RELATÓRIO II CRÉDITO DE PROB. E ESTATISTICA (FINAL)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENDO DE CIÊNCIA EXATAS E TECNOLÓGICAS
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
II CRÉDITO – ANALISE DE VARIÂNCIA 
ANANDA KAYALA CERQUEIRA (201411632)
JOADSON DE JESUSNOLIVEIRA (201410796)
ILHÉUS-BAHIA
2015
ANANDA KAYALA CERQUEIRA (201411632)
JOADSON DE JESUS OLIVEIRA (201410796)
 II CRÉDITO – ANALISE DE VARIÂNCIA 
Relatório apresentado como parte dos critérios de avaliação da disciplina CET173 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Turma T06. 
Professor: Sergio Jose Ribeiro Oliveira 
ILHÉUS-BAHIA
2015
INTRODUÇÃO
Ao efetuar uma análise em 4 marcas de peças mecânicas, as quais cada uma equivale a um tratamento e onde o objetivo inicial é obter a durabilidade em messes de cada marca de peça. Para tanto fez-se necessário submeter cada marca a alguns pequenos testes, utilizando-as em alta potência, para observar o degaste que cada marca apresentaria após o procedimento experimental. Cada marca foi avaliada seis vezes, para que dessa forma fosse possível realizar os devidos testes estatísticos. Para obter os resultados desejados, aplicou-se a análise de variância, obtendo o valor do coeficiente de variação do experimento, testou-se todos os pressupostos. Posteriormente utilizou-se do Teste de Tukey para verificar quais marcas seriam recomendadas. 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Inicialmente, pegou-se os dados fornecidos, que neste caso são os dados do grupo (G1) que por sua vez foram reorganizados, para facilitar a analise dos mesmos. A seguir estarão expressos na Tabela 1 os dados do grupo (G1), juntamente com o valor do somatório de cada tratamento, o valor do somatório total e as médias. 
Tabela 1 – Dados do grupo (G1) seguido das médias e os somatórios.
	G1
	REPETIÇÕES 
	TOTAL
	MÉDIA 
	T1
	39,2
	36,1
	42,7
	39,7
	40,1
	37,0
	234,8
	39,13
	T2
	38,9
	38,3
	38,2
	39,0
	38,7
	38,6
	231,7
	38,62
	T3
	30,3
	30,8
	29,6
	28,9
	29,8
	30,7
	180,1
	30,02
	T4
	47,5
	49,4
	43,6
	45,9
	49,1
	40,4
	275,9
	45,98
	TOTAL 
	 
	922,5
	 
 Dados da pesquisa.
Para realizar a analise de variância dos quatro tratamentos, fez-se necessário obter os somatórios dos termos de cada tratamento, assim como também os somatórios de cada tratamento elevado ao quadrado. E para tanto se utilizou respectivamente as seguintes eq. (1) e eq. (2) a seguir: 
Após realizar as respectivas somas, para ambos os casos obteve-se o valor para somatório de todos os termos de Yij que corresponde a: 
E por sua vez ao realizar o somatório de todos os termos de Y²ij obteve-se:
36320,21 eq. (2)
 Para dar continuidade a demonstração dos testes foi necessário reorganizar os dados da Tabela 1, só que agora com todos os tratamentos elevados ao quadrado, portando também os somatórios de cada um dos 4 tratamentos elevados ao quadrado e ainda com cada uma das médias que também foram elevadas ao quadrados, esses novos dados serão disponibilizados na Tabela 2 a seguir:
Tabelas 2 – Dados do grupo (G1), só que agora elevados ao quadrado, com os somatórios dos tratamentos também elevados ao quadrado e com sua respectivas médias também ao quadrado. 
	G1^2
	REPETIÇÕES 
	TOTAL
	MÉDIA^2 
	T1
	1536,64
	1303,21
	1823,29
	1576,09
	1608,01
	1369
	9216,24
	1531,42
	T2
	1513,21
	1466,89
	1459,24
	1521
	1497,69
	1489,96
	8947,99
	1491,25
	T3
	918,09
	948,64
	876,16
	835,21
	888,04
	942,49
	5408,63
	901,00
	T4
	2256,25
	2440,36
	1900,96
	2106,81
	2410,81
	1632,16
	12747,35
	2114,47
	TOTAL 
	 
	36320,21
	 
Dados da pesquisa.
E para enfim determinar a variação de cada tratamento utilizou-se a eq. (3), disposta a seguir:
 eq. (3)
Começou-se a analisar a variância de cada um dos quatro tratamentos e os resultados foram os seguintes:
Após de obter a variância do T1, fez-se necessário obter o desvio e para isso basta retirar o quadrado da variância e colocar como raiz do valor obtido para variância. Assim como está exposto na eq. (4) abaixo. 
 eq. (4)
E por fim, obteve-se o coeficiente de variação que nada mais é resultante da multiplicação entre o desvio e o 100%, para isso utilizou-se a eq. (5) a seguir:
 eq. (5)
 
O procedimento acima foi realizado para os demais tratamentos, mas para evitar maiores delongas, os resultados da analise dos demais tratamentos foram disponibilizados na Tabela 3 a seguir: 
Tabela 3 – Resultado dos testes de variância, desvio e coeficiente de variação de cada um dos quarto tratamentos, porem de forma sucinta. 
	G1
	VARIANCIA 
	DESVIO 
	CV
	T1
	5,55
	2,36
	235,51
	T2
	0,10
	0,32
	31,89
	T3
	0,53
	0,73
	72,50
	T4
	12,11
	3,48
	347,99
 Dados da pesquisa.
A análise de variância tem como ponto de partida a decomposição da variação total da variável resposta em partes, que por sua vez podem ser atribuídas aos tratamentos e ao erro experimental.
Para da inicio a nosso análise é importante deixar claro que de acordo com os dados que foram dispostos, que neste caso refere-se aos dados do grupo G1 que os mesmos possuem 4 tratamentos e 6 repetições que neste caso correspondem á:
i = 1, 2, 3,4 tratamentos;
j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 repetições.
As hipóteses a serem testadas neste experimento são:
H0 : T1 = T2 = T3 = T4;
H1 : Ti ≠ Ti’ neste caso para no mínimo um par, com i ≠ i’
 Iniciando deste modo os cálculos para analise de variância, utilizou-se das equações (1) e (2), que por sua vez foram aplicadas como já foi explicado acima e obteve-se os seguintes resultados:
 eq. (1) 
 36323,21 eq. (2)
Antes de iniciar a somas dos quadrados é necessário que se determine os graus de liberdade, que neste caso são de tratamento, resíduo e total. E correspondem á:
Graus de liberdade de tratamentos = I – 1 = 4 – 1 = 3;
Graus de liberdade do resíduo = I(J – 1) = 4(6 – 1) = 4(5) = 20;
Graus de liberdade total = (I.J) – 1 = (4.6) – 1 = 24 – 1 = 23.
Posteriormente a determinação dos graus de liberdade, se torna possível a realização da soma dos quadrados, iniciando-se então com a soma dos quadrados totais o qual é representado pela equação (6) abaixo:
 eq. (6)
 
Agora vamos realizar a soma dos quadrados dos tratamentos a qual está descrita abaixo e representada pela equação (7). 
 eq. (7)
A soma dos quadrados dos resíduos é obtido através da diferença entre a soma dos quadrados totais e a soma dos quadrados dos tratamentos, assim como está representado na equação (8) a seguir:
 eq. (8)
 
 
Para se obter os quadrados médios dos tratamentos e os quadrados médios dos resíduos, basta que divida o seus respectivos valores com seus respectivos graus de liberdade assim como está explicito nas equações (9) e (10) a seguir:
 eq. (9)
No caso do quadrado médio do resíduo tem-se:
 eq. (10)
O teste de F nada mais é que o cociente entre o quadrado médio dos tratamentos e quadrado médio do resíduo. Assim como está disponívelna eq. (11) abaixo:
 eq. (11)
Agora que já se obteve o do Fcalculado já é possível realizar uma comparação com Ftabelado, os quais serão analisados de acordo com os graus de liberdade 3 e 20 na tabela F (tabela). 
Fcalculado = 
Ftabelado a 5% = 8,66
Agora com a maior parte dos cálculos realizados, já é possível organiza-los em uma tabela de analise de variância, onde irá conter todas as informações necessárias para tirar as devidas conclusões referentes aos resultados dos testes. Estas informações estão disponíveis na Tabela 4 a seguir:
Tabela 4 – Analise de variância dos dados G1
	Causa da Variação 
	GL
	SQ
	Qm
	Fcalculado
	TRAT.
	4 - 1 = 3
	770,2
	256,73
	13,60*
	RES.
	4(6-1) = 20
	94,42
	18,88
	 
	TOTAL 
	4(6-1) = 23
	864,62
	
	
 Significativo ao nível de 0,05% de probabilidade.
Tendo em vista os aspectos observados e levando em consideração que com o teste de F foram encontrados indícios de que há diferenças significativas em nível de 0,05% de probabilidade entre os tratamentos, referente à durabilidade de cada uma das quatro marcas de peças automobilísticas. Consequentemente desconsideramos a hipótese H0, já que ficou claro que pode existir uma diferença significativa entre as médias dos tratamentos. Todavia para ter certeza desta afirmação, faz-se necessário utilizar o teste de Tukey, para de fato analisar a diferença entre cada uma das médias dos tratamentos. 
O teste de Tukey possibilitar mostrar qualquer diferença que possa existir entre um par de médias, contudo é importante ressaltar que como o teste não depende em nada do teste F, que neste foi significativo ele pode apresentar um resultado completamente controverso, não apresentando nenhuma mudança significativa entre as médias. A equação (12) é a do teste de Tukey, que esta descrita a seguir, juntamente com a sua resolução. 
 eq. (12)
Onde q é a amplitude total studentizada (tabelada), QmRES é o quadrado médio do resíduo e r é o numero de repetições dos tratamentos.
 
 
 
 
 
Agora com resultado do teste de Tukey em mãos, já é possível analisar de forma precisa o grau de diferença entre as médias, para só então saber se a diferença entre as marcas de peças é de fato significativa ou não. Para tanto organizou-se as médias dos quatro tratamentos em ordem decrescente. Atribuindo a maior média o nome da vogal A e dai por diante foi-se testando cada uma das médias, as médias que não apresentavam diferença significativa foram também chamadas de A. Por outro lado a média que apresentou uma diferença significativa ao nível de 0,05% e que corresponde ao valor de 8,6 foi nomeada de B. A seguir está explicito na Tabela (5) o resultado da analise realizada através do teste de Tukey. 
Tabela 5 – Analise das médias dos 4 tratamentos, para obter a diferença de significância entre as mesmas. 
	 
	45,98
	A
	 
	39,13
	A
	 
	38,62
	A
	  
	30,02
	B
 Dados da pesquisa.
Comprovando matematicamente as afirmações contidas acima.
Logo, fica provada a segunda hipótese H1, pois pelo menos uma das médias possui uma diferença significativa ao nível de 0,05% de probabilidade. 
CONCLUSÃO
Sobre tudo observou-se, que os objetivos iniciais foram devidamente alcançados. Os valores dos 4 tratamentos foram devidamente testados, através de alguns recursos estatísticos e chegou-se a conclusão que as marcas de peças automobilísticas mais confiáveis e que apresentam uma maior durabilidade e eficiência são as marcas T1, T2 e T3, pois apresentam uma menor discrepância de variação. Agora pensando em uma perspectiva econômica as marcas T2 e T3 representam uma melhor alternativa, pois estão a um preço mais acessível, tornando-as mais viáveis pelo custo e beneficio. Permanecendo desta forma dentro dos padrões aceitáveis ao nível de 0,05% de probabilidade. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Anjos, A.; Dos. Capitulo 7 – Analise de Variância; PROBABILIDADE E ESTATISTICA. 109-118 p.
ABNT/INMETRO. Guia para a Expressão da Incerteza de Medição. (GUM). Terceira Edição brasileira em língua portuguesa. Rio de Janeiro: ABNT/INMETRO, 2003. 120 p. 
 
ANEXO 1 – VALORES DE F TABELADO
ANEXO 2 - VALORES DA AMPLITUDE TOTAL ESTUDENTIZADA (q), PARA USO NO TESTE DE TUKEY
Tabela- Valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey aos níveis de significância de 5% e 1%.
	v
 (gl erro) 
	α
	t (número de tratamentos)
	
	
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	5
	0,05
	3,64
	4,60
	5,22
	5,67
	6,03
	6,33
	6,58
	6,80
	6,99
	
	0,01
	5,70
	6,98
	7,80
	8,42
	8,91
	9,32
	9,67
	9,97
	10,24
	6
	0,05
	3,46
	4,34
	4,90
	5,30
	5,63
	5,90
	6,12
	6,32
	6,49
	
	0,01
	5,24
	6,33
	7,03
	7,56
	7,97
	8,32
	8,61
	8,87
	9,10
	7
	0,05
	3,34
	4,16
	4,68
	5,06
	5,36
	5,61
	5,82
	6,00
	6,16
	
	0,01
	4,95
	5,92
	6,54
	7,01
	7,37
	7,68
	7,94
	8,17
	8,37
	8
	0,05
	3,26
	4,04
	4,53
	4,89
	5,17
	5,40
	5,60
	5,77
	5,92
	
	0,01
	4,75
	5,64
	6,20
	6,62
	6,96
	7,24
	7,47
	7,68
	7,86
	9
	0,05
	3,20
	3,95
	4,41
	4,76
	5,02
	5,24
	5,43
	5,59
	5,74
	
	0,01
	4,60
	5,43
	5,96
	6,35
	6,66
	6,91
	7,13
	7,33
	7,49
	10
	0,05
	3,15
	3,88
	4,33
	4,65
	4,91
	5,12
	5,30
	5,46
	5,60
	
	0,01
	4,48
	5,27
	5,77
	6,14
	6,43
	6,67
	6,87
	7,05
	7,21
	11
	0,05
	3,11
	3,82
	4,26
	4,57
	4,82
	5,03
	5,20
	5,35
	5,49
	
	0,01
	4,39
	5,15
	5,62
	5,97
	6,25
	6,48
	6,67
	6,84
	6,99
	12
	0,05
	3,08
	3,77
	4,20
	4,51
	4,75
	4,95
	5,12
	5,27
	5,39
	
	0,01
	4,32
	5,05
	5,50
	5,84
	6,1
	6,32
	6,51
	6,67
	6,81
	13
	0,05
	3,06
	3,73
	4,15
	4,45
	4,69
	4,88
	5,05
	5,19
	5,32
	
	0,01
	4,26
	4,96
	5,40
	5,73
	5,98
	6,19
	6,37
	6,53
	6,67
	14
	0,05
	3,03
	3,70
	4,11
	4,41
	4,64
	4,83
	4,99
	5,13
	5,25
	
	0,01
	4,21
	4,89
	5,32
	5,63
	5,88
	6,08
	6,26
	6,41
	6,54
	15
	0,05
	3,01
	3,67
	4,08
	4,37
	4,59
	4,78
	4,94
	5,08
	5,20
	
	0,01
	4,17
	4,84
	5,25
	5,56
	5,8
	5,99
	6,16
	6,31
	6,44
	16
	0,05
	3,00
	3,65
	4,05
	4,33
	4,56
	4,74
	4,90
	5,03
	5,15
	
	0,01
	4,13
	4,79
	5,19
	5,49
	5,72
	5,92
	6,08
	6,22
	6,35
	17
	0,05
	2,98
	3,63
	4,02
	4,30
	4,52
	4,70
	4,86
	4,99
	5,11
	
	0,01
	4,10
	4,74
	5,14
	5,43
	5,66
	5,85
	6,01
	6,15
	6,27
	18
	0,05
	2,97
	3,61
	4,00
	4,28
	4,49
	4,67
	4,82
	4,96
	5,07
	
	0,01
	4,07
	4,70
	5,09
	5,38
	5,60
	5,79
	5,94
	6,08
	6,20
	19
	0,05
	2,96
	3,59
	3,98
	4,25
	4,47
	4,65
	4,79
	4,92
	5,04
	
	0,01
	4,05
	4,67
	5,05
	5,33
	5,55
	5,73
	5,89
	6,02
	6,14
	20
	0,05
	2,95
	3,58
	3,96
	4,23
	4,45
	4,62
	4,77
	4,90
	5,01
	
	0,01
	4,02
	4,64
	5,02
	5,29
	5,51
	5,69
	5,84
	5,97
	6,09
	24
	0,05
	2,92
	3,53
	3,90
	4,17
	4,37
	4,54
	4,68
	4,81
	4,92
	
	0,01
	3,96
	4,55
	4,91
	5,17
	5,37
	5,54
	5,69
	5,81
	5,92
	30
	0,05
	2,89
	3,49
	3,85
	4,10
	4,30
	4,46
	4,60
	4,72
	4,82
	
	0,01
	3,89
	4,45
	4,80
	5,05
	5,24
	5,40
	5,54
	5,65
	5,76
	40
	0,05
	2,86
	3,44
	3,79
	4,04
	4,23
	4,39
	4,52
	4,63
	4,73
	
	0,01
	3,82
	4,37
	4,70
	4,93
	5,11
	5,26
	5,39
	5,50
	5,60
	600,05
	2,83
	3,40
	3,74
	3,98
	4,16
	4,31
	4,44
	4,55
	4,65
	
	0,01
	3,76
	4,28
	4,59
	4,82
	4,99
	5,13
	5,25
	5,36
	5,45
	120
	0,05
	2,80
	3,36
	3,68
	3,92
	4,10
	4,24
	4,36
	4,47
	4,56
	
	0,01
	3,70
	4,20
	4,50
	4,71
	4,87
	5,01
	5,12
	5,21
	5,30
	∞
	0,05
	2,77
	3,31
	3,63
	3,86
	4,03
	4,17
	4,29
	4,39
	4,47
	
	0,01
	3,64
	4,12
	4,40
	4,60
	4,76
	4,88
	4,99
	5,08
	5,16