Apostila Calculo II UDESC

rdrdθ + 2
∫ pi
2
arctan 2
∫ √20
0
rdrdθ
7. (a) I =
∫ 1
0
∫ 1+√1−y2
1
√
x2 + y2
x+ y
dxdy
(b) I =
∫ pi
4
0
∫ 2 cos θ
sec θ
r
cos θ + sin θ
drdθ
8. I =
∫ 3
0
∫ √9−x2
√
3x−x2
y
x2 + y2
dydx+
∫ 3
0
∫ −√3x−x2
−√9−x2
y
x2 + y2
dydx
119
9. (a) I =
∫ √2
2
0
∫ x
0
2x+ 4y√
x2 + y2
dydx+
∫ 1
√
2
2
∫ √1−x2
0
2x+ 4y√
x2 + y2
dydx
(b) I =
∫ pi
4
0
∫ 1
0
(2r cos θ + 4r sin θ)drdθ
(c) 2− 1
2
√
2
10. (a) I =
∫ √2
2
0
∫ √1−x2
x
(x2 + y2)dydx
(b) I =
∫ √2
2
0
∫ y
0
(x2 + y2)dxdy +
∫ 1
√
2
2
∫ √1−y2
0
(x2 + y2)dxdy
11. (a)
(b) I =
1
2
sin 1
12. I =
∫ pi
4
0
∫ 2
1
r3 cos θ sin θdrdθ
13. (a) I =
∫ 1
0
∫ 1+√1−x2
√
2x−x2
√
x2 + y2
x2 + y2
dydx
(b) I =
∫ pi
2
pi
4
∫ 2 sin θ
2 cos θ
drdθ
(c) I = 2
√
2− 2
14. I = 2
15. I = 2
120
Capítulo 4
INTEGRAIS TRIPLAS
Objetivos (ao �nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
1. Encontrar o valor de uma integral tripla;
2. Interpretar geométrica e �sicamente uma integral tripla;
3. Calcular integrais triplas em coordenadas retangulares;
4. Calcular integrais triplas em coordenadas cilíndricas;
5. Calcular integrais triplas em coordenadas esféricas;
6. Transformar uma integral tripla de coordenadas retangulares para cilíndricas e de
cilíndricas para retangulares;
7. Transformar uma integral tripla de coordenadas retangulares para esféricas e de esféri-
cas para retangulares;
8. Transformar uma integral tripla de coordenadas cilíndricas para esféricas e de esféricas
para cilíndricas;
9. Montar uma integral tripla nos três sistemas de coordenadas e decidir qual o sistema
mais adequado para resolvê-la;
10. Fazer a maquete de uma �gura delimitada por superfícies e encontrar seu volume.
11. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica.
A prova será composta por questões que possibilitam veri�car se os objetivos foram
atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu-
lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento
teórico desse capítulo, nessa apostila.
121
4.1 Introdução
As integrais triplas, aplicadas sobre sólidos no espaço xyz, são de�nidas de forma análoga
às integrais duplas aplicadas sobre uma região do plano xy. Não é nosso objetivo discutir
os pormenores da de�nição, pois estes fazem parte do conteúdo de um texto de cálculo
avançado. Vamos esboçar apenas as idéias principais.
NOTAÇÃO: 4.1.1 Seja S um sólido no espaço tridimensional e f : S → R uma função de
três variáveis de�nida sobre cada ponto (x, y, z) ∈ S. Denotaremos a integral tripla de f
sobre S como ∫∫∫
S
f (x, y, z) dxdydz.
4.2 Interpretação Geométrica da Integral Tripla
Para �xar as ideias vamos supor que o sólido S é um paralelepípedo. Uma partição
desse paralelepípedo é obtida seccionando-o com n planos paralelos aos eixos coordenados,
conforme ilustra a Figura 4.1.
Figura 4.1: Partição de um sólido
O fracionamento de S obtido pela partição é um conjunto de sub-parelelepípedos chama-
dos células da partição. Suponhamos que uma i−célula tenha dimensões ∆xi,∆yi e ∆zi.
Então, o volume dessa i−célula é Vi = ∆xi∆yi∆xi. Seja (x∗i , y∗i , z∗i ) um ponto qualquer da
i−célula e seja f : S → R a função densidade em cada ponto de S, então uma estimativa da
massa da i−célula é mi = f (x∗i , y∗i , z∗i )∆xi∆yi∆xi e, desse modo uma estimativa da massa
do sólido S será
mn =
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i , z
∗
i )∆xi∆yi∆xi.
Se |N | é a célula de maior diâmetro da partição de S, então a massa m do sólido S será
dada por
m = lim
|N |→0
mn = lim|N |→0
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i , z
∗
i )∆xi∆yi∆xi
ou
m =
∫∫∫
S
f (x, y, z) dxdydz.
122
OBSERVAÇÃO 4.2.1 Se f (x, y, z) = 1 então a massa m e o volume V do sólido tem o mesmo
valor numérico. Portanto, o volume de um sólido, em termos de integrais triplas, é dado por
V =
∫∫∫
S
dxdydz.
4.3 Cálculo da Integral Tripla em Coordenadas Retan-
gulares
Seja S um sólido delimitado pelas curvas x = a, x = b, y = y1(x) e y = y2(x) e pelas
superfícies z = f(x, y) e z = g(x, y), com f(x, y) ≤ g(x, y) para todo (x, y) , de acordo com
a tabela abaixo:
Tabela de limitantes
Limitante Equações
Curva à esquerda x = a
Curva à direita x = b
Curva inferior y = y1(x)
Curva superior y = y2(x)
Superfície inferior z = f(x, y)
Superfície superior z = g(x, y)
A integral tripa de uma função contínua f(x, y, z) sobre o sólido S é dada por∫∫∫
S
f (x, y, z) dxdydz =
∫ b
a
∫ y2(x)
y1(x)
∫ g(x,y)
f(x,y)
f (x, y, z) dzdydx.
EXEMPLO 4.3.1 Determine o volume do sólido delimitado pelos planos z = 0, y = 0, x = 0
e 2x+ 4y + z = 8.
Solução: Iniciamos representando geometricamente o sólido (Figura 4.2).
Figura 4.2: Sólido do Exemplo 4.3.1.
Em seguida, devemos projetar o sólido sobre um dos planos coordenados. A projeção
sobre o plano xy pode ser vista na Figura 4.3. Note que poderíamos ter optado por projetar
sobre outro plano coordenado.
A tabela de limitantes do sólido, tomando x como variável independente, é dada por
123
Figura 4.3: Projeção no plano xy.
Limitantes Equações
Curva à esquerda x = 0
Curva à direita x = 4
Curva inferior y = 0
Curva superior y = 2− x
2
Superfície inferior z = 0
Superfície superior z = 8− 2x− 4y
Assim, o volume desejado é dado por
V =
∫ 4
0
∫ 2−x
2
0
∫ 8−2x−4y
0
dzdydx =
∫ 4
0
∫ 2−x
2
0
z
∣∣∣∣∣
8−2x−4y
0
dydx
=
∫ 4
0
∫ 2−x
2
0
(8− 2x− 4y)dydx =
∫ 4
0
(8y − 2xy − 2y2)
∣∣∣∣∣
2−x
2
0
dx
=
∫ 4
0
16− 4x− 2x
(
2− 1
2
x
)
− 2
(
2− 1
2
x
)2
dx =
∫ 4
0
(8− 4x+ 1
2
x2)dx =
32
3
u.v.
EXEMPLO 4.3.2 Calcule o volume do sólido delimitado pelos cilindros z2+x2 = 9 e y2+x2 = 9
situado no primeiro octante.
Solução: A representação geometricamente do sólido pode ser vista na Figura 4.4.
Figura 4.4: Sólido do Exemplo 4.3.2.
Como o sólido está situado no primeiro octante, os planos z = 0, y = 0 e z = 0
delimitam este sólido e a projeção sobre o plano xy é a parte da circunferência x2 + y2 = 9
que está no primeiro quadrante.
Vejamos a tabela de limitantes:
124
Limitantes Equações
Curva à esquerda x = 0
Curva à direita x = 3
Curva inferior y = 0
Curva superior y =
√
9− x2
Superfície inferior z = 0
Superfície superior z =
√
9− x2
O volume é dado por
V =
∫ 3
0
∫ √9−x2
0
∫ √9−x2
0
dzdydx =
∫ 3
0
∫ √9−x2
0
√
9− x2dydx
=
∫ 3
0
y
√
9− x2
∣∣∣∣∣
√
9−x2
0
dx =
∫ 3
0
(9− x2)dx = 9x− x
3
3
∣∣∣∣∣
3
0
= 18 u.v.
EXEMPLO 4.3.3 Encontre o volume do sólido delimitado pelas superfícies z = 9−x2, z = 5−y,
y = 0 e y = 5.
Solução: Iniciamos com a construção do sólido de acordo com a Figura 4.5.
Figura 4.5: Sólido do Exemplo 4.3.3.
O próximo passo é determinar as curvas que limitam a região de integração sobre o plano
xy. Para isso resolvemos o sistema de equações
{
z = 9− x2
z = 5− y Igualando as duas equações
obtemos a parábola y = x2−4. Desse modo, no plano xy, a região de integração é delimitada
pelas curvas y = x2 − 4, y = 0 e y = 5 (Figura 4.6).
Figura 4.6: Projeção no plano xy.
Para diminuir o trabalho no processo de integração é conveniente tomar y como variável
independente. Desse modo a tabela de limitantes é dada por
125
Limitantes Equações
Curva à esquerda y = 0
Curva à direita y = 5
Curva inferior x = −√y + 4
Curva superior x =
√
y + 4
Superfície inferior z = 5− y
Superfície superior z = 9− x2
Assim, o volume desejado é dado por
V =
∫ 5
0
∫ √y+4
−√y+4
∫ 9−x2
5−y
dzdxdy =
∫ 5
0