Material de Apoio e exercicios para Teoria eletromagnetica

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Eletromagnetismo	I	
Prof.	Daniel	Orquiza	de	Carvalho	El
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ro
m
ag
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ti
sm
o	
I	
P
ro
f.	
D
an
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l	O
rq
ui
za
		
SJBV 
•  Cálculo da distribuição de potencial de um dipolo elétrico.
•  Cálculo da distribuição de campo elétrico de um dipolo elétrico.
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
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Dipolo Elétrico 
 (Capítulo 4 – Páginas 96 a 100) 
SJBV 
•  Um dipolo elétrico é um para de cargas pontuais de sinais opostos, separadas 
por uma distância finita ‘d’ em uma dada posição do espaço. 
•  O dipolo é útil para entender a interação entre o campo eletrostático e meios 
materiais (e também vai ser usado no caso de radiação eletromagnética). 
•  Um dado material é descrito como um conjunto de dipolos elétricos. 
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Dipolo Elétrico 
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•  Cada átomo do material corresponde a um dipolo, onde: 
Ø  Carga positiva = núcleo 
Ø  Carga negativa = nuvem de elétrons em órbita ao redor do núcleo. 
 
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Dipolo Elétrico 
Materiais apolares 
Sem campo externo Com campo externo 
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Dipolo Elétrico 
•  O dipolo elétrico considerado consiste de uma carga positiva em (0, 0, d//2)m e 
uma carga negativa em (0, 0, - d/2). 
!
R1
!rQ
x
y
z
!
R2
θ
−Q
d 
P
!r  = vetor posição do ponto de observação!
R1  = vetor distância partindo da carga positiva!
R2  = vetor distância partindo da carga negativa
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Dipolo Elétrico 
•  Campo distante: se o ponto de observação estiver distante (r >> d), R1  é paralelo 
a R2. 
!
R1
!r
Q
x
y
z
!
R2
θ
−Q
d 
 P "no infinito"
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§  Sabemos que potencial em r devido à 
carga pontual Q é: 
§  O potencial em r devido à carga – Q é: 
§  O potencial ‘V’ no ponto P é a superposição do potencial das devido às duas cargas: 
Dipolo Elétrico 
V1 =
Q
4πε0
1
R1
V2 = −
Q
4πε0
1
R2
V = Q4πε0
1
R1
−
1
R2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
Q
4πε0
R2 − R1
R1R2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
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Dipolo Elétrico 
•  A diferença entre as distâncias R1 e R2 das cargas até P é d.cosθ. 
!
R1
!r
Q
x
y
z
!
R2
θ
−Q
d 
 P "no infinito"
R2 - R1 = d cosθ
R1 =
!
R1
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§  O potencial no ponto P fica: 
§  No denominador podemos aproximar: 
§  A expressão para o potencial fica: 
Dipolo Elétrico 
V = Q4πε0
d cosθ
R1R2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
R1R2 ≈ r2
V ≈ Q4πε0
d cosθ
r2
Note que V está expresso em coordenadas esféricas! 
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§  Já temos uma expressão para o 
potencial elétrico do dipolo: 
§  Como calculamos o campo elétrico? 
§  O gradiente do campo escalar V em coordenadas esféricas é: 
Dipolo Elétrico 
V ≈ Q4πε0
d cosθ
r2
!
E = −∇V
∇V = ∂V
∂r aˆr +
1
r
∂V
∂θ
aˆθ +
1
rsenθ
∂V
∂φ
aˆφ  
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§  A distribuição de campo elétrico em coordenadas esféricas, para um dipolo com 
comprimento ‘d’, orientado na direção ‘z’ e situado na origem: 
§  Podemos reescrever a expressão acima: 
Dipolo Elétrico 
!
E = − Q4πε0
−
2d cosθ
r3 aˆr −
dsenθ
r3 aˆθ + 0aˆφ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
E = Qd4πε0r3
2cosθ aˆr + senθ aˆθ( )
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§  Voltando ao potencial elétrico do dipolo: 
§  É útil definir o momento de dipolo, igual a 
Q multiplicado pelo vetor distância entre a 
carga negativa e a positiva. 
Dipolo Elétrico 
V ≈ Q4πε0
d cosθ
r2
!p =Q 
!
d         [C.m]
!
R1
!r
Q
x
y
z
!
R2
θ
−Q
!
d
!
d = d  aˆz
§  No caso do dipolo que definimos 
anteriormente: 
(o	momento	de	dipolo	pode	ter	qualquer	orientação	no	espaço)	
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§  O potencial V pode ser reescrito usando o 
momento de dipolo. 
§  A expressão acima pode ser generalizada 
para um dipolo em qualquer posição r’. 
Dipolo Elétrico 
!
R1
!r
Q
x
y
z
!
R2
θ
−Q
!
d
aˆr
V = Q d cosθ4πε0r2
=
!p ⋅ aˆr
4πε0r2
V =
!p ⋅ aˆR
4πε0
!r − !r ' 2
 (Onde ) aˆR =
!r − !r '
!r − !r '
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Note que:
§  O potencial decai com . 
Dipolo Elétrico 
1
r2 V =
!p ⋅ aˆR
4πε0
!r − !r ' 2
§  O campo elétrico decai com . 1
r3
!
E = Qd4πε0r3
2cosθ aˆr + senθ aˆθ( )
§  Tanto E quanto V decaem mais rapidamente do que no caso de uma carga 
pontual, pois conforme nos afastamos do dipolo, o campo de uma carga cancela 
o da outra (sinais opostos). 
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Dipolo Elétrico 
•  As distribuições espaciais do campo elétrico e potencial elétrico são ilustradas abaixo. 
SJBV 
Um dipolo elétrico posicionado no espaço livre está na origem do sistema de 
coordenadas e tem um momento de dipolo:
(a) Calcule V em PA(2, 3, 4).
(b) Calcule V em r = 2,5m, θ = 30º, φ = 40º.
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!p = 3aˆx − 2aˆy + aˆz  [nC. m],
Exemplo 
SJBV 
Dois dipolos elétricos com momentos de dipolo -5az nC.m e 9az nC.m estão 
localizados nos pontos (0, 0, -2) e (0, 0, 3), respectivamente. Determine o 
potencial na origem.
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Exemplo