Aula sobre Polinômio de Taylor.pdf

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1 Aproximações Lineares e Polinômios de Taylor
1.1 Aproximações Lineares
Começamos por um exemplo já discutido anteriormente:
Example 1 Seja C (x) = 920 + 2x � 0; 02x2 + 0; 00007x3 o custo total de produzir x Kg de um
certo produto. Pede-se:
a) Calcular o custo marginal C�(x)
C�(x) = 2� 0; 04x+ 0; 00021x2
b) Calcule C (100) e C�(100)
C (100) = 920 + 200� 200 + 70 = 990
C�(100) = 2� 4 + 2; 1 = 0; 1
c) Encontre a reta tangente ao grá…co de C (x) em x = 100
y � y0 = m (x� x0)
y � C (100) = C�(100) (x� 100)
y = C (100) + C�(100) (x� 100)
(neste caso em particular, y = 990 + 0; 1 (x� 100) –nem vale a pena simpli…car mais!)
d) Use a reta tangente para estimar C (99), C (101) e C (102)
Seja L (x) = 990 + 0; 1 (x� 100). Note que
L (99) = 990� 0; 01 = 989; 99 � C (99)
L (101) = 990 + 0; 01 = 990; 01 � C (101)
L (102) = 990 + 0; 02 = 990; 02 � C (102)
60 80 100 120 140
980
985
990
995
1000
1005
x
y
C (x) e sua aproxima ção linear L (x) no ponto x = 100
De…nition 2 A função L (x) é chamada de APROXIMAÇÃO LINEAR DE C (x) em x =
100 ou LINEARIZAÇÃO DE C (x) em x = 100. Em geral:
L (x) = f (x0) + f�(x0) (x� x0)
1
Exercise 3 Estime e0;03.
Solution 4 Seja f (x) = ex. A aproximação linear de f (x) no ponto x = 0 é
L (x) = f (0) + f�(0) (x� 0)
Como f (0) = 1 e f�(x) = ex (portanto f�(0) = 1), temos
L (x) = 1 + x
Assim, L (0; 03) = 1; 03 � e0;03. Compare com o valor de e0;03 tirado do MatLab:
e0;03 = 1; 030454534
Esta aproximação simples já acertou 3 casas decimais!
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
y
f (x) = ex e L (x) = 1 + x
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
7
8
9
10
11
12
x
y
f (x) =
p
x e L (x) = 10 + 120 (x� 100)
Exercise 5 Estime
p
100; 04.
Solution 6 Seja f (x) =
p
x. Então f�(x) = 1
2
p
x
e portanto f (100) = 10 e f�(100) = 120 . Assim,
a linearização de f (x) em x = 100 é
L (x) = 10 +
1
20
(x� 100)
Assim, L (100; 04) = 10 + 0;0420 = 10; 002 �
p
100; 04. De fato, o MatLab diz quep
100; 04 = 10; 0019998
Nada mal!
2
1.2 Diferencial
Por uma questão de notação, é comum de…nir as variáveis
dx = x� x0
dy = L (x)� L (x0)
�y = f (x)� f (x0)
Usando estas variáveis, a aproximação linear de f em x = x0 pode ser expressa como
dy = f�(x0) :dx
Note: dx e dy representam quantidades medidas na reta tangente, enquanto �y é medido usando
a função original f . O que …zemos nos itens anteriores foi estimar �y calculando, em seu lugar,
dy.
Exercise 7 Se o lado L de um quadrado é medido com um erro relativo de 5%, qual o erro relativo
em sua área A = L2.
Solution 8 Note que não sabemos qual é o lado L do quadrado, e portanto não temos como calcular
dL. No entanto, uma aproximação via reta tangente nos dá:
dA = 2L:dL
Interprete isto! Isto nos dá a relação entre o erro no cálculo da Área e o erro na medição do
Lado, para ESTE lado desconhecido L, e mesmo assim tudo isto é apenas uma aproximação via
reta tangente! De qualquer forma, esta aproximação nos dá
dA
A
=
2LdL
L2
= 2
dL
L
Note que não sabemos dA nem dL, mas dLL é exatamente o erro relativo (máximo) na medida do
lado, isto é, dLL = 5%: Assim
dA
A
= 10%
é o erro relativo (máximo, aproximado) no cálculo da área.
Exercise 9 Você tem de produzir uma esfera metálica de um certo raio. Infelizmente, medir dire-
tamente o raio de uma esfera sólida é complicado (pense nisso). Medir o volume é mais simples:
você pode mergulhá-la num tanque cheio de água e medir o volume da água que transbordou, e daí
tirar o raio via
V =
4
3
�R3
Pergunta-se: se o erro relativo no cálculo do volume é de 9%; qual é o erro relativo que você estima
para o cálculo do raio?
Solution 10 Pela aproximação linear, temos
dV = 4�R2:dR
3
Portanto
dV
V
=
4�R2
4
3�R
3
dR = 3
dR
R
Isto é, se dVV = 9%; tem-se
dR
R
= 3%
Então não só é mais fácil calcular o raio assim, mas o erro relativo é 13 do erro relativo no cálculo
do volume!
1.3 Polinômios de Taylor
Note que a linearização
L (x) = f (x0) + f�(x0) (x� x0)
é a única função a…m (isto é, polinômio de grau � 1) que concorda com a função f (x) e com sua
derivada no ponto x0, isto é
L (x0) = f (x0)
L�(x0) = f�(x0)
Perguntamos: seria possível fazer com que L (x) também ”concordasse”com a segunda derivada
de f (x) no ponto x0 (isto é, fazer com que L (x) ”curve” também como f)? É fácil ver que isto
não é possível usando uma aproximação linear do tipo L (x) = Ax+B, pois então L��(x) = 0...
Mas e se usássemos uma quadrática?
PERGUNTA: Dada uma função f (x) e um ponto a, poderíamos encontrar uma
função quadrática
T2 (x) = Ax
2 +Bx+ C
tal que
T2 (a) = f (a)
T2�(a) = f�(a)
T2��(a) = f��(a)
Vejamos... isto signi…ca que
Aa2 +Ba+ C = f (a)
2Aa+B = f�(a)
2A = f��(a)
Hmmmm... lembre que as incógnitas aqui são A; B e C! Podemos achar A da última equação,
substituir na de cima, achar B, substituir de novo, achar C. Não vamos fazer estas contas, mas
acho que está claro que a resposta é SIM.
Fizemos as contas para você, completamos quadrados, rearrumamos tudo... O polinômio …cou
assim
T2 (x) = f (a) + f�(a) (x� a) + f��(a)
2
(x� a)2
4
Este é o chamado polinômio de Taylor de grau 2 de f (x) no ponto a. Tente convencer-se a
partir desta fórmula de que as primeira e segunda derivadas de T2 no ponto a são iguais às de f de
fato. Viu?
Example 11 Estime e0;03 usando uma aproximação quadrática em x = 0.
Como antes, tomamos f (x) = ex e a = 0: Então f�(x) = ex, f��(x) = ex e f (0) = f�(0) = f��(0).
Em suma
T2 (x) = 1 + x+
x2
2
Portanto
T2 (0; 03) = 1 + 0; 03 +
0; 0009
2
= 1; 03045
Você ainda se lembra de e0;03 = 1; 030454534? Uau! Temos 5 casas decimais corretas!
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
y
f (x) = ex, L (x) = 1 + x e T2 (x) (este está
pontilhado)
1.4 Por que parar em grau 2? Por que não grau n?
De fato (tente adivinhar...)
Tn (x) = f (a) + f�(a) (x� a) + f��(a)
2!
(x� a)2 + f���(a)
3!
(x� a)3 + :::+ f
(n) (a)
n!
(x� a)n
é o único polinômio de grau menor ou igual a n que satisfaz
Tn (a) = f (a)
Tn�(a) = f�(a)
Tn��(a) = f��(a)
:::
T (n)n (a) = f
(n) (a)
(convença-se disto olhando a fórmula acima). Ele é chamado polinômio de Taylor de f de grau
n em x = a.
5
Example 12 Seja f (x) = ex e tome a = 0. Como f (n) (0) = e0 = 1 para todo n, o polinômio de
Taylor de grau n será
Tn (x) = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ :::+
xn
n!
Usando ordem 3, já temos 7 casas decimais corretas para e0;03:
T3 (0; 03) = 1 + 0; 03 +
0; 0009
2
+
0; 000027
6
= 1; 0304545
Comentário …nal: é verdade que, em geral, quanto mais termos colocarmos no polinômio de
Taylor melhor será a aproximação... mas aí o polinômio de Taylor pode …car tão complicado que
talvez seja melhor calcular a função f diretamente (com auxílio de calculadora, talvez)!
Por outro lado... Pense bem: como é que a sua calculadora calcula e0;03??? Pense.... Como?
Digo a você: sua calculadora usa um polinômio de Taylor (com muitos termos, su…cientes para
conseguir a precisão de 8 ou 10 casas decimais de sua calculadora)!!!! A…nal, calculadoras e com-
putadores só sabem originalmente multiplicar e somar – que são as operações que você vê num
polinômio!
Pense.... Como a calculadora faz sin (1; 23)? Desenha uma …gurinha com 1; 23 radianos no
ângulo medidos com um bom transferidor e calcula o seno no círculo trigonométrico?? Não! Sua
calculadora usa um polinômio de Taylor para o seno (o veremos em breve), com muitos termos,
su…cientes para a precisão desejada!!!
Legal, né?
6