Estudo Calculo III

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Calculo III 
(1) Dúvida: (8-t3)/(4-t2)=3 , t = 2como pode o resultado disso dar 3 
Resposta: Em t=2, (8-t³)/(4-t²) não existe, porém quando t tende a 2 (limite), teremos 0 / 0, o 
que nos permite aplicar LHôpital, logo lim t->2 (8-t³)/(4-t²) = lim t->2 (-3t²) / (-2t) = lim t->2 3t / 
2 = 3 
 
Assunto: equação diferencial 
(2) Dúvida: Indique a solução correta da equação diferencial: dy/dx = sqrt(7(x^3)). 
Resposta: Segue solução: dy/dx = sqrt(7(x^3)) dy = sqrt(7) . x^(3/2) dx Integrando y = sqrt(7) . 
[x^(5/2)] / (5/2) y = [2 sqrt(7) / 5] . [x^(5/2)] 
 
(3) Dúvida: Como se resolve esta questão? Já tentei de 3 formas e não consigo. Sempre fica 
variável x com dy e vice versa. 
Resposta: Divide toda a expressão por xy, ficando: dx/y + dy/x = xdy - ydx dx(1/y + y) = dy(x - 
1/x) dx[y² + 1] / y = dy[x² - 1]/x xdx/(x²-1) = ydy/(y²+1) multiplicando toda a expressão por 2 
2xdx/(x²-1) = 2ydy/(y²+1) integrando ln(x²-1) = ln(y²+1) + c x² - 1 = cy² + c x² - 1 - c = cy² y² = (x² - 
1 - c) / c y = sqrt[(x² - 1 - c) / c] 
 
Assunto: ORDEM E GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL. 
(4) Dúvida: Como determinar a ordem e o grau de uma equação diferencial ordinária? 
Resposta: A ordem de uma equação diferencial corresponde à ordem da mais alta derivada da 
equação. O grau de uma equação diferencial é o maior expoente da derivada de mais alta 
ordem da função incógnita que aparece na equação. 
 
(5) Dúvida: Dada uma função de modo que f(5,6)=7 e seu grau é igual a 1, podemos 
afirmar que f(20,24) é: 
Resposta: Se f(x,y) é homogênea de grau 1, temos f(tx, ty) = t . f(x,y), fazendo x = 5; y = 6 e t = 
4, temos f(20, 24) = 4 . f(5,6) = 4 . 7 = 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assunto: Problemas de P.V.I. 
 
(6) Dúvida: Como encontrar a solução do problema de valor inicial? (x + 1)dy = ydx com 
y(0) = 2 
 
Resposta: Vamos resolver a equação para encontrarmos a solução geral. (x + 1)dy = 
ydx separamos as variáveis e encontramos (dy/y) = (dx/(x+1)) integramos os dois 
lados. Encontramos: ln|y| = ln|x + 1| + C aplicando a exponencial dos dois lados 
temos: |y| = |x + 1|.C => y = (x + 1).k solução geral da edo. O problema de valor inicial 
pede uma solução particular considerando y(0) = 2, ou seja x = 0 e y = 2. Essa 
informação será substituída na solução geral para encontrarmos o valor da constante 
C. y = (x + 1).k => 2 = (0 + 1).k => 2 = k => k = 2. solução particular: y = (x + 1)2 => y = 2x 
+ 2 
 
Assunto: Equação Homogênea 
 
(7) Dúvida: Uma equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é dita homogênea quando M(x,y) e N(x,y) 
são funções homogêneas. A mudança de variável de y para t dada por y=tx transforma 
uma equação homogênea numa equação de variáveis separáveis. Resolva a equação 
homogênea (x+y)dx+(y-x)dy=0 
 
Resposta: dy / dx = (x + y) / ( x ¿ y) Fazendo-se a substituição sugerida no enunciado, 
temos xdt/dx + t = (x + tx) / (x ¿ tx) xdt/dx + t = (1 + t) / (1 ¿ t) dx / x = [(t -1) / (1 + t²)]dt 
integrando dos dois lados ln x = arc tg t ¿ ½ ln(1+t²) ln x = arc tg (y/x) ¿ ½ ln(1+(y/x)²) 
 
(8) Dúvida: Gostaria de saber como é feito esse exercício: passo a passo por favor. Seja y = 
C1e^-2t + C2e^-3t a solução geral da EDO y" + 5y´ + 6y = 0. Marque a alternativa que 
indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y(0)=3. 
 
Resposta: Gostaria de saber como é feito esse exercício: passo a passo por favor. Seja y 
= C1e^-2t + C2e^-3t a solução geral da EDO y" + 5y´ + 6y = 0. Marque a alternativa que 
indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y(0)=3. 
Solução Antes de mais nada observe as condições iniciais que são: y(0) = 2 e y (0)=3 (é 
uma condição na derivada da função), então: y(0) = C1 + C2 (substitua por t = 0, na 
expressão). Assim:C1 + C2 = 2...equação(1) Agora derivamos o y dado e substituímos t 
= 0>>> y (0) = -2C1 - 3C2 ou -2C1 - 3C2 = 3.....(equação 2) As equações (1) e (2) formam 
um sistema que resolvido nos dará: C1 = 9 e C2 = - 7 
 
Assunto: Equação diferencial Exata. 
 
(9) Dúvida: Como identificar uma equação exata? 
 
Resposta: A condição necessária e suficiente para que a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 
0 seja diferencial exata é que, sendo M e P funções continuas e deriváveis, se tenha 
My = Nx, ou seja, a derivada parcial da função M em relação a variável y deve ser igual 
a derivada parcial da função N em relação a variável x. 
 
 
Assunto: Raízes complexas 
 
(10) Dúvida: Marque a alternativa que indica a solução geral da equação y +2y+8y=0. 
 
Resposta: a² + 2a + 8 = 0 a = -1 +- raiz(7) Adotando p = -1 - raiz(7) e q = -1 + raiz(7), 
temos Solução y = c1e^p + c2e^q Uma solução y = e^sx (C1 cos (tx) + C2 sen (tx)), 
ocorre quando a equação característica possui as raízes complexas z = s +- ti 
 
Assunto: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM / FATOR DE 
INTEGRAÇÃO 
 
(11) Dúvida: Dada a ED xdy/dx=x^2+3y; x>0, indique qual é o único fator de integração 
correto: 
 
Resposta: (-x²-3y)dx + xdy = 0 Considerando o fator de integração x^n, teremos uma 
EDO exata, onde M(x,y) = (x^n)(-x²-3y), logo dM / dy = -3x^n N(x,y) = x^(n+1), logo dN / 
dx = (n+1)x^n Como na EDO exata dM / dy = dN / dx, temos -3x^n = (n+1)x^n -> n+1 = -
3 -> n = -4, logo o fator de integração é x^-4 
 
 
Assunto: EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES 
 
(12) Dúvida: Como resolver uma equação linear não homogênea com coeficientes 
constantes do tipo ady²/dx² + bdy/dx + cy = f(x)? 
 
Resposta: A solução seguirá os seguintes passos: Passo 1. Encontrar a solução 
homogênea yh(x). (ady²/dx² + bdy/dx + cy = 0) Passo 2. Encontrar a solução particular 
yp(x). Passo 3. Encontrar a solução geral da EDO y(x). Nesse caso basta somar as duas 
funções encontradas nos passos 1 e 2 O passo 1 é resolvido por meio da equação 
característica ak² + bk + c = 0 O passo 2 é resolvido através do método dos coeficientes 
a determinar, também conhecido como Método de Descartes, que considera três 
casos: Caso 1: f(x) é uma função exponencial ekx Caso 2: f(x) é uma função polinomial 
de grau m Caso 3: f(x) é uma função trigonométrica da forma senkx ou coskx 
 
Assunto: Série de Fourier 
 
(13) Dúvida: Qual a definição da série de Fourier? 
 
Resposta: Transformar qualquer função periódica f(x) em soma infinita de funções 
seno e cosseno