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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
Aula 7 :Representação da Reta (continuação) 
Aula 8 : PRÁTICA DE RETAS 
Aula 9 : REPRESENTAÇÃO DE PLANOS 
Aula 10: ÂNGULOS ENTRE PLANOS E ENTRE 
PLANOS E RETAS 
Aula 11 : PRÁTICA DE PLANOS 
Aula 12 : CÔNICAS: PARÁBOLA 
Aula 13 : CÔNICAS: ELIPSE E CIRCUNFERÊNCIA 
Aula 14 : CÔNICAS: HIPÉRBOLE 
Aula 15 : PRÁTICA DE CÔNICAS 
Prof. Msc: Robson Ferreira 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
A reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, −2) e é paralela ao vetor v = (−5, 8, 3) 
tem equação paramétrica 
Exercício 1 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
Solução: 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
A reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, −2) e é paralela ao vetor v = (−5, 8, 3) 
tem equação paramétrica 
Exercício 1 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
Solução: 
A reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, −2) e é paralela ao vetor v = (−5, 8, 3) 
tem equação paramétrica 
Exercício 1 
Exercício 2 
Encontre uma equação paramétrica para a reta que passa pelos pontos 
P1 = (1, 3, −2) e P2 = (4, −5, −2). 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
Solução: 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
Exercício 2 
Encontre uma equação paramétrica para a reta que passa pelos pontos 
P1 = (1, 3, −2) e P2 = (4, −5, −2). 
Solução: 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
Exercício 2 
Encontre uma equação paramétrica para a reta que passa pelos pontos 
P1 = (1, 3, −2) e P2 = (4, −5, −2). 
A partir da equação paramétrica da reta 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
podemos resolver em t, se todas as componentes do vetor v são 
não-nulas, obtendo as equações simétricas da reta: 
A partir da equação paramétrica da reta 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
EQUAÇÃO SIMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
podemos resolver em t, se todas as componentes do vetor v são 
não-nulas, obtendo as equações simétricas da reta: 
A partir da equação paramétrica da reta 
A reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, −2) e é paralela ao vetor v = (−5, 8, 3) 
tem equação paramétrica 
Exercício 3 
EQUAÇÃO SIMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
P0 =(1,0,−2) 
v = (−5, 8, 3) 
Solução: 
EQUAÇÃO SIMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
A reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, −2) e é paralela ao vetor v = (−5, 8, 3) 
tem equação paramétrica 
Exercício 3 
P0 =(1,0,−2) 
v = (−5, 8, 3) 
EQUAÇÃO SIMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO 
Solução: 
A reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, −2) e é paralela ao vetor v = (−5, 8, 3) 
tem equação paramétrica 
Exercício 3 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Prof. Msc: Robson Ferreira 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vetor 
perpendicular a ele: um plano no espaço é determinado de forma 
única por um vetor perpendicular a ele e um de seus pontos. 
Portanto, dado um vetor N = (a, b, c) e um ponto P0 = 
(x0, y0, z0), existe um único plano π perpendicular ao vetor v 
passando pelo ponto P0. 
No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vetor perpendicular a ele: 
um plano no espaço é determinado de forma única por um vetor perpendicular 
a ele e um de seus pontos. Portanto, dado um vetor N = (a, b, c) e um ponto 
P0 = (x0, y0, z0), existe um único plano π perpendicular ao vetor v passando 
pelo ponto P0. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vetor perpendicular a ele: um 
plano no espaço é determinado de forma única por um vetor perpendicular a ele e 
um de seus pontos. Portanto, dado um vetor N = (a, b, c) e um ponto P0 = (x0, y0, z0), 
existe um único plano π perpendicular ao vetor v passando pelo ponto P0. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vetor perpendicular a ele: um 
plano no espaço é determinado de forma única por um vetor perpendicular a ele e 
um de seus pontos. Portanto, dado um vetor N = (a, b, c) e um ponto P0 = (x0, y0, z0), 
existe um único plano π perpendicular ao vetor v passando pelo ponto P0. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vetor perpendicular a ele: um 
plano no espaço é determinado de forma única por um vetor perpendicular a ele e 
um de seus pontos. Portanto, dado um vetor N = (a, b, c) e um ponto P0 = (x0, y0, z0), 
existe um único plano π perpendicular ao vetor v passando pelo ponto P0. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vetor perpendicular a ele: um 
plano no espaço é determinado de forma única por um vetor perpendicular a ele e 
um de seus pontos. Portanto, dado um vetor N = (a, b, c) e um ponto P0 = (x0, y0, z0), 
existe um único plano π perpendicular ao vetor v passando pelo ponto P0. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 4 
Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) 
que passa pelo ponto (5, −2, 7). 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 4 
Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) 
que passa pelo ponto (5, −2, 7). 
Uma equação geral deste plano terá a forma −x + 4y + 3z + d = 0. 
O coeficiente d será determinado pelo fato de que o ponto (5, −2, 7) 
pertence a este plano: −5 + 4(−2) + 3 · 7 + d = 0 =⇒ d = −8. Portanto, uma 
equação geral para este plano será −x + 4y + 3z − 8 = 0. 
Solução: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 4 
Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) 
que passa pelo ponto (5, −2, 7). 
Uma equação geral deste plano terá a forma −x + 4y + 3z + d = 0. 
O coeficiente d será determinado pelo fato de que o ponto (5, −2, 7) 
pertence a este plano: −5 + 4(−2) + 3 · 7 + d = 0 =⇒ d = −8. Portanto, uma 
equação geral para este plano será −x + 4y + 3z − 8 = 0. 
Solução: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 4 
Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) 
que passa pelo ponto (5, −2, 7). 
Uma equação geral deste plano terá a forma −x + 4y + 3z + d = 0. 
O coeficiente d será determinado pelo fato de que o ponto (5, −2, 7) 
pertence a este plano: −5 + 4(−2) + 3 · 7 + d = 0 =⇒ d = −8. Portanto, uma 
equação geral para este plano será −x + 4y + 3z − 8 = 0. 
Solução: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 5 
Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2), 
P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2) 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Solução: 
𝑷𝟏 𝑷𝟐 
𝑷𝟑 
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
Sejam os vetores coplanares: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 5 
Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2), 
P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2) 
Solução: 
𝑷𝟏 𝑷𝟐 
𝑷𝟑 
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
Sejam os vetores coplanares: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 5 
Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2), 
P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2) 
Solução: 
𝑷𝟏 𝑷𝟐 
𝑷𝟑 
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
Sejam os vetores coplanares: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 5 
Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2), 
P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2) 
Solução: 
𝑷𝟏 𝑷𝟐 
𝑷𝟑 
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
Sejam os vetores coplanares: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 5 
Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2),P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2) 
Solução: 
𝑷𝟏 𝑷𝟐 
𝑷𝟑 
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
Sejam os vetores coplanares: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 5 
Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2), 
P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2) 
Solução: 
𝑷𝟏 𝑷𝟐 
𝑷𝟑 
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
Sejam os vetores coplanares: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 5 
Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2), 
P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2) 
Solução: 
𝑷𝟏 𝑷𝟐 
𝑷𝟑 
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
Sejam os vetores coplanares: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 5 
Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2), 
P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2) 
Solução: 
𝑷𝟏 𝑷𝟐 
𝑷𝟑 
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
Sejam os vetores coplanares: 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Exercício 5 
Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2), 
P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2) 
CÔNICAS 
Prof. Msc: Robson Ferreira 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam L uma reta no plano e F um ponto no plano não pertencente a L. A parábola 
P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano 
que são equidistantes do ponto F e da reta L. 
SECÇÕES CÔNICAS : 
PARÁBOLA 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam L uma reta no plano e F um ponto no plano não pertencente a L. A parábola 
P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano 
que são equidistantes do ponto F e da reta L. 
SECÇÕES CÔNICAS : 
PARÁBOLA 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam L uma reta no plano e F um ponto no plano não pertencente a L. A parábola 
P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano 
que são equidistantes do ponto F e da reta L. 
SECÇÕES CÔNICAS : 
PARÁBOLA 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam L uma reta no plano e F um ponto no plano não pertencente a L. A parábola 
P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano 
que são equidistantes do ponto F e da reta L. 
SECÇÕES CÔNICAS : 
PARÁBOLA 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam L uma reta no plano e F um ponto no plano não pertencente a L. A parábola 
P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano 
que são equidistantes do ponto F e da reta L. 
SECÇÕES CÔNICAS : 
PARÁBOLA 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam L uma reta no plano e F um ponto no plano não pertencente a L. A parábola 
P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano 
que são equidistantes do ponto F e da reta L. 
SECÇÕES CÔNICAS : 
PARÁBOLA 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Uma elipse, E, de focos F1 e F2, é o conjunto do plano que consiste 
de todos os pontos P cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a uma 
constante 2a > 0, maior do que a distância entre os focos 2c 0. Ou 
seja: 
Definição 
SECÇÕES CÔNICAS : 
ELIPSE 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Uma elipse, E, de focos F1 e F2, é o conjunto do plano que consiste 
de todos os pontos P cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a uma 
constante 2a > 0, maior do que a distância entre os focos 2c 0. Ou 
seja: 
Definição 
SECÇÕES CÔNICAS : 
ELIPSE 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Uma elipse, E, de focos F1 e F2, é o conjunto do plano que consiste 
de todos os pontos P cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a uma 
constante 2a > 0, maior do que a distância entre os focos 2c 0. Ou 
seja: 
Definição 
SECÇÕES CÔNICAS : 
ELIPSE 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Uma hipérbole, H, de focos F1 e F1, é o conjunto do plano que consiste 
de todos os pontos P tais que o módulo da diferença das distâncias a F1 
e F2 é igual a uma constante 2a > 0, menor do que a distância entre os 
focos 2c ≥ 0. 
SECÇÕES CÔNICAS : 
HIPÉRBOLE 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Uma hipérbole, H, de focos F1 e F1, é o conjunto do plano que consiste 
de todos os pontos P tais que o módulo da diferença das distâncias a F1 
e F2 é igual a uma constante 2a > 0, menor do que a distância entre os 
focos 2c ≥ 0. 
SECÇÕES CÔNICAS : 
HIPÉRBOLE 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Encontre a equação reduzida das curvas: 
Exercício 6 
a) Elipse com focos F1(– 3, 0) e F2(3,0) e semieixo maior a = 4. 
b) Hipérbole com focos F1(0,– 5) e F2(0,5) e um vértice no ponto P(0,– 3) 
c) Parábola de foco F(0,3) e reta diretriz de equação x – 2 = 0. 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Encontre a equação reduzida das curvas: 
Exercício 6 
a) Elipse com focos F1(– 3, 0) e F2(3,0) e semieixo maior a = 4. 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Encontre a equação reduzida das curvas: 
Exercício 6 
a) Elipse com focos F1(– 3, 0) e F2(3,0) e semieixo maior a = 
4. 
Solução. A distância focal será 2c = 3 – (– 3) = 6. Logo, c = 3. A elipse está centrada na origem. O 
semieixo menor será: 
791634bcba 22222 
. A equação será: 
1
7
y
16
x 22

. 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Encontre a equação reduzida das curvas: 
Exercício 6 
B) Hipérbole com focos F1(0,– 5) e F2(0,5) e um vértice no ponto P(0,– 3) 
Solução. 
O eixo real está sobre o eixo Y. O centro é a origem. Temos: 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Encontre a equação reduzida das curvas: 
Exercício 6 
c) Parábola de foco F(0,3) e reta diretriz de equação x – 2 = 0. 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Encontre a equação reduzida das curvas: 
Exercício 6 
c) Parábola de foco F(0,3) e reta diretriz de equação x – 2 = 0. 
Solução. 
Como a reta diretriz é vertical e está à direita do foco, a parábola está 
virada para a esquerda. O vértice não está na origem. A equação é da 
forma (y - y0)
2 = –2p(x – x0), onde (x0,y0) são as coordenadas do vértice.