Apostila desenho mecanico 2 raizes1(metodo da bissecçao)

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Zeros de Func¸o˜es – Parte 1
Jorge C. Lucero
16 de Marc¸o de 2009
1 Introduc¸a˜o
Seja f : R → R uma func¸a˜o real de varia´vel real. Queremos determinar os valores de x tais
que f(x) = 0. Esses valores sa˜o denominados zeros ou ra´ızes da func¸a˜o f .
Exemplo 1. Seja a equac¸a˜o cos x − x = 0. Podemos reescreveˆ-la na forma cos x = x, e
portanto suas soluc¸o˜es sa˜o os valores de x onde as curvas correspondentes a y = x e y = cos x
se intersectam. Como mostra a Fig. (1), existe um ponto de intersec¸a˜o para x = ξ. Conclu´ımos
enta˜o que a func¸a˜o f(x) = cos x− x possui uma raiz, e que essa raiz e´ u´nica. �
1
−1
ξ π2−π2
x
y
y = x
y = cosx
Figura 1: Raiz de f(x) = cos x− x.
Exemplo 2. Seja o polinoˆmio cu´bico p3(x) = x3 − 2,1x2 − 1,8x + 2,2. A Fig. 2 mostra um
gra´fico de p3(x). Suas ra´ızes sa˜o os 3 pontos de intersecc¸a˜o da curva com o eixo x, indicados
por ξ1, ξ2 e ξ3. �
Exemplo 3. O fato de poder escrever uma equac¸a˜o, na˜o significa que ela tem soluc¸a˜o. Por
exemplo, cos2 x+ 3ex = 0 na˜o tem soluc¸a˜o (porque cos2 x ≥ 0 e 3ex > 0). �
Exemplo 4. Mais geralmente, consideremos qualquer sistema computacional, ele´trico, me-
caˆnico, biolo´gico, social, etc., no qual um certo paraˆmetro y medido na sa´ıda desse sistema
depende de um outro x paraˆmetro de entrada. O que queremos saber e´ qual deve ser a entrada
x para se obter y = 0. �
Como os exemplos acima ilustram, uma equac¸a˜o f(x) = 0 pode ter uma, mu´ltiplas, infini-
tas, ou nenhuma soluc¸a˜o. Antes de utilizar um me´todo para calcular a soluc¸a˜o, e´ conveniente
determinar se ela existe, e em tal caso, quantas sa˜o, e aproximadamente onde esta˜o localiza-
das. Como veremos, todos os me´todos nume´ricos exigem uma ou mais aproximac¸o˜es iniciais
1
1
2
−1
−2
1 2−1 x
y
ξ1
ξ2 ξ3
Figura 2: Ra´ızes de p3(x) = x3 − 2,1x2 − 1,8x + 2,2.
a` soluc¸a˜o procurada, e quanto mais pro´ximas da soluc¸a˜o estejam, maiores as chances de
determina´-la com sucesso e rapidez.
Para analisar a existeˆncia de zeros de uma func¸a˜o, o Teorema do Valor Intermedia´rio e´
u´til.
Teorema 1 (Teorema do Valor Intermedia´rio). Se f e´ cont´ınua em [a,b] e K e´ qualquer
nu´mero entre f(a) e f(b), enta˜o existe c ∈ [a,b] tal que f(c) = K. �
Em particular, se f(a) e f(b) tem sinais opostos, enta˜o existe ξ tal que f(ξ) = 0, como
ilustra a Fig. 3. Note que isso garante a existeˆncia de pelo menos um zero de f(x), i.e., podem
existir mais de um. Na figura, f(a) e f(c) tem sinais opostos, e existem treˆs zeros em (a,c).
Tambe´m, se nos extremos de um intervalo a func¸a˜o possui o mesmo sinal, podem ainda haver
zeros nesse intervalo. Na mesma figura, f(b) e f(c) tem o mesmo sinal, pore´m existem dois
zeros em [b,c].
x
y
a b cξ1 ξ2
ξ3
Figura 3: Ilustrac¸a˜o do Teorema do Valor Intermedia´rio.
Exemplo 5. No caso do exemplo 1, temos f(0) = 1 e f(1) = −0,4597. Como f(0) e f(1)
teˆm sinais opostos, e f(x) = cos x − x e´ cont´ınua em I = [0, 1], conclu´ımos que f(x) possui
pelo menos um zero em I. �
2
Exemplo 6. A exigeˆncia de continuidade para f(x) e´ importante. A func¸a˜o f(x) = 1/x
possui sinais opostos em f(−1) e f(1), no entanto, na˜o possui nenhum zero em [−1, 1]. Note
que existe um ponto de descontinuidade nesse intervalo, em x = 0. �
2 Me´todo da Bissecc¸a˜o
Exemplo 7. Calculemos
√
2. Sabemos que 12 = 1 e 22 = 4, portanto
√
2 deve estar entre 1
e 2. Testamos o valor me´dio x = 1,5. Como x2 = 2,25 > 2, enta˜o x ultrapassa o valor de
√
2,
e deduzimos que
√
2 esta´ entre 1 e 1,5. Testamos o valor me´dio desses nu´meros, x = 1,25.
Agora x2 = 1,5625 < 2, enta˜o este valor de x e´ pequeno, e deduzimos que
√
2 esta´ entre
1,25 e 1,5. Repetindo este processo, e arredondando para 4 casas decimais, obtemos para x a
sequeˆncia
1,5, 1,25, 1,375, 1,4375, 1,4063, 1,4219, 1,4141, 1,4180, 1,4160, 1,4146, 1,4143, 1,4142, 1,4142, . . .
e conclu´ımos que
√
2 = 1,4142. �
Este e´ um me´todo de busca bina´ria, que consiste em dividir sucessivamente pela metade
um intervalo que sabemos conte´m a soluc¸a˜o do problema, ate´ atingir a precisa˜o desejada.
Suponhamos enta˜o uma func¸a˜o f(x) cont´ınua em um intervalo [a0,b0], com f(a0) e f(b0)
de sinais opostos. O Teorema do Valor Intermedia´rio nos garante a existeˆncia de um zero ξ
nesse intervalo. Para simplificar, suponhamos que esse zero e´ u´nico (Fig. 4).
Calculamos o ponto me´dio de [a0, b0], com
x0 =
a0 + b0
2
Se f(x0) = 0 enta˜o ξ = x0 e temos determinado a raiz. Se na˜o, enta˜o f(x0) tem o mesmo
sinal que f(a0) ou que f(b0). Escolhemos enta˜o como novo intervalo [a1,b1] aquele onde a
func¸a˜o muda de sinal, i.e.,
[a1,b1] =
{
[a0,x0], se f(a0) · f(x0) < 0
[x0,b0] , se f(b0) · f(x0) < 0
Dessa forma, f(a1) e f(b1) tera˜o sinais opostos, o que garante ξ ∈ [a1,b1]. O algoritmo
continua repetindo o mesmo processo sobre o intervalo [a1,b1].
Em cada etapa (iterac¸a˜o) i, o comprimento do intervalo [ai,bi] e´ reduzido a` metade do
comprimento na iterac¸a˜o anterior. Podemos parar o ca´lculo enta˜o quando o comprimento do
intervalo for menor que um valor de precisa˜o ε dado, i.e., bi−ai < ε. Como aproximac¸a˜o final
a` raiz, tomamos qualquer valor x∗ dentro do intervalo final [ai, bi]. Ja que ξ, x∗ ∈ [ai, bi], se
bi − ai < ε enta˜o |ξ − x∗| < ε. Dessa forma, o erro absoluto da aproximac¸a˜o final sera´ menor
que ε.
Algoritmo 1 (Me´todo da Bissecc¸a˜o). Dada uma func¸a˜o f(x) cont´ınua em um intervalo
[a0,b0], com f(a0)) e f(b0) de sinais opostos, este algoritmo calcula uma aproximac¸a˜o x∗ a
um zero de f(x) em [a0,b0], com erro menor que ε.
3
x
y
ξ
a0 b0
a1 b1
a2 b2
x0
x1
Figura 4: Me´todo da bissecc¸a˜o
k = 0
while |bk − ak| < ε e f(xk) �= 0
xk = (ak + bk)/2
k = k + 1
if f(xk) · f(bk) < 0
ak+1 = xk
bk+1 = bk
else
ak+1 = ak
bk+1 = xk
end
end
x∗ = xk
�
Exemplo 8. Queremos calcular um zero da func¸a˜o f(x) = x3 + 4x + 2ex − 4 (Fig. ??) com
erro menor que ε < 0,001. Um ca´lculo ra´pido nos mostra que f(0) = −2 e f(1) = 6,4366.
Como a func¸a˜o f(x) e´ cont´ınua e tem sinais contra´rios, conclu´ımos enta˜o que existe um zero
no intervalo [0, 1].O algoritmo acima produz os seguintes resultados:
4
k ak bk f(ak) f(bk) xk f(xk)
0 0 1 -2 6,4366 0,5 1,4224
1 0 0,5 -2 1,4224 0 ,25 -0,41632
2 0,25 0,5 -0,4163 1,4224 0,375 0,46272
3 0,25 0,375 -0,4163 0,4627 0,3125 0,0142
4 0,25 0,3125 -0,4163 0,0142 0,2813 -0,2032
5 0,2813 0,3125 -0,2032 0,0142 0,2969 -0,095
6 0,2969 0,3125 -0,095 0,0142 0,3047 -0,0406
7 0,3047 0,3125 -0,0406 0,0142 0,3086 -0,0132
8 0,3086 0,3125 -0,0132 0,0142 0,3106 4,7832 × 10−4
9 0,3086 0,3106 -0,0132 4,7832 × 10−4 0,3095 -0,0064
10 0,3096 0,3106 -0,0064 4,7832 × 10−4 0,3101 -0,0029
11 0,3101 0,3106
No final das iterac¸o˜es, o algoritmo retorna o valor x∗ = a11 = 0,3101, que aproxima o zero
p de f(x) com erro |ξ − x∗| < |b11 − a11| = 0,0005. �
Outro crite´rio de parada que pode ser usado e´
|f(xk)| < ε.
Entretanto, e´ poss´ıvel ter f(xk) muito pequeno, mas xk ainda longe da raiz.
Exemplo 9. Se aplicamos o algoritmo da bissecc¸a˜o a f(x) = x3 − 4,7x2 + 6,87x − 2,7998
no intervalo [0,4], na primeira iterac¸a˜o obtemos x1 = 2, com f(2) = 0,0002. Pore´m, o valor
exato da raiz com cinco d´ıgitos decimais e´ 0,69988, longe do valor determinado. �
Pode ser conveniente tambe´m combinar crite´rios de parada. Por exemplo, poder´ıamos
exigir
bk − ak < ε1 e |f(xk)| < ε2
Desta forma, asseguramos um erro pequeno na aproximac¸a˜o calculada e ao mesmo tempo um
valor pequeno de f .
O Me´todo da Bissecc¸a˜o tem a desvantagem de que sua velocidade de convergeˆncia e´ muito
lenta; i.e., requer um nu´mero grande de iterac¸o˜es para obter um resultado com erro pequeno.
Pore´m, tem a propriedade importante de que, se f e´ cont´ınua em [a,b], sempre converge a
uma soluc¸a˜o.
Podemos estimar a quantidade de iterac¸o˜espara atingir uma precisa˜o dada. Se em cada
iterac¸a˜o, dividimos pela metade o intervalo usado na iterac¸a˜o anterior, apo´s k iterac¸o˜es, o
intervalo inicial [a0, b0] tera´ sido dividido pela metade 2k vezes. Se paramos o ca´lculo quando
bk − ak < ε, enta˜o
bk − ak = b0 − a02k < ε,
e
k >
log(b0 − a0)− log ε
log 2
.
5
	Introdução
	 Método da Bissecção