Estimacao e Intervalo de Confianca

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Estimação e Intervalo de Confiança
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Estimação
Frequentemente necessitamos, por meio das amostras, conhecer informações gerais da população.
A estimação é o processo que consiste no uso de dados da amostra (dados amostrais) para estimar valores de parâmetros populacionais desconhecidos, tais como média, desvio padrão, proporções etc.
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Estimação
População 
Amostra
Média
Desvio Padrão
Amostra
Média
Desvio Padrão
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Estimativas Pontuais e Intervalares
Chamamos de estimador a quantidade calculada em função dos elementos da amostra, que será usada no processo de estimação do parâmetro desejado. 
O estimador é, como vemos, uma estatística. Será, portanto, uma variável aleatória caracterizada por uma distribuição de probabilidade e seus respectivos parâmetros próprios.
Chamaremos de estimativa a cada valor particular assumido por um estimador.
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Estimativa Pontual
É quando fazemos uma única estimativa (um valor) para um determinado parâmetro populacional. Vejamos os exemplos:
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Estimativa Intervalar
É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional.
Neste tipo de estimativa temos um intervalo de valores em torno do parâmetro amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população. A esse intervalo chamamos intervalo de confiança
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Estimativa de Médias de uma População
Para efetuar a Estimativa de Médias de uma População utiliza-se desvio padrão da distribuição que constitui a amostra (distribuição amostral), deve-se levar em consideração se o desvio padrão da população é ou não conhecido.
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Para desvio padrão populacional conhecido temos:
Estimativa Intervalar da média
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Salientamos que a estimativa intervalar da média populacional baseia-se na hipótese de que a distribuição das médias amostrais é normal, daí usarmos a nova variável z. Para grandes amostras (quando n é maior que 30) esta premissa é garantida pelo Teorema do Limite Central;
Para amostras de 30 ou menos elementos, é importante saber que a população submetida à amostragem distribuição-t (Student)
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Teorema do Limite
As médias das amostras apresentam uma distribuição normal, desde que sejam independentes
Média das médias converge para a média da população µ
Desvio padrão é 
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Usando a tabela z
z < 0,21
Z < -1,2
P(Z≤ 1,23) = 0,890651
P(Z< 1,02) = 0,153864
P(Z> 1,45) = 0,073529
P (-1,03 < Z < 1,02) = 0,846136 - 0,151505
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A tabela (µ = 0, σ =1)
µ = 15, σ =7
P(X<13) 	Z = (X - µ) / σ
				Z = (13 – 15)/7 = 0,29 
0,385908
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Cálculo do Intervalo de Confiança
Considerando que uma amostra de cem elementos extraída de uma população aproximadamente normal, cujo desvio padrão é igual a 2, forneceu média de 35,6 ( ), construir intervalos de confiança de 90%, 95% e 99% para a média dessa população.
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Exemplo
0,5
0,5
90 -> 0,45
95 -> 0,475
99 -> 0,495
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Erro admitido num intervalo 
(erro de estimação)
É a diferença entre a média da amostra e a verdadeira média da população.
Como o intervalo de confiança tem centro na média da amostra, o erro máximo provável que está sendo admitido é igual à metade da amplitude do intervalo.
O erro de estimação pode ser descrito pela relação: 
Percebemos que quando aumentamos este erro potencial aumenta. Podemos concluir também que maiores amostras (aumenta n) possuem um potencial de erro menor.
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Distribuição t de Student
Para pequenas amostras a distribuição normal apresenta valores menos precisos, o que nos leva a utilizar um modelo melhor.
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Distribuição t de Student
Existe um valor de t para cada tamanho de amostra, sendo que à medida que a amostra (n) cresce, a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal.
Para calcular o valor de t a ser usado é necessário ter:
Um nível de confiança desejado: 
Qual o número de graus de liberdade a ser utilizado:
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Exemplo
Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos, que a sua média 150 e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança em nível de 90%.
Como a amostra é menor que 30 elementos, então iremos usar a distribuição t de Student. Se desejamos um intervalo de confiança de 90%, temos:
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Valor de t
Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de graus de liberdade, que é: (n-1), logo (25-1)=24.
Tabela (24,095)=1,711
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Valor de t
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Determinação do Tamanho da Amostra
O tamanho da amostra depende de 3 fatores, conforme abaixo:
O grau de confiança desejado (z);
Quantidade de dispersão entre os valores individuais da população ( );
Erro tolerável ou admitido (e).
Formula
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Exemplo
Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de confiança e erro de 0,5?