Aula de revisão AV2 e AV3

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Mecânica	
  dos	
  fluidos	
  
Aula	
  de	
  Revisão	
  (AV2	
  e	
  AV3)	
  
Sumário	
  
•  Propriedades	
  dos	
  Fluidos	
  
•  Lei	
  de	
  Newton	
  da	
  Viscosidade	
  
•  EstáDca	
  dos	
  Fluidos	
  
•  CinemáDca	
  Fluidos	
  
•  Conservação	
  da	
  massa	
  (Eq	
  ConDnuidade)	
  
•  Conservação	
  da	
  Energia	
  (Eq.	
  Bernoulli)	
  
•  Escoamento	
  Interno	
  
•  Perda	
  de	
  Carga	
  e	
  potência	
  
Um	
  fluido	
  é	
  uma	
  substância	
  que	
  se	
  deforma	
  conDnuamente	
  (ou	
  escoa),	
  quando	
  sujeita	
  
a	
  uma	
  força	
  de	
  cisalhamento.	
  
Se	
  o	
  fluido	
  permanece	
  estáDco	
  não	
  exisDrão	
  forças	
  de	
  cisalhamento	
  atuando.	
  Todas	
  as	
  
forças	
  devem	
  ser	
  perpendiculares	
  ao	
  plano	
  que	
  atuam.	
  	
  
	
  
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 2-4 
 
Podemos dizer que: 
 
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente (ou escoa), quando sujeita a uma força 
de cisalhamento. 
 
Tal definição implica num ponto importante. 
 
Se o fluido permanece estático não existirão forças de cisalhamento atuando. 
Todas as forças devem ser perpendiculares ao plano que atuam. 
 
Quando um fluido está em movimento são desenvolvidas forças de cisalhamento se as partículas do 
fluido movem-se adjacentes umas às outras. Quando isto acontece partículas adjacentes têm 
velocidades diferentes. Se a velocidade do fluido é a mesma em todo ponto então não há tensão de 
cisalhamento: as partículas apresentam velocidade relativa zero. 
 
Consideremos o escoamento de água num tubo (Fig.2.2b). Na parede do tubo a velocidade é zero. A 
velocidade aumenta quando nós movemos para o centro do tubo. Esta mudança da velocidade 
perpendicular à direção do fluxo é conhecido como perfil de velocidade mostrado na figura abaixo: 
 
 (a) (b) 
Figura 2.2 Exemplos de escoamento ideal (a) e real (b) num tubo. 
 
Já que partículas do fluido adjacentes estão movendo-se com velocidades diferentes há uma força 
de cisalhamento presente no fluido em movimento devido a viscosidade do fluido. Este tipo de 
escoamento é conhecido como escoamento real ou viscoso. Consideremos agora o caso em que o 
fluido apresenta um perfil de velocidade como o representado na Fig. 2.2a, o qual é conhecido 
como perfil uniforme. Neste caso nenhuma força de cisalhamento está presente, já que todas as 
partículas têm a mesma velocidade. Neste caso considera-se que o fluido comporta-se como um 
fluido ideal. O escoamento pode ser analisado como tendo um comportamento ideal afastado das 
fronteiras e como reais ou viscosos próximo das fronteiras. Na prática estamos interessados nos 
escoamentos nas proximidades das fronteiras sólidas de: aeroplanos, carros, paredes de tubos, 
canais de rio, isto é, onde se apresentam tensões de cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 2-6 
O termo uy é a mudança da velocidade com y, ou o gradiente de velocidade, e pode ser escrito na 
forma diferencial dudy . A constante de proporcionalidade é conhecida como viscosidade dinâmica 
µ , do fluido dada como: 
 
τ µ=
du
dy Lei da Viscosidade de Newton 
 
Obs: Utilizando a nomenclatura das tensões de cisalhamento, a tensão analisada corresponde a uma 
tensão τyx atuando no plano normal ao eixo y e apontando na direção positiva de x. Desta forma a 
rigor deveríamos escrever a mesma como: 
 
dy
du
yx µτ = 
2.3 Fluidos e Sólidos 
 
Discutimos as diferenças entre o comportamento de sólidos e fluidos sob uma força aplicada. 
Resumindo temos: 
 
1. Para um sólido o esforço é uma função da tensão de cisalhamento aplicada (desde que que o 
limite elástico não tenha sido alcançado). Para um fluido, o valor de esforço é proporcional à 
tensão aplicada. 
 
2. O esforço num sólido é independente do tempo em que a força é aplicada e (se o limite elástico 
não é alcançado) a deformação desaparece quando a força é removida. Um fluido continua a fluir 
enquanto a força é aplicada e não recuperará sua forma original quando a força é removida 
 
Quando observamos as propriedades dos sólidos, quando o limite elástico é alcançado eles parecem 
fluir. Tornam-se plásticos. Contudo não consideram-se como fluidos já que unicamente fluirão após 
a tensão de cisalhamento atingir um mínimo. 
 
2.4 Fluidos Newtonianos e Não-Newtonianos 
 
Até mesmo fluidos que são aceitos como tais podem ter grandes diferenças de comportamento 
quando submetidos a tensões de cisalhamento. Fluidos obedecendo Lei de Newton onde o valor de 
µ é constante são conhecidos como fluidos newtonianos. Se µ é constante a tensão é linearmente 
dependente do gradiente de velocidade. Isto é verdadeiro para a maioria dos fluidos. 
 
Os fluidos em que o valor de µ não é constante são conhecidos como fluidos não-newtonianos. Há 
várias categorias destes, sendo apresentados brevemente abaixo. 
Essas categorias são baseadas nas relações entre a tensão e o gradiente de velocidade (variação da 
tensão de cisalhamento) no fluido. Tais relações podem ser vistas no gráfico abaixo para várias 
categorias de fluidos. 
Capítulo 2: Propriedades dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 2-9 
2.7.3 Densidade 
 
Densidade d é definida como a relação entre a massa específica (ou peso específico) de uma 
substância e uma massa específica (ou peso específico) padrão. 
 
Para sólidos e líquidos a massa específica padrão corresponde à massa específica máxima da água 
na pressão atmosférica a uma temperatura de 4o C, que é igual a 1000 kg/m3. 
 
)4()4( 22 caOH
fluido
caOH
fluidod
oo
γ
γ
ρ
ρ
== 
 
Valores típicos para líquidos e gases: Tabela 2.5 e Tabela 2.6 
 
Obs. Alguns textos denominam a massa específica ( ρ ) como densidade devido a sua forma de 
tradução do inglês density. No inglês o termo que nos chamamos densidade (d) denomina-se 
specific gravity, literalmente gravidade específica. No presente texto adotamos o nome de densidade 
ou também densidade relativa. 
 
2.8 Viscosidade 
 
Viscosidade é a propriedade de um fluido, devido à coesão e interação entre moléculas, que oferece 
resistência para deformação de cisalhamento. Fluidos diferentes deformam com valores diferentes 
para uma mesma tensão de cisalhamento. Fluidos com uma alta viscosidade, deformam mais 
lentamente que fluidos com uma viscosidade baixa. Todos os fluidos viscosos denominados 
“Fluidos Newtonianos” obedecem à relação linear denominada Lei da Viscosidade de Newton 
 
τ µ=
du
dy . 
Onde τ é a tensão de cisalhamento e dudy é o gradiente da velocidade. 
 
 
2.8.1 Viscosidade Dinâmica 
 
A viscosidade dinâmica, µ , é definida como a força de cisalhamento, por unidade de área, (ou 
tensão de cisalhamento τ ), requerido para arrastar uma camada de fluido com velocidade unitária 
para outra camada afastada a uma distância unitária. 
 
Tempody
du
×
=
×
=== oCompriment
Massa
Área
TempoForça
Distância
Velocidade
Área
Força
τµ 
 
Unidades: N sm−2 ( ou Pa.s ) ou kg m s− −1 1 . Dimensões ML T− −1 2 . 
µ é também dado em Poise ( P) 10 Poise = 1 kg m s− −1 1 . (1 centiPoise - 1cP = Pa s/1000) 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 2-10 
2.8.2 Viscosidade Cinemática 
 
Viscosidade cinemática, ν , é definida como a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa 
específica. 
 
ρ
µ
ν = (m2/s) 
 
Dimensões: L T2 1− . 
(ν também é expressa em Stokes, St, onde 104 St = 1 m s2 1− .) 
Valores típicos para líquidos e gases: Tabela 2.5 e Tabela 2.6 
 
2.9 Causas da Viscosidade nos Fluidos 
As moléculas de líquidos e gases são mantidas na sua posição unidas por uma coesão molecular. 
Nos líquidos as moléculas estãomuito próximas e as forças moleculares são grandes afetando 
diretamente a resistência ao escoamento. Nos gases as moléculas estão muito mais espaçadas e 
estas forças moleculares são desprezíveis. Neste caso a resistência ao movimento deve-se a trocas 
de quantidade de movimento entre camadas adjacentes de fluido. 
 
2.9.1 Viscosidade nos Gases 
 
Quando as camadas adjacentes movem-se existe uma troca contínua de moléculas. As moléculas de 
uma camada mais lenta movem-se para camadas mais rápidas causando um arrasto. Desta forma 
quando as moléculas movem-se exercem uma força que aceleram as partículas arrastadas. 
Se a temperatura de um gás aumenta a sua atividade molecular aumenta e também sua quantidade 
de movimento. Isto provoca um aumento da troca entre camadas de fluidos. Desta forma aumenta a 
sua viscosidade dinâmica. 
A viscosidade também muda com a pressão - mas sob condições normais esta mudança é 
desprezível nos gases. 
Existem duas aproximações que descrevem o aumento da viscosidade com o aumento da 
temperatura: 
 
n
oo T
T






≈
µ
µ Equação Exponencial 
 
( ) ( ) /
2/3
ST
STTT oo
o +
+
≈
µ
µ Equação de Sutherland 
 
onde µo é a viscosidade conhecida a uma temperatura absoluta de referência geralmente 273 K 
(00C). As constantes n e S se ajustam aos dados e ambas as fórmulas são adequadas para uma ampla 
faixa de temperaturas. Para ar: n≈0,67 e S ≈110 K. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 2-10 
2.8.2 Viscosidade Cinemática 
 
Viscosidade cinemática, ν , é definida como a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa 
específica. 
 
ρ
µ
ν = (m2/s) 
 
Dimensões: L T2 1− . 
(ν também é expressa em Stokes, St, onde 104 St = 1 m s2 1− .) 
Valores típicos para líquidos e gases: Tabela 2.5 e Tabela 2.6 
 
2.9 Causas da Viscosidade nos Fluidos 
As moléculas de líquidos e gases são mantidas na sua posição unidas por uma coesão molecular. 
Nos líquidos as moléculas estão muito próximas e as forças moleculares são grandes afetando 
diretamente a resistência ao escoamento. Nos gases as moléculas estão muito mais espaçadas e 
estas forças moleculares são desprezíveis. Neste caso a resistência ao movimento deve-se a trocas 
de quantidade de movimento entre camadas adjacentes de fluido. 
 
2.9.1 Viscosidade nos Gases 
 
Quando as camadas adjacentes movem-se existe uma troca contínua de moléculas. As moléculas de 
uma camada mais lenta movem-se para camadas mais rápidas causando um arrasto. Desta forma 
quando as moléculas movem-se exercem uma força que aceleram as partículas arrastadas. 
Se a temperatura de um gás aumenta a sua atividade molecular aumenta e também sua quantidade 
de movimento. Isto provoca um aumento da troca entre camadas de fluidos. Desta forma aumenta a 
sua viscosidade dinâmica. 
A viscosidade também muda com a pressão - mas sob condições normais esta mudança é 
desprezível nos gases. 
Existem duas aproximações que descrevem o aumento da viscosidade com o aumento da 
temperatura: 
 
n
oo T
T






≈
µ
µ Equação Exponencial 
 
( ) ( ) /
2/3
ST
STTT oo
o +
+
≈
µ
µ Equação de Sutherland 
 
onde µo é a viscosidade conhecida a uma temperatura absoluta de referência geralmente 273 K 
(00C). As constantes n e S se ajustam aos dados e ambas as fórmulas são adequadas para uma ampla 
faixa de temperaturas. Para ar: n≈0,67 e S ≈110 K. 
 
Capítulo 2: Propriedades dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 2-5 
2.2 Lei de Viscosidade de Newton 
 
Podemos iniciar considerando que um elemento de fluido retangular 3D representado na Fig.2.3. 
 
 
Figura 2.3 Elemento de fluido submetido a uma força de cisalhamento. 
 
A força de cisalhamento F atua sobre a área no topo do elemento. Esta área é dada por xzA δδ ×= . 
Podemos determinar a tensão de cisalhamento que é igual a força F dividida pela área: 
 
A
F
= :tocisalhamen de Tensão τ 
 
A deformação que esta tensão origina é medida pelo tamanho do ângulo ϕ conhecido como ângulo 
de deformação. 
 
Num sólido ϕ, é constante para uma tensão de cisalhamento fixa τ. 
Num fluido ϕ aumenta quando τ é aplicado, e o fluido escoa. 
 
A variação da tensão de cisalhamento (tensão por unidade de tempo, τ/tempo) é diretamente 
proporcional à tensão de cisalhamento. 
 
Se uma partícula no ponto E (na figura acima) move-se sob uma tensão de cisalhamento para o 
ponto E' e isto leva um tempo t, percorrendo a distância x. Para pequenas deformações podemos 
escrever: 
Ângulo de deformação y
x
=ϕ 
y
u
yt
x
ty
x
t
=
===
1 deformação de taxa ϕ
 
onde xt u= é a velocidade da partícula no ponto E. 
Resultados experimentais mostram que a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de 
deformação da tensão e desta forma: 
y
u
×=Constante τ 
Capítulo 2: Propriedades dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 2-5 
2.2 Lei de Viscosidade de Newton 
 
Podemos iniciar considerando que um elemento de fluido retangular 3D representado na Fig.2.3. 
 
 
Figura 2.3 Elemento de fluido submetido a uma força de cisalhamento. 
 
A força de cisalhamento F atua sobre a área no topo do elemento. Esta área é dada por xzA δδ ×= . 
Podemos determinar a tensão de cisalhamento que é igual a força F dividida pela área: 
 
A
F
= :tocisalhamen de Tensão τ 
 
A deformação que esta tensão origina é medida pelo tamanho do ângulo ϕ conhecido como ângulo 
de deformação. 
 
Num sólido ϕ, é constante para uma tensão de cisalhamento fixa τ. 
Num fluido ϕ aumenta quando τ é aplicado, e o fluido escoa. 
 
A variação da tensão de cisalhamento (tensão por unidade de tempo, τ/tempo) é diretamente 
proporcional à tensão de cisalhamento. 
 
Se uma partícula no ponto E (na figura acima) move-se sob uma tensão de cisalhamento para o 
ponto E' e isto leva um tempo t, percorrendo a distância x. Para pequenas deformações podemos 
escrever: 
Ângulo de deformação y
x
=ϕ 
y
u
yt
x
ty
x
t
=
===
1 deformação de taxa ϕ
 
onde xt u= é a velocidade da partícula no ponto E. 
Resultados experimentais mostram que a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de 
deformação da tensão e desta forma: 
y
u
×=Constante τ 
1N/m²	
  =	
  1Pa	
  	
  
Princípio	
  Pascal	
  :	
  “A	
  variação	
  de	
  pressão	
  sofrida	
  em	
  um	
  ponto	
  de	
  um	
  fluido	
  
em	
  equilíbrio	
  é	
  transmi=da	
  integralmente	
  a	
  todos	
  os	
  pontos	
  do	
  fluido	
  e	
  às	
  
paredes	
  que	
  o	
  delimita”	
  
Teorema	
  de	
  Stevin	
  :“A	
  diferença	
  de	
  pressão	
  entre	
  dois	
  pontos	
  de	
  um	
  fluido	
  é	
  igual	
  
ao	
  produto	
  do	
  peso	
  específico	
  pela	
  diferença	
  de	
  cotas	
  dos	
  dois	
  pontos”	
  
Equação	
  Geral	
  Para	
  Variação	
  de	
  Pressão	
  num	
  
Fluido	
  EstáDco	
  
Aplicando	
  a	
  Fluidos	
  incompressíveis	
  	
  
Para	
  fluidos	
  incompressíveis	
  a	
  massa	
  específica	
  é	
  constante	
  
ea	
  integração	
  somente	
  dependente	
  da	
  altura	
  z.	
  
	
  
	
  
Determine	
  a	
  velocidade	
  do	
  fluido	
  em	
  (2)	
  se	
  a	
  altura	
  da	
  super_cie	
  até	
  o	
  
ponto	
  de	
  referência	
  onde	
  escoa	
  a	
  água	
  é	
  igual	
  a	
  4,5m.	
  	
  
solução	
  
	
  
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=
r
 
Onde x e y em metros 
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
7. Regime permanente ou não permanente ? 
8. Determinar o ponto de estagnação 
9.Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 Resposta: Escoamento bidimensional 
 
(2) Regime permanente ou não permanente ? 
 
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 
 
Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =
∂
∂
t
yxV
r
 Resposta: Regime permanente 
 
(3) Determinar o ponto de estagnação: 
 
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 
 
625,08,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
 
875,18,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
 
 
 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m 
 
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
 
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
 
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=
r
 
 
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= 
 
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=
r
 
Onde x e y em metros 
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
7. Regime permanente ou não permanente ? 
8. Determinar o ponto de estagnação 
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 Resposta: Escoamento bidimensional 
 
(2) Regime permanente ou não permanente ? 
 
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 
 
Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =
∂
∂
t
yxV
r
 Resposta: Regime permanente 
 
(3) Determinar o ponto de estagnação: 
 
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 
 
625,08,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
 
875,18,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
 
 
 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m 
 
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
 
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
 
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=
r
 
 
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= 
 
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s 
 
 
Considerando	
  o	
  vetor	
  velocidade	
  dado	
  pela	
  expressão:	
  
Solução	
  
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=
r
 
Onde x e y em metros 
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
7. Regime permanente ou não permanente ? 
8. Determinar o ponto de estagnação 
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 Resposta: Escoamento bidimensional 
 
(2) Regime permanente ou não permanente ? 
 
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 
 
Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =
∂
∂
t
yxV
r
 Resposta: Regime permanente 
 
(3) Determinar o ponto de estagnação: 
 
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 
 
625,08,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
 
875,18,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
 
 
 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m 
 
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
 
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
 
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=
r
 
 
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= 
 
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s 
 
 
1.	
  
2.	
  
3.	
  
4.	
  
5.	
  
1.	
  	
  
2.	
  	
  
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=
r
 
Onde x e y em metros 
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
7. Regime permanente ou não permanente ? 
8. Determinar o ponto de estagnação 
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 Resposta: Escoamento bidimensional 
 
(2) Regime permanente ou não permanente ? 
 
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 
 
Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =
∂
∂
t
yxV
r
 Resposta: Regime permanente 
 
(3) Determinar o ponto de estagnação: 
 
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 
 
625,08,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
 
875,18,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
 
 
 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m 
 
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
 
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
 
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=
r
 
 
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= 
 
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=
r
 
Onde x e y em metros 
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
7. Regime permanente ou não permanente ? 
8. Determinar o ponto de estagnação 
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 Resposta: Escoamento bidimensional 
 
(2) Regime permanente ou não permanente ? 
 
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 
 
Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =
∂
∂
t
yxV
r
 Resposta: Regime permanente 
 
(3) Determinar o ponto de estagnação: 
 
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 
 
625,08,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
 
875,18,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
 
 
 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m 
 
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
 
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
 
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=
r
 
 
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= 
 
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s 
 
 
3.	
  	
  
4.	
  	
  
5.	
  	
  
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0−++=
r
 
Onde x e y em metros 
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
7. Regime permanente ou não permanente ? 
8. Determinar o ponto de estagnação 
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 Resposta: Escoamento bidimensional 
 
(2) Regime permanente ou não permanente ? 
 
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 
 
Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =
∂
∂
t
yxV
r
 Resposta: Regime permanente 
 
(3) Determinar o ponto de estagnação: 
 
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 
 
625,08,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
 
875,18,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
 
 
 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m 
 
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
 
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
 
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=
r
 
 
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= 
 
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s 
 
 
	
  
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=
r
 
Onde x e y em metros 
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
7. Regime permanente ou não permanente ? 
8. Determinar o ponto de estagnação 
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 Resposta: Escoamento bidimensional 
 
(2) Regime permanente ou não permanente ? 
 
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 
 
Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =
∂
∂
t
yxV
r
 Resposta: Regime permanente 
 
(3) Determinar o ponto de estagnação: 
 
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 
 
625,08,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
 
875,18,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
 
 
 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m 
 
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
 
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
 
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=
r
 
 
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= 
 
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s 
 
 
	
  
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 
C-24 
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m
3
 conectados a um manômetro tipo U. Determinar 
a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. 
 
pC = pD 
 
pC = pA + ρg hA 
 
pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ) 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20 
 
 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 
 
 = -7284 + 61852 
 
 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar) 
 
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A 
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do 
manômetro. 
 
 
 
• Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão 
atmosférica. 
• Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a 
atmosférica. 
• Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa 
é uma pressão relativa a atmosfera. 
 
 
 
Desta forma utilizando pressões relativas: 
 
( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+
 
 
( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+ 
 
Resolvendo: 
 
( ) ( )
626mm0,626my
133416y83562,6
y 1334169810196206,2413230000
 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000
==
=
=+++
=+−+−+ yxxxxxxx
Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como 
mostra a Fig.. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine a elevação 
da coluna de mercúrio do manômetro (y). 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 
C-24 
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m
3
 conectados a um manômetro tipo U. Determinar 
a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. 
 
pC = pD 
 
pC = pA + ρg hA 
 
pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ) 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20 
 
 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 
 
 = -7284 + 61852 
 
 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar) 
 
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A 
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do 
manômetro. 
 
 
 
• Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão 
atmosférica. 
• Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a 
atmosférica. 
• Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa 
é uma pressão relativa a atmosfera. 
 
 
 
Desta forma utilizando pressões relativas: 
 
( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+
 
 
( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+ 
 
Resolvendo: 
 
( ) ( )
626mm0,626my
133416y83562,6
y 1334169810196206,2413230000
 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000
==
=
=+++
=+−+−+ yxxxxxxx
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 
C-24 
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m
3
 conectados a um manômetro tipo U. Determinar 
a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. 
 
pC = pD 
 
pC = pA + ρg hA 
 
pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ) 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20 
 
 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 
 
 = -7284 + 61852 
 
 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar) 
 
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A 
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do 
manômetro. 
 
 
 
• Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão 
atmosférica. 
• Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a 
atmosférica. 
• Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa 
é uma pressão relativa a atmosfera. 
 
 
 
Desta forma utilizando pressões relativas: 
 
( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+
 
 
( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+ 
 
Resolvendo: 
 
( ) ( )
626mm0,626my
133416y83562,6
y 1334169810196206,2413230000
 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000
==
=
=+++
=+−+−+ yxxxxxxx
Mecânica dos FluidosPUCRS 
C-24 
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m
3
 conectados a um manômetro tipo U. Determinar 
a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. 
 
pC = pD 
 
pC = pA + ρg hA 
 
pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ) 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20 
 
 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 
 
 = -7284 + 61852 
 
 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar) 
 
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A 
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do 
manômetro. 
 
 
 
• Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão 
atmosférica. 
• Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a 
atmosférica. 
• Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa 
é uma pressão relativa a atmosfera. 
 
 
 
Desta forma utilizando pressões relativas: 
 
( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+
 
 
( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+ 
 
Resolvendo: 
 
( ) ( )
626mm0,626my
133416y83562,6
y 1334169810196206,2413230000
 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000
==
=
=+++
=+−+−+ yxxxxxxx
solução	
  
dHgρáguagy	
  
O	
  conduto	
  tubular	
  mostrado	
  na	
  figura	
  a	
  seguir	
  tem	
  diâmetros	
  de	
  12in	
  
e	
  18in	
  nas	
  seções	
  1	
  e	
  2,	
  respecDvamente.	
  Se	
  a	
  água	
  flui	
  com	
  
velocidade	
  de	
  16j⋅s–1	
  na	
  seção	
  2:	
  
a)	
  qual	
  a	
  velocidade	
  do	
  fluido	
  na	
  seção	
  ”2".	
  
b)	
  qual	
  a	
  vazão	
  volumétrica	
  na	
  seção	
  1?	
  
c)	
  Qual	
  a	
  vazão	
  volumétrica	
  na	
  seção	
  2?	
  
d)	
  qual	
  a	
  vazão	
  mássica	
  nos	
  pontos	
  1	
  e	
  2?	
  	
  
e)	
  qual	
  a	
  vazão	
  em	
  peso	
  nos	
  pontos	
  1	
  e	
  2?	
  
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA – CEFET-SP
ÁREA DE MECÂNICA
Folha:
20 de 27
Disciplina: Mecânica dos Fluidos Aplicada
Exercícios Resolvidos – 1a lista
Professor:
Caruso
Dados do problema:
Q .400 m
3
h v mín
.2 ms
Q .v mín A tubo
A tubo
Q
v mín
=A tubo 0.056 m
2
d tubo
.4 A tubo
S
=d tubo 265.962 mm
O diâmetro interno padronizado é, consultando tabelas de tubos
de aço:
=d tubo 10.471 in d padrão .12 in schedule 80S
36.O conduto tubular mostrado na figura a seguir tem diâmetros de 12in e 18in nas seções 1
e 2, respectivamente. Se a água flui com velocidade de 16ft˜s–1 na seção 2:
a) qual a velocidade do fluido na seção "B".
b) qual a vazão volumétrica na seção 1?
c) qual a vazão volumétrica na seção 2?
d) qual a vazão mássica nos pontos 1 e 2?
e) qual a vazão em peso nos pontos 1 e 2?
Solução:
1 2
Fluxo
	
  
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA – CEFET-SP
ÁREA DE MECÂNICA
Folha:
21 de 27
Disciplina: Mecânica dos Fluidos Aplicada
Exercícios Resolvidos – 1a lista
Professor:
Caruso
Dados do problema:
d 1 .12 in =d 1 0.305 m
d 2 .18 in =d 2 0.457 m
v 2 .16.6
ft
s =v 2 5.06
m
s
a) Vazão volumétrica (Q)
Q .v A .v 1 A 1 .v 2 A 2 A
.S d2
4
A 1
.S d 12
4 =A 1 0.073 m
2 U água .1000
kg
m3
A 2
.S d 22
4 =A 2 0.164 m
2
v 1 .v 2
A 2
A 1
=v 1 11.384
m
s
b) Vazão volumétrica em "1"
Q 1 .v 1 A 1 =Q 1 0.831
m3
s
c) Vazão volumétrica em "2"
Q 2 .v 2 A 2 =Q 2 0.831 m
2 m
s
d) Vazão mássica:
Q m .Q 1 U água =Q m 830.664
kg
s
e) Vazão em peso:
Q p .Q m g =Q p 8.146 10
3 N
s
37.Pelo misturador estático mostrado a seguir, flui água através do duto "A", com vazão de
150L˜s–1, enquanto óleo com G=0,8 é forçado através do tubo "B" com vazão de 30L˜s–1.
Uma vez que os líquidos são incompressíveis e formam uma mistura homogênea de gló-
bulos de óleo na água, determinar a velocidade e a densidade da mistura que sai pelo
tubo em "C", que tem diâmetro de 30cm.
Solução:
MisturaÓleo
Água
CB
A
solução	
  
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA – CEFET-SP
ÁREA DE MECÂNICA
Folha:
21 de 27
Disciplina: Mecânica dos Fluidos Aplicada
Exercícios Resolvidos – 1a lista
Professor:
Caruso
Dados do problema:
d 1 .12 in =d 1 0.305 m
d 2 .18 in =d 2 0.457 m
v 2 .16.6
ft
s =v 2 5.06
m
s
a) Vazão volumétrica (Q)
Q .v A .v 1 A 1 .v 2 A 2 A
.S d2
4
A 1
.S d 12
4 =A 1 0.073 m
2 U água .1000
kg
m3
A 2
.S d 22
4 =A 2 0.164 m
2
v 1 .v 2
A 2
A 1
=v 1 11.384
m
s
b) Vazão volumétrica em "1"
Q 1 .v 1 A 1 =Q 1 0.831
m3
s
c) Vazão volumétrica em "2"
Q 2 .v 2 A 2 =Q 2 0.831 m
2 m
s
d) Vazão mássica:
Q m .Q 1 U água =Q m 830.664
kg
s
e) Vazão em peso:
Q p .Q m g =Q p 8.146 10
3 N
s
37.Pelo misturador estático mostrado a seguir, flui água através do duto "A", com vazão de
150L˜s–1, enquanto óleo com G=0,8 é forçado através do tubo "B" com vazão de 30L˜s–1.
Uma vez que os líquidos são incompressíveis e formam uma mistura homogênea de gló-
bulos de óleo na água, determinar a velocidade e a densidade da mistura que sai pelo
tubo em "C", que tem diâmetro de 30cm.
Solução:
MisturaÓleo
Água
CB
A
	
  
	
  
	
  
Considere o escoamento de um óleo bombeado a uma vazão de 0,057m3/s através de 
um tubo de ferro fundido novo de 0,152m de diâmetro interno cujo fator de atrito f= 
0,038. 
Determine: 
a) A perda de carga por quilômetro de tubo; 
b) A potência dissipada em razão do atrito nas paredes do tubo 
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SÃO PAULO – CEFET–SP
ÁREA INDUSTRIAL
Folha:
4 de 11
Lista de Exercícios Resolvidos
Professor:
Caruso
5. Óleo SAE10 (P=1,70x10–3lbf*s/m2, U=1,68slug/ft3) é bombeado à razão de 2,0ft3/s atra-
vés de um tubo de ferro fundido novo de 6in de diâmetro interno. Qual a perda de carga
por quilômetro de tubo? Qual a potência dissipada pela fricção?
Dados do problema: P ..1.7 10 3
.lbf s
ft2
=P 0.0814 .Pa s
U .1.68 slug
ft3
=U 865.835 kg
m3
Q .2 ft
3
s
=Q 0.057 m
3
s
d .6 in =d 0.152 m
L .1 km
Pela equação de Darcy: h f ..f
L
d
v2
2g
Q .v A A
.S d2
4
=A 1.824 10 2 m2
v Q
A
=v 3.105 m
s
Re
..U d v
P
=Re 5033.033 regime turbulento
Da tabela 17: k .0.026 mm =k 2.6 10 5 m
=k
d
1.706 10 4 Do ábaco de Moody:
f 0.04
Pode-se considerar o tubo como "liso", portanto, para
melhor precisão, utilizaremos para o cálculo de "f" a
fórmula:
f ( ).1.8 log( )Re 1.5 2 =f 0.038
Pode-se calcular, então, a perda de carga de óleo:
h f ..f
L
d
v2
.2 g
=h f 120.96 m (metros de coluna de óleo)
A potência dissipada pela fricção vale, então:
N ...Q U g h f =N 58.166 kW
DADOS	
  
	
  
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SÃO PAULO – CEFET–SP
ÁREA INDUSTRIAL
Folha:
4 de 11
Lista de Exercícios Resolvidos
Professor:
Caruso
5. Óleo SAE10 (P=1,70x10–3lbf*s/m2, U=1,68slug/ft3) é bombeado à razão de 2,0ft3/s atra-
vés de um tubo de ferro fundido novo de 6in de diâmetro interno. Qual a perda de carga
por quilômetro de tubo? Qual a potência dissipada pela fricção?
Dados do problema: P ..1.7 10 3
.lbf s
ft2
=P 0.0814 .Pa s
U .1.68 slug
ft3
=U 865.835 kg
m3
Q .2 ft
3
s
=Q 0.057 m
3
s
d .6 in =d 0.152 m
L .1 km
Pela equação de Darcy: h f ..f
L
d
v2
2g
Q .v A A
.S d2
4
=A 1.824 10 2 m2
v Q
A
=v 3.105 m
s
Re
..U d v
P
=Re 5033.033 regime turbulento
Da tabela 17: k .0.026 mm =k 2.6 10 5 m
=k
d
1.706 10 4 Do ábaco de Moody:
f 0.04
Pode-se consideraro tubo como "liso", portanto, para
melhor precisão, utilizaremos para o cálculo de "f" a
fórmula:
f ( ).1.8 log( )Re 1.5 2 =f 0.038
Pode-se calcular, então, a perda de carga de óleo:
h f ..f
L
d
v2
.2 g
=h f 120.96 m (metros de coluna de óleo)
A potência dissipada pela fricção vale, então:
N ...Q U g h f =N 58.166 kW
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5. Óleo SAE10 (P=1,70x10–3lbf*s/m2, U=1,68slug/ft3) é bombeado à razão de 2,0ft3/s atra-
vés de um tubo de ferro fundido novo de 6in de diâmetro interno. Qual a perda de carga
por quilômetro de tubo? Qual a potência dissipada pela fricção?
Dados do problema: P ..1.7 10 3
.lbf s
ft2
=P 0.0814 .Pa s
U .1.68 slug
ft3
=U 865.835 kg
m3
Q .2 ft
3
s
=Q 0.057 m
3
s
d .6 in =d 0.152 m
L .1 km
Pela equação de Darcy: h f ..f
L
d
v2
2g
Q .v A A
.S d2
4
=A 1.824 10 2 m2
v Q
A
=v 3.105 m
s
Re
..U d v
P
=Re 5033.033 regime turbulento
Da tabela 17: k .0.026 mm =k 2.6 10 5 m
=k
d
1.706 10 4 Do ábaco de Moody:
f 0.04
Pode-se considerar o tubo como "liso", portanto, para
melhor precisão, utilizaremos para o cálculo de "f" a
fórmula:
f ( ).1.8 log( )Re 1.5 2 =f 0.038
Pode-se calcular, então, a perda de carga de óleo:
h f ..f
L
d
v2
.2 g
=h f 120.96 m (metros de coluna de óleo)
A potência dissipada pela fricção vale, então:
N ...Q U g h f =N 58.166 kW
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5. Óleo SAE10 (P=1,70x10–3lbf*s/m2, U=1,68slug/ft3) é bombeado à razão de 2,0ft3/s atra-
vés de um tubo de ferro fundido novo de 6in de diâmetro interno. Qual a perda de carga
por quilômetro de tubo? Qual a potência dissipada pela fricção?
Dados do problema: P ..1.7 10 3
.lbf s
ft2
=P 0.0814 .Pa s
U .1.68 slug
ft3
=U 865.835 kg
m3
Q .2 ft
3
s
=Q 0.057 m
3
s
d .6 in =d 0.152 m
L .1 km
Pela equação de Darcy: h f ..f
L
d
v2
2g
Q .v A A
.S d2
4
=A 1.824 10 2 m2
v Q
A
=v 3.105 m
s
Re
..U d v
P
=Re 5033.033 regime turbulento
Da tabela 17: k .0.026 mm =k 2.6 10 5 m
=k
d
1.706 10 4 Do ábaco de Moody:
f 0.04
Pode-se considerar o tubo como "liso", portanto, para
melhor precisão, utilizaremos para o cálculo de "f" a
fórmula:
f ( ).1.8 log( )Re 1.5 2 =f 0.038
Pode-se calcular, então, a perda de carga de óleo:
h f ..f
L
d
v2
.2 g
=h f 120.96 m (metros de coluna de óleo)
A potência dissipada pela fricção vale, então:
N ...Q U g h f =N 58.166 kW
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5. Óleo SAE10 (P=1,70x10–3lbf*s/m2, U=1,68slug/ft3) é bombeado à razão de 2,0ft3/s atra-
vés de um tubo de ferro fundido novo de 6in de diâmetro interno. Qual a perda de carga
por quilômetro de tubo? Qual a potência dissipada pela fricção?
Dados do problema: P ..1.7 10 3
.lbf s
ft2
=P 0.0814 .Pa s
U .1.68 slug
ft3
=U 865.835 kg
m3
Q .2 ft
3
s
=Q 0.057 m
3
s
d .6 in =d 0.152 m
L .1 km
Pela equação de Darcy: h f ..f
L
d
v2
2g
Q .v A A
.S d2
4
=A 1.824 10 2 m2
v Q
A
=v 3.105 m
s
Re
..U d v
P
=Re 5033.033 regime turbulento
Da tabela 17: k .0.026 mm =k 2.6 10 5 m
=k
d
1.706 10 4 Do ábaco de Moody:
f 0.04
Pode-se considerar o tubo como "liso", portanto, para
melhor precisão, utilizaremos para o cálculo de "f" a
fórmula:
f ( ).1.8 log( )Re 1.5 2 =f 0.038
Pode-se calcular, então, a perda de carga de óleo:
h f ..f
L
d
v2
.2 g
=h f 120.96 m (metros de coluna de óleo)
A potência dissipada pela fricção vale, então:
N ...Q U g h f =N 58.166 kW
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5. Óleo SAE10 (P=1,70x10–3lbf*s/m2, U=1,68slug/ft3) é bombeado à razão de 2,0ft3/s atra-
vés de um tubo de ferro fundido novo de 6in de diâmetro interno. Qual a perda de carga
por quilômetro de tubo? Qual a potência dissipada pela fricção?
Dados do problema: P ..1.7 10 3
.lbf s
ft2
=P 0.0814 .Pa s
U .1.68 slug
ft3
=U 865.835 kg
m3
Q .2 ft
3
s
=Q 0.057 m
3
s
d .6 in =d 0.152 m
L .1 km
Pela equação de Darcy: h f ..f
L
d
v2
2g
Q .v A A
.S d2
4
=A 1.824 10 2 m2
v Q
A
=v 3.105 m
s
Re
..U d v
P
=Re 5033.033 regime turbulento
Da tabela 17: k .0.026 mm =k 2.6 10 5 m
=k
d
1.706 10 4 Do ábaco de Moody:
f 0.04
Pode-se considerar o tubo como "liso", portanto, para
melhor precisão, utilizaremos para o cálculo de "f" a
fórmula:
f ( ).1.8 log( )Re 1.5 2 =f 0.038
Pode-se calcular, então, a perda de carga de óleo:
h f ..f
L
d
v2
.2 g
=h f 120.96 m (metros de coluna de óleo)
A potência dissipada pela fricção vale, então:
N ...Q U g h f =N 58.166 kW
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5. Óleo SAE10 (P=1,70x10–3lbf*s/m2, U=1,68slug/ft3) é bombeado à razão de 2,0ft3/s atra-
vés de um tubo de ferro fundido novo de 6in de diâmetro interno. Qual a perda de carga
por quilômetro de tubo? Qual a potência dissipada pela fricção?
Dados do problema: P ..1.7 10 3
.lbf s
ft2
=P 0.0814 .Pa s
U .1.68 slug
ft3
=U 865.835 kg
m3
Q .2 ft
3
s
=Q 0.057 m
3
s
d .6 in =d 0.152 m
L .1 km
Pela equação de Darcy: h f ..f
L
d
v2
2g
Q .v A A
.S d2
4
=A 1.824 10 2 m2
v Q
A
=v 3.105 m
s
Re
..U d v
P
=Re 5033.033 regime turbulento
Da tabela 17: k .0.026 mm =k 2.6 10 5 m
=k
d
1.706 10 4 Do ábaco de Moody:
f 0.04
Pode-se considerar o tubo como "liso", portanto, para
melhor precisão, utilizaremos para o cálculo de "f" a
fórmula:
f ( ).1.8 log( )Re 1.5 2 =f 0.038
Pode-se calcular, então, a perda de carga de óleo:
h f ..f
L
d
v2
.2 g
=h f 120.96 m (metros de coluna de óleo)
A potência dissipada pela fricção vale, então:
N ...Q U g h f =N 58.166 kW
Perda	
  de	
  Carga	
  –	
  Eq	
  de	
  Darcy	
  
Precisamos	
  da	
  velocidade	
  do	
  escoamento	
  	
  
IdenDficando	
  o	
  Dpo	
  de	
  escoamento	
  (Re)	
  
a)	
  Perda	
  de	
  carga	
  em	
  m	
  de	
  coluna	
  de	
  óleo	
  
b)	
  Potência	
  dissipada	
  pelo	
  atrito	
  
Numa	
  tubulação	
  horizontal	
  escoa	
  água	
  através	
  com	
  uma	
  vazão	
  de	
  0,2m3/s.	
  O	
  diâmetro	
  da	
  tubulação	
  é	
  igual	
  a	
  150mm.	
  O	
  fator	
  
de	
  atrito	
  da	
  tubulação	
  é	
  igual	
  a	
  0,0149.	
  Considere	
  que	
  para	
  a	
  temperatura	
  de	
  200C	
  a	
  água	
  tem	
  uma	
  massa	
  específica	
  igual	
  a	
  
999	
  kg/m3	
  e	
  viscosidade	
  dinâmica	
  igual	
  a	
  1,0x10-­‐3	
  Pa.s.	
  Para	
  um	
  comprimento	
  de	
  tubulação	
  de	
  10	
  metros	
  determinar	
  a	
  
variação	
  de	
  pressão	
  na	
  tubulação	
  e	
  a	
  tensão	
  de	
  cisalhamento	
  na	
  parede.	
  
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 
C-66 
Solução: Exemplo 1 
 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator 
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999 
kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de 
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s. 
 
2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia: 
 
B
BB
LA
AA zg
u
g
phzg
u
g
p
++=−++ 22
22
ρρ
 
 
como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) 
 
L
BA hg
p
g
p
=−
ρρ
 
 
onde a perda de carga é dada por: 
 
( ) mcaxxxg
v
D
LfhL 62,181,92
66,5
15,0
100149,02
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ 
 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 
 
26006,010
88,15
4
15,0
4 m
NkPaxL
pD
w ===
∆
=τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 
C-66 
Solução: Exemplo 1 
 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator 
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999 
kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de 
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. 
 
1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s. 
 
2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia: 
 
B
BB
LA
AA zg
u
g
phzg
u
g
p
++=−++ 22
22
ρρ
 
 
como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) 
 
L
BA hg
p
g
p
=−
ρρ
 
 
onde a perda de carga é dada por: 
 
( ) mcaxxxg
v
D
LfhL 62,181,92
66,5
15,0
100149,02
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ 
 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 
 
26006,010
88,15
4
15,0
4 m
NkPaxL
pD
w ===
∆
=τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
	
  
Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 
litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro. 
A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 
0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de 
aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a 
bomba). Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento 
global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e 
igual a Σk=13,2. 
Obs. ρ=1000 kg/m visc cinemática=1,02x10 m2 /s. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 
C-78 
Solução: Exemplo 15 
 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera 
a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 
50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o 
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e 
Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da 
bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). 
Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um 
rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda 
de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. 
Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] 
 
Z1=6,1m
Z2=36,6m 
 
 
B
BB
ALA
AA zg
u
g
pHhzg
u
g
p
++=+−++ 22
22
ρρ
 
 
ABLA zzhH −+= 
 
( ) mxg
V
D
LfhL 82,2181,92
85,2
05,0
1220216,02
22
=== 
( ) mxg
VKhac 46,581,92
85,22,132
22
===∑ 
 
mHA 80,575,3029,27 =+= Watts
xxxQgHW A 45367,0
0056,080,5781,91000
===
η
ρ
&
 
 
Solução: Exemplo 16 
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. 
Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia 
de acionamento da bomba. 
 
B
BB
LA
AA zg
u
g
phzg
u
g
p
++=−++ 22
22
ρρ
 
 
Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro 
 
L
BA hg
p
g
p
=−
ρρ
 onde: 00,151.848100,1
15,099966,5Re 3 === −x
xxVD
ν
 Turbulento. 
 
Da apostila, utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 105 
 
012,0)108(5,0056,0 32,05 =+= −xf 
 
( ) mcaxxxg
v
D
LfhL 62,13081,92
66,5
15,0
1000012,02
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 128081,999962,130 ≡==− ρ kWxW 1281,01280 ==& 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 
C-78 
Solução: Exemplo 15 
 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera 
a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 
50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o 
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e 
Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da 
bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). 
Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um 
rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda 
de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. 
Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] 
 
Z1=6,1m
Z2=36,6m 
 
 
B
BB
ALA
AA zg
u
g
pHhzg
u
g
p
++=+−++ 22
22
ρρ
 
 
ABLA zzhH −+= 
 
( ) mxg
V
D
LfhL 82,2181,92
85,2
05,0
1220216,02
22
=== 
( ) mxg
VKhac 46,581,92
85,22,132
22
===∑ 
 
mHA 80,575,3029,27 =+= Watts
xxxQgHW A 45367,0
0056,080,5781,91000
===
η
ρ
&
 
 
Solução: Exemplo 16 
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. 
Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia 
de acionamento da bomba. 
 
B
BB
LA
AA zg
u
g
phzg
u
g
p
++=−++ 22
22
ρρ
 
 
Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro 
 
L
BA hg
p
g
p
=−
ρρ
 onde: 00,151.848100,1
15,099966,5Re 3 === −x
xxVD
ν
 Turbulento. 
 
Da apostila, utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 105 
 
012,0)108(5,0056,0 32,05 =+= −xf 
 
( ) mcaxxxg
v
D
LfhL 62,13081,92
66,5
15,0
1000012,02
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 128081,999962,130 ≡==− ρ kWxW 1281,01280 ==& 
ZB-­‐ZA=36,6-­‐6,1=30,5m	
  
Q	
  =5,6.10-­‐3	
  m3/s=v.A	
  
Estudem	
  os	
  exercícios	
  	
  	
  
•  Escoamento	
  entre	
  placas	
  paralelas	
  para	
  determinar	
  Tensão	
  superficial	
  máx,	
  
velocidade	
  máx	
  ou	
  força	
  necessária	
  para	
  puxar	
  placa	
  ou	
  mantê-­‐la	
  em	
  
equilíbrio.	
  	
  
•  Determinação	
  de	
  vazões	
  e	
  velocidades	
  a	
  parDr	
  da	
  Eq	
  da	
  conDnuidade	
  entre	
  
dois	
  pontos;	
  
•  Manometria	
  –	
  determinação	
  de	
  alturas	
  manométricas	
  ou	
  	
  pressões	
  a	
  parDr	
  de	
  
instrumentos	
  acoplados	
  com	
  fluidos	
  manométricos	
  (Hg)	
  
•  Perfis	
  de	
  velocidade	
  	
  para	
  determinar	
  tensões	
  de	
  cisalhamento,	
  velocidade	
  
máxima	
  em	
  escoamentos	
  entre	
  placas	
  e	
  em	
  tubos;	
  
•  Escoamento	
  no	
  interior	
  de	
  dutos	
  :	
  Perda	
  de	
  carga	
  principal	
  e	
  secundária	
  emescoamentos	
  laminar	
  e	
  turbulento,	
  potência	
  dissipada	
  e	
  requerida	
  para	
  
manter	
  det	
  vazão.