MF_-_Desconto_Simples_1

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Profa. Fabrícia de Farias 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
Quando se faz uma aplicação com vencimento predeterminado, 
obtém-se um comprovante de aplicação que pode ser, por 
exemplo, uma nota promissória ou letra de câmbio. 
 
Caso o aplicador precise de dinheiro antes de vencer o prazo de 
aplicação, deve voltar à instituição captadora, transferir a posse 
do título e levantar o principal e os juros ganhos. 
 
Se uma empresa, que faça venda a prazo, precise levantar 
fundos a mesma pode, junto ao banco, transferir a posse de 
suas duplicatas recebendo dinheiro em troca. 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito 
em virtude de seu resgate antes do vencimento, recebendo o 
portador do título nesta operação um valor menor do que aquele 
que receberia se aguardasse a data de vencimento. 
É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor 
comercial, e objetiva levantar fundos. 
A diferença entre o valor nominal (N) e o valor líquido 
(descontado) (V) pago ao portador do título é o que se 
denomina Desconto (D) 
 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
Algumas definições importantes: 
Títulos de crédito – são instrumentos legais previstos no direito 
comercial (contratos), usados para formalizar dívidas que serão 
pagas no futuro, em prazo previamente estipulado. 
Representam ativos financeiros que permitem que seus 
possuidores possam negociá-los. 
Os títulos de créditos que podem ser descontados são: notas 
promissórias, duplicatas, e letras de câmbio. 
Notas promissórias: são documentos comuns entre pessoas 
físicas, podendo também serem emitidas por pessoas jurídicas 
ou em favor de instituições. 
Deverson
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Deverson
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Deverson
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Deverson
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
Duplicatas: são emitidas por firmas contra seus clientes 
(pessoas físicas ou jurídicas) para quem venderam mercadorias 
ou prestaram serviços a prazo. 
Letras de Câmbio: são emitidas por empresas, com aceite de 
uma sociedade de crédito, financiamento e investimento. São 
colocadas no mercado para captar recursos pra serem 
aplicados no próprio mercado em forma de financiamentos, 
pelos quais são cobrados taxas de juros maiores do que 
aquelas pagas aos portadores das letras de câmbio. 
Os títulos apresentados sempre têm um valor declarado que é o 
valor nominal (ou valor de face) que representa o valor que deve 
ser pago na data de vencimento, que também vem declarada. 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
Pela sistemática de capitalização simples, os valores do 
desconto são obtidos por meio de cálculos lineares. 
Nessa sistemática, o desconto é tradicionalmente classificado 
em duas modalidades: desconto racional simples (também 
chamado de desconto “por dentro”) e desconto bancário ou 
comercial simples (também denominado desconto “por fora”) 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
1. Desconto Racional ou ‘Por Dentro’ 
O desconto racional, também chamado de desconto real, de desconto 
verdadeiro ou de desconto por dentro, é o desconto que se obtém pelo 
cálculo do juros simples sobre o valor atual, do título que é quitado "n" 
períodos antes de seu vencimento. 
 Dr = Vr i n 
 
Onde: 
Dr = Desconto racional ou valor do desconto racional (juros do título de crédito) 
Vr = Valor atual racional ou valor descontado racional ou valor líquido 
n = Prazo (= Dia do vencimento - Dia do resgate) 
i = Taxa de desconto racional 
P
0
Vr
Dr
Juros
N
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal 
Dr = N – Vr 
Onde: N = Valor Nominal ou valor de face, ou valor de emissão 
Valor Descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto 
Vr = N – Dr 
Como: Dr = Vr i n 
Então: Vr = N – Vr i n e N = Vr + Vr i n 
 N = Vr [1 + (i) (n)] 
Como: Vr = N / [1 + (i) (n)] 
Então: Dr = N – Vr => Dr = N – _ N _ => Dr = _ N i n _ 
 1 + (i) (n) 1 + (i) (n) 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
Exemplos: 
1. Sabendo-se que o valor de face de um título é de $ 4.500,00 vencível em 5 
meses, descontado à taxa de 48% a.a., qual o valor do desconto racional 
simples e o valor descontado racional simples? 
 N = $ 4.500,00 n = 5 meses i = 48% a.a = 4% a.m. Dr = ? Vr = ? 
Solução: Dr = _ N i n _ - > Dr = ($ 4.500,00) (0,04/mês) (5 meses) 
 1 + (i) (n) 1 + (0,04/mês) (5 meses) 
 Dr = $ 900,00 = $ 900,00 - > Dr = $ 750,00 
 1 + 0,20 1,20 
 
 Vr = N – Dr - > Vr = $ 4.500,00 – $ 750,00 
 Vr = $ 3.750,00 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
2. Uma empresa emitiu um título de crédito com vencimento em 18 de 
novembro. Noventa e três dias antes do vencimento descontou-o a uma taxa 
de desconto simples “por dentro” de 2% a.m. Se o valor líquido recebido foi $ 
6.300,00 na operação de desconto, qual foi o valor de emissão e o valor do 
desconto “por dentro”? 
Vencimento: 18/11 n = 93 dias Ano comercial = 360 dias 
 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. (desconto simples por dentro) 
 Valor recebido = Valor descontado = Vr = $ 6.300,00 
 N = ? Dr = ? 
Solução: N = Vr [1 + (i) (n)] 
 N = $ 6.300,00 [1 + (0,02/mês) ( 93 dias) (1 mês/30 dias)] 
 N = $ 6.300,00 [1 + (0,020) (93/30)] = $ 6.300,00 (1 + 0,0620) 
 N = $ 6.300,00 (1,0620) = $ 6.690,60 
 Dr = Vr i n 
 Dr = (6.300,00) (0,02) (93/30) - > Dr = $ 390,60 
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Profa. Fabrícia de Farias 
1. Se o valor de face de uma nota promissória é de $ 300.000,00 
descontada 4 meses e 10 dias antes de seu vencimento, a uma 
taxa trimestral de 63%, qual foi o desconto simples racional? 
R: Dr = $ 142.931,94 
 
2. Um investidor resgatou uma letra de câmbio 4 meses antes do 
vencimento a uma taxa de juros simples de 9% a.t, o valor 
recebido nesta operação foi de $ 6.000,00. Pergunta-se: a) O 
valor do desconto, b) o valor nominal da letra. 
R: a) Dr = $ 720,00 / b) N = $ 6.720,00 
 
Desconto simples – Exercícios 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
2. Desconto Comercial ou ‘Por Fora’ 
É o desconto que se obtém pelo cálculo do juros simples sobre o valor 
nominal do título que seja quitado "n" períodos antes do seu 
vencimento. 
Em regime de capitalização simples, se não estiver explícito se é desconto comercial 
ou racional, será sempre comercial, pois é este que acontece na prática. 
Dc = N i n Vc = N – Dc Vc = N [1 – (i) (n)] 
 
Onde: 
Dc = Desconto comercial, ou valor do desconto comercial, ou juros do título de crédito 
Vc = Valor atual comercial, ou valor descontado comercial, ou valor líquído recebido. 
N = Valor Nominal ou valor de face, ou valor de emissão 
n = Prazo antes do vencimento que foi descontado o título de crédito 
i = Taxa de desconto simples comercial 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
Exemplos: 
3. Uma letra de câmbio de $ 7.000,00, foi descontada quarenta e oito dias 
antes do vencimento a uma taxa de desconto simples comercial de 6% a.t. 
Determinar o juros do título de créditoe o valor descontado comercial simples. 
N = $ 7.000,00 n = 48 dias i = 6% a.t.(taxa de desconto simples comercial) 
 Dc = ? (juros) Vc = ? 
Solução: Dc = N i n 
 Dc = ($ 7.000,00) (0,06/trim) (48 dias) (1 trim/90 dias) 
 Dc = $ 224,00 
 Vc = N – Dc 
 Vc = $ 7.000,00 – $ 224,00 - > Vc = $ 6.776,00 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Desconto simples 
4. Quantos dias antes do vencimento foi descontada uma letra de câmbio de 
valor nominal de $ 11.500,00 que foi descontada a uma taxa de desconto 
simples “por fora” de 26,09% a.s, recebendo, após o desconto o valor líquido 
de $ 10.000,00. 
Vc = $ 10.000,00 i = 26,09% a.s. (desconto simples comercial) 
Solução : Dc = N – Vc Dc = N i n 
 $ 11.500,00 – $ 10.000,00 = $ 11.500,00 (0,2609/sem) (n) 
 $ 1.500,00 = $ 11.500,00 (0,2609/sem) (n) 
 $ 1.500,00 sem / $ 3.000,35 = (n) - > n = 0,4999 sem ≈ 0,50 sem 
 n = (0,50 sem) (180 dias / 1 sem) 
 n = 90 dias 
 
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3. Sabendo-se que o valor nominal de uma letra de câmbio é $ 
9.000,00 foi descontada "por fora" 200 dias antes do vencimento 
Se o valor descontado foi $ 1.010,00, qual foi a taxa anual de 
desconto simples? 
R: i = 159,80% a.a. 
 
4. Duas duplicatas, com valores nominais de $ 50.000,00 e $ 
75.000,00 e vencíveis em 9 e 5 meses, respectivamente, 
sofreram desconto simples “por fora”, gerando um total de $ 
80.000,00, correspondente à soma de seus valores atuais. Qual 
a taxa anual de desconto referente a esta operação? 
R: i = 0,0545/mês = 65,45% a.a. 
 
Desconto simples – Exercícios 
Profa. Fabrícia de Farias 
5. Sabendo-se que o valor nominal de uma nota promissória é $ 
137.800,00 vencível em 13 meses, descontado à taxa de desconto 
simples "por dentro" é de 24% a.s., qual é o valor do desconto e o valor 
descontado? 
R: Dr = $ 47.142,11 / Vr = $ 90.657,89. 
 
6. Quantos dias antes do vencimento foi descontada uma letra de 
câmbio de valor de emissão igual $ 8.070,00; o desconto $ 2.500,00 e 
a taxa de desconto simples “por dentro” 6% a.m. 
R: n = 224 dias. 
 
Desconto simples – Mais Exercícios ... 
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7. Uma empresa emitiu uma nota promissória de valor de face $ 
11.470,00 que foi descontada a uma taxa de desconto simples 
comercial de 3,75% a.m., 144 dias antes do seu vencimento. Calcule o 
valor descontado e o valor do desconto. 
R: Vc = $ 9.405,40 / Dc = $ 2.064,60. 
 
8. Se um título de crédito de valor de nominal de $ 25.238,53, com 
vencimento para 2,5 semestres, foi substituído por outro de valor de 
face de $ 28.900,00 a uma taxa de juros racional simples de 4,5% 
a.m., qual o prazo de vencimento do novo título de crédito? 
R: n2 = 20,40 meses . 
 
Desconto simples – Mais Exercícios ... 
Profa. Fabrícia de Farias 
Dúvidas?