SERVO 3.15

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FACULDADE ESTÁCIO 
Campus San Martin 
Departamento Engenharia Elétrica| Disciplina Servomecanismo 1 
 Professor Robson Dias Ramalho | Aula Expositiva 3/15 
ERROS EM REGIME PERMANENTE 
PARTE 1 
Bibliografia 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
Engenharia de Sistemas de Controle. 
Autor: Norman S. Nise. 
Editora: Gen. 
Edição: 6°. 
Capítulo para esta aula: Capítulo 7, seção 7.1, 7.2, 7.3 e 7.4. 
Introdução 
 Um aspecto muito importante em um sistema de controle é o valor final do erro 
de saída, ou seja, a diferença entre a saída obtida e o “set-point” ou saída 
desejada. Vamos realizar esta avaliação para três tipos distintos de referências, a 
saber, entrada do tipo degrau (ou posição), entrada do tipo rampa (ou 
velocidade) e entrada do tipo parábola (ou aceleração). É claro que a referência 
pode ser de qualquer outro tipo, mas conhecendo o comportamento do erro 
para estas três entradas podemos caracterizar e comparar sistemas distintos. A 
avaliação de erro estático só tem sentido quando o sistema em malha fechada é 
estável. 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
Introdução 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
u(t)  Degrau 
 
 
u(t)  Degrau 
 
 
Entrada = Saída 
 
 
 
Erro = Entrada - Saída 
 
 
 
G(s) 
R(s) C(s) 
Entradas de teste 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
r(t) 
 t 
r(t) 
 t 
r(t) 
 t 
Forma de onda Nome 
Interpretação 
física 
Função no domínio 
do tempo 
Transformada de 
Laplace 
Degrau 
Rampa 
Parábola 
Posição 
constante 
Velocidade 
constante 
Aceleração 
constante 
1 
t 
1
2
𝑡2 
1
𝑠3
 
1
𝑠2
 
1
𝑠
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Representação geral. 
 
 
T(s) 
C(s) E(s) R(s)            sTsRsCsCsRsE .       sTsRsRsE .      sTsRsE  1     


st
ssEtee limlim        sTssRssEe
ss


1limlim
Teorema do valor final: Válido para um 
sistema estável, ou seja, E(s) não tem 
polos no semiplano direito e nem no 
eixo jw. 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Reforçando a aprendizagem: Erro com representação geral. 
Calcule o erro em regime permanente para o sistema da figura abaixo em que a 
entrada seja um degrau unitário. 
 
 
 
 107
57
2
2



sss
ss
sT
T(s) C(s) E(s) R(s) 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. 
 
 G(s) 
C(s) 
 
 R(s) E(s)            sGsEsCsCsRsE .       sGsEsRsE .       sRsGsEsE  .      sRsGsE 1
   
 sG
sR
sE


1
Teorema do valor final 
   
 sG
ssR
e
s 

 1
lim
0
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. Classificação de G(s). 
 
 G(s) 
C(s) 
 
 R(s) E(s) 
Tipo “0”  Um sistema do “Tipo 0”, não apresenta polos na origem. 
 
Tipo “1”  Um sistema do “Tipo 1”, apresenta apenas um polo na origem. 
 
Tipo “2”  Um sistema do “Tipo 2”, apresenta dois polos na origem. 
   32
6


ss
s
  32
6


sss
s
  32
8,13,6
2 

sss
ss
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada degrau. 
 
 G(s) 
C(s) 
 
 R(s) E(s) 
ssR
sG
sR
se s /1)(
)(1
)(
lim)( 0 

 
))....(2)(1(
))....(2)(1(
)(
))(1(
1
lim
))(1(
1
lim)(
)(1
/1
lim)(
00
0
pnspspss
znszszs
sG
sGsGs
se
sG
s
se
n
ss
s











Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada degrau. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
1(
1
lim 0
pnspspss
znszszs
n
s




)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(lim1lim
1lim
00
0
pnspspss
znszszs
nss
s


 

)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(lim1
1
0
pnspspss
znszszs
ns 

 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada degrau. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(lim1
1
0
pnspspss
znszszs
ns 

 
 Para G(s) sendo do tipo 0, n será 0, logo sn=1. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
7
6
)
6
1
(1
1
)
12
2
(lim1
1
)
)4)(3(
)2)(1(
(lim1
1
)
)4)(3(
)2)(1(
(lim1
1
0
00













s
ss
ss
ss
Erro no estado estacionário 
Para entrada degrau e G(s) 
do tipo 0. 
 
 
 
 
 
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada degrau. 
 
 
Para uma entrada degrau e uma função de 
transferência do TIPO 0, o erro no estado 
estacionário é uma constante. 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada degrau. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(lim1
1
0
pnspspss
znszszs
ns 

 
 Para G(s) sendo do tipo 1, n será 1, logo sn=s. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
0
1
1
)
)4)(3.(0
)2)(1(
(lim1
1
)
)4)(3(
)2)(1(
(lim1
1
00








  ss
sss
ss
Erro no estado estacionário 
Para entrada degrau e G(s) 
do tipo 1. 
 
 
 
 
 
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada degrau. 
 
 
Para uma entrada degrau e uma função de 
transferência do TIPO 1, o erro no estado 
estacionário é zero. 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada degrau. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(lim1
1
0
pnspspss
znszszs
ns 

 
 Para G(s) sendo do tipo 2, n será 2, logo sn=s2. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
0
1
1
)
)4)(3.(0
)2)(1(
(lim1
1
)
)4)(3(
)2)(1(
(lim1
1
020








  ss
sss
ss
Erro no estado estacionário 
Para entrada degrau e G(s) 
do tipo 2. 
 
 
 
 
 
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada degrau. 
 
 
Para uma entrada degrau e uma função de 
transferência do TIPO 2, o erro no estado 
estacionário é zero. 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada rampa. 
 
 G(s) 
C(s) 
 
 R(s) E(s) 
2/1)(0
)(1
)(
)( ssRs
sG
sR
se 


)(1
/1
lim)(
2
0
sG
s
se s

 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada rampa. 
 
 
 
))....(2)(1(
))....(2)(1(
)(
.lim
1
))(1(
1
lim)(
))(1(
1
lim)(
0
0
20
pnspspss
znszszs
sG
sGssGs
e
sGs
se
n
s
s
s











)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
1(
1
lim 0
pnspspss
znszszs
s
n
s




Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada rampa. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(limlim
1lim
00
0
pnspspss
znszszs
ss
nss
s


 

 Para G(s) sendo do tipo 0, n será 0, logo sn=1. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Erro para entrada 
rampa e G(s) do tipo 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 





 
00
1
)
)4)(3(
)2)(1(
0(lim0
1
0s
)
)4)(3(
)2)(1(
(limlim
1lim
000
0


 

sss
ss
ss ss
s
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada rampa. 
 
 
Para uma entrada rampa e uma função de 
transferência do TIPO 0, o erro no estado 
estacionário é infinito. 
(GRANDE DIFERENÇA ENTRE A ENTRADA E A 
SAÍDA) 
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada rampa. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(limlim
1lim
00
0
pnspspss
znszszs
ss
nss
s


 

 Para G(s) sendo do tipo 1, n será 1, logo sn=s. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Erro para entrada 
rampa e G(s) do tipo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
12/2
1
)
)4)(3(
)2)(1(
(lim0
1
0



 s
)
)4)(3(
)2)(1(
(limlim
1lim
00
0


 

sss
ss
ss ss
s
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada rampa. 
 
 
Para uma entrada rampa e uma função de 
transferência do TIPO 1, o erro no estado 
estacionário é constante.. 
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada rampa. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(limlim
1lim
00
0
pnspspss
znszszs
ss
nss
s


 

 Para G(s) sendo do tipo 2, n será 2, logo sn=s2. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Erro para entrada 
rampa e G(s) do tipo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
1
)
)4)(3.(0
)2)(1(
(lim0
1
0





 s
)
)4)(3(
)2)(1(
(limlim
1lim
200
0


 

sss
ss
ss ss
s
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada rampa. 
 
 
Para uma entrada rampa e uma função de 
transferência do TIPO 2, o erro no estado 
estacionário é zero.. 
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada parábola. 
 
 G(s) 
C(s) 
 
 R(s) E(s) 
3/1)(0
)(1
)(
)( ssRs
sG
sR
se 


)(1
/1
lim)(
3
0
sG
s
se s

 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada parábola. 
 
 
)(1
/1
lim)(
3
0
sG
s
se s

 
 
))....(2)(1(
))....(2)(1(
)(
.lim
1
))(1(
1
lim)(
))(1(
1
lim)(
2
0
20
30
pnspspss
znszszs
sG
sGssGs
e
sGs
se
n
s
s
s











Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada parábola. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(limlim
1lim
2
0
2
0
0
pnspspss
znszszs
ss
nss
s


 

 Para G(s) sendo do tipo 0, n será 0, logo sn=1. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Erro para entrada 
parábola e G(s) do tipo 
0. 
 
 
 
 
 
 
 
 



 
0
1
)
)4)(3(
)2)(1(
.0(lim0
1
0s
)
)4)(3(
)2)(1(
(limlim
1lim
2
0
2
0
0


 

ss
ss
ss ss
s
Erro para sistemas com realimentaçãounitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada parábola. 
 
 
Para uma entrada parábola e uma função de 
transferência do TIPO 0, o erro no estado 
estacionário é infinito.. 
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada parábola. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(limlim
1lim
2
0
2
0
0
pnspspss
znszszs
ss
nss
s


 

 Para G(s) sendo do tipo 1, n será 1, logo sn=s. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Erro para entrada 
parábola e G(s) do tipo 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 



 
0
1
)
)4)(3(
)2)(1(
.0(lim0
1
0s
)
)4)(3(
)2)(1(
(limlim
1lim
2
0
2
0
0


 

sss
ss
ss ss
s
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada parábola. 
 
 
Para uma entrada parábola e uma função de 
transferência do TIPO 1, o erro no estado 
estacionário é infinito.. 
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada parábola. 
 
 
)
))....(2)(1(
))....(2)(1(
(limlim
1lim
2
0
2
0
0
pnspspss
znszszs
ss
nss
s


 

 Para G(s) sendo do tipo 2, n será 2, logo sn=s2. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Erro para entrada 
parábola e G(s) do tipo 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
2
12
)
)4)(3(
)2)(1(
(lim0
1
0



 s
)
)4)(3(
)2)(1(
(limlim
1lim
2
2
0
2
0
0


 

sss
ss
ss ss
s
Erro para sistemas com realimentação unitária 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 Realimentação unitária. R(s) é uma entrada parábola. 
 
 
Para uma entrada parábola e uma função de 
transferência do TIPO 2, o erro no estado 
estacionário é constante.. 
 
Erro para sistemas com realimentação unitária 
 Reforçando a aprendizagem: Determine os erros em regime permanentes para 
as entradas 5u(t), 5tu(t) e 5t2u(t) para o sistema mostrado na figura abaixo. A 
função u(t) é o degrau unitário. 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 
  43
2120


ss
s
R(s) C(s) 
Constante de erro estático 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
r(t) 
 t 
r(t) 
 t 
r(t) 
 t 
Forma de onda Nome Erro 
Constante de erro 
estático 
Degrau 
Rampa 
Parábola 
 sGss .lim
1
2
0
 sGss .lim
1
0
 sGs 0lim1
1
  sGK sp 0lim   sGsK sv .lim 0  sGsK sa .lim 20
Constante de erro estático 
 Reforçando a aprendizagem: Para o sistema abaixo calcule as constantes de erro 
estático e obtenha o erro esperado para as entradas padronizadas em degrau, 
em rampa e em parábola. 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
  
   12108
52500


sss
ss
R(s) C(s) 
Constante de erro estático 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
Entrada Erro 
Degrau 
Rampa 
Parábola 
pK1
1
vK
1
aK
1
Constante 
de erro 
estático CteK p 
0vK
0aK
Erro 
pK1
1


Constante 
de erro 
estático pK
CteKv 
0aK
Erro 0

Constante 
de erro 
estático pK
vK
CteKa 
Erro 0
0
vK
1
aK
1
Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 
Constante de erro estático 
 Reforçando a aprendizagem: Um sistema com realimentação unitária possui a 
seguinte função de transferência: 
 
 
 
 
 
Determine o tipo do sistema, Kp, Kv e Ka. 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 
  97
81000


ss
s
R(s) C(s) 
Constante de erro estático 
 Reforçando a aprendizagem: Dado o sistema de controle da figura abaixo, 
determine o valor de K de modo que haja um erro de 10%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
 
   876
5


ssss
sK
R(s) C(s) 
Reforçando a aprendizagem 
 Reforce sua aprendizagem: Determine os erros em regime permanentes para as 
entradas 5u(t), 5tu(t) e 5t2u(t) para o sistema mostrado na figura abaixo. A 
função u(t) é o degrau unitário. 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
Respostas: 
  
  43
62100


sss
ss
R(s) C(s)   0deg raue   20/1rampae   parábolae
Reforçando a aprendizagem 
 Reforce sua aprendizagem: Determine os erros em regime permanentes para as 
entradas 15u(t), 15tu(t) e 15t2u(t) para o sistema mostrado na figura abaixo. A 
função u(t) é o degrau unitário. 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
Respostas: 
  
  3525
302010


sss
ss
R(s) C(s)   0deg raue   1875,2rampae   parábolae
Reforçando a aprendizagem 
 Reforce sua aprendizagem: Determine os erros em regime permanentes para as 
entradas 15u(t), 15tu(t) e 15t2u(t) para o sistema mostrado na figura abaixo. A 
função u(t) é o degrau unitário. 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
Respostas: O sistema em malha fechada é instável. Os cálculos não podem 
ser realizados. 
  
   503525
302010
2 

ssss
ss
R(s) C(s) 
Reforçando a aprendizagem 
 Reforce sua aprendizagem: Para o sistema abaixo calcule as constantes de erro 
estático e obtenha o erro esperado para as entradas padronizadas em degrau, 
em rampa e em parábola. 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
Respostas: 
 
 
  


parábola
rampa
rau
e
e
e
032,0
0deg
   
   12108
652500


ssss
sss
R(s) C(s) 0
25,31



a
v
p
K
K
KReforçando a aprendizagem 
 Reforce sua aprendizagem: Que informações estão contidas na especificação Kp 
= 1000? 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
Resposta: O sistema é estavel. O sistema é do tipo 0, uma vez que um 
sistema do tipo 0 possui um Kp finito. O sinal de teste é um degrau, uma vez 
que Kp, foi especificado. Finalmente, o erro por unidade do degrau é: 
 
1001
1
deg raue
Reforçando a aprendizagem 
 Reforce sua aprendizagem: Um sistema com realimentação unitária possui a 
seguinte função de transferência: 
 
 
 
 
 
Determine o valor de K de modo que haja um erro de 10%. 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Elétrica Servomecanismo 1 
Resposta: K=189 
 
  1814
12


ss
sK
R(s) C(s) 
FACULDADE ESTÁCIO 
Campus San Martin 
Departamento Engenharia Elétrica| Disciplina Servomecanismo 1 
 Professor Robson Dias Ramalho | Aula Expositiva 3/15 
ERROS EM REGIME PERMANENTE 
PARTE 1