unid_2 Estatística

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3 MEDIDAS OU PARÂMETROS ESTATÍSTICOS
O estudo que fizemos anteriormente diz respeito ao 
agrupamento de dados coletados e à representação gráfica de 
alguns deles. Cumpre agora estudarmos as medidas estatísticas. 
Esses valores nos darão a imagem sintetizada do comportamento 
de uma amostra, permitindo que com relativamente poucas 
informações possamos chegar a conclusões sobre esta amostra 
estudada.
Existem basicamente dois grandes grupos de medidas 
estatísticas. O primeiro grupo é formado pelas medidas de 
tendência central, também chamadas de medidas de posição, 
que informam a magnitude da amostra estudada. Essas medidas 
nos dão uma visão global da amostra sem se ater às características 
individuais de seus elementos.
No entanto, como é necessário que tenhamos ideia das 
variações dos elementos da amostra em torno de suas medidas 
centrais, iremos estudar, no módulo 2, o segundo grupo de 
medidas estatísticas: as medidas de dispersão, também 
chamadas de medidas de variabilidade.
Medidas de posição
Objetivos do módulo
As medidas de posição ou medidas de tendência central, como 
o próprio nome indica, preocupam-se com definir uma posição 
central da amostra, ou seja, um valor que seja representativo do 
que é típico da amostra. Iremos trabalhar com as três principais 
medidas deste tipo: a média, a mediana e a moda.
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3.1 Média
De todas as medidas de posição, a média é, seguramente, 
a mais usada. São chamadas de médias simples quando a 
frequência dos diversos valores é igual a 1, ou seja, cada valor 
aparece uma única vez na amostra, ou de médias ponderadas, 
quando os dados são dotados de certa frequência.
Existem vários métodos diferentes para se calcular as médias. 
Iremos nos preocupar com a principal delas, a média aritmética. 
As demais (geométrica, quadrática e harmônica), além de serem 
muito menos utilizadas, seguem os mesmos princípios da média 
aritmética, apenas com a utilização de operações matemáticas 
diferentes.
A média aritmética é o resultado da soma dos valores de 
todos os elementos dividido pelo número total de elementos, ou 
seja, pela frequência total. Em outras palavras, se tivermos um 
conjunto de valores S ={ x1, x2, x3,………xn}, a média aritmética 
deste conjunto será calculada através das fórmulas:
X
x x x x
N
n= + + + +1 2 3 ....
Ou
X
x
N
i= Σ
Onde: X é a média aritmética; x1, x2, etc. os diversos valores; 
e N, a quantidade total de elementos da amostra.
Exemplo 1
Calcular a média aritmética dos valores abaixo relacionados:
S={2;5;7;9;10;12;16;18}. Observe que são 8 elementos de 
diferentes valores, portanto:
X
x
N
X Xi= ⇒ = + + + + + + + ⇒ =Σ 2 5 7 9 10 12 16 18
8
9 9,
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Caso os valores sejam repetidos na amostra, ou seja, se eles 
tiverem uma frequência diferente de 1 ( x1 com f1; x2 com f2 
e assim por diante), então a fórmula para o cálculo da média 
aritmética será:
X
x f
f
i i
i
= Σ
Σ
Este último conceito define a média ponderada, sendo 
que, eventualmente, as frequências podem ser substituídas por 
“pesos” que conferem a importância diferenciada de cada valor.
O exemplo a seguir mostra o cálculo para dados não 
agrupados em classe.
Exemplo 2
Calcular a média aritmética dos valores abaixo relacionados:
Como no exemplo anterior, o cálculo da média aritmética 
consiste na soma de todos os valores dividida pela quantidade 
total de elementos. Note, porém, que cada um dos valores 
da tabela aparece certo número de vezes, diferente de 1; por 
exemplo, o valor 25 aparece 37 vezes, portanto, precisamos 
somar 25 com ele mesmo 37 vezes ou, de maneira mais direta, 
precisamos multiplicar 25 por 37. A coluna C mostra todos os 
cálculos deste tipo. Quando somamos essa coluna, obtemos o 
valor 9.491, que corresponde à soma de todos os elementos da 
amostra (193 elementos). Assim, a média é:
A B C=AxB
Valor Frequência 
Simples 
Valor x 
Frequência
xi fi xi.fi
25 37 925
42 28 1176
57 54 3078
62 62 3844
39 12 468
ft 193 9491
X
x f
f
X Xi i
i
= ⇒ = ⇒ =Σ
Σ
9491
193
49 2,
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No caso de dados agrupados em classes, o processo de 
cálculo é idêntico ao anterior, com a diferença de que o valor a 
ser usado é o ponto médio de classe (lembre que já definimos 
esse valor no módulo anterior):
xi=pmi
O exemplo a seguir mostra-nos, passo a passo, o cálculo da 
média aritmética ponderada para dados agrupados por classes:
Exemplo 3
Dada a tabela de frequências abaixo, calcular a média 
aritmética:
A B C D E=(C+D)/2 F=DxE
Classe Limites de classe Frequência 
simples
Ponto 
médio de 
classe
Frequência 
x Ponto 
médio
li ls fi pmi fi x pmi
1,0 3,0 |------- 414,0 14 208,5 2.919,0
2,0 414,0 |------- 825,0 19 619,5 11.770,5
3,0 825,0 |------- 1.236,0 41 1.030,5 42.250,5
4,0 1.236,0 |------- 1.647,0 53 1.441,5 76.399,5
5,0 1.647,0 |------- 2.058,0 32 1.852,5 59.280,0
6,0 2.058,0 |------- 2.469,0 27 2.263,5 61.114,5
7,0 2.469,0 |------- 2.880,0 20 2.674,5 53.490,0
8,0 2.880,0 |------- 3.291,0 11 3.085,5 33.940,5
9,0 3.291,0 |------| 3.702,0 8 3.496,5 27.972,0
ft = 225 Σ = 369.136,5
A tabela acima apresenta os valores e cálculos necessários 
para se determinar a média aritmética para uma amostra que 
estivermos descrevendo.
As áreas sombreadas da tabela mostram os cálculos 
necessários para a obtenção da média aritmética.
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O uso de uma tabela para estes cálculos facilita as operações de 
cálculo, bem como são mais facilmente trabalhadas em computador.
Note que acima nós somamos os valores de todos os 
elementos da amostra, ficando na seguinte situação: o valor da 
soma dos 225 elementos da amostra é 369136,5, portanto, a 
média aritmética será de:
X
x f
f
X Xi i
i
= ⇒ = ⇒ =Σ
Σ
369136 5
225
1640 61
,
,
É importante observar as seguintes propriedades das médias 
aritméticas:
• a soma algébrica dos afastamentos (ou desvios ou resíduos) 
de um conjunto de números tomados em relação à média 
é nula;
• se multiplicarmos ou dividirmos todas as informações por 
uma constante, a média aritmética ficará multiplicada ou 
dividida por essa constante;
• somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os 
valores de um conjunto de informações, a média aritmética 
ficará somada ou subtraída dessa constante;
• a soma dos quadrados dos desviostomados em relação à 
média aritmética é mínima.
3.2 Mediana
Conceitualmente, definimos mediana como o valor, dentro 
de um conjunto de valores ordenados, que divide exatamente 
esse conjunto em duas metades, com 50% dos valores superiores 
à mediana e 50% inferiores. Evidentemente que essa definição 
precisa se adaptar ao número N de elementos da amostra:
• caso N seja um número ímpar, a mediana será o valor do 
elemento central (chamado de elemento mediano);
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• caso N seja um número par, a mediana será a média 
aritmética simples dos dois elementos centrais (o elemento 
mediano passa a ser um elemento teórico intermediário). 
Veja no exemplo abaixo:
Exemplo 1
Dados os dois conjuntos de notas abaixo, de alunos de 
estatística, calcule a mediana:
Grupo A = {6,2; 4,2; 8,7; 6,4; 2,8; 9,1; 5,0; 3,9; 7,1}
Para calcular a mediana, é necessário ordenar os dados em 
ordem crescente:
{2,8; 3,9; 4,2; 5,0; 6,2; 6,4; 7,1; 8,7; 9,1}
Como o número de elementos é impar (N = 9), a mediana 
será o valor do elemento central (o 5º elemento), ou seja, o valor 
da mediana será 6,2.
Poderíamos dar uma roupagem mais matemática ao cálculo 
utilizando as fórmulas abaixo, onde Eme é o elemento mediano, 
e Me, a mediana:
E
N
E Eme me me=
+ => = + => =1
2
9 1
2
5º
O valor do 5º elemento é a mediana:
Me = 6,2
Grupo B = { 8,4; 6,3; 9,2; 4,9; 6,5; 8,0}, ordenando {4,9; 6,3; 
6,5; 8,0; 8,4; 9,2}
E
N
E Eme me me=
+ => = + => =1
2
6 1
2
3 5, 
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Evidentemente, não existe um elemento 3,5º. A mediana será 
a média aritmética entre o valor dos 3º e 4º elementos:
Me
x x
Me Me= + => = + => =3 4
2
6 5 8 0
2
7 25
, ,
,
Cálculo semelhante se fará quando trabalhamos com 
dados agrupados, seja em classes ou não. Primeiro, veremos 
quando os dados não forem agrupados em classe. Nesse 
caso, o procedimento é semelhante ao feito no exemplo 1, 
com a diferença de que precisaremos calcular a frequência 
acumulada crescente para permitir localizarmos o elemento 
mediano. O exemplo 2 mostra o cálculo em duas situações 
diferentes.
Exemplo 2
Calcular a mediana para os dados relacionados abaixo, 
relativos ao número de filhos por família moradora em 
determinada cidade.
Cidade A
Número de 
filhos por 
família
Quantidade de 
famílias na cidade
Frequência 
acumulada 
crescente
Valor Frequência simples
xi fi fac ↓
0 15 15
1 18 33
2 12 45
3 8 53
4 5 58
5 3 61
6 1 62
Mais do que 6 1 63
Soma 63
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Perceba que o número de elementos (N = 63) é ímpar; logo, 
o elemento mediano será o 32º:
E Eme me=
+ = =63 1
2
32º
O 32º elemento tem o valor 18, isso porque, com os valores 
ordenados, os 15 primeiros referem-se a famílias com 0 filhos; 
do 16º ao 33º, os valores referem-se a famílias com 1 filho, e 
assim por diante. Logo, a mediana será:
Me = 18
Portanto, podemos afirmar que 50% das famílias têm um 
filho ou menos, e 50% das famílias têm um filho ou mais.
Observe agora esta outra bservação de frequências relativa 
á cidade B
Cidade B
Número de 
filhos por 
família
Quantidade de 
famílias na cidade
Frequência 
acumulada 
crescente
Valor Frequência simples
xi fi fac ↓
0 15 15
1 21 36
2 16 52
3 9 61
4 6 67
5 4 71
6 1 72
Mais do que 6 0 72
Soma 72
Perceba que o número de elementos (N = 72) é par; logo, o 
elemento mediano seria o 36,5º, que, evidentemente, não existe.
E Eme me=
+ = =72 1
2
36 5, 
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O 36º elemento tem o valor 1, e o 37º, o valor o valor 2, 
portanto, o 36,5º seria um valor médio entre esses dois valores, 
ou seja, a mediana será:
E Eme me=
+ = =1 2
2
15,
Portanto, podemos afirmar que 50% das famílias têm menos 
de 1,5 filho, e 50% das famílias tem mais de 1,5 filho.
O cálculo da mediana, quando lidamos com dados 
agrupados em classes, é mais trabalhoso porque conseguimos 
determinar o elemento mediano e a classe da qual o elemento 
faz parte, mas não o valor exato da mediana. A maneira de 
contornarmos esse inconveniente é utilizando os conceitos de 
interpolação.
Interpolar significa achar, dentro de uma faixa de 
valores, aquele valor que melhor corresponde às condições 
estabelecidas. No caso do cálculo da mediana, o processo 
de interpolação gera a seguinte fórmula, que sempre iremos 
usar:
Me li
E f
f
x hMe
me ac ant
Me
= +
−





Onde:
Me = Mediana
liMe= Limite inferior da classe que contém o elemento 
mediano (classe mediana)
Eme = Elemento mediano
Fac ant = Frequência acumulada crescente até a classe anterior 
à classe mediana
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fMe = Frequência da classe mediana
h = Amplitude da classe mediana
O exemplo 3, a seguir, demonstra o cálculo da mediana para 
uma distribuição de vendas em R$ agrupadas por classe.
Exemplo 3
Calcular a mediana para a tabela abaixo que apresenta a 
distribuição de vendas de determinada empresa.
Classes 
número
Vendas mensais em R$ Quantidade de meses
Frequência 
acumulada 
crescenteValor Frequência
li ls fi fac↑
1 R$ 50.000,00 |---- R$ 80.000,00 12 12
2 R$ 80.000,00 |---- R$ 110.000,00 18 30
3 R$ 110.000,00 |---- R$ 140.000,00 27 57
4 R$ 140.000,00 |---- R$ 170.000,00 26 83
5 R$ 170.000,00 |---- R$ 200.000,00 21 104
6 R$ 200.000,00 |---- R$ 230.000,00 18 122
7 R$ 230.000,00 |---- R$ 260.000,00 12 134
8 R$ 260.000,00 |---| R$ 290.000,00 9 143
Total 143
O elemento mediano é dado por:
E Eme me=
+ => =143 1
2
72º
O 72º elemento está na 4ª classe, que chamamos de classe 
mediana, ou seja, a mediana é um valor entre R$ 140.000,00 
e R$ 170.000,00. Obteremos o resultado usando a fórmula da 
interpolação:
Me li
E f
f
x h xMe
me ac ant
Me
= +
−




 = +
−



140 000
72 57
26
30 000. . ==> =Me 157 307 69. ,
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Portanto, podemos afirmar que 50% das vendas mensais 
dessa empresa estão acima de R$ 157.307,69, e 50%, abaixo 
deste mesmo valor.
3.3 Moda
O conceito de moda é mais simples entre as medidas 
estatísticas. É simplesmenteo valor que mais vezes se repete 
numa distribuição de frequências, ou seja, aquele dotado de 
maior frequência.
O cálculo da moda para dados isolados ou para dados não 
agrupados em classes é imediato, decorre de simples observação, 
como mostra o exemplo 1; já para dados agrupados necessitados, 
adotam-se algumas recomendações feitas por estatísticos 
renomados. No exemplo 2, apresentamos um cálculo deste 
último tipo de distribuição.
Exemplo 1
Calcular a moda para os conjuntos de dados mostrados 
abaixo, referentes ao consumo de rolamentos (em unidades) em 
várias linhas de produção.
Linha A: {21; 22; 24; 24; 25; 25; 25; 27; 28)
A moda, evidentemente, é: Mo=25.
Linha B: {8; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12}
Neste conjunto, temos duas modas: Mo=9 e Mo=11. 
Chamamos de amostra multimodal.
Linha C: {15; 18; 25; 32; 43; 50; 61}
Não existe um valor que se repita mais de uma vez. Temos 
uma amostra sem moda, ou seja, amodal.
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Linha D
Quantidade 
de rolamentos 
consumidos
Número de vezes 
em que ocorreu 
o consumo
xi fi
Valor Frequência
8 18
10 25
12 32
13 45
15 28
16 21
17 12
21 8
A moda é o valor de maior frequência, portanto, para a linha 
D, teríamos Mo=13.
Exemplo 2
Calcular a moda para a distribuição de rendas familiares 
apresentada no quadro abaixo:
Classes 
número Rendas familiares mensais em R$
Quantidade de 
meses
Valor Frequência
li ls fi
1 R$ 650,00 |---- R$ 1.100,00 16
2 R$ 1.100,00 |---- R$ 1.550,00 21
3 R$ 1.550,00 |---- R$ 2.000,00 28
4 R$ 2.000,00 |---- R$ 2.450,00 31
5 R$ 2.450,00 |---- R$ 2.900,00 18
6 R$ 2.900,00 |---- R$ 3.350,00 16
7 R$ 3.350,00 |---- R$ 3.800,00 12
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Você pode notar que os valores se repetem mais na classe 
4 (a frequência é a maior de todas); logo, a moda deve ser um 
valor entre R$ 2.000,00 e R4 2.450,00. Mas exatamente qual é 
o valor da moda?
Normalmente, esse cálculo poderá ser feito por três 
recomendações diferentes: as fórmulas de Czuber, King e 
Pearson, que utilizaremos a seguir.
Recomendação de Czuber
Para utilizarmos a recomendação de Czuber, devemos 
inicialmente localizar a classe que tem maior frequência, a 
chamada classe modal. No nosso exemplo, essa classe é a de 
número 4, como já falamos. Em seguida, aplicamos a seguinte 
fórmula:
Mo li
f f
f f f f
x hMo
Mo ant
Mo ant Mo post
= + −
− + −








( )
( ) ( )
Onde:
Mo = Moda
liMo = Limite inferior da classe modal
fMo = Frequência da classe modal
fant = Frequência da classe imediatamente anterior à classe 
modal
fpost = Frequência da classe imediatamente posterior à classe 
modal
h = Amplitude da classe modal
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No nosso exemplo, ficaria:
Mo x Mo R= + −( )
−( ) + −( )





 => =2 000
31 28
31 28 31 18
450 2 103 85. $ . ,
Recomendação de King
Para utilizarmos a recomendação de King, devemos 
inicialmente localizar a classe que tem maior frequência, a 
chamada classe modal. No nosso exemplo, essa classe é a de 
número 4, como já falamos. Em seguida, aplicamos a seguinte 
fórmula:
Mo li
f
f f
x hMo
post
ant post
= +
+








Onde:
Mo = Moda
liMo = Limite inferior da classe modal
fant = Frequência da classe imediatamente anterior à classe 
modal
fpost = Frequência da classe imediatamente posterior à classe 
modal
h = Amplitude da classe modal
No nosso exemplo, ficaria:
Mo x Mo R= +
+




=> =2 000 18
28 18
450 2 176 09. $ . ,
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Recomendação de Pearson
No caso de Pearson, a recomendação parte de conceito 
diferente das anteriores. Baseia-se no uso da média e da 
mediana:
Mo=3 x Me – 2 x X
Onde:
Mo = Moda
Me = Mediana
X = Média
No nosso exemplo, teríamos:
Me = R$ 2.094,36
X = R$ 2.123,59
Logo, a moda seria:
Mo=3 x 2.094,36 – 2 x 2.123,59 => Mo=R$ 2.035,88
Perceba que cada recomendação resultou em valor 
diferente. Isso ocorre porque são recomendações que partem 
de considerações diferentes. A experiência nos ensina qual é a 
melhor recomendação a se utilizar em cada caso prático.
O uso de cada uma das medidas de dispersão depende da 
situação prática que se apresenta. Adriano Leal Bruni, em sua 
obra Estatística aplicada à gestão empresarial, apresenta uma 
série de vantagens e desvantagens de cada uma delas, as quais 
podem ser resumidas no quadro a seguir:
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Medida de 
posição Vantagens Desvantagens
Média
É de fácil compreensão, 
podendo ser calculada 
diretamente usando-se 
calculadoras apropriadas.
É afetada por valores extremos 
da série, não representando 
com precisão a distribuição 
em que esses valores ocorrem 
com frequência acentuada.
Depende de todos os valores 
da distribuição, usando todos 
os dados disponíveis.
É necessário conhecer todos 
os valores da distribuição.
Evidencia bastante 
estabilidade de amostra para 
amostra.
A média não tem, 
necessariamente, existência 
real.
Possibilita a manipulação de 
dados, com cálculo de médias 
combinadas.
Pode ser obtida uma média de 
número fracionário inexistente, 
por exemplo, 6,7 alunos.
Pode ser facilmente incluída 
em equações matemáticas.
Mediana
Mesmo que alguns valores da 
série sejam modificados, ela 
pode manter-se inalterada.
Se for determinada a mediana 
dos grupos separados, não 
será encontrada a mediana do 
grupo.
Os valores extremos não 
interferem no seu resultado; 
por isso é indicada quando 
existem valores discrepantes.
Mesmo que os valores mais 
altos ou mais baixos da série 
não estejam definidos, ela 
pode ser determinada.
Pode ser utilizada para dados 
que têm a possibilidade de ser 
ordenados.
Moda
Caso algum valor da série 
seja modificado, não 
necessariamente a moda 
alterará.
A moda tem que ter 
necessariamente um valor 
real, já que ela é representada 
por algum valor da série.
Os valores extremos não 
interferem no seu resultado
Quando utilizada para 
calcular distribuições de 
classe aberta, não pode 
ser determinada a moda 
empregando algum 
procedimento aritmético 
elementar.
Pode ser calculada em 
distribuições que possuam 
classe indeterminada.
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4 MEDIDAS DE DISPERSÃO
Objetivos
As medidas de dispersão completam a informação 
contida nas medidas de posição, revelando o afastamento 
ou desvio dos elementos do valor central. Quanto menor 
for a dispersão de uma amostra, maior será a qualidade da 
informação contida na medida de posição, ou, em outras 
palavras, menor a margem de erro que será assumido 
considerando a medida de posição como representante de 
toda a amostra.
Existem basicamente dois grandes grupos de medidas de 
dispersão:
• medidas de dispersão absolutas: levam em conta a 
dispersão propriamente dita;
• medidas de dispersão relativas: levam em conta 
simultaneamente uma medida de posição e a medida 
de dispersão correspondente. São úteis para efetuarmos 
comparações entre amostras.
O objetivo deste capítulo é tomarmos contato com ambos 
os grupos.
4.1 Medidas de dispersão absolutas
4.1.1 Amplitude total
A amplitude total (At) já é nossa conhecida e é a mais 
elementar das medidas de dispersão. É extremamente fácil de 
ser calculada, mas de difícil interpretação, em especial quando 
os dados extremos são muito grandes ou muito pequenos. São 
mais utilizadas, portanto, quando as distribuições apresentam 
certa homogeneidade.
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Por exemplo, suponha que tenhamos as valorizações mensais 
das ações de duas diferentes empresas A e B, com os seguintes 
valores (em porcentagem):
Empresa A = {21,5; 18,0; 26,3; 32,4; 45,1; 18,6; 37,6}.
Empresa B = {15,3; 19,7; 23,9; 16,7; 25,9; 14,6; 18,9; 25,8}.
As amplitudes seriam, respectivamente, de 45,1 – 18,0 = 
27,1% para as ações da empresa A e de 25,9 – 14,6 = 11,3% para 
a empresa B. Em outras palavras, as variações máximas seriam 
de 27,1% para as ações da empresa A e de 11,3% para a empresa 
B. Logo, o risco de oscilação é maior para a empresa A do que 
para a empresa B.
4.1.2 Desvio médio
É definido como a média aritmética do módulo1 dos desvios 
dos elementos em relação à média dos mesmos. Entende-se por 
desvio a diferença entre o valor de um elemento da amostra 
para a média dessa mesma amostra:
di=xi – X
Portanto, o desvio médio será dado pela fórmula:
dm
d
N
ii
n
= =∑ 1
O exemplo abaixo deixará mais claro esse processo.
Exemplo 1
Calcular o desvio médio da amostra {18; 21; 22; 27; 28; 29; 
32; 37}.
1 Define-se módulo ou valor de um número a distância deste número 
para zero, independentemente do sinal, ou seja, módulo de um número 
positivo e módulo de um número negativo é o seu simétrico, isto é, o mesmo 
número positivo. Para efeito do cálculo do desvio médio, consideramos o 
número sempre positivo, seja qual for seu sinal.
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O primeiro passo será calcular a média aritmética desses 
valores e, em seguida, os desvios de cada um dos valores. Depois, 
somaremos o módulo desses valores dividindo-os pelo número 
total de elementos da amostra. O quadro abaixo mostra passo a 
passo esses cálculos:
Ordem dos 
elementos
Valores Desvios Módulo 
dos desvios
di=xi – X
_
|di=xi – X
_ 
 |
1 18 18 - 27 = -9 9
2 21 21 - 27 = -6 6
3 22 22 - 27 = -5 5
4 27 27 - 27 = 0 0
5 28 28 - 27 = 1 1
6 29 29 - 27 = 2 2
7 33 33 - 27 = 6 6
8 38 38 - 27 = 11 11
Soma 216 0 40
Média ( X
_
 ) 216/8=27 Desvio médio (dm) 40/8 = 5
Observe que a soma dos desvios é zero, o que é evidente. 
O próprio conceito de média (valor equidistante de todos os 
elementos da amostra) nos conduz a isso. O conceito de desvio 
médio só tem sentido quando utilizamos o módulo dos desvios. 
Para ficar mais claro, veja abaixo os cálculos feitos, utilizando-se 
das fórmulas informadas:
Cálculo da média:
X
x
N
X Xi= ⇒ = ⇒ =Σ 216
8
27
Cálculo do desvio médio:
dm
d
N
dm dm
ii
n
= => = => ==∑ 1 40
8
5
5
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Quando trabalhamos com dados agrupados em classes 
ou não, utilizamos exatamente o mesmo processo de cálculo, 
evidentemente que com alterações nas fórmulas de cálculos, 
introduzindo-se o conceito de frequência simples, como se 
mostra a seguir:
dm
d x f
f
i ii
n
ii
n=
=
=
∑
∑
1
1
Observar que para dados agrupados em classes o cálculo dos 
desvios é dado por:
di = pmi - X
Os exemplos a seguir demonstram esses cálculos.
Exemplo 2
Calcular o desvio médio da amostra de distribuição abaixo, 
relativa ao número de acidentes diários numa estrada federal.
Distribuição de acidentes por dia - estrada X
Número de 
acidentes 
diários
Dias 
pesquisados
Valor x 
Frequência
Desvios Módulo 
dos 
desvios
Módulo 
dos 
desvios x 
Frequência
Valor Frequência
xi fi xi.fi di=xi – X
_
|di=xi – X
_ 
 | |di| x fi
0 12 0 -3,6 3,6 43,5
1 15 15 -2,6 2,6 39,4
2 28 56 -1,6 1,6 45,6
4 23 92 0,4 0,4 8,6
5 19 95 1,4 1,4 26,1
6 8 48 2,4 2,4 19,0
8 6 48 4,4 4,4 26,2
10 4 40 6,4 6,4 25,5
11 2 22 7,4 7,4 14,7
12 1 12 8,4 8,4 8,4
Somas 118 428 257,0
Média 3,6 Desvio médio 2,2
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dm
d x f
f
dm dm
i ii
n
ii
n= => = => =
=
=
∑
∑
1
1
257
118
2 2,
Exemplo 3
Calcular o desvio médio da amostra de distribuição abaixo, 
relativa ao tempo de mão de obra gasto com a manutenção dos 
aviões de uma empresa aérea.
Distribuição das horas de manutenção - aero X
Classes Limites de 
classes
Pontos 
médios 
de 
classe
Manutenções 
pesquisadas
Valor x 
Frequência
Desvios Módulo dos 
desvios
Módulo dos 
desvios x 
Frequência
Valor Frequência
li ls pmi fi pmi.fi di=xi – X
_
|di=xi – X
_ 
 | |di| x fi
1 0 |--- 3 1,5 26 39 -4,1 4,1 106,0
2 3 |--- 6 4,5 20 90 -1,1 1,1 21,5
3 6 |--- 9 7,5 16 120 1,9 1,9 30,8
4 9 |--- 12 10,5 10 105 4,9 4,9 49,2
5 12 |--| 15 13,5 6 81 7,9 7,9 47,5
Somas 78 435 255,1
Média 5,6 Desvio Médio 3,3
dm
d x f
f
dm dm
i ii
n
ii
n= => = => =
=
=
∑
∑
1
1
255 1
78
3 3
,
,
4.1.3 Variância
A definição de desvio médio leva em consideração os desvios 
dos elementos tomados a 1ª potência. Matematicamente, 
demonstra-se que os efeitos de desvio são mais bem-
representados quando tomados ao quadrado. Essa consideração 
nos leva à definição das duas mais importantes medidas de 
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09variabilidade absolutas: a variância e o desvio padrão que 
veremos em seguida.
A variância é o somatório dos desvios tomados ao quadrado, 
ou seja, é basicamente a mesma definição do desvio médio, 
alterando-se apenas a potência dos desvios:2
S
d
N
ii
n
2
2
1
1
=
−
=∑
No caso em que estivermos trabalhando com dados 
agrupados, a forma, naturalmente, deverá incluir o conceito de 
frequência simples, ou seja:
S
d x f
f
i ii
n
ii
n
2
2
1
1
1
=
−
=
=
∑
∑
Os exemplos de 1 a 3 no próximo item mostram o cálculo da 
variância nos vários casos possíveis.
4.1.4 Desvio padrão
O cálculo ou a análise da variância tem um grande 
inconveniente prático: ela apresenta unidades ao quadrado 
em relação à medida de tendência central. Por exemplo, 
suponha que queremos descrever uma amostra de salários 
de uma empresa. Poderíamos afirmar que o salário médio da 
empresa é de 1.340 reais, e a variância, de 11.025 reais ao 
quadrado.
 
Observe a estranheza que causa a unidade: “reais ao 
quadrado”. Sem falar do número extravagante que resultou 
dos cálculos. Para contornar esse problema, define-se a mais 
utilizada das medidas de variabilidade: o desvio padrão.
2 Observe também uma alteração no denominador da fórmula; ao 
invés de N, é N-1. Essa alteração é importante quando tratarmos dos assuntos 
relativos à estimação estatística (em Estatística para Administradores). A 
rigor, utilizaremos a fórmula acima para amostras e a mesma fórmula com 
denominador igual a N para populações.
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Conceitualmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da 
variância e é simbolizado pela letra S maiúscula. Dessa forma, é 
calculado pelas fórmulas
S
d
N
ii
n
=
−
=∑ 21
1
para dados isolados e
S
d x f
f
i ii
n
ii
n= −
=
=
∑
∑
2
1
1
1
para dados agrupados em classes ou não.
Nos exemplos de 1 a 3 a seguir, são calculados os valores 
do desvio padrão e da variância, de maneira semelhante ao 
que foi feito anteriormente para o desvio médio. Observe 
que o cálculo segue os seguintes passos em ambos os 
casos:
1. Calcular a média da distribuição.
2. Calcular os desvios de cada elemento.
3. Calcular o quadrado dos desvios.
4. Somar o quadrado dos desvios (usando o conceito de 
frequência caso sejam dados agrupados).
5. Dividir a soma obtida pelo número de elementos menos 1, 
obtendo-se a variância.
6. Extrair a raiz quadrada, obtendo-se o desvio padrão.
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Exemplo 1
Calcular a média e o desvio padrão da amostra {18; 21; 22; 
27; 28; 29; 32; 37}.
Ordem dos 
elementos
Valores Desvios Desvios ao quadrado
xi di=xi – X
_
di
2
1 18 18 - 27 = -9 81
2 21 21 - 27 = -6 36
3 22 22 - 27 = -5 25
4 27 27 - 27 = 0 0
5 28 28 - 27 = 1 1
6 29 29 - 27 = 2 4
7 33 33 - 27 = 6 36
8 38 38 - 27 = 11 121
Soma 216 0 304
Média ( X
_
 ) 216/8=27
Variância 304/7 = 43,4 
Desvio padrão 6,6
Cálculo da média:
X
x
N
X Xi= ⇒ = ⇒ =Σ 216
8
27
Cálculo da variância:
S
d
N
S S
ii
n
2
2
1 2 2
1
304
8 1
43 4=
−
=> =
−
=> ==∑ ,
Cálculo do desvio padrão:
S
d
N
S S S
ii
n
2
2
1
1
304
8 1
43 4 6 6=
−
=> =
−
=> = => ==∑ , ,
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Exemplo 2
Calcular a variância e o desvio padrão da amostra de 
distribuição abaixo, relativa ao número de acidentes diários 
numa estrada federal.
Distribuição de acidentes por dia - Estrada X
Número de 
acidentes 
diários
Dias 
pesquisados
Valor x 
Frequência
Desvios Quadrado 
dos 
desvios
Quadrado 
dos desvios 
x 
FrequênciaValor Frequência
xi fi xi.fi di=xi – X
_
di
2 di
2 x fi
0 12 0 -3,6 13,2 157,9
1 15 15 -2,6 6,9 103,5
2 28 56 -1,6 2,6 74,1
4 23 92 0,4 0,1 3,2
5 19 95 1,4 1,9 35,8
6 8 48 2,4 5,6 45,0
8 6 48 4,4 19,1 114,7
10 4 40 6,4 40,6 162,5
11 2 22 7,4 54,4 108,7
12 1 12 8,4 70,1 70,1
Somas 118 428 875,6
Média 3,6 Variância 7,5
Desvio Médio 2,7
Cálculo da variância:
S
d x f
f
S S
i ii
n
ii
n
2
2
1
1
2 2
1
875 6
118 1
7 5=
−
=> =
−
= ==
=
∑
∑
,
,
Cálculo do desvio padrão:
S
d x f
f
S S Si ii
n
ii
n
=
−
=> =
−
=> = => ==
=
∑
∑
2
1
1
1
875 6
118 1
7 5 2 7
,
, ,
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Exemplo 3
Calcular o desvio padrão da amostra de distribuição abaixo, 
relativa ao tempo de mão de obra gasto com a manutenção dos 
aviões de uma empresa aérea.
Distribuição das horas de manutenção - Aero X
Classes Limites de 
classes
Pontos 
médios de 
classe
Manutenções 
pesquisadas
Valor x 
Frequência
Desvios Quadrado 
dos desvios
Quadrado 
dos desvios x 
Frequência
Valor Frequência
li ls pmi fi pmi.fi di=xi – X
_
di
2 di
2 x fi
1 0 |--- 3 1,5 26 39 -4,1 16,6 432,2
2 3 |--- 6 4,5 20 90 -1,1 1,2 23,2
3 6 |--- 9 7,5 16 120 1,9 3,7 59,2
4 9 |--- 12 10,5 10 105 4,9 24,2 242,4
5 12 |--| 15 13,5 6 81 7,9 62,8 376,7
Somas 78 435 1133,5
Média 5,6 Variância 14,7
Desvio Padrão 3,8
Cálculo da variância:
S
d x f
f
S S
i ii
n
ii
n
2
2
1
1
2 2
1
1133 5
78 1
14 7=
−
=> =
−
=> ==
=
∑
∑
,
,
Cálculo do desvio padrão:
S
d x f
f
S S S
i ii
n
ii
n= −
=> =
−
=> = => ==
=
∑
∑
2
1
1
1
1133 5
78 1
14 7 3 8
,
, ,
O desvio padrão é a mais utilizada medida de dispersão, 
e, quando relacionada com a média, informa a quantidade de 
elementos da amostra ou da população que se situam em torno 
da média.
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O mais comum, na estatística, é que essa relação entre 
média e desvio padrão seja feita pela chamada distribuição 
normal, à qual nós voltaremos na disciplina de Estatística para 
Administradores. Nessa relação, válida na maior parte dos casos 
práticos, seguem-se os seguintes intervalos:
1. Entre a média mais uma vez o desvio padrão e a média 
menos uma vez o desvio padrão, estão contidos 68% dos 
elementos da amostra ou da população.
2. Entre a média mais duas vezes o desvio padrão e a média 
menos duas vezes o desvio padrão, estão contidos 85% 
dos elementos da amostra ou da população.
3. Entre a média mais três vezes o desvio padrão e a média 
menos três vezes o desvio padrão, estão contidos 99,74% 
dos elementos da amostra ou da população.
4. Entre a média maisquatro vezes o desvio padrão e a média 
menos quatro vezes o desvio padrão, estão contidos 100% 
dos elementos da amostra ou da população.
Exemplo: um estudo estatístico com 4.850 alunos de 
Administração da Produção de uma universidade mostrou 
que a nota final média deles foi de 5,3 com desvio padrão 
de 1,2. Quantos alunos tiveram médias finais entre 4,1 e 
6,5?
Observe que as notas 4,1 e 6,5 correspondem exatamente à 
média menos um desvio padrão (5,3 – 1,2 = 4,1) e à média mais 
um desvio padrão (5,3 + 1,2 = 6,5). Portanto, 68% dos alunos 
estão contidos nesse intervalo, ou seja: 68% de 4.850 são 3.280 
alunos.
Podemos, portanto, afirmar que 3.280 alunos tiveram notas 
entre 4,1 e 6,5.
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4.2 Medidas de dispersão relativas
A maneira mais comum de se informar de maneira sintética 
(resumida) dados quantitativos é através de uma medida de 
posição (média, mediana ou moda) em conjunto com uma 
medida de dispersão absoluta (desvio médio, variância ou desvio 
padrão). O mais comum é o par de informações: média - desvio 
padrão.
Frequentemente, no entanto, é interessante utilizar as 
chamadas medidas de dispersão relativas, que analisam 
simultaneamente uma medida de posição e a medida de 
dispersão correspondente. São especialmente interessantes 
essas medidas quando fazemos comparações entre amostras 
diferentes.
A rigor, podemos obter essas medidas, costumeiramente 
chamadas de coeficientes de variação, dividindo uma medida 
de dispersão por uma medida de posição; no entanto, as mais 
comuns são:
1. Coeficiente de variação de Pearson: divisão do desvio 
padrão pela média:
Cv
S
X
Cv
S
Xp p
= = × ou 100
2. Coeficiente de variação de Thorndike: divisão do desvio 
padrão pela mediana:
Cv
S
Me
Cv
S
Mep p
= = × ou 100
O exemplo a seguir mostra uma aplicação dos coeficientes 
de variação, num caso de ordem prática.
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Um especialista estudou, estatisticamente, dois tipos de 
investimentos, chegando às conclusões do quadro abaixo. Qual 
é o investimento que apresenta menor risco?3
Estatísticas
Aplicações
Observações
X Y
Retorno 
esperado 12% 20%
O especialista teria chegado a essas 
conclusões através de um estudo estatístico 
no qual pesquisou e resumiu os retornos 
ocorridos no passado, conforme vimos no 
item 3.1
Desvio padrão 9% 10% Analogamente, o especialista teria calculado o devio padrão conforme vimos no item 4.1.4
Observe que se o especialista comparasse as aplicações 
somente com base em seus desvios padrões, ele preferiria 
a aplicação X, uma vez que essa aplicação tem um desvio 
padrão menor que Y (9% versus 10%). Essa comparação 
seria baseada no fato de que, sendo mais homogênea 
a aplicação A, “daria menos sustos”. No entanto, se ele 
calculasse e comparasse os coeficientes de variação, 
chegaria a conclusões diferentes:
Estatísticas
Aplicações
X Y
Retorno esperado 12% 20%
Desvio padrão 9% 10%
Coeficiente de variação 
de Pearson 75% 50%
Cv Cvpa pa= =
9
12
75 x 100=> %
Cv Cvpb pb= =
10
20
50 x 100=> %
3 Adaptado de GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração 
financeira. São Paulo: Harbra, 2003.
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A comparação dos coeficientes de variação das aplicações 
mostra que o especialista estaria cometendo um erro sério 
se escolhesse a aplicação X em vez de a aplicação Y, já que a 
dispersão relativa, ou risco, das aplicações, conforme refletida 
no coeficiente de variação, é menor para o ativo Y do que para 
o X (50% versus 75%). Evidentemente, o uso do coeficiente de 
variação para comparar o risco da aplicação é melhor porque 
este também considera o tamanho relativo, ou retorno esperado, 
das aplicações.
4.3 Relações gráficas entre as medidas 
estatísticas
Nos estudos e análises estatísticos, é interessante e 
importante visualizar as informações contidas nos dados 
através do uso dos diversos gráficos, assunto esse de que 
tratamos no módulo 2.
Quando utilizamos os histogramas, é facilmente 
perceptível que as frequências dos valores mais centrais 
tendem a ser maiores que as dos valores extremos. Esse 
comportamento nos permitirá conclusões importantes no 
capítulo da estatística indutiva, porque, via de regra, ocorre 
de modo repetitivo.
Observações do padrão de comportamento das distribuições 
mostram que grande parte delas tende a se apresentar da 
maneira conhecida como distribuição normal.
A figura 1 mostra o comportamento estatístico de uma 
distribuição de frequências relativa aos pesos de um grupo 
de pessoas qualquer. Observe que os pesos próximos da 
média têm maior frequência, e o longe da média, menor. 
Observe também a curva que se forma pela distribuição das 
colunas.
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Figura 1 - Pesos corporais
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
Peso em quilos
Fr
eq
uê
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ia
 s
im
pl
es
40
35
30
25
20
15
10
5
0
No curso de Estatística para Administradores, iremos 
retornar ao assunto, quando diremos, por exemplo, que é pouco 
provável uma pessoa adulta ter peso acima de 100 kg ou abaixo 
de 35 kg, e utilizaremos essa curva para determinar qual é essa 
probabilidade, se houver.
Por ora, iremos nos preocupar com a variação de formatos 
desse tipo de curva, chamada de curva normal, ou curva de 
Gauss ou, ainda, de curva do sino. Em teoria, espera-se que essa 
curva tenha comportamento mostrado nas curvas desenhadas 
em linha contínua nas figuras 2 e 3.
Mas na prática ocorrem deformações nessas curvas, 
demonstradas nas curvas pontilhadas das mesmas figuras. Essas 
deformações são chamadas, respectivamente, de assimetria 
(figura 2) e curtose (figura 3).
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Figura 2 - Assimetria
Média0
0 Variável
Fr
eq
uê
nc
ia
 si
m
pl
es Assimétrica positiva Assimétrica negativa
Simétrica
0
Figura 3 - Curtose
Curva platicúrtica
Curva mesocúrtica
Curva leptocúrtica
Fr
eq
uê
nc
ia
 si
m
pl
es
Média Variável
4.3.1 Assimetria
A assimetria mede o quanto a distribuição se afasta da 
média. Esse afastamento pode ocorrer para a direita ou para 
a esquerda, gerando, respectivamente, as assimetrias positiva e 
negativa.
O grau de assimetria é dado, frequentemente, pelo chamado 
1º coeficiente de Pearson:4
As X MeS=
−
4 Existem outras medidas de assimetria, além do 1º coeficiente de 
Pearson.
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Onde:
As = Coeficiente de assimetria
X = Média
Me = Mediana
S = Desvio padrão
Caso:
As = 0, a distribuição é simétrica.
As > 0, a distribuição é assimétrica positiva ou à direita.
As < 0, a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda.
Por esse critério, costuma-se classificar as distribuições da 
seguinte maneira:
Caso As �<-1: assimétrica negativa forte.
Caso -1 < As < 0: assimétrica negativa fraca.
Caso As = 0: simétrica.
Caso 0 < As < 1: assimétrica positiva fraca.
Caso As > 1: assimétrica positiva forte.
4.3.2 Curtose
A curtose mede o quanto a distribuição se alonga ou se 
achata em relação à curva teórica. A curva teórica é chamada 
de mesocúrtica; as mais alongadas, de leptocúrtica, e as mais 
achatadas, de platicúrtica
O grau de curtose é dado, frequentemente, pelo coeficiente:5
k
d x f
f
S
i i
i= −
∑
∑
4
4
3
5 Existem outros coeficientes de curtose além do apresentado aqui.
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Onde:
K = Coeficiente de curtose
di = Desvios
fi = Desvio Padrão
Caso:
K = 0, a distribuição é mesocúrtica.
K > 0, a distribuição é leptocúrtica.
K < 0, a distribuição é platicúrtica.
Exemplo:
O exemplo a seguir demonstra o cálculo da assimetria e da 
curtose de uma distribuição referente ao consumo de energia 
elétrica entre 1.245 famílias de determinada região.
Observando os cálculos da próxima página, notamos que a 
distribuição (e a curva dela decorrente) é assimétrica negativa 
fraca, ou seja, ligeiramente deslocada para a esquerda e que 
é platicúrtica, ou seja, achatada. A curva teria a aparência 
aproximada abaixo (a curva pontilhada é a do exercício; a cheia, 
é a padrão):
Figura 4 - Assimetria e curtose
Média Variável
Fr
eq
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pl
es
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-
50
15
8
25
15
8
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95
0
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44
5.
83
7.
18
9
1.
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2.
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23
3.
68
5
64
4.
83
3
6
25
0
|-
--
-
30
0
28
0
27
5
98
9
77
.0
00
58
3.
34
0
93
5.
14
9
11
.1
54
.3
89
3.
12
3.
22
8.
92
9
7
30
0
|-
--
-
35
0
84
32
5
1.
07
3
27
.3
00
10
8
11
.6
19
97
5.
99
1
13
4.
99
9.
65
5
11
.3
39
.9
70
.9
93
8
35
0
|-
--
-
40
0
63
37
5
1.
13
6
23
.6
25
15
8
24
.8
98
1.
56
8.
57
7
61
9.
91
2.
97
6
39
.0
54
.5
17
.4
68
9
40
0
|-
--
-
45
0
56
42
5
1.
19
2
23
.8
00
20
8
43
.1
77
2.
41
7.
92
1
1.
86
4.
26
7.
84
6
10
4.
39
8.
99
9.
37
7
10
45
0
|-
--
|
50
0
53
47
5
1.
24
5
25
.1
75
25
8
66
.4
56
3.
52
2.
18
3
4.
41
6.
43
7.
76
0
23
4.
07
1.
20
1.
26
2
So
m
at
ór
io
s
1.
24
5
27
0.
42
5
18
.5
34
.4
26
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7.
15
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2.
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Unidade II
Re
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o:
 A
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 M
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rr
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: M
ár
ci
o 
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• Cálculo da média:
X
x f
f
X Xi i
i
= => = => =∑∑
270 425
1 245
217 2
.
.
,
• Cálculo do desvio padrão:
S
d x f
f
S S S
i ii
n
ii
n= −
=> =
−
=> = => ==
=
∑
∑
2
1
1
1
18 534 426
1 245 1
14 899 1
. .
.
. 222 1,
• Cálculo da mediana:
- elemento mediano:
E
N
E Eme me me=
+ => = + => =1
2
1 245 1
2
623
.

- mediana:
Me=li +
E -f
f
x h=200+
623-534
175
x 50=>Me=Me
me ac ant
Me










2225,4
• Cálculo da assimetria:
As
X Me
S
As As= − => = − => = −217 2 225 4
122 1
0 067
, ,
,
,
• Cálculo da curtose:
K
d x f
f
S
K K
i i
i= − => = − => = −
∑
∑
4
4 43
657 154 712 129
1245
122 1
3 0 62
. . .
( , )
, 55
5
10
75
ESTATÍSTICA
Re
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 A
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 M
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Co
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ão
: M
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 M
ar
so
n 
- 
Di
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