1 SLIDE

Prévia do material em texto

Unidade I
MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Luiz Felix
Matemática financeira
ƒ A Matemática Financeira estuda o 
comportamento do dinheiro ao longo 
do tempo.
ƒ Do ponto de vista matemático, um 
determinado valor a qualquer época é 
chamado de Capital.
Juros 
ƒ Juros são a remuneração de um capital 
aplicado a uma taxa estipulada 
previamente durante um determinado 
prazo. 
ƒ A incidência de juros é resultado de 
vários fatores, dentre os quais podemos 
destacar:
ƒ Inflação: redução do poder aquisitivo 
da moeda num determinado espaço 
de tempo.
Ri j bidƒ Risco: os juros recebidos 
representam garantia contra 
possíveis riscos do investimento. 
ƒ A soma do Capital com os Juros 
é chamada de Montante.
Abreviaturas 
Taxa de juros 
ƒ A taxa de juros, simbolizada pela letra i, 
pode se apresentar na forma percentual 
(exemplo: 11%) ou na forma unitária 
(exemplo: 0,11).
Taxa Transformação TaxaTaxa 
Percentual
Transformação Taxa 
Unitária
40% a.m. 40
100
0,40 a.m.
4% a.a. 4 0,04 a.a.
100
24,5% a.d. 24,5
100
0,245 a.d.
Taxas de juros - Exercícios
Passe para a forma unitária os seguintes 
valores:
ƒ 0,5% a.a. Æ 0,005 a.a.
ƒ 2% a.s. Æ 0,02 a.s.
ƒ 17 5% a d Æ 0 175 a dƒ 17,5% a.d. Æ 0,175 a.d.
Passe para a forma percentual os seguintes 
valores:
ƒ 0,003 a.b. Æ 0,3% a.b.
ƒ 0,04 a.m. Æ 4% a.m.0,0 a % a
ƒ 0,18 a.d. Æ 18% a.d.
Taxas de juros - Exercícios
Um gerente de um banco emprestou 
R$ 5.000,00 pelo prazo de 50 dias. Ao
assinar o contrato, o devedor se
comprometeu a devolver R$ 5.250,00.
a) Qual o juro?
Montante = Capital + Juro ou M = C + J 
5250 = 5000 + J Î 5250 – 5000 = J
J = 250 
b) Qual a taxa unitária de juro?
i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias
P 5000
c) Qual a taxa percentual de juro?
i = 0,05 x 100 = 5% em 50 dias
Taxas de juros - Exercícios
Um bolo é vendido por R$ 35,00
a) Se seu preço fosse acrescido de 15%, 
quanto o bolo passaria a custar?
Preço = 35 + 15 . 35 = 35 + 0,15 . 35 
100100 
Preço = 35 + 5,25 = R$ 40,25
b) Se fosse anunciado um desconto de 30% 
sobre o preço original do bolo, quanto o 
bolo passaria a custar?
Preço = 35 – 30 . 35 = 35 – 0,3 . 35 
100 
Preço = 35 – 10,5 = R$ 24,50
Juros simples
ƒ Juros de cada período incide sobre o 
capital inicial aplicado - Juros não 
rendem juros
ƒ Crescimento linear ou em Progressão 
Aritmética
ƒ Poucas são as operações financeiras e 
comerciais 
Juros simples
Juros simples – Taxas 
proporcionais
ƒ Importante: O prazo da capitalização e a 
taxa de juros devem estar expressos, 
necessariamente, na mesma unidade de 
tempo
ƒ Exemplos:
ƒ 36% a.a. = 36/12 = 3% ao mês
ƒ 36% a.a. = 36/6 = 6% ao bimestre
ƒ 36% a.a. = 36/4 = 9% ao trimestre
ƒ 36% a.a. = 36/2 = 18% ao semestre
Juros simples – Exercícios
taxas proporcionais
ƒ Qual a taxa mensal proporcional a 8% 
ao bimestre? 
Resposta: 8/2 = 4% ao mês
ƒ Qual a taxa mensal proporcional a 3% 
ao trimestre? 
Resposta: 3/3 = 1% ao mês
ƒ Qual a taxa mensal proporcional a 24% 
ao semestre? 
Resposta: 24/6 = 4% ao mês
Interatividade 
Em juros simples, qual a taxa anual 
proporcional a 2% ao mês? 
a) 0,16% ao ano
b) 0,5% ao ano
c) 6% ao anoc) 6% ao ano
d) 12% ao ano
e) 24% ao ano
Juros simples - fórmulas 
J = C . i . n 
Onde:
ƒ J = juros
ƒ C = capital
ƒ i = taxa de juros
ƒ n = número de períodos
M = C + J ou M = C.(1 + i.n)
Onde:
ƒ M = montante
Juros simples - exemplo
ƒ Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa 
de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto 
receberá de juro e qual será o montante 
ao fim dessa aplicação? 
C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?
J = C.i.n M = C + J
J = 3000 . 2 . 5 M = 3000 + 30000
J = 30000 M = 33000
J = R$ 30.000,00 M = R$ 33.000,00 
Resolução incorreta 
Juros simples - exemplo
ƒ Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa 
de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto 
receberá de juro e qual será o montante 
ao fim dessa aplicação? 
C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?
J = C.i.n M = C + J
J = 3000 . 0,02 . 5 M = 3000 + 300
J = 300 M = 3300
J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00
Juros simples - exemplo
ƒ Um investidor aplicou R$ 15.000,00 à 
taxa de 30% ao ano. Qual será o juro 
obtido ao fim de 80 dias, sob regime de 
juro simples?
C = 15000 n = 80 dias i = 30% a.a. J = ?
J = C.i.n
J = 15000 . 0,3 . 80
J = 360000
J = R$ 360.000,00
Resolução incorreta
Juros simples - exemplo
ƒ Um investidor aplicou R$ 15.000,00 à 
taxa de 30% ao ano. Qual será o juro 
obtido ao fim de 80 dias, sob regime de 
juro simples?
C = 15000 n = 80 dias 
i = 30% a.a. = 2,5% a.m. = 0,0833% a.d.
J = ?
J = C.i.n
J = 15000 . 0,0000833 . 80
J = 999,6
J = R$ 999,60
Juros simples - exemplo
ƒ Calcule o capital que deve se empregar 
à taxa de 6% a.m., a juro simples, para 
obter R$ 6.000,00 de juro em 4 meses.
C = ? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses
J = C.i.nJ C.i.n
6000 = C . 0,06 . 4
6000 = C . 0,24
C = 6000 = 25000
0,240,
C = R$ 25.000,00
Juro exato e juro comercial 
ƒ Juro Exato: Utiliza o calendário do ano
civil com 365 dias.
ƒ Juro Comercial: Admite o mês com 30
dias e o ano com 360 dias.
Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, peloExemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo
critério de juros simples, à taxa diária de:
a) Juro Exato: 30% = 0,08219% ao dia
365 dias
b) Juro Comercial: 30% = 0,08333% ao dia
360 dias
Fluxo de caixa 
ƒ Linha Horizontal é a escala do tempo
ƒ O ponto 0 indica o ponto inicial
ƒ Demais pontos representam outros 
períodos de tempo (datas)
0 1 2 3 4 5 6 7
Entradas de Caixa ( + )
Saídas de Caixa ( - )
tempo
Interatividade 
Calcular os juros simples de uma aplicação 
de R$ 1.200,00 a uma taxa de 13% a.t. por 
quatro meses e quinze dias.
a) R$ 150,00
b) R$ 23.400,00b) R$ 23.400,00 
c) R$ 702,00 
d) R$ 70.200,00
e) R$ 234,00 
Juros compostos
ƒ Juros de cada período incide sobre o 
capital do início do período (saldo) -
Juros rendem juros
ƒ Crescimento exponencial ou em 
Progressão Geométrica
ƒ É o mais comum no sistema financeiro 
Juros compostos
ƒ Suponha que R$100,00 são empregados 
a uma taxa de 10% a.a. Teremos:
Juros compostos - Taxas 
equivalentes
ƒ Importante: O prazo da capitalização e a 
taxa de juros devem estar expressos, 
necessariamente, na mesma unidade de 
tempo
ƒ Æ iq = (1 + i)q – 1q
ƒ Å iq = (1 + i)1/q – 1
q = número de períodos de capitalização
Lembrete: q√ 1+ i – 1 = (1 + i)1/q – 1 
Sugestão: Calculadora com x^y 
Juros compostos – exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa anual 
equivalente a 7,45% a.t. ? 
ƒ Trimestre Æ Anual iq = (1 + i)q – 1 
ƒ 1 trimestre Æ 4 trimestres
i = (1 + 0 0745)4 1iq = (1 + 0,0745)4 – 1 
iq = (1,0745)4 – 1
iq = 1,3330 – 1 
iq = 0,3330
i = 33 30% a aiq = 33,30% a.a.
Juros compostos – exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa anual 
equivalente a 1,8% a.m. ? 
ƒ Mês Æ Anual iq = (1 + i)q – 1 
ƒ 1 mês Æ 12 meses 
i = (1 + 0 018)12 1iq = (1 + 0,018)12 – 1 
iq = (1,018)12 – 1
iq = 1,2387 – 1 
iq = 0,2387
i = 23 87% a aiq = 23,87% a.a.
Juros compostos – exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa para 23 
dias equivalente a 0,14% a.d. ? 
ƒ Dia Æ Dias iq = (1 + i)q – 1 
ƒ 1 dia Æ 23 dias 
i = (1 + 0 0014)23 1iq = (1 + 0,0014)23 – 1 
iq = (1,0014)23 – 1
iq = 1,0327 – 1 
iq = 0,0327
i = 3 27% para 23 diasiq = 3,27%para 23 dias
Juros compostos – exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa semestral 
equivalente a 34% a.a. ? 
ƒ Semestral Å Anual iq = (1 + i)1/q – 1
ƒ 2 semestres Å 1 ano 
i = (1 + 0 34) 1/2 1iq = (1 + 0,34) 1/2 – 1 
iq = (1,34) 1/2 – 1
iq = 1,1576 – 1 
iq = 0,1576
i = 15 76% a miq = 15,76% a.m.
Juros compostos – exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa mensal 
equivalente a 21% a.t. ? 
ƒ Mensal Å Trimestral iq = (1 + i)1/q – 1
ƒ 3 meses Å 1 trimestre 
i = (1 + 0 21) 1/3 1iq = (1 + 0,21) 1/3 – 1 
iq = (1,21) 1/3 – 1
iq = 1,0656 – 1 
iq = 0,0656
i = 6 56% a tiq = 6,56% a.t.
Interatividade 
Em juros compostos, qual a taxa mensal 
equivalente a 50% a.s. ? 
a) 10,39% a.m.
b) 5,50% a.m.
c) 7% a mc) 7% a.m.
d) 4,43% a.m
e) 15% a.m.
Juros compostos - Fórmula
M = C.(1 + i)n 
Onde:
ƒ M = montante
ƒ C = capital
ƒ i = taxa de juros
ƒ n = número de períodos
Juros compostos - Exemplo
ƒ Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a 
juros compostos durante 3 meses, à taxa 
de 2% a.m. Qual o montante e qual o 
total de juros efetuados?
C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses 
M = C.(1 + i)n 
M = 6000.(1+0,02)3
M = 6000.(1,02)3 = 6000.3,06 = 18360
M = R$ 18.360,00
Resolução incorreta
Juros compostos - Exemplo
ƒ Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a 
juros compostos durante 3 meses, à taxa 
de 2% a.m. Qual o montante e qual o 
total de juros efetuados?
C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses 
M = C.(1 + i)n 
M = 6000.(1+0,02)3
M = 6000.(1,02)3 = 6000.1,0612 = 6367,20
M = C + J 
6367,20 = 6000 + J 
J = 6367,20 – 6000 = 367,20
ƒ O montante foi de R$ 6.367,20 
e o juros de R$ 367,20
Juros compostos - Exemplo
ƒ Qual o capital que, aplicado a juros 
compostos à taxa de 2,5% a.m., produz 
um montante de R$ 3.500,00 após um 
ano?
M = 3.500 i = 2,5% a.m. n = 12 meses
M = C.(1 + i)n 
3500 = C.(1+0,025)12
3500 = C.(1,025)12 
3500 = C.1,3449
C = 3500 = 2.602,42
1,3449
ƒ O capital foi de R$ 2.602,42
Desconto simples racional ou
“por dentro”
ƒ Assume os conceitos e as relações 
básicas de juros simples
ƒ Dr é o valor do desconto
ƒ Vr é o valor descontado racional (ou 
valor atual)valor atual) 
ƒ N é o valor nominal (ou valor de reagate 
ou montante)
Dr = N – Vr
N = Vr.(1 + i.n) 
Desconto simples racional ou 
“por dentro”
ƒ Seja um título de valor de R$ 3.500,00 
vencível em um ano, que está sendo 
liquidado 2 meses antes de seu 
vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa 
nominal de juros corrente, pede-se 
l l d t l d t dcalcular o desconto e o valor descontado
Dr(valor do desconto) Vr(valor descontado)
i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal =3500 
N = Vr.(1 + i.n) Dr = N – Vr
3500 = V (1 + 0 04 2) D = 3500 3240 743500 = Vr.(1 + 0,04.2) Dr = 3500 – 3240,74 
3500 = Vr.(1 + 0,08) Dr = 259,26
3500 = Vr.(1,08)
Vr= 3500 / 1,08 = 3240,74 
Desconto bancário ou comercial ou
“por fora”
ƒ A modalidade de “desconto por fora” é 
amplamente adotada pelo mercado em 
operações de crédito bancário e 
comercial em curto prazo
ƒ DF é o valor do desconto
ƒ VF é o valor descontado “por fora” 
ƒ N é o valor nominal
ƒ d é a taxa de desconto “por fora”
ƒ n é o prazo definido
DF = N – VF
VF = N.(1 – d.n) 
Desconto bancário ou comercial ou
“por fora”
ƒ Qual o valor do desconto bancário de 
uma duplicata de R$ 100,00 descontado 
60 dias antes do vencimento, a taxa de 
desconto de 0,2% a.d.? 
d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 DF = ? 
VF = N.(1 – d.n) DF = N – VF
VF = 100.(1 – 0,002 . 60)
VF = 100.(1 – 0,12)
VF = 100 . 0,88 = 88 
DF = 100 – 88
DF = 12
DF = R$ 12,00
Interatividade 
Qual o valor de resgate de uma aplicação 
de R$ 4.000,00 pelo prazo de 4 meses à 
taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? 
a) R$ 4.140,00
b) R$ 5.065,90b) R$ 5.065,90
c) R$ 16.240,00
d) R$ 4.245,45
e) R$ 5.040,65
ATÉ A PRÓXIMA!