exerc aula 2 1

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Lista Aula 2 - GACV - 2018/1
Prof. Joa˜o He´lder
1. Num plano coordenado Π, determinar os pontos do quarto quadrante cujas coordenadas sejam soluc¸o˜es
do sistema
{
x2y2 = 1
x2 + y2 = 3.
2. Use coordenadas e congrueˆncias de triaˆngulos para deduzir o seguinte fato: se P e Q sa˜o pontos de
coordenadas (xP , yP ) e (xQ, yQ) respectivamente, enta˜o as coordenadas (xM , yM ) do ponto me´dio M
entre P e Q podem ser calculadas atrave´s de xM =
xP+xQ
2 e yM =
yP+yQ
2 .
3. Num plano coordenado Π, o c´ırculo CP,2 conte´m o ponto (0, 0) e possui centro sobre o eixo (OX). Desenhe
a situac¸a˜o. Quais sa˜o as possibilidades para o centro P? E as poss´ıveis equac¸o˜es?
4. Mostre que a te´cnica de completamento de quadrados pode ser usada para deduzir a famosa fo´rmula de
Bhaskara, que da´ uma fo´rmula para as ra´ızes de uma equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0, onde a, b e c sa˜o nu´meros
reais e a 6= 0.
5. Use completamento de quadrados para descrever geometricamente o conjunto dos pontos cujas coordena-
das (x, y) sa˜o soluc¸a˜o da equac¸a˜o abaixo, em cada item:
a) x2 + y2 + 14x + 4y + 45 = 0;
b) 4x2 + y2 + 8x− 4y + 16 = 0;
c) x2 + y2 + 10x− 2y + 26 = 0.
6. Determine condic¸o˜es sobre o raio r para que o c´ırculo C(2,1),r na˜o intersecte o c´ırculo de equac¸a˜o
x2 + y2 − 10x− 6y + 30 = 0.
7. Determine condic¸o˜es sobre o raio r para que o c´ırculo C(4,0),r na˜o intersecte o c´ırculo de equac¸a˜o
x2 + y2 − 6x + 2y − 10 = 0.
Respostas:
1.
(√
3+
√
5
2 ,−
√
2
3+
√
5
)
e
(√
3−√5
2 ,−
√
2
3−√5
)
2. conceitual
3. (2, 0) e (−2, 0). Logo (x− 2)2 + y2 = 4 e (x + 2)2 + y2 = 4, respectivamente.
4. a) C(−7,−2),2√2;
b) ∅;
c) ponto (−5, 1).
5. r ∈ (0,−2 +√13) ∪ (2 +√13,+∞).
6. r ∈ (0,−√2 +√20) ∪ (√2 +√20,+∞).