FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA AULA 1

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25/02/2018
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Fundamentos de 
Álgebra
Ana Lucia de Sousa
Aula 1
OPERAÇÕES BINÁRIAS E GRUPO
Definição
Seja A um conjunto não vazio. 
Uma operação binária interna, fechada em
A é definida como uma aplicação f ou em A. 
2
  yxzyx
AAA


,
:
Exemplo 1
Adição no conjunto dos números naturais. 
3
 
    7252,52,5
:
,
:




NNN
baba
NNN
Exemplo 2
4
Seja a operação binária ∆ definida por: 
  yxyxyx
ZZZ
3,
:
2 

a) Vamos mostrar que a operação ∆ é uma
operação interna em Z. 
5
b)Vamos calcular (-2)∆(5∆3) usando a 
operação ∆
Z
yxyx



44484)16(3)2(16)2(
16925)3(3535
3
2
2
2
PROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃO 
BINÁRIA
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• Comutativa
• Associativa 
• Pode admitir elemento neutro
• Pode admitir elemento simetrizável
• Pode ser distributiva em relação a uma 
outra operação.
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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
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Definição
Considere um conjunto E não vazio.
Dizemos que um conjunto E tem uma estrutura
algébrica quando definimos em E uma opera-
ção interna *.
Notação: (E,*) 
Classificação das Estruturas 
Algébricas
8
Grupóides
Semigrupos 
Monóides
Grupos
Classificação das Estruturas 
Algébricas
9
Grupóides → possui apenas a propriedade 
do fechamento. 
Semigrupos → a operação binária * admite 
a propriedade associativa.
Monóides → a operação binária * admite a 
propriedade associativa e a existência do 
elemento neutro.
grupo → propriedade associativa, elemento 
neutro e elemento simétrico 
ESTRUTURA DE GRUPO
10
11
Exemplo 
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GRUPOS COMUTATIVOS OU 
ABELIANOS
15
Consideremos um grupo G munido da 
operação *. 
Se a operação * satisfaz a propriedade 
comutativa, então podemos dizer que G é um 
grupo comutativo ou abeliano. 
xyyxtemosGyxG  ,,:4
Exemplo
Verificamos que Z dotado da operação * é
um grupo. Lembrando que a operação * é
definida por 
16
3 yxyx
G4: Propriedade Comutativa
xyyxtemosGyxG  ,,:4
3 yxyx
3 xyxy
A propriedade comutativa foi verificada.
Conclusão: (Z,*) é um grupo comutativo ou abeliano.
PROPRIEDADES DE UM GRUPO
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Considerando (G,*) um grupo, temos que:
•O elemento neutro é único.
•O inverso de cada elemento é único.
•(a')' = a, para todo a em G.
•(a*b)' = b' * a' 
•Quaisquer que sejam a e b em G existe um 
único elemento x de G tal que a*x = b.
•Todo elemento de G é regular para a operação 
*.
DEFINIÇÃO DE ELEMENTOS 
REGULARES
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Um elemento a de G é regular para a operação * 
se:  
  Gyxyxayax
yxyaxa


,,2
1
a)3 é regular para a multiplicação e Z, pois 3x = 3y 
então x = y para todo x e y em Z.
b) 0 não é regular para a multiplicação em Z, pois 
0.2 ≠ 0.3 e 2 ≠ 3.
O conjunto dos elementos regulares de G para a 
operação * é indicado por  GR
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Fundamentos de 
Álgebra
Prof(a): Ana Lucia de Sousa
Atividade
EXERCÍCIO 1
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Verifique se Z com a operação * definida por 
é um grupo.yxyx  2
EXERCÍCIO 2
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Seja a operação binária ∆ definida por: 
  yxyxyx
ZZZ
2,
:
2 

Determine o valor de x tal que x∆(-4) = 33.