probabilidade condicional

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Estat´ıstica
Campus Universita´rio Darcy Ribeiro, Pre´dio de Cieˆncia da Computac¸a˜o e Estat´ıstica - CIC/EST, CEP:70910-900 - Bras´ılia/DF
Probabilidade e Estat´ıstica
Roberto Vila
21/08/2017
Definic¸a˜o 0.1 (Combinac¸o˜es). Uma combinac¸a˜o e´ uma disposic¸a˜o de objetos distintos.
Exemplo 0.2. Considere as letras a, b, c, d. Quantas combinac¸o˜es dessas letras tomados dois de cada
vez existem? Rpta. Existem 6 = 4!(4−2)!2! =
P 42
2! combinac¸o˜es.
Em geral, suponha que ha´ n objetos dos quais deseja-se selecionar combinac¸o˜es de r objetos, de
cada vez. (
n
r
)
:=
Pnr
r!
=
n!
r!(n− r)! (nu´mero de combinac¸o˜es).
Exemplo 0.3. 1. De quantas formas pode ser escolhido um subconjunto de 3 elementos de um
conjunto de cardinalidade 10? Rpta. =
(
10
3
)
= 10(9)(8)3(2) = 120.
2. Se 5 cartas sa˜o extra´ıdas de um baralho, qual e´ a probabilidade que todas elas sejam espadas
(notac¸a˜o ♠)? Rpta. P(5♠) = 12872598960 = 12000 .
Exemplo 0.4. Uma moeda (equilibrada) e´ lanc¸ada n vezes. Qual e´ a probabilidade de que, nestes n
lanc¸amentos, na˜o aparec¸am 2 caras seguidas? Rpta. =
(n2)+2
2n , n > 2.
Exemplo 0.5. Uma classe e´ formada por 20 homens e 30 mulheres. Deseja-se formar uma comissa˜o
de 5 pessoas representativas. Qual e´ a probabilidade de que essa comissa˜o tenha, no ma´ximo, um
homem? Rpta. =
(305 )+(
20
1 )·(304 )
(505 )
.
Exemplo 0.6. Suponha que em um lote com 20 pec¸as existam 7 defeituosas. Escolhemos 4 pec¸as do
lote ao acaso (ou seja, escolhemos uma amostra de tamanho 4) de modo que a ordem dos elementos
seja irrelevante. Determine a probabilidade de escolher exatamente 2 pec¸as boas (na˜o defeituosas) na
amostra. Rpta. =
(132 )·(72)
(204 )
= 0, 338.
Probabilidade e Estat´ıstica
1 Probabilidade condicional
Considere o experimento E ≈ dois dados sa˜o lanc¸ados e observa-se as faces superiores. Sabemos que
o espac¸o amostral associado a E e´
Ω4 = {(d1, d2) : d1, d2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6} =
{ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
Considere os eventos
A = {(d1, d2) : d1 + d2 = 7} e B = {(d1, d2) : d2 6 d1}.
Da´ı,
P(A) =
6
36
, P(B) =
21
36
, P(A ∩B) = 3
36
, P(B|A) = 3
6
e P(A|B) = 3
21
.
Note que
P(A|B) = P(A ∩B)
P(B)
e P(B|A) = P(A ∩B)
P(A)
.
Isso nos motiva a` seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.1 (Probabilidade condicional). Para dois eventos quaisquer A e B, definimos a proba-
bilidade condicional de “A dado B”, notac¸a˜o P(A|B), como sendo
P(A|B) :=
{P(A∩B)
P(B) , se P(B) > 0
0, se P(B) = 0.
Propriedades da probabilidade condicional. A probabilidade condicional satisfaz as condic¸o˜es
de probabilidade. Isto e´, dado B ⊂ Ω, tem-se:
1. 0 6 P(A|B) 6 1, para todo A ⊂ Ω.
2. P(Ω|B) = 1.
3. P(∪ki=1Ai|B) =
∑k
i=1 P(Ai|B), para toda sequeˆncia finita e mutuamente exclusiva de even-
tos A1, A2, . . . , Ak.
4. P(∪∞i=1Ai|B) =
∑∞
i=1 P(Ai|B), para toda sequeˆncia infinita enumera´vel e mutuamente ex-
clusiva de eventos A1, A2, . . . .
Definic¸a˜o 1.2 (Regra da multiplicac¸a˜o: RM). Para quaisquer eventos A e B, pela definic¸a˜o de
probabilidade condicional, temos
P(A ∩B) = P(B) · P(A|B), se P(B) > 0
P(B ∩A) = P(A) · P(B|A), se P(A) > 0
Observac¸a˜o 1.3. a) A∩B = ∅ ⇒ P(A|B) = P(B|A) = 0 (o conhecimento sobre a ocorreˆncia de B
nos diz que A na˜o ocorreu).
b) B ⊂ A ⇒ P(A|B) = 1 (se B ocorre, A tem que ocorrer).
2/3
Probabilidade e Estat´ıstica
Exemplo 1.4. Uma urna contem 6 bolas brancas e 5 vermelhas. Suponha que 2 bolas sa˜o selecionadas
ao acaso, sem reposic¸a˜o. Calcule a probabilidade de que na 2a selec¸a˜o se obteve uma bola vermelha.
Rpta. = 510 · 611 + 410 · 511 = 511 .
Exemplo 1.5. Calcule a probabilidade do Exemplo 1.4, se as 2 selec¸o˜es sa˜o feitas da (mesma) urna
mas a primeira bola e´ “reposta” antes da selec¸a˜o da segunda. Logo, as selec¸o˜es sa˜o “independentes”,
pois o resultado de uma extrac¸a˜o na˜o tem influencia no resultado da outra. Rpta. = 511 · 611 + 511 · 511 =
5
11 .
Definic¸a˜o 1.6 (Independeˆncia). Dizemos que um evento A e´ independente do evento B se e so-
mente se
P(A ∩B) = P(A) · P(B).
Usando a RM, esta definic¸a˜o e´ equivalente a dizer que P(A|B) = P(A).
Proposic¸a˜o 1.7 (Propriedades de independeˆncia). Se A e B sa˜o dois eventos quaisquer, as seguintes
afirmac¸o˜es:
1. A e B sa˜o independentes,
2. A e B sa˜o independentes,
3. A e B sa˜o independentes,
4. A e B sa˜o independentes,
sa˜o equivalentes.
Demonstrac¸a˜o. 1. ⇒ 2. Desenvolva a quantidade P(A)P(B) e em seguida use propriedades da pro-
babilidade P(·) e independeˆncia.
2. ⇒ 3. Usando propriedades da probabilidade P(·) e o Princ´ıpio de inclusa˜o-exclusa˜o, note que
P(A)P(B) = (1− P(A))(1− P(B))
= 1− P(B)− P(A) + P(A)P(B)
=1− {P(B) + P(A)− P(A ∩B)} (por independeˆncia)
= 1− P(A ∪B)
= P(A ∩B).
3. ⇒ 4. Use as mesmas ideias da implicac¸a˜o 1. ⇒ 2. para desenvolver a quantidade P(A)P(B).
4. ⇒ 1. Use as mesmas ideias da implicac¸a˜o 2. ⇒ 3. para desenvolver a quantidade P(A)P(B).
3/3