Apostila EB Circuitos+Mag+Acoplados

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CIRCUITOS
MAGNETICAMENTE
ACOPLADOS
Prof. Edinaldo José da Silva Pereira
CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS
Para indutores lineares e invariantes no tempo M12 = M21 = M.
As auto-indutâncias são sempre positivas, enquanto que as indutâncias mútuas podem ser positivas ou negativas, dependendo do sentido do enrolamento das bobinas.
REGRA DOS PONTOS: quando ambas as correntes entram ou saem de um par de bobinas acopladas pelos terminais que tem o ponto, os sinais dos termos em M são iguais aos dos termos em L. Seuma das correntes entra e a outra sai, os sinais dos termos em M são opostos aos dos termos em L.
O efeito da mútua indutância é introduzir uma reatância mútua Xm ou uma impedância mútua Zm, onde Zm = jXm = jωM.
CASO 1: DUAS INDUTÂNCIAS SÉRIE
Leq deve ser positivo, pois caso contrário um Leq negativo forneceria uma quantidade infinita de energia para uma fonte de corrente positivamente crescente.
O sinal da mútua mudaria se apenas um dos pontos mudasse de posição.
CASO 2: INDUTÂNCIAS EM PARALELO
O sinal do denominador muda com a mudança de posição de um dos pontos da mútua.
Para Leq ≥ 0, então:
já que o denominador foi anteriormente analisado. Esta última é mais restritiva que a primeira. Logo,
defini-se:
Coeficiente de acoplamento
Em transformadores com núcleo de ferro usados em sistemas de distribuição de potência, K ≈ 1.
REFLEXÃO DE IMPEDÂNCIAS
IMP. REFLETIDA (Zf)
IMP. TOTAL SECUNDÁRIO
, quando Z 0.
Se Z = R + jX, então Zf é:
Se X for indutiva (X > 0), reflete-se como uma contribuição capacitiva no primário, aumentando assim a corrente, pois cancelará parte da reatância positiva deste.
Resistência refletida
Exemplo: A chave k foi fechada em t = 0, quando o circuito se encontrava relaxado. Determine v(t) para t ≥ 0.
Exemplo: Calcular E2 sabendo que K = 1/2.
TRANSFORMADOR IDEAL
N – razão de transformação do transformador
Transferência da carga do enrolamento secundário para o primário
transferência do enrolamento primário para o secundário
A impedância é sempre modificada pelo quadrado da razão de transformação (N) e a maior impedância acontece no lado com maior número de espiras.
Não dissipa energia
Não tem fluxo de dispersão (K = 1)
Indutância própria de cada enrolamento é infinita
Impedância efetiva do primário
Exemplo: Qual o valor de E1 e E2?
Solução: Usando o equivalente do primário.
Exemplo: Um transformador ideal pode ser usado para representar a conexão de um amplificador estéreo, V1, com um auto-falante, RL. Determine a razão de espiras necessária para que haja máxima transferência de potência para o auto-falante. 
Solução:
Condição para máxima transferência de potência
BOBINAS COM ACOPLAMENTO UNITÁRIO (L1 L2 = M2)
(I)
como (L1 L2 = M2), então:
Portanto, Y é a combinação paralela de uma indutância jωL1 e uma impedância ZL1/L2.
Esta última pode ser vista como uma impedância que foi refletida por um transformador em paralelo com a impedância da bobina do primário.
A impedância refletida através do transformador é
Para a situação (I), escreve-se:
Eq. geral
Considerando as equações (*) e (**), vem 
O valor de N é idêntico àquele assumido pelo transformador ideal, concluindo-se que o comportamento das bobinas acopladas com K = 1 é similar ao do transformador ideal.
Em resumo, um par de bobinas acopladas com K = 1 é equivalente a um transformador ideal com razão de espiras igual a raiz quadrada da razão das indutâncias próprias do secundário pelo primário, e a uma indutância shunt no primário do transformador, de mesmo valor da indutância própria do primário.
Um transformador ideal não teria esta indutância. Por isso, pode-se dizer que um transformador ideal age como um par de bobinas com acoplamento unitário cujos valores destas indutâncias próprias são INFINITOS.
BOBINAS COM L1, L2 E M ARBITRÁRIOS
Em geral, 
Diminuindo-se o valor de L1 e/ou L2, pode-se obter K = 1. 
Neste caso,
(II) 
Comparando (I) com (II),
L1, L2 e M são conhecidos
Com quatro incógnitas e três equações, deve-se arbitrar uma das incógnitas, por exemplo, N. Assim,
Entretanto, como deseja-se indutâncias positivas, limita-se N. Neste caso,
Em geral, escolhe-se a média geométrica destes valores extremos para arbitrar N.
Exercício: Monte o circuito equivalente com transformador para as bobinas acopladas apresentadas.
Solução:
Neste caso,
EXERCÍCIOS
1:N
I1
I2
Z
jωL1
Circuito com transformador ideal
ZL1/L2
I1
jωL1
Circuito equivalente primário
jωLb
jωLm
+
E2
-
+
E1
-
I1
I2
jωLa
1:N
+
EX
-
NI2
+
NEX
-
2H
t = 5 s
1H
1H
1Ω
1Ω
10A
DC
V1
V2
a
b
t = 0
k
R1
R2
R3
L1
L2
V1 = 10 V
V2 = 20 V
R1 = 1 Ω
R2 = R3 = 2 Ω
L1 = L2 = 1 H
DC
V1
R4
t = 0
k
R1
R2
R3
L2
L1
V1 = 100 V
R1 = R2 = R3 = 10 Ω
L1 = L2 = 1 H
DC
V1 = 10 V
R1 = R2 = 1 Ω
R3 = 2 Ω
L1 = 1 H
L2 = 6 H
M = 2 H
R2
R3
L2
V1
.
.
R1
L1
DC
e(t)
.
R1
L3
L2
L1
e(t) = e-t u(t) V
R1 = R2 = 1 Ω
L3 = 8 H
L1 = 10 H
L2 = 2 H
M12 = 1 H
M13 = 2 H
M23 = 3 H
R2