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Cap´ıtulo 9 9.1) ∫ 1.30 1.00 √ x dx ' 0.321463. 9.2) Para h = 0.4, 0.2 e 0.1, obtemos: ∫ 0.8 0 cos x dx ' 0.7076, 0.7148 e 0.7165, respectivamente. 9.3) ∫ 1.6 1.2 sen x dx ' 0.39105. 9.4) ∫ 0.8 0 x ex dx ' 0.564. 9.6) ∫ 1.30 1.00 √ x dx ' 0.321475. Para h = 0.4, 0.2 e 0.1, obtemos: ∫ 0.8 0 cos x dx ' 0.71733, 0.71720 e 0.71717, respectivamente.∫ 1.6 1.2 sen x dx ' 0.391557. ∫ 0.8 0 x ex dx ' 0.554133. 9.7) ∫ 20 0 v(t) dt ' 4162.33 pe´s. 9.8) ∫ 1.6 1.0 ln x dx ' 0.1518. 9.9) ∫ 1.30 1.00 √ x dx ' 0.321476. ∫ 1.6 1.0 ln x dx ' 0.1518. 9.10) ∫ 0.6 0 cosx dx ' 0.564525. 9.11) Para h = 0.4 e h = 0.2, obtemos: ∫ 1.2 0 e−x sen x dx ' 0.3046 e 0.3050, respectivamente. 9.12) h < 0.00245⇒ h = 0.002. 9.13) N = 10 subintervalos. 9.14) h < 0.68⇒ h = 0.3. 9.15) Calculando diretamente e usando quadratura de Gauss-Legendre sobre dois pontos, obtemos: a) ∫ 1 −1 ( z3 + z2 + z + 1 ) dz = 8 3 e ' 2.6666667, respectivamente. b) ∫ 0 −2 ( x2 − 1) dx = 2 3 e ' 0.6666667, respectivamente. 9.16) ∫ 1 −1 ( 1− x2)−1/2 x2 dx ' 1.566, exatamente, a menos de erros de arredon- damento , usando quadratura de Gauss-Tchebyshev sobre dois pontos. 9.17) ∫ 1 −1 ( 1 2 + 2x + 1 2− 2x )1/2 dx ' 3.1416, usando quadratura de Gauss- Tchebyshev sobre dois pontos . 9.18) ∫ 2 1 dx 2(x+ 1) √−x2 + 3x− 2 ' 0.6411 e 0.6413 usando quadratura de Gauss- Tchebyshev sobre dois e treˆs pontos, respectivamente. 9.19) ∫ 1 0 ( 1 4x + 1 4− 4x )1/2 dx ' 1.5708, exatamente, a menos de erros de arredondamento, usando quadratura de Gauss-Tchebyshev sobre dois pontos . 9.20) ∫ pi −pi cos4 θ dθ ' 2.3559, exatamente, a menos de erros de arredondamento, usando quadratura de Gauss-Tchebyshev sobre dois pontos . 9.21) ∫ ∞ 0 ( x3 + 4x+ 2 e2x ) ex dx ' 11.9976, exatamente, a menos de erros de arredondamento, usando quadratura de Gauss-Laguerre sobre dois pontos. 9.22) Γ(5) = ∫ ∞ 0 e−x x4 dx ' 24.0171, exatamente, a menos de erros de arredon- damento, usando quadratura de Gauss-Laguerre sobre treˆs pontos. 9.23) ∫ ∞ 1 e−t t dt ' 0.22069, usando quadratura de Gauss-Laguerre. 9.24) ∫ ∞ −∞ e−x 2 sen x dx = 0, usando quadratura de Gauss-Hermite. 9.25) A fo´rmula de Newton-Cotes do tipo fechado sobre cinco pontos e´ dada por:∫ x4 x0 f(x)dx ' 2h 45 [7f(x0) + 32f(x1) + 12f(x2) + 32f(x3) + 7f(x4)]. Usando a fo´rmula obtida, segue que: ∫ 3 2 x e x 2 dx ' 8.9776. 9.26) Usando as regras do Trape´zio, 13 de Simpson e 3 8 de Simpson, obtemos: I) ∫ 2.5 1 x lnx dx ' 1.5696, 1.5695 e 1.5666, respectivamente. II) ∫ 0 −1.5 x ex dx ' −0.4364,−0.4421 e −0.4421, respectivamente. 9.27) Usando as regras do Trape´zio, 13 de Simpson e 3 8 de Simpson, precisamos: para a integral I) do exerc´ıcio 9.26) de 200, 10 e 12 diviso˜es, respectivamente, para a integral II) do exerc´ıcio 9.26) de 240, 12 e 12 diviso˜es, respectivamente. Observe que no caso da regra 38 de Simpson obtemos N = 10, mas com este nu´mero de intervalos na˜o e´ poss´ıvel aplicar a regra. 9.28) ∫ 3.0 1.0 y(x) dx ' 9.428333. 9.29) I ' 0.9461833. O resultado ser surpreendente pro´ximo se deve ao fato que max 0≤t≤1 |f (IV )(t)| ' 0.2 e assim com h = 0.5 o erro e´ muito pequeno. 9.30) No exerc´ıcio anterior, max 0≤t≤1 |f (IV )(t)| era bastante pequeno. Neste caso, max 0.1≤t≤1 |f (IV )(t)| = 24× 105 e assim h deve ser muito pequeno para conseguir- mos uma boa precisa˜o no resultado. 9.31) a) I = ∫ 2 −2 f(x) dx ' 25.3333. b) O erro e´ igual a zero. ( max −2≤t≤2 f (IV )(t) = 0.) 9.33) Tomando h = 0.25, obtemos:∫ b a √ 1 + (y′(x))2 dx = ∫ 1 0 √ 10− 48x+ 64x2 dx ' 2.4496. 9.34) Usando a regra 13 de Simpson e tomando h = 0.35, h = 0.175 e h = 0.0875, obtemos: ln1.7 = ∫ 1.7 1 dt t ' 0.5309731, 0.5306538 e 0.5306299, respectiva- mente. 9.35) Usando a regra 13 de Simpson e tomando h = 0.5 e h = 0.25, obtemos:∫ 0 −1 x ex dx ' −0.26349 e −0.26419, respectivamente. 9.36) a) 4 subintervalos. b) ∫ 0.8 0 (x2 − cos x) dx = −0.5390 . 9.37) Devemos aplicar a regra 13 de Simpson generalizada no intervalo [1, 2] e a regra 3 8 de Simpson no intervalo [2, 3] ou a regra 3 8 de Simpson no intervalo [1, 1.7] e a regra 13 de Simpson generalizada no intervalo [1.7, 3]. 9.38) a) i) para α = 0.1, 31 intervalos, ii) para α = 0.01, 457 intervalos, iii) para α = 0 na˜o e´ poss´ıvel aplicar a regra de Simpson. b) ∫ 1 0 x− 1 2 dx ' 1.7509, usando a fo´rmula de quadratura de Gauss- Legendre. 9.39) a) O grau adequado do polinoˆmio e´ 2. Tomando t0 = 1.5, t1 = 2.5 e t2 = 3.0⇒ P2(t) = − t2 + 6t− 5⇒ v(2) ' P2(2) = 3. b) A a´rea hachurada e´ ' 1.66667. 9.40) b) N = 3750 subintervalos. c) I = Γ(3) = ∫∞ 0 e−x x2 dx ' 1.9999958. 9.41) a) Usando a regra 13 de Simpson e tomando h = 0.5 e h = 0.25, obtemos: I(1) = ∫ 1 0 x2 e−x dx ' 0.1624 e 0.1607, respectivamente. b) Usando a fo´rmula de Gauss-Laguerre sobre dois pontos, obtemos:∫ ∞ 0 x2 e−x dx = 1.9999958, exatamente, a menos de erros de arredonda- mento. 9.42) As duas pessoas obtiveram o resultado exato, desde que: max −1≤t≤1 |f (IV )(t)| = 0 e 2n+ 1 = 3⇒ N = 2. 9.43) Os dois pontos devem ser da tabela de Gauss-Tchebyshev. 9.44) w = 1.5 e A = 3 ⇒ ∫ 3 0 f(x) dx = 4.5. 9.45) a) A0 = A1 = 1.5. b) ∫ 0 −2 dx x+ 3 ' 1.0909. 9.46) ∫ 1 0 x f(x) dx = 0.18196f(0.35505) + 0.31804f(0.84495). ∫ 1 0 (x4 + x sen x) dx ' 0.5011301. 9.47) a) Usando a regra 13 de Simpson e tomando h = 0.8, 0.4 e h = 0.2, obtemos: I = ∫ 1.6 0 x−x dx ' 1.6674, 1.7129 e 1.7204, respectivamente. b) Usando fo´rmula de quadratura de Gauss- Legendre com dois e treˆs pontos, obtemos: I = ∫ 1.6 0 x−x dx ' 1.7508 e 1.7257, respectivamente. 9.48) b) ∫ 1 0 ∫ 0.5 0 √ x2 + y3 dy dx ' 0.2802.
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