Sumário Estatística Unidade I e II

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Estatística
Professor conteudista: Maurício Martins do Fanno
Sumário
Estatística
Unidade I
1 COLETA DE DADOS .............................................................................................................................................7
1.1 Dados e variáveis estatísticas .............................................................................................................7
1.2 Classificações das variáveis .............................................................................................................. 10
1.3 Amostragem ............................................................................................................................................11
1.4 Processos estatísticos ......................................................................................................................... 15
1.5 Coletas de dados ................................................................................................................................... 16
2 REPRESENTAÇÃO DOS DADOS COLETADOS ......................................................................................... 19
2.1 Conceito de frequência ...................................................................................................................... 19
2.2 Distribuições ou tabelas de frequências ..................................................................................... 20
2.2.1 Dados isolados ou dados não agrupados em classes ............................................................. 20
2.2.2 Dados agrupados em classes ............................................................................................................ 21
2.3 Frequências acumuladas ................................................................................................................... 26
2.4 Representações gráficas .................................................................................................................... 28
2.4.1 Histogramas .............................................................................................................................................. 28
2.4.2 Gráfico de colunas ................................................................................................................................. 30
2.4.3 Gráfico de barras ..................................................................................................................................... 31
2.4.4 Diagrama de ogiva ................................................................................................................................. 32
2.4.5 Setorgrama ................................................................................................................................................ 34
2.4.6 Gráficos de dispersão ............................................................................................................................ 36
Unidade II
3 MEDIDAS OU PARÂMETROS ESTATÍSTICOS .......................................................................................... 39
3.1 Média ......................................................................................................................................................... 40
3.2 Mediana ................................................................................................................................................... 43
3.3 Moda ......................................................................................................................................................... 49
4 MEDIDAS DE DISPERSÃO ............................................................................................................................. 55
4.1 Medidas de dispersão absolutas ..................................................................................................... 55
4.1.1 Amplitude total ....................................................................................................................................... 55
4.1.2 Desvio médio ............................................................................................................................................ 56
4.1.3 Variância ..................................................................................................................................................... 59
4.1.4 Desvio padrão ........................................................................................................................................... 60
4.2 Medidas de dispersão relativas ....................................................................................................... 66
4.3 Relações gráficas entre as medidas estatísticas ...................................................................... 68
4.3.1 Assimetria .................................................................................................................................................. 70
4.3.2 Curtose ........................................................................................................................................................ 71
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Unidade I
Apresentação da disciplina
Prezado aluno,
Este texto foi produzido para apresentar os principais 
conceitos de estatística da maneira mais aproximada da prática 
administrativa possível, evitando-se, portanto, aprofundamento 
desnecessário na área de cálculo. É necessária, no entanto, uma 
base matemática já adquirida em disciplinas anteriores. Na 
medida do possível, procurou-se rever os conceitos matemáticos 
necessários.
O estudo da estatística, como de todas as ciências exatas, 
obriga à repetição, o maior número de vezes possível, de exercícios 
de fixação. No presente material, os cálculos definidos são 
mostrados uma única vez, como exemplo, mas o aluno deve se 
lembrar de que terá à disposição nos materiais complementares 
uma grande quantidade de exercícios e problemas e que o 
aprendizado somente será garantido caso eles sejam feitos em 
sua totalidade.
Objetivamente, o primeiro passo do nosso caminhar é 
entender o que é, como se divide e são quais os objetivos da 
estatística, algo que faremos imediatamente.
Define-se estatística como o conjunto de métodos e 
processos destinados a permitir o entendimento de um universo 
submetido a certas condições de incerteza, ou seja, de não 
determinismo matemático. Por exemplo, o dimensionamento do 
diâmetro das hastes do amortecedor de um automóvel é feito 
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por meio de cálculos matemáticos de elevada precisão estudados 
num capítulo da física chamado de resistência de materiais. 
No entanto, a vida útil deste mesmo amortecedor 
depende não só de seu dimensionamento, mas também de 
uma série de condições em que impera a incerteza que pode, 
resumidamente, ser chamada de condições de uso. Neste 
último caso, entraríamos no campo da estatística. De modo 
mais sintético, poderíamos dizer que a estatística é a ciência 
que se ocupa de descrever, analisar e interpretar dados 
experimentais.
Para entendermos melhor o processo estatístico, é 
necessário definir dois conceitos básicos: população e 
amostra. Considera-se população o conjunto formado por 
todos os elementos que têm em comum a característica que 
estamos estudando. Por exemplo, se estamos pesquisando 
sobre o aprendizado de música, a população é formada por 
todas as pessoas que aprendem ou aprenderam música em 
algum momento. 
Deve-se notar que a população estatística normalmente é 
muito numerosa, às vezes infinita, e eventualmente formada 
por elementos ainda não existentes. Assim, quando queremos 
saber qual é a expectativa de vidade um brasileiro, estamos 
diante de uma população muito extensa (todos os brasileiros) 
e formada por elementos prováveis, visto que as pessoas que 
estão sendo estudadas ainda não morreram.
Em razão dessas características da população, o processo 
estatístico começa pelo estudo de uma amostra, que é um 
pedaço da população. Mas um pedaço coerente com a população, 
ou seja, que siga todas as características da população. Assim, 
por exemplo, se determinada população tem 62% de mulheres, 
as amostras tiradas dela terão que ter 62% de mulheres se o 
sexo for fator importante no comportamento da característica 
estudada.
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Uma amostra é finita e tem relativamente poucos elementos, 
de valores definidos. Deste modo, se quisermos definir a 
expectativa de vida de todos os brasileiros, pegaríamos uma 
amostra finita de poucos brasileiros já mortos. Assim, haveria 
poucos elementos a se estudar e de valor definido (a idade em que 
morreram). Deve-se ressaltar que essa amostra retirada deveria 
reproduzir todas as condições importantes para a duração da 
vida da população, tais como sexo, posição socioeconômica, 
educação, etc.
Tanto os elementos das populações quanto os elementos das 
amostras assumem valores para a característica que estamos 
estudando; por exemplo, a população formada pelos seguidores 
religiosos pode apresentar católicos, evangélicos, espíritas, etc. 
Esses são alguns dos valores que a variável religião pode assumir. 
Assim, a característica da população ou da amostra que estamos 
estudando pode ser expressa em termos de uma variável, que 
pode assumir diferentes valores. Podemos distinguir as variáveis 
em dois grupos:
• variáveis qualitativas: apresentam atributos como valor, 
por exemplo, cor de cabelos, opções sexuais, times de 
futebol etc.;
• variáveis quantitativas: apresentam valores numéricos, 
tais como peso de pessoas, idade, número de defeitos na 
produção de uma peça, etc. Também podem ser divididas 
em duas categorias:
- discretas: são variáveis que podem apresentar apenas 
valores predeterminados dentro de um conjunto, ou 
seja, não existirão valores intermediários. Exemplo: 
números de filhos de um casal; número de defeitos 
numa linha de produção; quantidade de ações em 
alta numa bolsa de valores, etc. Essas variáveis estão 
ligadas às contagens;
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- contínuas: apresentam teoricamente qualquer valor 
dentro de um faixa possível. Por exemplo: pesos dos 
estudantes desta faculdade, diâmetros dos eixos 
produzidos por certa máquina; índices de inflação em 
vários períodos, etc. Essas variáveis estão ligadas às 
medições.
Deve-se notar que essa diferenciação entre variáveis 
discretas e contínuas pode ser tênue, em função da quantidade 
de elementos envolvidos e da precisão de medida. Por exemplo: 
se medirmos o diâmetro de uma peça com paquímetro, iremos 
obter medidas em centésimos de milímetro, quer dizer, a medida 
18,56 mm na verdade é um valor entre 18,555 e 18,564; não é 
possível saber, a menos que troquemos o paquímetro por um 
micrômetro. Assim sendo, a variável contínua diâmetro da peça 
se comporta como discreta após a precisão de centésimos de 
milímetro. 
A existência dos conceitos de população e de amostra nos 
conduz à diferenciação entre dois campos da estatística: a 
estatística descritiva e a estatística indutiva. 
A estatística descritiva cuida da coleta, da organização, do 
resumo e da apresentação dos dados de um conjunto (no fundo, 
é um tratamento das variáveis estatísticas). Evidentemente, 
esse conjunto tem que ser finito e com elementos com valores 
definidos e determináveis, ou seja, uma amostra.
Já a estatística indutiva procura inferir conclusões e respaldar 
decisões coerentes acerca de uma população, normalmente 
respaldadas em dados obtidos pela estatística descritiva de uma 
amostra.
Vamos supor que queiramos determinar a expectativa de 
vida dos brasileiros. A população, evidentemente, é todos os 
brasileiros vivos. O que nos conduz a dois entraves: a quantidade 
de elementos da população é muito grande e os valores da 
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variável, idade de morte, são prováveis, não reais. A maneira 
de se contornar isso é através de amostragem: pegamos 
uma amostra (segundo regras estatísticas que veremos) que 
represente a população brasileira, ou seja, mesma divisão por 
sexos, classes sociais, regiões geográficas etc., e cujos elementos, 
já tendo morrido, permitam a coleta das idades de morte. Essa 
coleta, bem como todo o tratamento posterior da amostra, é 
feita através da estatística descritiva, e os resultados deste 
tratamento estatístico da amostra são estendidos à população 
toda, através de ferramentas da estatística indutiva.
Desta forma, podemos determinar a expectativa de vida de 
todos os brasileiros, com algumas ressalvas:
• a indução vale para a população como um todo 
homogêneo; não é possível aplicá-la para um indivíduo 
específico;
• a previsão é de um valor provável, portanto, sujeito a 
um erro estatístico, ou seja, a uma faixa de incerteza, 
determinada estatisticamente, em torno do resultado 
esperado. Esse erro depende das condições da população 
e da amostra.
Note que quando falamos de um resultado obtido para uma 
população, falamos em valor provável, e não num valor exato. 
Isso nos remete ao campo da matemática que estuda a teoria 
das probabilidades.
O estudo da teoria das probabilidades com os estudos da 
estatística descritiva e da amostragem são as ferramentas 
necessárias para a utilização da estatística indutiva.
Neste curso de estatística, trataremos da estatística descritiva, 
ficando para o curso de estatística para administradores o estudo 
de probabilidades e da estatística indutiva.
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O curso de estatística foi dividido em duas unidades, 
totalizando quatro módulos. No módulo I, trataremos dos 
assuntos referentes à seleção e à coleta de dados, ponto de 
partida para qualquer estudo estatístico.
No módulo II, iremos verificar como esses dados coletados 
são inicialmente tratados através da tabulação, do resumo e 
da representação dessas informações, tanto do ponto de vista 
gráfico quanto analítico.
Os módulos III e IV (unidade II) tratam dos parâmetros ou 
das medidas estatísticas. O primeiro, das medidas de posição, e 
o segundo, das medidas de dispersão.
Terminados esses assuntos, estaremos aptos a entender o 
comportamento estatístico de amostras e iniciarmos os estudos 
da indução estatística, predizendo características de populações 
estatísticas.
Esperamos que, com esse material, você tenha a oportunidade 
de aprender os conceitos básicos de estatística e esteja apto para 
continuar os estudos nessa área quando necessário for.
Bons estudos! 
Prof. Maurício Martins do Fanno
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ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
1 COLETA DE DADOS
Objetivos 
Entende-se por estatística o conjunto de conceitos, 
técnicas e ferramentas destinados a organizar, descrever, 
analisar e interpretar dados. Dados são valores apresentados 
por um determinado fenômeno ou observação, como, por 
exemplo, as alturas dos alunos de uma classe, o salário dos 
funcionários deum departamento, o volume de vendas de 
uma empresa ou a cor dos olhos das modelos de uma agência. 
Esses dados são coletados em estado bruto e submetidos a 
sucessivos tratamentos no sentido de organizá-los, resumi-los 
e analisá-los. Neste primeiro momento, iremos nos ater à 
coleta e à organização dos dados. 
1.1 Dados e variáveis estatísticas
Entendemos como conjunto de dados o objeto de trabalho 
da estatística. Esses dados são valores assumidos pelos 
elementos de um conjunto de indivíduos que apresentam em 
comum uma característica estudada. Caso você olhe à sua volta 
na empresa em que trabalha, verá uma grande quantidade 
de indivíduos, todos eles dotados de infinitas características, 
tais como cor dos olhos e cabelos, altura e peso, salário e 
idade, time de futebol do coração ou religião. Dessas infinitas 
características, estaremos atentos a uma delas, objeto do nosso 
estudo estatístico. 
Digamos que estamos, no momento, desejando entender 
como se comporta a remuneração dos funcionários dessa 
sua empresa. Iremos então coletar dados relativos a essa 
remuneração, ou seja, os salários. Salário, portanto, será a 
característica que estamos estudando e que poderá assumir um 
determinado valor dentro de uma faixa lógica. 
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Dizemos, assim, que nesse referido estudo salário é a 
variável estudada. Perceba que todos os funcionários da 
empresa têm uma série de outras características, mas a 
característica que nos interessa é o salário. As outras poderão 
ter importância para nós, mas não será nossa variável de 
estudo. Coletar dados é obter os diversos valores que a variável 
estudada assume.
Outro fator importante de ser observado é a quantidade 
de elementos com que temos condição de trabalhar e a 
possibilidade ou não de se medir seu valor. Dependendo dessas 
duas observações, deveremos utilizar ferramentas diferentes de 
organização e análise dos dados. Observe os seguintes exemplos, 
para tornarmos mais claro o raciocínio:
a. desejamos saber se os chefes de família das casas da 
rua em que moramos são mais ou menos altos em 
relação ao conjunto de brasileiros de modo geral. A 
primeira providência a se tomar seria medir todos os 
chefes de família, para obter os valores da variável 
estudada (altura). Perceba que, a não ser que moremos 
numa rua muito extensa, o processo de coleta de 
dados não será tão trabalhoso assim, principalmente 
pelo fato de que todos saberão responder a altura que 
têm. No entanto, caso,
b. desejarmos saber se os chefes de família de todas as 
casas de nossa cidade são mais ou menos altos em 
relação aos brasileiros, passaremos a ter um primeiro 
inconveniente: a quantidade de elementos que deverão 
ser medidos. Mesmo que moremos numa cidade 
pequena, a quantidade de dados a serem coletados 
pode atingir facilmente a casa dos milhares. Perceba 
que o trabalho que teremos em levantar esses dados 
possivelmente não será compensado pela informação 
obtida. Por outro lado, imagine a seguinte situação, em 
que
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c. desejamos saber se as crianças da nossa rua serão 
mais ou menos altas em relação aos brasileiros quando 
crescerem. Nesse caso, a quantidade de crianças não 
deve ser tão grande, mas, em compensação, não teremos 
como medi-las no dia de hoje; elas ainda estão crescendo, 
portanto, a altura delas quando adultas não é um valor 
definido, e sim provável. 
Perceba, pelos exemplos acima, que, dependendo da situação, 
teremos dificuldades (ou facilidades) diferentes. Em estatística, 
costuma-se dividir as situações descritas em dois grandes 
campos: amostra e população.
Amostra é um conjunto que tem relativamente poucos 
elementos, e o valor da variável estudada para esses elementos 
é real e verificável. É o caso do item a acima. População é o 
conjunto que tem relativamente muitos elementos e/ou cujos 
valores da variável estudada não são reais e verificáveis, casos 
dos itens b e c acima. 
Observe que, para configurarmos uma amostra, é necessário 
que a quantidade de elementos seja pequena e o valor seja real; 
em casos contrários, estaremos configurando uma população. 
Note também que é evidente o fato de que situações envolvendo 
amostras terão tratamentos diferentes daquelas envolvendo 
populações.
É importante também notar que, quando falamos em 
quantidades grandes ou pequenas, estamos relativizando-as, 
ou seja, trabalhar com mil elementos pode ser uma grande 
quantidade ou uma pequena quantidade, depende dos recursos 
(monetários, de tempo, de espaço etc.) disponíveis. 
Exemplificando: suponha que queiramos levantar as 
idades de todos os alunos que estão cursando estatística 
neste semestre. Caso nós tenhamos ao nosso dispor os 
cadastros dos alunos no sistema de informação da instituição, 
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a quantidade de alunos será relativamente pequena, pois 
temos recursos suficientes, mas, se tivermos que consultar 
um por um dos alunos, a quantidade será relativamente 
grande, pois não teremos recursos para tanto.
De modo geral, podemos dizer que informações 
envolvendo amostras são obtidas através da estatística 
descritiva, enquanto aquelas envolvendo populações, 
através da estatística indutiva, e que, para conhecermos o 
comportamento estatístico das populações, retiramos delas 
amostras para estudo.
1.2 Classificações das variáveis
Vimos anteriormente que entendemos por variável a 
característica envolvida em nosso estudo estatístico. Essa 
variável pode se apresentar de vários tipos diferentes, os quais 
determinarão os estudos estatísticos possíveis. 
Algumas variáveis expressam atributos ou qualidades dos 
indivíduos como, por exemplo, religião, sexo, estado civil etc. 
São as chamadas variáveis qualitativas. Outras variáveis 
apresentam como resultados possíveis valores numéricos; por 
exemplo, o número de filhos, a altura, salário, idade etc. São as 
chamadas variáveis quantitativas. 
As variáveis qualitativas podem ser divididas, por sua 
vez, em duas categorias: variáveis qualitativas nominais, 
quando não é possível fazer qualquer tipo de ordenação, e 
variáveis qualitativas ordinais, quando alguma ordenação 
é possível. Podemos citar como exemplo a pergunta: “Você 
pratica esportes?”. Há duas respostas possíveis: sim e não. 
Trata-se, portanto, de uma variável qualitativa nominal. 
Caso a pergunta fosse: “Com que intensidade você pratica 
esportes?”, a resposta poderia ser: nenhuma, pequena, média 
ou grande. Estaríamos tratando de uma variável qualitativa 
ordinal.
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As variáveis quantitativas, por seu lado, também podem 
apresentar duas categorias: as variáveis quantitativas 
discretas são aquelas em que os resultados formam um 
conjunto finito e previsível de números, enquanto que 
as variáveis quantitativas contínuas apresentam como 
resultados todos os valores numéricos dentro de um 
intervalo de números reais. A pergunta “Quantos irmãos 
você tem?” produz uma variável quantitativa discreta 
(0,1,2,3,... irmãos). Já a pergunta “Quanto você pesa?” gera 
uma variável quantitativa contínua (qualquer valor dentro 
de uma faixa lógica para um ser humano). Para simplificar, 
costumamos dizer que, quando contamos, estamos diante 
de uma variável quantitativa discreta e, quando medimos, 
estamos diante de uma variável quantitativa contínua.Perceba que eu conto o número de irmãos que tenho e 
meço o meu peso numa balança.
É importante observar que os estudos estatísticos 
apresentam quantidade de informação diferente para cada 
tipo de variável na seguinte sequência crescente: variáveis 
qualitativas nominais; variáveis qualitativas ordinais; 
variáveis quantitativas discretas e variáveis quantitativas 
contínuas.
1.3 Amostragem
Falamos anteriormente que amostra e populações são 
tratadas de maneira diversa na estatística e também que 
os elementos de um conjunto de indivíduos têm inúmeras 
características, uma das quais está sendo estudada e é 
chamada de variável. Falta falarmos das demais características 
desses elementos e de algumas relações entre as populações 
e amostras.
Frequentemente, quando desejamos saber algo a respeito 
de uma população, utilizamos uma amostra como campo 
de estudo do fenômeno e expandimos (extrapolamos) as 
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conclusões para a população. A situação mais conhecida e 
mais didática que podemos usar são as pesquisas eleitorais. 
Meses ou dias antes de uma eleição, desejamos saber (antever 
ou prever ou predizer) o resultado dessa eleição. Isso é possível 
com certa margem de erro através de um processo conhecido 
como amostragem.
Esse processo de amostragem inicia-se a partir do 
planejamento da amostra, que deve reproduzir em pequena 
escala todas as características da população. A ideia é a mesma 
do enólogo (aquele que prova vinhos): ele não precisa beber 
uma garrafa inteira de vinho (ou um tonel) para dizer se o vinho 
é bom ou ruim; basta uma pequena dose, a amostra. Ocorre 
que o vinho é uma substância totalmente homogênea, todas as 
partes dele são idênticas. Já se fosse uma feijoada, não teríamos 
a mesma homogeneidade. A feijoada é heterogênea. 
Isso significa que não podemos usar o mesmo princípio 
de amostragem do vinho para a feijoada? Não. Podemos 
usar sim, mas com alguns cuidados! Na amostra de 
feijoada que iremos provar, é necessário que todas as suas 
partes sejam representadas, ou seja, precisamos pegar um 
prato em que estejam representados todos os pertences 
da feijoada (linguiças, paio, toucinho etc.). Note que é 
mais fácil definir a qualidade do vinho do que de uma 
feijoada, ou seja, termos maior margem de erro no teste 
da feijoada que do vinho. Por quê? Justamente devido à 
heterogeneidade da feijoada. Anote isso; voltaremos a 
esse assunto oportunamente.
No caso da pesquisa eleitoral, a situação é a mesma da 
feijoada. A população eleitoral (todos os eleitores inscritos em 
determinada região eleitoral) é heterogênea, logo, a amostra 
retirada deverá representar essa heterogeneidade naquilo que 
é importante para a definição do voto. Vamos exemplificar 
numericamente. Suponha que os dados do quadro a seguir 
representam algumas das características da população de 
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eleitores de uma determinada cidade na qual o próximo prefeito 
será eleito em novembro.
Sexo
Homens 48,2%
Classe
econômica
A 8%
Mulheres 51,8% B 22%
Idade
16 a 20 anos 12,3% C 43%
20 a 30 anos 24,6% D 27%
30 a 40 anos 26,9% Time 
preferido 
de 
futebol
Arranca Toco FC 45%
40 a 50 anos 15,8% Se Deixa que xuto 32%
50 a 60 anos 14,6% CA Avezesobrio 23%
acima de 60 anos 5,8% Dados fictícios
Perceba que, quando fazemos uma pesquisa eleitoral, 
queremos saber em quem o leitor irá votar, ou seja, a 
característica que nos interessa é a intenção de voto. 
Portanto, a variável de uma pesquisa eleitoral é a intenção de 
voto. Mas essa não é a única característica com a qual iremos 
nos preocupar.
Sabemos por experiência anterior que, por exemplo, homens 
e mulheres têm comportamentos diferentes na hora de votar, 
quer dizer, utilizam critérios diferentes para escolher suas 
preferências. Desta forma, quando tomarmos uma amostra, nós 
precisaremos tomar cuidado com a quantidade de homens e 
mulheres que farão parte da amostra. Não podemos pegar uma 
amostra na qual só temos homens ou mulheres. Digamos que 
na cidade vamos fazer uma pesquisa eleitoral a partir de uma 
amostra de 1.000 eleitores. Essa amostra deverá ser formada por 
482 homens (48,2% de 1.000) e por 518 mulheres (51,8% de 
1.000). 
Do mesmo modo, nós deveríamos nos comportar com 
relação às outras características que têm importância na 
definição dos votos. Isso quer dizer que deveríamos manter a 
proporcionalidade de eleitores com relação à idade e à classe 
econômica, características que sabidamente influem na 
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definição de voto. Caso não fosse feito assim, introduziríamos 
uma falha no nosso processo estatístico, introduziríamos um 
viés estatístico.
E a característica “time de futebol preferido”? Precisamos 
nos preocupar com ela? Evidentemente que não. A 
preferência por um time de futebol não interfere na opção 
de voto (a não ser em casos muito especiais, dos quais a 
estatística não consegue se encarregar).
Note que nós podemos, portanto, dividir as características 
dos elementos de uma população ou de uma amostra em 
três categorias: a(s) características(s) estudada(s), chamada(s) 
variável(eis) estatística(s); características principais, que 
definem a proporcionalidade das populações e suas amostras e 
as características secundárias, que não interferem nos nossos 
estudos estatísticos.
Assim sendo, é possível assumir que, a partir de uma amostra 
corretamente estabelecida, é possível conhecer uma população, 
por maior que seja ou menos real que sejam seus elementos. O 
princípio é o mesmo do enólogo. Conhecermos o todo por uma 
pequena parte dele.
É claro que esse conhecimento não será composto de 
certezas absolutas; deverá haver alguma incerteza, em 
outras palavras, certa tolerância com as nossas conclusões. 
Assim, se numa amostra colhida para uma pesquisa eleitoral 
for revelada a preferência de 46% para o candidato A, 
poderemos afirmar que a população provavelmente 
também terá 46% de eleitores para esse candidato. Mas isso 
não é uma certeza, pode haver alguma variação, para mais 
ou para menos.
Essa tolerância é chamada de margem de erro e depende 
basicamente de três fatores: 
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1. O grau de homogeneidade da população. Quer dizer, 
quanto mais homogênea for uma população, menor será 
a margem de erro.
2. O tamanho da amostra tomada. Tamanho da amostra é 
a quantidade de elementos pela qual é composta. Desta 
forma, uma pesquisa com 1.000 eleitores tem maior 
margem de erro do que uma feita com 5.000 eleitores.
3. O grau de confiabilidade com o qual queremos trabalhar. 
Podemos optar por ter maior ou menor confiança nas 
respostas obtidas. Quanto maior confiança quiser ter, 
maior será a margem de erro.
1.4 Processos estatísticos
Utilizando os conceitos dos itens anteriores, podemos definir 
os passos do processo estatístico:
1. Definir o objeto do estudo, as populações e as amostras 
envolvidas. Planejar amostras de modo que representem 
corretamente, sem vieses, as populações de que foram 
retiradas.
2. Coletar os dados amostrais, ou seja, medir a variável 
estatística de cada um dos elementos da amostra.
3. Tabular e representar os dados colhidos na forma de 
tabelas e gráficos, que permitam visualizar de modo 
amigável as informações disponíveis.
4. Cálculo dos parâmetros estatísticos.Esses parâmetros 
são medidas que “resumem” as informações coletadas de 
modo mais imediato.
5. Indução de parâmetros amostrais em parâmetros 
populacionais ou vice-versa. Consiste em fazer a relação 
entre populações e amostras, conforme descrito acima.
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Os passos de um a cinco acima constituem o campos da 
estatística descritiva, objeto de estudo desta apostila. O passo 
cinco é o campo da estatística indutiva, assunto que veremos 
na disciplina Estatística para Administradores. 
Passaremos, então, a nos preocupar com cada um dos 
passos acima visando percorrer todo o processo estatístico. 
1.5 Coletas de dados
A coleta de dados é uma operação típica de campo na 
qual identificamos os valores da variável estatística para 
todos os elementos de uma amostra previamente definida. 
Frequentemente, essa amostra tem seus elementos 
definidos por escolha aleatória, ou seja, sorteamos um 
elemento da população para fazer parte da amostra. Como 
exemplo, imagine que eu, pesquisador de campo, precise 
entrevistar um eleitor com as seguintes características: 
mulher; classe econômica B; grau de instrução superior; 
idade entre 30 e 35 anos; moradora da zona leste.
Para cumprir minha tarefa, irei a um local em que mais 
provavelmente encontrarei alguém nessas condições e, após 
algumas pré-entrevistas, determinarei um elemento com 
exatamente essas características. Esse elemento fará parte da 
minha amostra e para ele irei fazer as perguntas desejadas; por 
exemplo, em quem ele pretende votar. 
As respostas dos elementos escolhidos para a amostra 
constituirão os dados brutos ou rol do meu estudo, ou seja, 
uma relação de respostas às minhas questões sem nenhum tipo 
de ordenação, classificação ou elaboração. A tabela 1 exemplifica 
os dados brutos de uma pesquisa feita entre 42 alunos de uma 
universidade a respeito de vários assuntos:
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Tabela 1 - Dados brutos de uma amostra de alunos de uma universidade 
Ordem Nome do Aluno Estado civíl
Curso 
matriculado
Qualidade 
atribuída à 
instituição
Sexo Idade em anos
Renda 
familiar nº de DPs.
1 Daiane solteiro Jornalismo Ótima F 19 R$ 3.220,00 2
2 Alberto solteiro Administração Boa M 20 R$ 4.050,00 0
3 Rui casado Direito Regular M 25 R$ 1.950,00 4
4 Carolina casado Engenharia Ruim F 21 R$ 1.682,00 6
5 Joaquim divorciado Marketing Péssima M 28 R$ 7.850,00 8
6 Rubens solteiro Engenharia Ótima M 23 R$ 4.567,00 0
7 Jéssica solteiro Administração Boa F 20 R$ 10.567,00 0
8 Luis Carlos solteiro Engenharia Regular M 20 R$ 2.687,00 2
9 Fernando casado Direito Ótima M 27 R$ 3.654,00 1
10 Mayra solteiro Marketing Ruim F 19 R$ 956,00 1
11 Cristina solteiro Administração Boa F 18 R$ 1.350,00 0
12 Walter casado Direito Péssima M 30 R$ 4.560,00 2
13 Leonardo solteiro Jornalismo Boa M 34 R$ 5.892,00 3
14 Guilherme divorciado Engenharia Regular M 29 R$ 7.652,00 5
15 Paula solteiro Administração Ruim F 20 R$ 1.950,00 5
16 Danilo solteiro Marketing Boa M 20 R$ 1.386,00 2
17 Camila solteiro Administração Ótima F 20 R$ 9.560,00 2
18 Pedro solteiro Direito Regular M 18 R$ 4.325,00 2
19 Vinicius casado Administração Péssima M 26 R$ 1.956,00 1
20 José solteiro Engenharia Boa M 24 R$ 2.654,00 3
21 Carlos solteiro Administração Ótima M 23 R$ 1.965,00 0
22 Vanessa solteiro Administração Ruim F 22 R$ 3.645,00 0
23 Samantha casado Jornalismo Boa F 21 R$ 2.987,00 0
24 Mauro casado Administração Regular M 29 R$ 3.652,00 0
25 Mariana solteiro Engenharia Ruim F 23 R$ 1.978,00 0
26 Juliana casado Administração Boa F 24 R$ 5.478,00 1
27 Arnaldo solteiro Marketing Regular M 26 R$ 6.352,00 4
28 Marília solteiro Administração Péssima F 24 R$ 4.231,00 2
29 Neiva solteiro Administração Boa F 27 R$ 1.289,00 3
30 Roberto solteiro Direito Regular M 23 R$ 2.987,00 4
31 Wilson divorciado Administração Ótima M 28 R$ 3.645,00 5
32 Manoel casado Direito Regular M 22 R$ 9.564,00 3
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33 Marina solteiro Engenharia Boa F 21 R$ 6.523,00 4
34 Gustavo solteiro Direito Ruim M 19 R$ 4.235,00 1
35 Maicon solteiro Administração Ótima M 18 R$ 5.634,00 0
36 Ladyjane casado Administração Péssima F 34 R$ 1.965,00 0
37 Maria solteiro Direito Boa F 36 R$ 1.932,00 1
38 Gabriel solteiro Administração Regular M 27 R$ 1.002,00 0
39 Karina solteiro Jornalismo Ótima F 20 R$ 2.342,00 1
40 Diego solteiro Direito Ruim M 21 R$ 2.569,00 2
41 Marcos solteiro Engenharia Boa M 21 R$ 3.789,00 2
42 Valquiria casado Administração Ruim F 29 R$ 4.675,00 3
Observe que as características arroladas no quadro são 
variáveis de diferentes tipos, como mostrado abaixo:
Variável Significado Tipo de variável
Ordem
É a ordem com que 
coletamos os dados. 
Relaciona a entrevista à 
sequência utilizada.
Variável qualitativa nominal. 
É apenas um atributo 
qualitativo.
Nome do aluno O primeiro nome de cada um dos entrevistados.
Variável qualitativa nominal. 
É apenas um atributo 
qualitativo.
Estado civil Estado civil do aluno.
Variável qualitativa nominal. 
É apenas um atributo 
qualitativo.
Curso 
matriculado
Curso ao qual o aluno 
pertence.
Variável qualitativa nominal. 
É apenas um atributo 
qualitativo.
Qualidade 
atribuída à 
instituição
Qual é a qualidade do curso 
percebida pelo aluno.
Variável qualitativa ordinal. É 
apenas um atributo qualitativo 
que mostra intensidade.
Sexo M significa Masculino; F significa Feminino.
Variável qualitativa nominal. 
É apenas um atributo 
qualitativo.
Idade Quantos anos cada aluno tem.
Variável quantitativa contínua. 
Apesar de ser dada em anos, 
permitiria que fosse medida 
em valores fracionários (meses, 
dias, até horas).
Renda familiar Qual é a renda da família nuclear do aluno.
Variável quantitativa 
continua. É medida em valores 
fracionários.
Número de 
DPs
Quantas dependências o 
aluno tem para cursar.
Variável quantitativa 
discreta. Os valores são 
obrigatoriamente inteiros. Não 
existe “meia DP”.
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A tabela 1 relaciona uma grande quantidade de dados que 
dificilmente poderão ser entendidos se não forem agrupados, 
organizados, resumidos e apresentados de modo minimamente 
atraente.
As maneiras mais comuns de trabalharmos esses dados é o 
assunto do nosso próximo módulo.
2 REPRESENTAÇÃO DOS DADOS COLETADOS
Objetivos 
Os dados brutos trazem toda informação necessária para 
se entender estatisticamente determinado assunto, mas como 
o próprio nome indica, a ausência de algum refinamento faz 
com que não seja possível chegar-se a conclusões de qualidade. 
Para permitir essas conclusões e mesmo o entendimento das 
informações, devemos representar esses dados de uma forma 
mais imediata, seja analiticamente, através de quadros e tabelas, 
seja graficamente, aproveitando-se do impacto visual que 
os gráficos nos trazem. Faremos isso com uma sequência de 
definições e procedimentos objetos deste módulo.
2.1 Conceito de frequência
É o número de vezes que determinado valor (ou faixa de 
valores) se repete dentro da amostra. Inicialmente, podemos 
citar:
• Frequência simples (fi): é o número de vezes em que 
determinado valor aparece, contado diretamente. O 
símbolo mencionado significa a frequência do iésimo valor, 
ou seja, de um determinado valor que será numerado em 
sequência. Deste modo, o primeiro valor teráa frequência f1, 
o segundo, a frequência f2 e assim por diante. Essa notação 
do iésimo termo será utilizada em todas as definições 
posteriores. A somatória de todas as frequências gerará 
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a frequência total (ft), que corresponderá, evidentemente, 
ao número total de elementos da amostra (N). A fórmula 
matemática envolvendo essas definições é:
f f ou N ft i
i
n
i
i
n
= =
= =
∑ ∑
1 1
• Frequência relativa (fri): é a frequência simples dividida pela 
frequência total, ou seja, é o “peso” que cada valor tem na 
amostra total. Pode ser apresentada em valor decimal ou 
em valor percentual. Evidentemente que a somatória das 
frequências relativas de todos os valores é igual a 1 ou 100%.
f
f
f
ou f
f
f
xri
i
i
n
i
ri
i
i
n
i
= =
= =∑ ∑1 1
100%
Com essa duas definições, podemos começar a agrupar os 
dados coletados em tabelas mais resumidas; são as chamadas 
tabelas ou distribuições de frequências.
2.2 Distribuições ou tabelas de frequências
É o quadro que resume os valores da variável estudada na 
amostra, através do relacionamento do valor com sua frequência. 
Pode assumir dois formatos diferentes:
2.2.1 Dados isolados ou dados não agrupados em classes 
Neste caso, os valores dos dados são tomados como foram 
colhidos, sem nenhum tipo de agrupamento, relacionados à 
sua frequência. Como os valores são exatamente como foram 
colhidos, não há perda de precisão. O inconveniente é que 
pode-se gerar uma tabela de frequências com muitos dados, o 
que dificulta o tratamento estatístico. Normalmente, é utilizado 
este formato quando trabalhamos com variáveis qualitativas 
ou variáveis quantitativas discretas. A tabela 2 mostra alguns 
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exemplos de distribuições de frequências deste tipo produzidas 
a partir dos dados brutos constantes da tabela 1 (página 17). 
Perceba que ela foi construída unicamente pela contagem e 
pelo relacionamento dos dados coletados.
Tabela 2 - Distribuições de Frequências - dados não agrupados
Distribuição de frequências Distribuição de frequências
Estados civis Cursos matriculados
Estado Frequência 
simples
Frequências relativas Curso Frequência 
simples
Frequências relativas
Civil Decimal Percentual Matriculado Decimal Percentual
xi fi fri fri% xi fi fri fri%
Casados 11 0,262 26,2% Administração 17 0,405 40,5%
Divorciados 3 0,071 7,1% Direito 9 0,214 21,4%
Solteiros 28 0,667 66,7% Engenharia 8 0,190 19,0%
Total 42 1,000 100,0% Jornalismo 4 0,095 9,5%
Marketing 4 0,095 9,5%
Distribuição de frequências Total ft 42 1,000 100,0%
Número de dependências
Número de 
dependências
Frequência 
simples
Frequências relativas Distribuição de frequências
Decimal Percentual Sexo
xi fi fri fri% Sexo Frequência simples
Frequências relativas
0 12 0,286 28,6% Decimal Percentual
1 7 0,167 16,7% xi fi fri fri%
2 9 0,214 21,4% Masculino 24 0,571 57,1%
3 5 0,119 11,9% Feminino 18 0,429 42,9%
4 4 0,095 9,5% Total ft 42 1,000 100,0%
5 3 0,071 7,1%
Agrupamento de dados brutos 
relacionados na tabela 1
6 1 0,024 2,4%
8 1 0,024 2,4%
Total ft 42 1,000 100,0%
2.2.2 Dados agrupados em classes 
Neste caso, os valores são agrupados por classes, o que 
reduz a quantidade de informações trabalhadas, mas provoca, 
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consequentemente, uma perda de precisão. Esse formato é o 
indicado quando trabalhamos com variáveis quantitativas 
contínuas. 
A construção dessa tabela é mais trabalhosa que a 
anterior e se justifica pelo fato de que apresenta os dados 
de modo mais resumido. Caso não a utilizássemos, iríamos 
produzir uma tabela de frequências muito extensa, com 
excesso de valores diferentes, cada um deles com baixa 
frequência. Para construí-la, necessitamos definir alguns 
conceitos e tomar algumas decisões.
A primeira providência que devemos tomar é escolher 
o número de classes (n) em que iremos agrupar os dados. 
Deve-se notar que, se utilizarmos muitas classes, estaremos 
aumentando o trabalho no tratamento dos dados, e se 
utilizarmos poucas, estaremos prejudicando a precisão das 
conclusões. Existem muitas recomendações diferentes para 
a adoção do número de classes; iremos adotar a relação de 
Sturges:
n = 1+1,44 lnN
Onde n é o número de classe recomendado e N é o número 
de total de elementos da nossa amostra. Lembre-se de que:
N = ft
Na tabela 1, nós temos uma amostra de 42 alunos, portanto, 
caso queiramos montar a tabela de frequências das rendas 
familiares deles (que é uma variável quantitativa contínua), 
deveremos usar 7 classes:
n = 1+1,44 ln42 => n = 1+1,44 x 3,74 => n = 6,4
Obs.: evidentemente, não podemos usar 6,4 classes. 
Optamos então pelo valor inteiro mais próximo acima ou 
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abaixo. Optamos por usar 7 classes porque assim teremos mais 
precisão do que com 6.
Essas sete classes devem abranger todos os valores do rol 
que está sendo estudado, desde o menor até o maior; deste 
modo, devemos determinar estes valores, que são chamados, 
respectivamente, de limite mínimo da distribuição (Lmin) e limite 
máximo da distribuição (Lmax). 
Em tese, o valor do limite inferior da distribuição coincide 
com o valor inicial da primeira classe da tabela (esses valores 
iniciais de cada classe são chamados de limites inferiores de 
classe (lii)), e o limite superior da distribuição coincide com o 
valor final da última classe da distribuição (esses valores finais 
de cada classe são chamados de limites superiores de classe (lsi)). 
Na prática, pode ser necessário algum ajuste desses últimos dois 
valores para podermos trabalhar com dados arredondados.
Entre o limite superior e o limite inferior de cada classe, 
existe um intervalo chamado de intervalo de classe (h), e ele 
deve ser determinado a partir da amplitude total (At), que é a 
diferença entre o maior e o menor valor do rol e do número de 
classes, utilizando as seguintes fórmulas:
h
A
n
A L L
t
t
=
= −max min
Deste modo, o limite superior de cada classe será o valor 
inferior dela mesma mais a amplitude de classe, ou seja:
lsi = lii+h
Observemos os 42 valores relacionados na tabela 1 na coluna 
“Renda familiar”. Iremos agrupá-los em 7 classes conforme os 
passos a seguir.
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Podemos determinar o intervalo (ou a amplitude) de classes, 
desde que tenhamos a amplitude total, e para tanto precisamos 
determinar os valores máximos e mínimos da distribuição, que, 
no nosso exemplo, são, respectivamente:
Lmax = R$ 10.567,00
Lmin = R$ 956,00
Logo, a amplitude total será:
At = Lmax - Lmin => At =10.567 - 956 => At = R$ 9.611,00
Consequentemente, a amplitude de cada classe1 será:
h
A
n
h h Rt= => = => =9611
7
1 373 00$ . ,
 
Definidos o número de classes e a amplitude de classe, 
podemos montar a tabela de frequências. O limite inferior da 
primeira classe coincide com o limite inferior da distribuição, e o 
limite da oitava (e última classe) coincide com o limite superior 
da distribuição (ressalvando o exposto no rodapé).
Os demais limites superiores de classe são obtidos somando-
se o limite inferior da classe com a amplitude da classe.O limite 
inferior de uma classe tem o mesmo valor do limite superior da 
classe inferior. Assim, o limite superior da primeira classe é dado 
por:
ls1 = 956 + 1373 = > ls1 = 2329
E o limite inferior da segunda classe é dado por:
li2 = ls1 = > li2 = 2329
1 Neste exemplo, a amplitude de classe é um valor exato dentro 
da quantidade de casas decimais utilizadas; se isso não ocorresse, seria 
necessário ajustar a amplitude total de modo que a amplitude de classe 
assumisse um valor exato. Assim sendo, o limite superior da distribuição ou 
o limite inferior ou ambos deveriam ser alterados para corresponderem à 
nova amplitude total, quando da montagem da tabela de frequências.
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Devemos definir também qual dos limites será aberto e qual 
será fechado de modo que não haja possibilidade de algum valor 
ficar sem sua classe perfeitamente definida.
Entende-se por limite fechado aquele que inclui o valor 
nominal, e por limite aberto, aquele que não inclui. Uma barra 
vertical indica o limite fechado, e sua ausência, o limite aberto. 
A simbologia para um e para outro é a seguinte:
|------- Limite fechado (obviamente à esquerda)
------- Limite aberto (tanto à direita quanto à esquerda)
Note, na tabela 3, que a primeira classe é limitada pelos 
valores 956 e 2329, sendo o valor 956 um limite fechado e 2329, 
aberto. Isso quer dizer que o valor 956 está incluído nesta classe, 
e o 2329, na classe seguinte.
Pode-se fixar de modo arbitrário os limites aberto ou 
fechado, desde que para cada valor exista uma e apenas uma 
classe possível.
Definidas as classes, procedemos à contagem dos elementos 
abrangidos por cada uma delas. O número de elementos 
encontrados em cada uma delas é a já definida frequência 
simples.
Tabela 3 - Distribuições de frequências - dados agrupados
Renda familiar
Classe 
número
Limites de classes em R$ Contagem Frequência simples
Frequências relativas
Decimal Percentual
li ls
1 956 |----- 2329 IIIII IIIII III 13 0,310 31,0%
2 2329 |----- 3702 IIIII IIIII I 11 0,262 26,2%
3 3702 |----- 5075 IIIII III 8 0,190 19,0%
4 5075 |----- 6448 IIII 4 0,095 9,5%
5 6448 |----- 7821 II 2 0,048 4,8%
6 7821 |----- 9194 I 1 0,024 2,4%
7 9194 |----- 10567 III 3 0,071 7,1%
Total ft 42 1,000 100,0%
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Perceba que transformamos 42 informações em 7, o que nos 
poupará muito tempo e custo nos estudos estatísticos, além de 
nos permitir uma melhor visualização dos dados.
2.3 Frequências acumuladas
Voltando aos dados da tabela 1, poderiam surgir questões do 
tipo: quantos alunos têm idade superior a 23 anos? Ou então, 
quantos alunos têm renda familiar acima de R$ 5.000,00? Ou 
ainda, quantos alunos acham que a faculdade é acima de regular? 
Essas questões são respondidas com as chamadas frequências 
acumuladas, que podem ser crescentes e decrescentes. 
Assim, podemos conceituar e calcular as frequências 
acumuladas acima de (ou decrescentes), e as frequências 
acumuladas, abaixo de (ou crescentes), respectivamente.
 
As frequências acumuladas acima de (ou decrescentes) 
correspondem à quantidade total de elementos que existem 
na amostra acima de dado valor. No caso de dados agrupados, 
a frequência acumulada acima de determinada classe é a 
somatória das frequências posteriores, incluindo a da própria 
classe. Deste modo, a frequência acumulada acima da primeira 
classe é a frequência total, e a da segunda classe é a frequência 
total menos a frequência da primeira classe e assim por diante. 
Notar que a frequência acumulada acima da última classe é a 
frequência simples da própria classe.
Raciocínio oposto se faz para a frequência acumulada 
abaixo de (ou frequência crescente). Nesse caso, a frequência 
acumulada abaixo de uma classe (ou valor) é a somatória da 
quantidade de elementos de menor valor, incluída a frequência 
da própria classe. Assim sendo, a frequência acumulada abaixo 
da primeira classe é a frequência dela mesma, a da segunda é 
a soma das frequências da primeira e segunda classe e assim 
por diante. Notar que a frequência acumulada abaixo da última 
classe é a frequência total.
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A tabela 4 apresenta os cálculos feitos para a variável 
“quantidade de dependências”, e a tabela 5, para a variável 
“Idades”, sempre a partir dos dados da tabela 1.
Tabela 4 - Distribuições de frequências - dados não agrupados
Número de dependências
Número de 
dependências
Frequência
simples
Frequências relativas Frequências acumuladas
Decimal Percentual
Abaixo de 
ou 
crescente
Acima de 
ou 
decrescente
xi fi fri fri% fac↓ fac↑
0 12 0,286 28,6% 12 42
1 7 0,167 16,7% 19 30
2 9 0,214 21,4% 28 23
3 5 0,119 11,9% 33 14
4 4 0,095 9,5% 37 9
5 3 0,071 7,1% 40 5
6 1 0,024 2,4% 41 2
8 1 0,024 2,4% 42 1
Total ft 42 1,000 100,0%
Tabela 5 - Distribuições de frequências - dados agrupados
Idades
Classe 
número
Limites de 
classes em 
anos
Frequência 
simples
Frequências relativas Frequências acumuladas
Decimal Percentual
Abaixo
de ou 
crescente
Acima de 
ou 
decrescente
li ls fi fri fri% fac↓ fac↑
1 18 |--- 21 13 0,310 31,0% 13 42
2 21 |--- 24 11 0,262 26,2% 24 29
3 24 |--- 27 6 0,143 14,3% 30 18
4 27 |--- 30 8 0,190 19,0% 38 12
5 30 |--- 33 1 0,024 2,4% 39 4
6 33 |--- 36 3 0,071 7,1% 42 3
Total 42 1,000 100,0%
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2.4 Representações gráficas
Os dados agrupados em tabelas de frequências mantêm 
basicamente a mesmas informações do rol, com a diferença 
de que são mais resumidos, fáceis de entender e mais 
impactantes. Mais impactantes ainda são os dados organizados 
e apresentados na forma de gráficos. A visualização da 
informação é normalmente um meio de comunicação mais 
eficaz dos que as tabelas e os quadros analíticos, apesar de 
que haverá sempre uma perda parcial das informações, que 
será largamente compensada pela concisão e pela facilidade 
de interpretação dos gráficos.
Existe uma infinidade de gráficos diferentes, cada um 
deles adequando-se a determinadas finalidades. Os recursos 
eletrônicos, em especial planilhas como o Excel, tornaram mais 
simples a elaboração e mais atrativo o uso de informações 
gráficas. Essa enorme variedade pode, no entanto, ser agrupada 
em alguns tipos principais dos quais os outros são variações 
estéticas e artísticas. A seguir, mostraremos os tipos mais comuns 
e usados de gráficos
2.4.1 Histogramas
São dos mais simples e utilizados gráficos na estatística. 
Representam, normalmente, a frequência simples através de 
linhas verticais ou colunas cuja altura é proporcional à frequência 
do valor na qual está centrada. 
Para dados quantitativos não agrupados, utilizam-se linhas 
verticais posicionadas no valor correspondente e desenhadas 
sobre um plano cartesiano.
 A tabela 6 e o gráfico 1 mostram o histograma do número 
de dependências entre os alunos da tabela 1.
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ESTATÍSTICA
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Tabela 6 - Distribuição de frequência
Número de dependências
Número de dependências Frequência simples
0 12
1 7
2 9
3 5
4 4
5 3
6 1
8 1
Total 42
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 45 6 7 8 9
Gráfico 1
Número de dependências por aluno
Para dados agrupados em classes, as linhas verticais 
transformam-se em colunas cuja largura da base é proporcional 
ao intervalo de classe. A tabela 7 e o gráfico 2 referem-se à 
renda familiar dos alunos da amostra relacionada na tabela 1. 
Tabela 7 - Distribuições de frequências - dados agrupados
Renda familiar
Classe 
número Limites de classes em R$
Frequência 
simples
li ls fi
1 956 |----- 2329 13
2 2329 |----- 3702 11
3 3702 |----- 5075 8
4 5075 |----- 6448 4
5 6448 |----- 7821 2
6 7821 |----- 9194 1
7 9194 |----- 10567 3
Total ft 42
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12
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6
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2
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Renda mensal
Fr
eq
uê
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ia
 s
im
pl
es
956 2329 3702 6448 7821 9194 105675075
Gráfico 2 - Renda familiar
2.4.2 Gráfico de colunas
É muito semelhante ao histograma, mas, normalmente, é 
utilizado para representar variáveis qualitativas, nominais ou ordinais. 
A frequência continua sendo colocada no eixo vertical, mas, no eixo 
horizontal, são colocados os atributos. Além disso, como regra, as 
colunas são desenhadas separadas umas das outras. A tabela 8 e 
o gráfico 3 são exemplos do gráfico de colunas, representando os 
cursos em que os alunos da tabela 1 estão matriculados.
Tabela 8 - Distribuição de frequência
Cursos matriculados
Curso matriculado Frequência simples
xi fi
Administração 17
Direito 9
Engenharia 8
Jornalismo 4
Marketing 4
Total ft 42
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Fr
eq
uê
nc
ia
 s
im
pl
es
Gráfico 3 - Cursos matriculados
Cursos
Administração Direito Engenharia Jornalismo Marketing
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ab
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2.4.3 Gráfico de barras
Este gráfico é uma variação dos gráficos de colunas e 
dos histogramas. Nele, as frequências são representadas no 
eixo horizontal, e os atributos ou valores das variáveis são 
representados no eixo vertical. Os gráficos 4 e 5 e as tabelas 9 e 
10 representam, respectivamente, as variáveis sexo e idade dos 
alunos relacionados na tabela 1.
Tabela 9 - Distribuição de frequência
Sexos
Sexo Frequência simples
xi fi
Masculino 24
Feminino 18
Total ft 42
Gráfico 4 - Sexos
Se
xo
s
Quantidade de aluno
Feminino
Masculino
0 5 10 15 20 25 30
 
Tabela 10 - Distribuições de frequências - dados agrupados
Idades
Classe 
número Limites de classes em R$
Frequência 
simples
li ls fi
1 18 |----- 21 13
2 21 |----- 24 11
3 24 |----- 27 6
4 27 |----- 30 8
5 30 |----- 33 1
6 33 |----- 36 3
Total ft 42
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 2
3/
11
/0
9
33|----36
30|----33
27|----30
24|----27
21|----24
18|----21
Id
ad
es
Gráfico 5 - Idades
Número de alunos
0 2 4 6 8 10 12 14
2.4.4 Diagrama de ogiva
São gráficos frequentemente destinados a representar 
as frequências acumuladas, apesar de que nada impede que 
representem frequências simples ou frequências relativas. 
Quando representam frequências acumuladas, recebem o nome 
de ogivas de Galton. 
A ogiva é formada pela sucessão de segmento de retas que 
unem os pontos coordenados formados por (valor; frequência), 
como no caso representado na tabela 11 e no gráfico 6, que 
informam o comportamento acumulado da variável quantidade 
de dependências dos nossos já conhecidos alunos da tabela 1.
Tabela 11 - Distribuição de frequência - dados não agrupados
Número de dependências
Número de dependências Frequências acumuladasAbaixo de ou crescente
Valor Frequência
0 12
1 19
2 28
3 33
4 37
5 40
6 41
7 41
8 42
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ESTATÍSTICA
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40
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0Q
td
e.
 A
cu
m
ul
ad
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de
 D
Ps
Gráfico 6 - Quantidade de dependências
Quantidade de alunos
0 1 2 3 4 5 6 7 8
 
Percebam que, no gráfico anterior, por ser uma variável 
quantitativa discreta, cada ponto é facilmente determinado 
pela sua coordenada y (quantidade de Dps) e pela coordenada 
x (quantidade de alunos com Dps). Mas se nós formos trabalhar 
com variáveis quantitativas contínuas, teremos dificuldades em 
identificar a variável x porque ela não é mais um valor, mas uma 
faixa de valores.
Para resolver esse impasse, introduziremos um novo 
conceito que nos será importante sempre que estivermos 
trabalhando com variáveis contínuas: o ponto médio de 
classe.
O ponto médio de classe é o valor intermediário aos limites 
superior e inferior de classe, ou seja:
pm
ls li
i
i i= +
2
 
Onde o índice i corresponde ao número da classe.
Na tabela 12, estão calculados os pontos médios para as 
classes de rendas familiares dos nossos conhecidos alunos, e o 
gráfico 7 representa as frequências acumuladas acima de (ou 
decrescentes) da referida distribuição.
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Tabela 12 - Distribuições de frequências - dados agrupados
Renda familiar
Classe 
número
Limites de classes 
em R$
Pontos médios 
de classe
Frequências acumuladas 
Abaixo de ou crescente
li ls pmi fac↑
1 956 |---- 2329 1642,5 13
2 2329 |---- 3702 3015,5 24
3 3702 |---- 5075 4388,5 32
4 5075 |---- 6448 5761,5 36
5 6448 |---- 7821 7134,5 38
6 7821 |---- 9124 8507,5 39
7 9124 10567 9880,5 42
45
40
35
30
25
20
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eq
. a
cu
m
ul
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a 
de
 a
lu
no
s
Gráfico 7 - Rendas familiares
Renda em R$
1642,5 3015,5 4388,5 5761,5 7134,5 8507,5
2.4.5 Setorgrama
É também chamado de gráfico de setores ou, mais 
vulgarmente, de gráfico de pizza. É a representação típica das 
frequências relativas, pois é como essas mostram a participação 
da parte no todo. O todo, no caso, é representado pelo círculo 
(a pizza), e cada valor ou classe de valores, por um setor circular 
(a fatia da pizza) de ângulo proporcional à participação deste 
valor ou classe de valores. O cálculo do setor circular é feito por 
regra de três, ou seja, 100% está para 360º assim como x% está 
para yº.
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ESTATÍSTICA
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Os gráficos 8 e 9 são os setorgramas das distribuições 
de cursos matriculados e de idade, respectivamente, dos 
nossos tradicionais alunos da tabela 1. As tabelas 13 e 14 
apresentam os valores dos ângulos calculados, para efeito 
de demonstração; atualmente, este cálculo não é mais 
necessário porque usaremos sempre recursos computacionais 
para gerar os gráficos.
Tabela 13 - Distribuição de frequências
Cursos matriculados
Curso 
matriculado
Frequência 
simples Frequências relativas
Ângulo do setor 
circular
Decimal Percentual
αº
Administração 17 0,405 40,5% 146
Direito 9 0,214 21,4% 77
Engenharia 8 0,190 19,0% 69
Jornalismo 4 0,095 9,5% 34
Marketing 4 0,095 9,5% 34
Total 42 1,000 100,0% 360
Administração
Direito
Engenharia
Jornalismo
Marketing
10%
10%
19%
21%
40%
Gráfico 8 - Cursos matriculados
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9Tabela 14 - Distribuições de frequências - dados agrupados
Idades
Classe
número
Limites de 
classes em 
anos
Frequência 
simples
Frequências relativas Ângulo do Setor
Decimal Percentual Circular
li ls αº
1 18 |---- 21 13 0,310 31,0% 111
2 21 |---- 24 11 0,262 26,2% 94
3 24 |---- 27 6 0,143 14,3% 51
4 27 |---- 30 8 0,190 19,0% 69
5 30 |---- 33 1 0,024 2,4% 9
6 33 |---- 36 3 0,071 7,1% 26
Total 42 1,000 100,0% 360
18 |---- 21
21 |---- 24
24 |---- 27
27 |---- 30
30 |---- 33
33 |---- 36
3%
19%
14%
26%
31%
Gráfico 9 - Idades dos alunos
7%
2.4.6 Gráfico de dispersão
É o gráfico que relaciona duas variáveis numéricas 
diferentes, como, por exemplo, salários e idades. Utilizaremos 
esse gráfico principalmente quando discutirmos regressão e 
correlação. Neste momento, daremos apenas um exemplo 
dele utilizando os dados da tabela 15 e mostrando-o no 
gráfico 10.
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Tabela 15
Saláríos e tempos na função de gerente 
de 1ª linha
Tempo de exercício na 
função (em anos)
Ganho médio 
2 R$ 2.650
3 R$ 3.350
4 R$ 4.100
5 R$ 4.321
6 R$ 4.600
7 R$ 5.725
8 R$ 6.240
9 R$ 7.450
10 R$ 7.500
11 R$ 7.900
12 R$ 8.200
R$ 9.000
R$ 8.000
R$ 7.000
R$ 6.000
R$ 5.000
R$ 4.000
R$ 3.000
R$ 2.000
R$ 1.000
R$ 0
Ga
nh
os
 m
éd
io
s
Gráfico 10 - Salários x tempo
Tempo em anos na função 
0 2 4 6 8 10 12 14
Como falado anteriormente, os gráficos têm uma grande 
aplicação porque apresentam os dados estatísticos de maneira 
agradável e impactante, permitindo que o leitor ou o assistente 
de uma apresentação compreenda com facilidade e rapidez as 
informações apresentadas. Deve-se, no entanto, tomar cuidado 
para que essas informações sejam mostradas com qualidade, em 
especial evitando-se os seguintes vícios:
1. Gráficos atulhados com muitas figuras e informações pobres.
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2. Ausência de escala correta, que induza o leitor a dar maior 
ou menor importância a determinado elemento do gráfico 
do que o real.
3. Eixos comprimidos, de modo que muitas informações 
fiquem concentradas em pequeno espaço do gráfico.
4. Ausência da origem, ou seja, do ponto zero, que pode 
induzir o leitor a erro.
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