união e intersecção de conjuntos

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Estat´ıstica
Campus Universita´rio Darcy Ribeiro, Pre´dio de Cieˆncia da Computac¸a˜o e Estat´ıstica - CIC/EST, CEP:70910-900 - Bras´ılia/DF
Probabilidade e Estat´ıstica
Roberto Vila
16/08/2017
Propriedades.
1. P(A) = 1− P(A), para todo A ⊂ Ω.
2. P(∅) = 0.
3. Se A ⊂ B, enta˜o P(B ∩A) = P(B)− P(A).
4. Se A ⊂ B, enta˜o P(A) 6 P(B).
5. P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B), para todo A ⊂ Ω.
6. Princ´ıpio da inclusa˜o-exclusa˜o: para todo A,B,C ⊂ Ω,
P(A ∪B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(A ∩B)− P(A ∩ C)− P(B ∩ C) + P(A ∩B ∩ C).
7. Se A1, A2, . . . , Ak ⊂ Ω, enta˜o
P
(
k⋃
i=1
Ai
)
=
k∑
i=1
P(Ai)−
k∑
i<j=2
P(Ai∩Aj)+
k∑
i<j<r=3
P(Ai∩Aj ∩Ar)+ · · ·+(−1)k−1P
(
k⋂
i=1
Ai
)
.
Demonstrac¸a˜o. 1. Use que Ω = A ∪A.
2. Use que ∅ = Ω.
3. Use que B = (B ∩A) ∪A.
4. Use o Item 3.
5. Use que A ∪B = [A ∩ (A ∩B)] ∪ (A ∩B) ∪ [B ∩ (A ∩B)].
6. e 7. Use induc¸a˜o.
Exemplo 0.1. Em uma determinada universidade, 75% de alunos cursam literatura, 20% cursam
historia e 40% cursam matema´tica. Sabe-se tambe´m que 15% cursam literatura e historia, 30% cursam
literatura e matema´tica, 10% cursam historia e matema´tica e 5% cursam as treˆs disciplinas.
1. Ache a probabilidade de um aluno, selecionada aleatoriamente, estar engajado em pelo menos
uma das 3 disciplinas.
2. Ache a probabilidade de um aluno na˜o cursar nenhuma das disciplinas.
Probabilidade e Estat´ıstica
3. Ache a probabilidade de um aluno cursar exatamente uma disciplina.
Soluc¸a˜o. Considerando os eventos L : “os alunos cursam literatura”, H : “os alunos cursam historia”
e M : “os alunos cursam matema´tica”. Pelo Princ´ıpio da inclusa˜o-exclusa˜o temos
1.
P(L ∪H ∪M) = P(L) + P(H) + P(M)− P(L ∩H)− P(L ∩M)− P(H ∩M) + P(L ∩H ∩M)
= 75% + 20% + 40%− 15%− 30%− 10% + 5%
= 0, 85.
2. P(L ∩H ∩M) = P(L ∪H ∪M) = 1− P(L ∪H ∪M) = 1− 0, 85 = 0, 15.
3. Usando a Figura 1, veja que
P(L ∩H ∩M) + P(L ∩H ∩M) + P(L ∩H ∩M) = 35% + 0% + 5% = 0, 40.
Figura 1: Esboc¸o gra´fico dos eventos L,H e M .
Princ´ıpio da multiplicac¸a˜o (PM). “Se uma decisa˜o d1 pode ser tomada de n maneiras e, em
seguida, outra decisa˜o d2 puder ser tomada de m maneiras, o nu´mero total de maneiras de
tomarmos as deciso˜es d1 e d2 sera´ n ·m”.
Exemplo 0.2. Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne, salsicha˜o), 2 saladas
(verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, bolo, frutas). De quantas maneiras diferentes um fregueˆs
pode se servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa?
Soluc¸a˜o. Definindo as deciso˜es
d1 : escolher um prato quente (4 maneiras)
d2 : escolher uma salada (2 maneiras)
d3 : escolher uma sobremesa (3 maneiras),
pelo PM, conclu´ımos que existem 4 · 2 · 3 = 24 maneiras de tomarmos as treˆs deciso˜es.
Exemplo 0.3. Se o restaurante do Exemplo 0.2 oferecesse dois prec¸os diferentes, sendo mais baratas
as opc¸o˜es que inclu´ıssem frango ou salsicha˜o com salada verde, de quantas maneiras voceˆ poderia se
alimentar pagando menos?
Soluc¸a˜o. Definindo as deciso˜es
d1 : escolher um prato quente (2 maneiras: frango ou salsicha˜o)
d2 : escolher uma salada (1 maneira: verde )
d3 : escolher uma sobremesa (3 maneiras),
pelo PM, ha´ 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar carda´pios econoˆmicos.
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Exemplo 0.4. Quantos nu´meros naturais de 3 algarismos distintos existem?
Soluc¸a˜o. Definindo as deciso˜es
d1 : escolher o algarismo da centena (9 opc¸o˜es: excluindo o zero)
d2 : escolher o algarismo da dezena (9 opc¸o˜es: diferente do escolhido para ocupar a centena)
d3 : escolher o algarismo da unidade (8 opc¸o˜es; diferente dos que ja´ foram utilizados),
temos que, o total de nu´meros formados sera´ 9 · 9 · 8 = 648.
Definic¸a˜o 0.5 (Permutac¸o˜es). Uma permutac¸a˜o e´ uma disposic¸a˜o ordenada de objetos distintos
(lista ordenada sem repetic¸o˜es).
Exemplo 0.6. Considere as letras a, b, c, d. Todas as permutac¸o˜es dessas letras tomadas dois de cada
vez sa˜o
ab bc
ba cb
ac bd
ca db
ad cd
da dc
Isto e´, existem 4 · 3 = 12 = 4!
(4− 2)! permutac¸o˜es.
Em geral, suponha que ha´ n objetos dos quais se planeja selecionar permutac¸o˜es de r objetos (r 6 n).
Pnr := n(n− 1)(n− 2) · · · (n− r + 1)
=
n!
(n− r)! (nu´mero de permutac¸o˜es).
A primeira linha da fo´rmula acima se obteve pelo seguinte razonamento: temos n formas de selecionar
o 1o objeto, (n− 1) formas de selecionar o 2o objeto, . . . , n− (r − 1) formas de selecionar o (r − 1)o
objeto, logo pelo principio da multiplicac¸a˜o se conclui.
Convencionando que 0! = 1, note que Pnn = n! ≈ nu´mero de reordenac¸o˜es diferentes dos n elemen-
tos.
Exemplo 0.7. 1. Quantas formas diferentes ha´ para reordenar as letras da palavra TIMER? Rpta.
P 55 = 5! = 120.
De essas reordenac¸o˜es, quantas teˆm a R como primeira letra? Rpta. P 44 = 4! = 24.
2. De quantas formas pode ser escolhido 3 letras da palavra SPRING? Rpta. P 63 = 6 · 5 · 4 = 120.
Exemplo 0.8. Um time de futebol tem 42 jogadores. Uma formac¸a˜o dos jogadores consiste em 11
desse jogadores em uma determinada ordem. Assim, ha´ P 4211 =
42!
31! formac¸o˜es poss´ıveis.
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