Cálculo de Probabilidades

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Introduc¸a˜o Axiomas Propriedades Intersec¸a˜o Unia˜o Complemento Equiprobabilidade
Ca´culo de Probabilidades
Uma probabilidade e´ uma quantidade utilizada para se medir a
incerteza associada a certos eventos ou caratcter´ısticas de interesse.
Tais eventos, em geral, esta˜o associados a experimentos aleato´rios.
Definic¸a˜o: Um experimento aleato´rio e´ um ensaio cujos
resultados na˜o podem ser precisados.
Ex.1: Arremessar uma dado e anotar o nu´mero na face voltada para cima;
Ex.2: Arremessar uma moeda e verificar a face voltada para cima;
Ex.3: Selecionar aleatoriamente um transistor e verificar seu tempo de vida;
Ex.4: Contar o nu´mero de part´ıculas emitidas por uma fonte radiotiva.
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Ca´culo de Probabilidades
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncia
(a) Observadas: Calculada com base nos valores observados.
(b) Modelo Teo´rico: Proposto pelo pesquisador para representar a
distribuic¸a˜o de frequeˆncia populacional.
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Ca´culo de Probabilidades
Exemplo: Estudar as probabilidades de ocorreˆncia das faces de um
dado.
(a) Procedimento Emp´ırico: Lanc¸ar o dado n vezes e contar o nu´mero
ni de vezes que a face i ocorre, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Seja, fi =
ni
n
a
distribuic¸a˜o emp´ırica das probabilidades. Para diferentes realizac¸o˜es
desse experimento, as distribuic¸o˜es de frequeˆncia correspondentes
sera˜o diferentes. No entanto, espera-se que sejam, apesar de
distintas, semelhantes.
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(b) Procedimento Teo´rico: Construir a distribuic¸a˜o de frequeˆncia
(probabilidades) atrave´s de suposic¸o˜es teo´ricas, tais como:
(b.1) So´ podem ocorrer 6 faces (1,2,3,4,5,6);
(b.2) O dado e´ perfeitamente equilibrado.
Enta˜o, cada face deve ocorrer o mesmo nu´mero de vezes, ou seja,
fi =
1
6
· Com isso, a distribuic¸a˜o de frequeˆncia proposta e´:
Face 1 2 3 4 5 6 Total
Freq. Teo´rica 16
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6 1
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Introduc¸a˜o Axiomas Propriedades Intersec¸a˜o Unia˜o Complemento Equiprobabilidade
Ca´culo de Probabilidades
Em geral, todo fenoˆmeno aleato´rio tera´ seu modelo probabil´ıstico
especificado no momento em que estabelecemos o espac¸o amostral Ω e
probabilidade P(ω) para cada “ponto amostral”ω.
Definic¸a˜o: O espac¸o amostral Ω e´ o conjunto de todos os
resultados poss´ıveis de um experimento aleato´rio.
Classificac¸a˜o:
1. Espac¸o Amostral Discreto: quando for poss´ıvel contar ou
enumerar os elementos de Ω. Ex.: Ω = {ω1, ω2, ...}·
2. Espac¸o Amostral Cont´ınuo: quando Ω for um intervalo real. Ex.:
Ω = I = [a, b] ⊂ R.
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Definic¸o˜es
Definic¸a˜o: Um evento E e´ um subconjunto do espac¸o amostral Ω·
Definic¸a˜o: A intersec¸a˜o entre A e B, denotada A ∩ B, e´ o evento
que ocorre se os eventos A e B ocorrem simultaˆneamente.
Definic¸a˜o: A unia˜o entre A e B, denotada A ∪ B, e´ o evento que
ocorre se o evento A ocorre ou se o evento B ocorre.
Definic¸a˜o: Dizemos que A e B sa˜o eventos complementares se
A ∩ B = ∅ e A ∪ B = Ω. Neste caso, escrevemos B = Ac e A = Bc .
Definic¸a˜o: Dizemos que os eventos A e B sa˜o mutuamente
exclusivos ou disjuntos, se A ∩ B = ∅.
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Exemplo: Considere o experimento aleato´rio que consiste em lanc¸ar
uma moeda honesta duas vezes. Sejam k = {cara} e c = {coroa}.
Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}
ω1 = (k, k); ω2 = (k, c); ω3 = (c, k); ω4 = (c, c)·
Esse e´ um espac¸o amostral discreto.
Temos que, P(ωi ) = 14 , ∀ i = 1, 2, 3, 4·
Seja o evento A = {ω1, ω4} = {obter duas faces iguais} · Enta˜o,
P(A) = P({ω1, ω4}) = P(ω1) + P(ω4) = 14 + 14 = 24 = 12 ·
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No u´ltimo exemplo, pode-se observar que, atrave´s das probabilidades
pontuais, e´ poss´ıvel calcular a probabilidade de ocorreˆncia de eventos que
incluem a ocorreˆncia de va´rios pontos amostrais.
Retomando o exemplo do arremesso do dado:
Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}·
em que ωi = {face i}, ∀ i = 1, 2, 3, 4, 5, 6·
Esse e´ um espac¸o amostral discreto.
P(ωi ) = 16 ·
Seja, A = {a face e´ um nu´mero par} = {ω2, ω4, ω6} = {2, 4, 6}
P(A) = P({2}, {4}, {6}) = P(2) + P(4) + P(6) = 3
6
= 1
2
·
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Ca´culo de Probabilidades
Exemplo: Uma laˆmpada e´ selecionada aleatoriamente de um lote e e´
medido seu tempo de vida antes de queimar.
Ω = {t : t ≥ 0}, ou seja, o espac¸o amostral sa˜o todos os nu´meros
reais na˜o-negativos.
Seja A = {t : 0 ≤ t ≤ 20}, ou seja, o evento A ocorre se, e somente
se, o tempo de vida da laˆmpada e´ menor ou igual a 20 horas.
Observamos que A e´ um evento, logo um subconjunto de Ω.
Esse e´ um espac¸o amostral cont´ınuo.
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Axiomas de Kolmogorov
Definic¸a˜o (Axiomas de Probabilidade): Dizemos que P e´ uma
medida de probabilidade sobre Ω, se:
(i) 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀ E ⊂ Ω;
(ii) P(Ω) = 1;
(iii) P
(∞⋃
i=1
Ei
)
=
∞∑
i=1
P (Ei ) onde Ei ∩ Ej = ∅, ∀i 6= j , 1 ≤ i , j ≤ +∞·
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Propriedades
Proposic¸a˜o: Sejam E ,F ⊂ Ω. Se P e´ uma medida de probabilidade
sobre Ω, enta˜o:
(1) P (E c) = 1− P (E) ·
(2) Se E ⊂ F , enta˜o P(E) ≤ P(F )·
(3) P (∅) = 0·
(4) P (E ∪ F ) = P (E) + P (F )− P (E ∩ F ) ·
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Propriedades: Modelo Teo´rico
Exemplo: Representando uma poss´ıvel divisa˜o de alunos
matriculados num dado instituto de matema´tica, num certo ano:
Masculino (Ma) Feminino (Fe) Total
Mat. Pura (M) 70 40 110
Mat. Aplicada (A) 15 15 30
Estat´ıstica (E) 10 20 30
Computac¸a˜o (C) 20 10 30
Total 115 85 200
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Propriedades: Modelo Teo´rico
Escolhendo um aluno ao acaso (e considerando que cada aluno tem
a mesma probabilidade de ser selecionado), definem-se os seguintes
eventos:
M = {estudante da Matema´tica Pura}
A = {estudante da Matema´tica Aplicada}
E = {estudante da Estat´ıstica}
C = {estudante da Computac¸a˜o}
Ma = {sexo Masculino}
Fe = {sexo Feminino}
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Propriedades: Modelo Teo´rico
Assim,
P(M) = 110
200
= 0.550
P(A) = 30
200
= 0.150
P(E) = 30
200
= 0.150
P(C) = 30
200
= 0.150
P(Ma) = 115
200
= 0.575
P(Fe) = 85
200
= 0.425
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Intersec¸a˜o de Eventos
Utilizando o u´ltimo exemplo, vamos definir como evento I , escolher
ao acaso um aluno e ele ser estudante de estat´ıstica do sexo
masculino, simultaˆneamente.
I = E ∩Ma, o evento I e´ uma intersec¸a˜o dos eventos E e Ma.
P(E ∩Ma) = 10200 = 0.05
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Unia˜o de Eventos
Definimos agora como eventoU, escolher ao acaso um aluno e ele
ser estudante de estat´ıstica ou sexo masculino.
U = E ∪Ma, o evento U e´ uma unia˜o dos eventos E e Ma.
P(E ∪Ma) = P(E ) + P(Ma)− P(E ∩Ma)
P(E ) = 10+20200 = 0.150
P(Ma) = 70+15+10+20200 = 0.575
P(E ∩MA) = 10200 = 0.050
Enta˜o: P(E ∪Ma) = 0.150 + 0.575− 0.050 = 0.675
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Unia˜o de Eventos
Note que:
P(M ∩ C ) = P(∅) = 0
Assim:
P(M∪C ) = P(M)+P(C )−P(M∩C ) = P(M)+P(C ) = 140200 = 0.700
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Evento Complementar
Vamos considerar agora apenas o curso em que o aluno esta´ matriculado.
Enta˜o, os eventos M e {A ∪ E ∪ C} sa˜o chamados eventos
complementares:
{M ∩ {A ∪ E ∪ C}} = ∅
{M ∪ {A ∪ E ∪ C}} = Ω
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Equiprobabilidade
Definic¸a˜o: Seja Ω = {ω1, ..., ωN}, satisfazendo
P (ω1) = P (ω2) = · · ·P (ωN) ·
Nestas condic¸o˜es, dizemos que Ω e´ um espac¸o amostral equiprova´vel.
Propriedades: Se Ω e´ um espac¸o amostral equiprova´vel, enta˜o:
(1) P(ωi ) = 1N , ∀ i = 1, 2, ...,N;
(2) Seja A = {ωA1, ..., ωAm} ⊂ Ω, com m ≤ N. Enta˜o, P(A) = mN ·
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Equiprobabilidade
Exemplo: Uma moeda honesta e´ lanc¸ada uma vez.
Ω = {k, c}
P(k) = P(c) = 1
2
·
A = {k}
Enta˜o, P(A) = 1
2
·
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Equiprobabilidade
Exemplo: Uma moeda honesta e´ lanc¸ada duas vezes.
Ω = {(k, k), (k, c), (c, k), (c, c)}
P(k, k) = P(k, c) = P(c, k) = P(c, c) = 1
4
·
A = {(k, k), (c, c)}·
Enta˜o, P(A) = 2
4
= 1
2
·
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