Representação de números e circuitos aritméticos

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Sistemas Digitais I
Introduc¸a˜o
Myle`ne Christine Queiroz de Farias
Departamento de Engenharia Ele´trica
Universidade de Bras´ılia (UnB)
Bras´ılia, DF 70910-900
mylene@unb.br
March 18, 2018
Aula 05: Representac¸a˜o de nu´meros e circuitos aritme´ticos
Suma´rio
Cap´ıtulo 02 do Wakerley:
Representac¸a˜o Posicional
Representac¸a˜o e conversa˜o decimal/bina´rio/octal/hexa
Operac¸o˜es de Soma e Subtrac¸a˜o
Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
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Representac¸a˜o Posicional
Primeiramente, considere os nu´meros inteiros:
Considera-se somente nu´meros positivos, depois expande-se a
representac¸a˜o para os nu´meros negativos.
Para o sistema decimal:
Um nu´mero consiste em d´ıgitos com 10 valores poss´ıveis (0-9)
Cada d´ıgito representa um mu´ltiplo de uma poteˆncia de 10
Exemplo: (123)10 = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100
Em geral, um inteiro e´ representado por n d´ıgitos decimais
D = dn−1dn−2 . . . d1d0
Representac¸a˜o de um valor decimal:
V (D) = dn−1 · 10n−1 + dn−2 · 10n−2 + . . . + d1 · 101 + d0 · 100
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Representac¸a˜o Posicional
Primeiramente, considere os nu´meros inteiros:
Considera-se somente nu´meros positivos, depois expande-se a
representac¸a˜o para os nu´meros negativos.
Para o sistema decimal:
Um nu´mero consiste em d´ıgitos com 10 valores poss´ıveis (0-9)
Cada d´ıgito representa um mu´ltiplo de uma poteˆncia de 10
Exemplo: (123)10 = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100
Em geral, um inteiro e´ representado por n d´ıgitos decimais
D = dn−1dn−2 . . . d1d0
Representac¸a˜o de um valor decimal:
V (D) = dn−1 · 10n−1 + dn−2 · 10n−2 + . . . + d1 · 101 + d0 · 100
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Representac¸a˜o Posicional
Primeiramente, considere os nu´meros inteiros:
Considera-se somente nu´meros positivos, depois expande-se a
representac¸a˜o para os nu´meros negativos.
Para o sistema decimal:
Um nu´mero consiste em d´ıgitos com 10 valores poss´ıveis (0-9)
Cada d´ıgito representa um mu´ltiplo de uma poteˆncia de 10
Exemplo: (123)10 = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100
Em geral, um inteiro e´ representado por n d´ıgitos decimais
D = dn−1dn−2 . . . d1d0
Representac¸a˜o de um valor decimal:
V (D) = dn−1 · 10n−1 + dn−2 · 10n−2 + . . . + d1 · 101 + d0 · 100
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Representac¸a˜o Posicional
Como os d´ıgitos tem 10 valores poss´ıveis e cada d´ıgito e´ ponderado
por uma poteˆncia de 10 dizemos que nu´meros decimais sa˜o nu´meros
de base 10
Em sistemas digitais o sistema bina´rio e´ utilizado, ou a base 2, pois os
d´ıgitos podem ser somente ‘0’ ou ‘1’
Cada d´ıgito e´ chamado bit
A representac¸a˜o posicional e´:
B = bn−1bn−2 . . . b1b0
E a representac¸a˜o de um inteiro:
V (B) = bn−1 · 2n−1 + bn−2 · 2n−2 + . . . + b1 · 21 + b0 · 20
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Representac¸a˜o Posicional
Como os d´ıgitos tem 10 valores poss´ıveis e cada d´ıgito e´ ponderado
por uma poteˆncia de 10 dizemos que nu´meros decimais sa˜o nu´meros
de base 10
Em sistemas digitais o sistema bina´rio e´ utilizado, ou a base 2, pois os
d´ıgitos podem ser somente ‘0’ ou ‘1’
Cada d´ıgito e´ chamado bit
A representac¸a˜o posicional e´:
B = bn−1bn−2 . . . b1b0
E a representac¸a˜o de um inteiro:
V (B) = bn−1 · 2n−1 + bn−2 · 2n−2 + . . . + b1 · 21 + b0 · 20
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Representac¸a˜o Posicional
Exemplo: O nu´mero bina´rio ‘1101’ representa o valor:
V = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
V = 8 + 4 + 1 = 13
Enta˜o:
(1101)2 = (13)10
O intervalo de nu´meros que pode ser representado por um nu´mero
bina´rio depende do nu´mero de bits utilizado
Geralmente, usar n bits permite a representac¸a˜o de inteiros positivos
no intervalo de 0 a 2n−1
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Representac¸a˜o Posicional
Exemplo: O nu´mero bina´rio ‘1101’ representa o valor:
V = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
V = 8 + 4 + 1 = 13
Enta˜o:
(1101)2 = (13)10
O intervalo de nu´meros que pode ser representado por um nu´mero
bina´rio depende do nu´mero de bits utilizado
Geralmente, usar n bits permite a representac¸a˜o de inteiros positivos
no intervalo de 0 a 2n−1
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Representac¸a˜o Posicional
Exemplo: O nu´mero bina´rio ‘1101’ representa o valor:
V = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
V = 8 + 4 + 1 = 13
Enta˜o:
(1101)2 = (13)10
O intervalo de nu´meros que pode ser representado por um nu´mero
bina´rio depende do nu´mero de bits utilizado
Geralmente, usar n bits permite a representac¸a˜o de inteiros positivos
no intervalo de 0 a 2n−1
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Conversa˜o decimal/bina´rio
Um nu´mero bina´rio pode ser convertido em um nu´mero decimal por
meio da expressa˜o:
V (B) = bn−1 · 2n−1 + bn−2 · 2n−2 + ... + b1 · 21 + b0 · 20
A conversa˜o de um nu´mero decimal em bina´rio D pode ser feita
dividindo-se sucessivamente o nu´mero decimal por 2 com o seguinte
procedimento:
Dividir o nu´mero decimal (D) por 2, produzindo um quociente
Q = D/2 e um resto R. O resto R da divisa˜o por 2 sera´ 0 ou 1 e
representara´ um u´nico bit (o bit menos significativo) do nu´mero bina´rio
equivalente.
Dividir sucessivamente o quociente Q gerado por 2 ate´ que Q = 0.
Para cada divisa˜o, o resto R representa um dos d´ıgitos bina´rios (bits)
do nu´mero decimal equivalente.
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Conversa˜o decimal/bina´rio
Um nu´mero bina´rio pode ser convertido em um nu´mero decimal por
meio da expressa˜o:
V (B) = bn−1 · 2n−1 + bn−2 · 2n−2 + ... + b1 · 21 + b0 · 20
A conversa˜o de um nu´mero decimal em bina´rio D pode ser feita
dividindo-se sucessivamente o nu´mero decimal por 2 com o seguinte
procedimento:
Dividir o nu´mero decimal (D) por 2, produzindo um quociente
Q = D/2 e um resto R. O resto R da divisa˜o por 2 sera´ 0 ou 1 e
representara´ um u´nico bit (o bit menos significativo) do nu´mero bina´rio
equivalente.
Dividir sucessivamente o quociente Q gerado por 2 ate´ que Q = 0.
Para cada divisa˜o, o resto R representa um dos d´ıgitos bina´rios (bits)
do nu´mero decimal equivalente.
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Conversa˜o decimal/bina´rio
Exemplo: Converter o nu´mero 497 de decimal para bina´rio
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Nu´meros Hexadecimais e Octais
A representac¸a˜o POSICIONAL pode ser utilizada para qualquer base.
Se a base e´ r , temos:
K = kn−1kn−2 . . . k1k0
que tem o valor decimal:
V (K ) =
n−1∑
i=0
ki · r i
Nu´meros com base 8 sa˜o chamados de OCTAIS e com base 16 de
HEXADECIMAIS
Para nu´meros octais, utiliza-se os d´ıgitos de 0 - 7
Para nu´meros hexadecimais utiliza-se os d´ıgitos de 0 9 e de A - F.
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Nu´meros Hexadecimais e Octais
A representac¸a˜o POSICIONAL pode ser utilizada para qualquer base.
Se a base e´ r , temos:
K = kn−1kn−2 . . . k1k0
que tem o valor decimal:
V (K ) =
n−1∑
i=0
ki · r i
Nu´meros com base 8 sa˜o chamados de OCTAIS e com base 16 de
HEXADECIMAIS
Para nu´meros octais, utiliza-se os d´ıgitos de 0 - 7
Para nu´meros hexadecimais utiliza-se os d´ıgitos de 0 9 e de A - F.
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Nu´meros Hexadecimais e Octais
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Conversa˜o de Base
Bina´rio para Hexadecimal: Agrupar d´ıgitos em grupos de 4 bits e
atribuir a cada grupo um d´ıgito.
Exemplo:
(0110 1011 0111)2 = (6B7)16
Hexadecimal para bina´rio: Inverso
Exemplo:
(A19)16 = (1010 0001 1001)2
Bina´rio para octal: Agrupar d´ıgitos em grupos de 3 bits e atribuira
cada grupo um d´ıgito.
Exemplo:
(011 010 110 111)2 = (3267)8
Octal para bina´rio: Inverso
Exemplo:
(5031)8 = (101 000 011 001)2
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Conversa˜o de Base
Bina´rio para Hexadecimal: Agrupar d´ıgitos em grupos de 4 bits e
atribuir a cada grupo um d´ıgito.
Exemplo:
(0110 1011 0111)2 = (6B7)16
Hexadecimal para bina´rio: Inverso
Exemplo:
(A19)16 = (1010 0001 1001)2
Bina´rio para octal: Agrupar d´ıgitos em grupos de 3 bits e atribuir a
cada grupo um d´ıgito.
Exemplo:
(011 010 110 111)2 = (3267)8
Octal para bina´rio: Inverso
Exemplo:
(5031)8 = (101 000 011 001)2
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Conversa˜o
Conversa˜o de nu´meros para base 10
D = ((. . . ((dp−1) · r + dp−2) · r + . . .) · r + d1) · r + d0
Ex: F1AC16 = (((15) · 16 + 1) · 16 + 10) · 16 + 12
Conversa˜o da base 10 para uma base r : Se dividirmos a equac¸a˜o
acima por r , temos o primeiro quociente:
Q = (. . . ((dp−1) · r + dp−2) · r + . . .) · r + d1
d0 e´ o resto.
Repetindo o processo (diviso˜es por r), fornece vai dar os va´rios restos
(di ), que sa˜o os d´ıgitos na base em que eu quero calcular ...
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Conversa˜o
Conversa˜o de nu´meros para base 10
D = ((. . . ((dp−1) · r + dp−2) · r + . . .) · r + d1) · r + d0
Ex: F1AC16 = (((15) · 16 + 1) · 16 + 10) · 16 + 12
Conversa˜o da base 10 para uma base r : Se dividirmos a equac¸a˜o
acima por r , temos o primeiro quociente:
Q = (. . . ((dp−1) · r + dp−2) · r + . . .) · r + d1
d0 e´ o resto.
Repetindo o processo (diviso˜es por r), fornece vai dar os va´rios restos
(di ), que sa˜o os d´ıgitos na base em que eu quero calcular ...
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Resumo das Converso˜es entre Bases
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Exerc´ıcio
Calcular a representac¸a˜o bina´ria, octal e hexadecimal dos seguintes
nu´meros:
190
141
173
44
Como podemos realizar operac¸o˜es aritme´ticas em outras bases?
190 + 141
173 + 44
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Exerc´ıcio
Calcular a representac¸a˜o bina´ria, octal e hexadecimal dos seguintes
nu´meros:
190
141
173
44
Como podemos realizar operac¸o˜es aritme´ticas em outras bases?
190 + 141
173 + 44
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Soma de Nu´meros
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Soma de Nu´meros
A soma gera um valor da soma (S) e um vai-um (carry – cout)
Vai-um (carry) intermedia´rios: ci
Vai-um inicial: cin ou c0
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Subtrac¸a˜o de Nu´meros
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Subtrac¸a˜o de Nu´meros
minuendo, subtraendo, diferenc¸a
A subtrac¸a˜o gera um valor da diferenc¸a (D) e um vem-um (borrow –
bout)
vem-um (borrow) intermedia´rios: bi
vem-um (borrow) inicial: bin ou b0
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Soma/ Subtrac¸a˜o de Nu´meros em Outras Bases
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Exerc´ıcio
Calcular a representac¸a˜o bina´ria, octal e hexadecimal dos seguintes
nu´meros:
190 = (10111111)2 = (276)8 = (BE )H
141 = (10001101)2 = (215)8 = (8D)H
173 = (10101101)2 = (255)8 = (AD)H
44 = (101100)2 = (54)8 = (2C )H
Como podemos realizar operac¸o˜es aritme´ticas em outras bases?
190 + 141 = 331 = (101001011)2 = (513)8 = (14B)H
173 - 44 = 129 = (10000001)2 = (201)8 = (81)H
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Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Existem 3 formatos de se representar nu´meros negativos:
Sinal-magnitude
Complemento de 1
Complemento de 2
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Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Sinal-Magnitude:
Usa um bit para o sinal (0 = +, 1 = −) e o restante para a
magnitude, como se fosse um nu´mero sem sinal.
Por exemplo, para nu´meros de 4 bits:
+5 = 0101 − 5 = 1101 +3 = 0011 − 3 = 1011
+7 = 0111 − 7 = 1111
Permite representar nu´meros de −(2n−1 − 1) a +(2n−1 − 1)
Apesar de ser de fa´cil compreensa˜o, a implementac¸a˜o desta
representac¸a˜o na˜o e´ fa´cil ...
Como funciona a soma e a subtrac¸a˜o neste sistema?
Myle`ne Farias (ENE-UnB) SD1 March 18, 2018 22 / 1
Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Sinal-Magnitude:
Usa um bit para o sinal (0 = +, 1 = −) e o restante para a
magnitude, como se fosse um nu´mero sem sinal.
Por exemplo, para nu´meros de 4 bits:
+5 = 0101 − 5 = 1101 +3 = 0011 − 3 = 1011
+7 = 0111 − 7 = 1111
Permite representar nu´meros de −(2n−1 − 1) a +(2n−1 − 1)
Apesar de ser de fa´cil compreensa˜o, a implementac¸a˜o desta
representac¸a˜o na˜o e´ fa´cil ...
Como funciona a soma e a subtrac¸a˜o neste sistema?
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Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Sinal-Magnitude:
Usa um bit para o sinal (0 = +, 1 = −) e o restante para a
magnitude, como se fosse um nu´mero sem sinal.
Por exemplo, para nu´meros de 4 bits:
+5 = 0101 − 5 = 1101 +3 = 0011 − 3 = 1011
+7 = 0111 − 7 = 1111
Permite representar nu´meros de −(2n−1 − 1) a +(2n−1 − 1)
Apesar de ser de fa´cil compreensa˜o, a implementac¸a˜o desta
representac¸a˜o na˜o e´ fa´cil ...
Como funciona a soma e a subtrac¸a˜o neste sistema?
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Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Sinal-Magnitude:
Para nu´meros negativos, no sistema bina´rio, o sinal e´ representado
pelo bit mais a` esquerda (mais significativo):
0 = positivo
1 = negativo
Para um nu´mero de n bits, os n − 1 bits restantes representam a
magnitude.
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Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Complemento de Um:
Em complemento de um, um nu´mero negativo K de n bits e´ obtido
subtraindo-se de 2n − 1 o seu nu´mero positivo equivalente (mo´dulo),
P:
K = (2n − 1)− P
Para n = 4:
K = (24 − 1)10 − P = (15)10 − P = (1111)2 − P
Ex1: -5
(−5)10 = (15)10 − 5 = (1111)2 − (0101)2 = (1010)2
Ex: -3
(−3)10 = (15)10 − 3 = (1111)2 − (0011)2 = (1100)2
Myle`ne Farias (ENE-UnB) SD1 March 18, 2018 24 / 1
Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Complemento de Um:
Em complemento de um, um nu´mero negativo K de n bits e´ obtido
subtraindo-se de 2n − 1 o seu nu´mero positivo equivalente (mo´dulo),
P:
K = (2n − 1)− P
Para n = 4:
K = (24 − 1)10 − P = (15)10 − P = (1111)2 − P
Ex1: -5
(−5)10 = (15)10 − 5 = (1111)2 − (0101)2 = (1010)2
Ex: -3
(−3)10 = (15)10 − 3 = (1111)2 − (0011)2 = (1100)2
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Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Complemento de Um:
(−3)10 = (15)10 − 3 = (1111)2 − (0011)2 = (1100)2
Pode-se notar que o complemento de 1 pode ser formado
complementando cada bit do nu´mero, incluindo o bit do sinal.
Complemento de 1 teˆm algumas desvantagens quando usados em
operac¸o˜es aritme´ticas.
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Complemento Base 1
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Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Complemento de Dois:
Em complemento de 2, um nu´mero de n bits, K , e´ obtido
subtraindo-se de 2n o seu equivalente positivo, P:
K = 2n − P
Para n = 4:
K = (24)10 − P = (16)10 − P = (10000)2 − P
Ex: -5
(−5)10 = (16)10 − (5)10 = (10000)2 − (0101)2 = (1011)2
Ex: -3
(−3)10 = (16)10 − (3)10 = (10000)2 − (0011)2 = (1101)2
Myle`ne Farias (ENE-UnB) SD1 March 18, 2018 27 / 1
Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Complemento de Dois:
Em complemento de 2, um nu´mero de n bits, K , e´ obtido
subtraindo-se de 2n o seu equivalente positivo, P:
K = 2n − P
Para n = 4:
K = (24)10 − P = (16)10 − P = (10000)2 − P
Ex: -5
(−5)10= (16)10 − (5)10 = (10000)2 − (0101)2 = (1011)2
Ex: -3
(−3)10 = (16)10 − (3)10 = (10000)2 − (0011)2 = (1101)2
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Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Complemento de Dois:
Em complemento de 2, um nu´mero de n bits, K , e´ obtido
subtraindo-se de 2n o seu equivalente positivo, P:
K = 2n − P
Para n = 4:
K = (24)10 − P = (16)10 − P = (10000)2 − P
Ex: -5
(−5)10 = (16)10 − (5)10 = (10000)2 − (0101)2 = (1011)2
Ex: -3
(−3)10 = (16)10 − (3)10 = (10000)2 − (0011)2 = (1101)2
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Representac¸a˜o de Nu´meros Negativos
Complemento de Dois:
Ex: -5
(−5)10 = (16)10 − (5)10 = (10000)2 − (0101)2 = (1011)2
Ex: -3
(−3)10 = (16)10 − (3)10 = (10000)2 − (0011)2 = (1101)2
Uma maneira simples de achar o complemento de 2 de um nu´mero e´
somar 1 ao seu complemento de 1
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Regra para Encontrar o Complemento de Dois
Dado um nu´mero com sinal B = bn−1bn−2 . . . b1b0,
o seu complemento de 2: K = kn−1kn−2 . . . k1k0
pode ser encontrado da seguinte forma:
1 Examina-se todos os bits de B, da direita para a esquerda ate´
encontrar o primeiro bit ‘1’;
2 Complementando-se todos os bits a` esquerda do primeiro bit ‘1’
encontrado.
Exemplo: para B = 0011 0100, o complemento de 2 e´:
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Regra para Encontrar o Complemento de Dois
Dado um nu´mero com sinal B = bn−1bn−2 . . . b1b0,
o seu complemento de 2: K = kn−1kn−2 . . . k1k0
pode ser encontrado da seguinte forma:
1 Examina-se todos os bits de B, da direita para a esquerda ate´
encontrar o primeiro bit ‘1’;
2 Complementando-se todos os bits a` esquerda do primeiro bit ‘1’
encontrado.
Exemplo: para B = 0011 0100, o complemento de 2 e´:
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Representac¸a˜o de Nu´meros Inteiros de 4 bits
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Complemento Base r
O complemento r de um nu´mero (D)r e´: r
n − D
Ou (rn)− D = (rn − 1 + 1)− D = ((rn − 1)− D) + 1
O complemento r de um nu´mero (D)r e´: (r
n − 1)− D
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Representac¸a˜o de Excesso
Representac¸a˜o Excesso B
uma sequeˆncia de m bits com valores na˜o-negativos 0 ≤ M < 2m
pode representar os inteiros com sinal M −B (B e´ o bias do sistema);
Ex: O sistema excesso-2m−1 pode representar o intervalo
X ∈ [−2m−1,+2m−1], calculando-se X + 2m−1 (sempre
na˜o-negativo!).
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