Exercícios de decaimento

Prévia do material em texto

Série I - Problema 7 
 
Alexandra Machado, 65081 Andreia Agostinho, 66284 
 
Decaimento α de um núcleo de 
 
 
 
Física Quântica da Matéria 
Instituto Superior Técnico 
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica 
2º Semestre 2010/2011 
26 de Abril de 2011 
 
Resumo 
O problema 7, da Série I de Problemas, aborda o decaimento α de um núcleo de Urânio, permitindo aplicar 
conhecimentos sobre o efeito de túnel. Neste exercício é então possível conhecer um caso prático onde é 
aplicado o efeito de túnel, pois a partícula α vai atravessar a barreira de potencial de Coulomb do núcleo de 
Urânio em questão. Considera-se então de extrema importância a resolução deste exercício quer para 
relembrar conceitos abordados no curso de Mecânica Quântica, no semestre anterior, bem como a sua 
aplicação no decaimento α. 
 O problema está dividido em duas alíneas e é dada a velocidade média da partícula α no núcleo de 
Urânio, 
 . Na primeira alínea é pedido o número de anos necessários para que a partícula α escape do 
núcleo, sabendo que são necessárias colisões com a barreira centrífuga. A segunda alínea pede a 
velocidade de recuo do núcleo quando a partícula α é emitida. 
 
1. Introdução. 
O problema está dividido em duas partes, em que 
o objectivo da primeira alínea é calcular o número 
de anos necessários para que uma partícula α 
escape de um núcleo de 
 sabendo que esta 
precisa de chocar vezes contra a barreira 
centrífuga. Na segunda alínea o objectivo é 
determinar a velocidade de recuo do núcleo 
quando a partícula α é emitida. 
O interesse do problema advém importância do 
efeito de túnel – anteriormente estudado no 
curso de Mecânica Quântica - na física nuclear, 
neste caso, em particular, no Decaimento Alfa. O 
decaimento α é um dos tipos de decaimento 
radioactivo que ocorre quando um núcleo instável 
se transforma num outro núcleo através da 
emissão de uma partícula α. Desta forma o 
núcleo-filho terá um número atómico duas 
unidades inferior, bem como um número de 
massa quatro unidades inferior, como será 
possível verificar no Desenvolvimento de 
Problema. Na segunda parte do problema o 
interesse advém da compreensão de que quando 
ocorre decaimento α há libertação da energia de 
desintegração (Q) que se encontra na forma de 
energia cinética da partícula α do núcleo, sendo 
 Série I, Problema 7 
Física Quântica da Matéria, Instituto Superior Técnico 
Alexandra Machado, 65081;Andreia Agostinho, 66284 
 
2 
 
através desta última que podemos determinar a 
velocidade de recuo do núcleo. 
2. Desenvolvimento do Problema. 
I – Efeito de Túnel 
 A equação do decaimento α deste 
problema é a seguinte: 
 
 
 
 
Verifica-se que o decaimento do núcleo de 
 
numa partícula α – núcleo de Hélio com dois 
protões e dois neutrões, 
 – e num núcleo filho 
o Tório, 
 , pode ser descrito como a 
passagem da partícula α pela da barreira de 
potencial de Coulomb através do efeito de túnel. 
 
Figura 1: Barreira de potencial para o decaimento α. 
A barreira de potencial é dada por: 
 
 
Como é sabido, a probabilidade de ocorrência de 
efeito de túnel é dada por: 
 
onde G é da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante referir que: 
 
 
 
 
 
Após simplificação de G chega-se à expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na qual foi resolvido, no programa Mathematica, 
o seguinte integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficando-se com: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
II – Velocidade de recuo do núcleo 
A desintegração α ocorre, geralmente, em átomos 
com núcleos muito pesados, quando as forças de 
Coulomb, que actuam entre os protões, se tornam 
suficientemente grandes para vencer as forças 
nucleares que mantêm os núcleos unidos entre si. 
Quando tal acontece temos a seguinte equação 
para o decaimento: 
 
 
 
 
onde Q representa a Energia de Desintegração 
que equivale à diferença em massa entre o 
núcleo-pai e o núcleo-filho, surgindo como 
energia cinética da partícula α e do núcleo de 
Tório resultante. 
 Série I, Problema 7 
Física Quântica da Matéria, Instituto Superior Técnico 
Alexandra Machado, 65081;Andreia Agostinho, 66284 
 
3 
 
3. Resultados e Discussão 
Após a contextualização deste exercício, pode-se 
prosseguir para a sua resolução. 
I – Número de anos necessários para que a 
partícula escape do núcleo sabendo que são 
necessárias colisões com a barreira 
centrífuga. 
Como foi referido anteriormente, a probabilidade 
de ocorrência de efeito de túnel após uma colisão 
com a barreira centrífuga é: . Desta 
forma é possível estimar que o número de 
colisões da partícula α contra a barreira centrífuga 
é dado por . 
Ora, segundo o enunciado do exercício deve-se 
considerar . 
É então fácil de observar que o tempo que a 
partícula demorará a escapar do núcleo de urânio 
será: 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo que a velocidade da partícula, , é dada 
no enunciado: . E o raio, R, é dado 
pela seguinte expressão: 
 
 
 
Onde sabemos que e . 
Obtemos, por fim, o número de anos para que a 
partícula escape do núcleo: 
 
II – Velocidade de recuo do núcleo quando a 
partícula α é emitida. 
No referencial do centro de massa, nem a 
partícula alfa nem o núcleo têm velocidade, 
temos então: 
 (1) 
Começamos por calcular a energia de 
desintegração (Q): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que a energia de desintegração (Q) é 
igual à soma da energia cinética de recuo do 
núcleo com a energia cinética com que se liberta a 
partícula α, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) temos: 
 
 . Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como, , onde é a velocidade de 
recuo do núcleo, temos: 
 Série I, Problema 7 
Física Quântica da Matéria, Instituto Superior Técnico 
Alexandra Machado, 65081;Andreia Agostinho, 66284 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Conclusões 
Em suma, verifica-se que a partícula α se 
movimenta dentro do núcleo como se fosse livre, 
com uma certa velocidade média, e que as forças 
nucleares só se manifestam nos limites do núcleo, 
que funcionam como paredes onde a partícula vai 
chocar. Desta forma, estas “paredes” contrariam 
o escape da partícula para lá da barreira de 
potencial fazendo com que esta faça o percurso 
inverso. No entanto, após um elevado número de 
colisões, com a barreira, esta consegue, 
finalmente, escapar em virtude da amplitude da 
função de onda não ser nula no exterior. Podemos 
assim constatar a presença de um fenómeno de 
efeito de túnel por parte de uma partícula queatravessa uma barreira de potencial. Quando tal 
se verifica, a energia de desintegração que se 
liberta manifesta-se como energia cinética da 
partícula alfa e do núcleo. 
 
Bibliografia 
 [1] Quantum Physics, Stephen Gasiorowicz, Third 
Edition, Wiley (Online Supplement 4-B).