. Manual Termotécnico. Inst. Brasileiro de Edições Científicas – IBEC, 2005.
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