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Continuidade
Definic¸a˜o: Seja a ∈ R. Dizemos que y = f(x) e´ cont´ınua no ponto a, se estiverem satisfeitas as
condic¸o˜es:
i) ∃ f(a), ou seja, f esta´ definida no ponto a
ii) ∃ lim
x→a
f(x)
iii) lim
x→a
f(x) = f(a)
Exemplos:
1) f(x) =
x2 − 1
x− 1
na˜o e´ cont´ınua em a = 1 pois f na˜o esta´ definida em a = 1.
Observe que existe lim
x→1
f(x). Ou seja,
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
x2 − 1
x− 1
= lim
x→1
(x− 1)(x+ 1)
x− 1
= lim
x→1
(x+ 1) = 2.
1
x
1
2
y
Figura 1: Gra´fico de f(x)
NOTAS DE AULA DE CA´LCULO I - A Magda 2
2) g(x) =


x2 − 1
x− 1
, se x 6= 1
1, se x = 1
, na˜o e´ cont´ınua em a = 1 pois apesar de:
i) g(1) = 1,
ii) lim
x→1
g(x) = lim
x→1
x2 − 1
x− 1
= 2, como feito no exemplo anterior,
temos que lim
x→1
g(x) 6= g(1).
1
x
1
2
y
Figura 2: Gra´fico de g(x)
3) h(x) =


x
|x|
, se x 6= 0
0, se x = 0
, na˜o e´ cont´ınua em a = 0 pois na˜o existe lim
x→0
h(x).
x
-1
1
y
Figura 3: Gra´fico de h(x)
NOTAS DE AULA DE CA´LCULO I - A Magda 3
4) t(x) =


1
x2
, se x 6= 0
2, se x = 0
, na˜o e´ cont´ınua em zero pois lim
x→0
t(x) =∞ (Verifique!).
x
2
y
Figura 4: Gra´fico de t(x)
5) Seja p(x) um polinoˆmio em x.
Como lim
x→a
p(x) = p(a), segue que p(x) e´ cont´ınua para todo a ∈ R.
6) Considere f(x) =
p(x)
q(x)
, com p(x) e q(x) polinoˆmios e tal que q(a) 6= 0.
Verifique que f(x) e´ cont´ınua para todo a ∈ R, desde que q(a) 6= 0.
7) Verifique que f(x) = |x| e´ cont´ınua em zero.
8) Verifique que h(x) =


x+ 3, se x ≥ −1
−x + 1, se x < −1
e´ cont´ınua em a = −1.
9) Determine o valor de k, se poss´ıvel, que torna a func¸a˜o a seguir cont´ınua.
f(x) =


kx2, se x ≤ 2
2x+ k, se x > 2
Resoluc¸a˜o: Note que para os valores de a em que a ∈ (−∞, 2) ∪ (2,∞), f e´ cont´ınua em a pois
f e´ um polinoˆmio.
Vamos, enta˜o analisar a continuidade de f no ponto a = 2.
Temos que:
i) f(2) = k(2)2 = 4k
ii) Temos:
• lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(
2x+ k
)
= 2(2) + k = 4 + k
NOTAS DE AULA DE CA´LCULO I - A Magda 4
• lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
kx2 = k(2)2 = 4k
Como deve existir lim
x→2
f(x) e lim
x→2
f(x) = f(2), segue que
4 + k = 4k ⇐⇒ 3k = 4⇐⇒ k =
4
3
.
Portanto, para f ser cont´ınua, k =
4
3
.
Propriedades
1) Sejam f e g func¸o˜es cont´ınuas em um ponto a. Enta˜o:
a) f ± g e´ cont´ınua em a.
b) f · g e´ cont´ınua em a.
c)
f
g
e´ cont´ınua em a, desde que g(a) 6= 0.
2) Sejam f e g tais que
• lim
x→a
f(x) = b
• g e´ cont´ınua em b.
Enta˜o,
lim
x→a
(
gof
)
(x) = g
(
lim
x→a
f(x)
)
= g(b).
Exemplo: lim
x→3
|5− x2| =
∣∣∣lim
x→3
(5− x2)
∣∣∣ = | − 4| = 4.
Considere f(x) = 5− x2 e g(x) = |x|.
Note que lim
x→3
(5− x2) = −4 e g e´ cont´ınua no ponto −4.
3) Se f e´ cont´ınua em a e g e´ cont´ınua em f(a) enta˜o gof e´ cont´ınua em a.
Exemplo: h(x) = |x3 − x + 1| e´ cont´ınua em todo ponto a ∈ R pois e´ a composta de duas
func¸o˜es cont´ınuas, a saber:
• f(x) = x3 − x+ 1 (polinoˆmio)
• g(x) = |x| (func¸a˜o modular)
Observac¸a˜o:
1) Se lim
x→a+
f(x) = f(a), dizemos que f e´ cont´ınua a` direita de a.
2) Se lim
x→b−
f(x) = f(b), dizemos que f e´ cont´ınua a` esquerda de b.
3) Dizemos que f e´ cont´ınua no intervalo [a, b], se f e´ cont´ınua em (a, b), a` direita de a e a` esquerda
de b.
Teorema do Confronto ou do Sandu´ıche
Teorema do Confronto ou do Sandu´ıche: Se g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x em um
intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a, e se
lim
x→a
g(x) = lim
x→a
h(x) = L
enta˜o
lim
x→a
f(x) = L.
Demonstrac¸a˜o: Seja ǫ > 0.
Como lim
x→a
g(x) = L, existe δ1 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ1 =⇒ |g(x)− L| < ǫ.
Como lim
x→a
h(x) = L, existe δ2 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ2 =⇒ |h(x)− L| < ǫ.
Tomando δ = min{δ1, δ2}, segue que dado ǫ > 0, existe δ = min{δ1, δ2} tq se 0 < |x − a| < δ
enta˜o |g(x)− L| < ǫ e |h(x)− L| < ǫ.
Portanto, L− ǫ < g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) < ǫ+L, isto e´, |f(x)−L| < ǫ. Portanto, dado ǫ > 0, existe
δ > 0 tq se 0 < |x− a| < δ enta˜o |f(x)− L| < ǫ, isto e´, lim
x→a
f(x) = L. �
y=gHxL
y=fHxL
y=hHxL
a
x
y
Figura 5: Ilustrac¸a˜o gra´fica Teorema do Confronto
Exemplos:
a) Calcule lim
x→0
x2
∣∣∣sen( 1
x
)∣∣∣.
Resoluc¸a˜o: Sabemos que −1 ≤ sen
(
1
x
)
≤ 1, para todo x 6= 0.
NOTAS DE AULA DE CA´LCULO I - A Magda 6
Logo, 0 ≤
∣∣∣sen ( 1
x
)∣∣∣ ≤ 1, ∀x 6= 0.
Multiplicando a desigualdade anterior por x2, temos que
0 < x2
∣∣∣sen ( 1
x
)∣∣∣ < x2, ∀x 6= 0.
Como lim
x→0
0 = 0 = lim
x→0
x2, pelo Teorema do Confronto,
lim
x→0
x2
∣∣∣sen ( 1
x
)∣∣∣ = 0.
�
b) Seja f uma func¸a˜o tal que |f(x)| ≤ x2. Calcule lim
x→0
f(x).
c) Dada |g(x)− 2| ≤ 3(x− 1)2 para todo x, calcule lim
x→1
g(x).
Consequeˆncia do Teorema do Confronto: Sejam f e g duas func¸o˜es com o mesmo
dom´ınio D tal
lim
x→a
f(x) = 0 e |g(x)| ≤M,
para todo x ∈ D, em que M e´ uma constante real. Enta˜o:
lim
x→a
f(x) · g(x) = 0.
Prove!
Exemplos
1) lim
x→0
x sen
(
1
x
)
.
Resoluc¸a˜o: Em lim
x→0
x︸︷︷︸
f(x)
sen
(
1
x
)
︸ ︷︷ ︸
g(x)
, consideremos f(x) = x e g(x) = sen
(
1
x
)
, Temos que:
• lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x = 0,
• Como
∣∣∣sen( 1
x
)∣∣∣ ≤ 1, segue que |g(x)| ≤ 1.
Portanto, pelo Teorema do Confronto, lim
x→0
x sen
(
1
x
)
= 0.
2) lim
x→0
x2 · g(x), onde g(x) =
{
1, se x ∈ Q
−1, se x 6∈ Q
Observac¸a˜o: O Teorema do Confronto continua va´lido substituindo lim
x→a
por
lim
x→a+
, lim
x→a−
, lim
x→∞
, lim
x→−∞
.