exerc aula 7

Prévia do material em texto

Lista Aula 7 - GACV - 2018/1
Prof. Joa˜o He´lder
1. (Editado duas vezes) Sabe-se que ||−→AC|| = √65, ||−−→AB|| = 3 e que o aˆngulo ÂBC mede 45 graus. Qual a
a´rea do triaˆngulo ABC?
2. A = (9, 7), B = (11, 8), C = (17, 4) e D = (15, 3). Calcule a a´rea do quadrila´tero ABCD.
3. A distaˆncia d(r, s) entre duas retas r e s no plano e´ o menor de todos os valores d(Pr, Ps) onde Pr ∈ r
e Ps ∈ s. Conclua que se r e s na˜o sa˜o paralelas, enta˜o d(r, s) = 0. Ale´m disso, se r : ax + by = c e
s : a′x + b′y = c′ com ab′ − a′b 6= 0 enta˜o d(r, s) = 0. Duas retas paralelas admitem equac¸o˜es cartesianas
com os mesmos coeficientes a, b.
4. Com a definic¸a˜o acima o estudante E se propoˆs a calcular a distaˆncia entre as retas de equac¸o˜es cartesianas
r : y = 1 e s : y = 2 e, ao fazer um desenho, concluiu (corretamente), que d(r, s) = 1. Similarmente, E
procedeu e calculou a distaˆncia entre as retas r′ : x = −3 e s′ : x = 2 obtendo que d(r′, s′) = 5. Ele enta˜o
entendeu que se r : ax+ by = c e s : ax+ by = c′ enta˜o d(r, s) = |c− c′|. Deˆ um exemplo que mostre que
ele esta´ equivocado.
5. Ajude o estudante E a deduzir uma fo´rmula va´lida.
6. Determinar equac¸o˜es das retas r e r′ que distam 3 unidades de s : 2x + y − 1 = 0.
7. Determine equac¸o˜es cartesianas das retas perpendiculares a` reta r : x + y = −8 que distem √2 do ponto
(3, 4).
8. Considere a curva C : x2 + y2 + 2x − 4y = 0. Achar equac¸o˜es parame´tricas das retas ` e m que sa˜o,
simultaneamente, tangentes a C e perpendiculares a r : −2x + y = 10.
9. Considere os pontos A = (4, 1), B = (11, 0) e C = (9,−14). Pede-se:
a) Quanto mede o aˆngulo ÂBC?
b) Determinar uma equac¸a˜o da reta r que conte´m a bissetriz do aˆngulo ÂBC;
10. Considere os pontos A = (0, 0), B = (−1, 3) e C = (5, 5). Pede-se:
a) Quanto mede o aˆngulo ÂBC?
b) Determinar uma equac¸a˜o da reta r que conte´m a bissetriz do aˆngulo ÂBC;
c) Se D = r ∩ {eixoOX}, calcular a a´rea do triaˆngulo BCD.
Respostas/dicas:
1. 212 u.a.
2. 14 u.a.
3. Para a u´ltima parte: os vetores normais sa˜o paralelos (olhe a aula sobre posic¸o˜es relativas de retas).
4. Invente.
5. usar a fo´rmula da distaˆncia ponto-reta pode ajudar...
6. 2x + y = 1± 3√5.
7. −x + y = −1 e −x + y = 3.
8. x + 2y = 2 e x + 2y = 8.
9. a) 90 graus;
b) 3x− 4y = 33;
10. a) 90 graus;
b) (editado) x + 2y = 5;
c) 15 unidades de a´rea.