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25/02/2018 1 Fundamentos de Álgebra Ana Lucia de Sousa Aula 1 OPERAÇÕES BINÁRIAS E GRUPO Definição Seja A um conjunto não vazio. Uma operação binária interna, fechada em A é definida como uma aplicação f ou em A. 2 yxzyx AAA , : Exemplo 1 Adição no conjunto dos números naturais. 3 7252,52,5 : , : NNN baba NNN Exemplo 2 4 Seja a operação binária ∆ definida por: yxyxyx ZZZ 3, : 2 a) Vamos mostrar que a operação ∆ é uma operação interna em Z. 5 b)Vamos calcular (-2)∆(5∆3) usando a operação ∆ Z yxyx 44484)16(3)2(16)2( 16925)3(3535 3 2 2 2 PROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃO BINÁRIA 6 • Comutativa • Associativa • Pode admitir elemento neutro • Pode admitir elemento simetrizável • Pode ser distributiva em relação a uma outra operação. 25/02/2018 2 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 7 Definição Considere um conjunto E não vazio. Dizemos que um conjunto E tem uma estrutura algébrica quando definimos em E uma opera- ção interna *. Notação: (E,*) Classificação das Estruturas Algébricas 8 Grupóides Semigrupos Monóides Grupos Classificação das Estruturas Algébricas 9 Grupóides → possui apenas a propriedade do fechamento. Semigrupos → a operação binária * admite a propriedade associativa. Monóides → a operação binária * admite a propriedade associativa e a existência do elemento neutro. grupo → propriedade associativa, elemento neutro e elemento simétrico ESTRUTURA DE GRUPO 10 11 Exemplo 12 25/02/2018 3 13 14 GRUPOS COMUTATIVOS OU ABELIANOS 15 Consideremos um grupo G munido da operação *. Se a operação * satisfaz a propriedade comutativa, então podemos dizer que G é um grupo comutativo ou abeliano. xyyxtemosGyxG ,,:4 Exemplo Verificamos que Z dotado da operação * é um grupo. Lembrando que a operação * é definida por 16 3 yxyx G4: Propriedade Comutativa xyyxtemosGyxG ,,:4 3 yxyx 3 xyxy A propriedade comutativa foi verificada. Conclusão: (Z,*) é um grupo comutativo ou abeliano. PROPRIEDADES DE UM GRUPO 17 Considerando (G,*) um grupo, temos que: •O elemento neutro é único. •O inverso de cada elemento é único. •(a')' = a, para todo a em G. •(a*b)' = b' * a' •Quaisquer que sejam a e b em G existe um único elemento x de G tal que a*x = b. •Todo elemento de G é regular para a operação *. DEFINIÇÃO DE ELEMENTOS REGULARES 18 Um elemento a de G é regular para a operação * se: Gyxyxayax yxyaxa ,,2 1 a)3 é regular para a multiplicação e Z, pois 3x = 3y então x = y para todo x e y em Z. b) 0 não é regular para a multiplicação em Z, pois 0.2 ≠ 0.3 e 2 ≠ 3. O conjunto dos elementos regulares de G para a operação * é indicado por GR 25/02/2018 4 Fundamentos de Álgebra Prof(a): Ana Lucia de Sousa Atividade EXERCÍCIO 1 20 Verifique se Z com a operação * definida por é um grupo.yxyx 2 EXERCÍCIO 2 21 Seja a operação binária ∆ definida por: yxyxyx ZZZ 2, : 2 Determine o valor de x tal que x∆(-4) = 33.
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