Cálculo II Lavras

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 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE LAVRAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO II 
 
 
 
 
 
 
Profª. Ms Valéria Andrade Villela 
valeria@unilavras.edu.br 
 
 
 
 
 
 
LAVRAS – M. G. 
 
 1
SUMÁRIO 
CAPÍTULO I 
1 NOÇÕES BÁSICAS ......................................................................................................................................................................... 2 
2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ............................................................................................................................................ 2 
3 ESPAÇO EUCLIDIANO N-DIMENSIONAL ................................................................................................................................. 5 
4 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ....................................................................................................................................................... 8 
5 SUPERFÍCIES DO ESPAÇO E EQUAÇÕES ................................................................................................................................ 10 
6 CURVAS DE NÍVEL DE UMA SUPERFÍCIE .............................................................................................................................. 11 
7 LIMITES ........................................................................................................................................................................................ 15 
8 FUNÇÕES CONTÍNUAS .............................................................................................................................................................. 16 
9 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES .................................................................................................................................................... 19 
CAPÍTULO II 
1 DIFERENCIAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 20 
2 DERIVADAS PARCIAIS .............................................................................................................................................................. 21 
3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA ............................................................................................................................................. 25 
4 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS ..................................................................................................................................................... 26 
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR ..................................................................................................................... 29 
6 APROXIMAÇÃO POR MEIO DA DIFERENCIAL ...................................................................................................................... 33 
7 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES COMPOSTAS ............................................................................................................................... 36 
8 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS ................................................................................................................................. 43 
9 DERIVADA DIRECIONAL. GRADIENTE .................................................................................................................................. 50 
10 MÁXIMOS E MÍNIMOS ............................................................................................................................................................. 58 
11 MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS............................................................................................................................ 65 
 
1 NOÇÕES BÁSICAS ....................................................................................................................................................................... 2 
2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS .......................................................................................................................................... 3 
3 ESPAÇO EUCLIDIANO N-DIMENSIONAL .............................................................................................................................. 6 
4 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ..................................................................................................................................................... 8 
5 SUPERFÍCIES DO ESPAÇO E EQUAÇÕES ............................................................................................................................ 10 
6 CURVAS DE NÍVEL DE UMA SUPERFÍCIE .......................................................................................................................... 12 
7 LIMITES ....................................................................................................................................................................................... 16 
EXEMPLOS ..................................................................................................................................................................................... 16 
8 FUNÇÕES CONTÍNUAS ............................................................................................................................................................. 17 
9 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES ................................................................................................................................................. 19 
1 DIFERENCIAÇÃO ...................................................................................................................................................................... 20 
 2
2 DERIVADAS PARCIAIS ............................................................................................................................................................. 22 
3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA ......................................................................................................................................... 25 
4 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS .................................................................................................................................................. 27 
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR ................................................................................................................. 28 
6 APROXIMAÇÃO POR MEIO DA DIFERENCIAL ................................................................................................................. 33 
7 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES COMPOSTAS ............................................................................................................................ 37 
8 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS ............................................................................................................................. 43 
9 DERIVADA DIRECIONAL. GRADIENTE............................................................................................................................... 51 
10 MÁXIMOS E MÍNIMOS ........................................................................................................................................................... 57 
11 MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS ........................................................................................................................ 65 
 
 
CAPÍTULO I 
1 Noções básicas 
Introdução 
As funções que foram estudadas no programa de cálculo I são funções reais de 
uma variável real. 
Trataremos agora das funções reais de várias variáveis reais. 
Consideremos, por exemplo, um retângulo de base x e altura y. A área S desse 
retângulo é S = xy. 
Costumamos dizer que a área S é função das duas variáveis x e y. 
Tomemos agora um paralelepípedo retângulo (ou bloco retangular) decomprimento x largura y e altura z. O volume V desse sólido é V = xyz. 
A cada termo de valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor do volume. 
Dizemos que o volume V é função das três variáveis x, y, z. 
Muitas funções podem ser definidas por meio de fórmulas. Por exemplo, se 
escrevermos: 
xy
yx
z
−+−
=
21
, 
A cada par (x,y) de números reais que 10 ≤< x e 20 ≤< y corresponde um 
número real z bem determinado. Nessas condições, z é função das duas variáveis x e y. 
 3
 
2 Funções de várias variáveis 
Recordemos que uma função f: x → y, considerada da maneira mais geral, é uma 
correspondência que a cada elemento x ∈ X associa um elemento y ∈ Y. o conjunto X 
diz-se domínio da função, e o conjunto Y diz-se contradomínio. O elemento y ∈ Y 
correspondente de do elemento x ∈ X chama-se imagem de x pela função f, ou também, 
valor de f no ponto x, e costumamos escrever: 
 
y= f (x) 
Toda função real de uma variável é do tipo 
f: RA → , A R⊂ . 
Tais funções fazem parte do cálculo I. 
No caso das funções reais de duas variáveis, consideremos uma função real f de 
duas variáveis reais x e y. A cada par (x, y) de valores admissíveis dessas variáveis, a 
função associa um número real z, que também designaremos por f (x, y). Ora, o 
conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais é o produto cartesiano 
RxR=R², o qual se identifica com o plano real. Podemos, pois, admitir que a função f é 
definida em certos pontos (x,y) do plano real em cada um dos quais assume um valor 
real f (x,y)=z. Os pontos (x,y) ∈ R² nos quais a função f é definida constituem o 
domínio de f. Concluímos que toda função real f de duas variáveis reais é do tipo: 
 
F : RA → , A ⊂ R² 
A figura seguinte ilustra esse conceito. 
 
 
 4
Exemplos: DOMÍNIO 
 
1) Seja f: R² → R tal que f (x,y)= x² + y² + 1. 
 
2) Seja f (x, y)= x² - xy + 1. 
3) Consideremos a função g assim definida: g(x, y)= yx
yx
−
+
. 
 
4) Examinemos a função 
h(x,y)= ²²1
72
yx
yx
−−
−+
. 
 
5) Seja agora a função F(x,y)= ln (6 – 2x – 3y), 
 
6) Examinemos a função: 
G (x,y)= 107² −+− xx + 34² −+− yy . 
 
 
Consideremos, a seguir, uma função f de três variáveis x, y, z. A cada conjunto 
de valores admissíveis dessas variáveis corresponde um valor real w=f(x, y, z) da 
função. Ora, o conjunto de todos os termos ordenados (x, y, z) de números reais é o 
espaço tridimensional real R³= RxRxR. Portanto, toda função real de três variáveis reais 
é definida em um subconjunto do espaço R³. Trata-se de uma função do tipo: 
RAf →:
 , A ³R⊂ 
Podemos ilustrar tais funções por meio da seguinte figura: 
 5
 
 
Exemplos: 
1) RRf →³: assim definida: f (x, y, z)= 3x²+y²+5z-10. 
 
2) Consideremos a função F(x, y, z)= 
²1
²9²4
z
yx
−
−+−
. 
 
 
 
Imaginemos, agora, uma função real de n variáveis x1, x2, x3,..., xn. Designando 
por
 
f
 a função e por y o seu valor genérico, podemos escrever: Y= f ( x1, x2, x3,..., xn). 
A cada conjunto de valores admissíveis das variáveis x1, x2, x3,..., xn, a função 
associa um número real y. Considerando que cada seqüência ordenada (x1, x2, x3,..., xn) 
é um elemento (ou ponto) do espaço n-dimensional real Rn=RxRx....xR (n fatores), 
concluímos que f deve ser uma função definida em um sub-conjunto de Rn, assumindo 
valores reais. Mais simplesmente, toda função real de n variáveis reais é do tipo 
f : RA → , A ⊂ Rn. 
Exemplos: 
1) A função f definida por f (x1,x2,x3,x4)= x31- 2x1 x3+x22-3x4+6. 
 
2) Consideremos a função g assim definida 
g (x1,x2,x3,x4)= 7x1+ 242322214 xxxx −−−− . 
 
 6
3) Tomemos a função de cinco variáveis 
y=h(x1,x2,x3,x4,x5)=
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
5421
.16
2
xxxxx
xxxx
−−−−
−+−
. 
 
 
 
3 Espaço euclidiano n-dimensional 
Recordemos que um ponto R² é um par ordenado (x,y) de números reais e que 
um ponto R³ é um terno ordenado (x,y,z) de números reais. Da mesma forma, diremos 
que um ponto do espaço n-dimensional Rn é uma seqüência ordenada (x1, x2, x3, ...., xn) 
de n números reis. Podemos designar esse ponto com uma letra M e escrever: M= (x1, 
x2, x3, ...., xn). Os números x1, x2, x3, ...., xn dizem-se coordenadas do ponto M. O ponto 
que tem todas as coordenadas nulas, O(0,0,...,0) diz-se origem. 
Dados dois pontos A=( x1, x2) e B=( y1, y2) no plano R², sabemos que a distância 
entre eles é: AB= )²()²(x
2211
yxy −+− . 
Analogamente, a distância entre dois pontos A(x1,x2,x3) e B(y1,y2,y3) do espaço 
R³ é: AB= )²()²()²( 332211 yxyxyx −+−+− . 
Da mesma forma, podemos definir a distância AB entre dois pontos 
A(x1,x2,...,xn) e B A(y1,y2,...,yn) do espaço Rn da seguinte maneira: 
)²yx(...)²yx()²yx( nn2211 −++−+− . 
O conjunto dos pontos M=(x1,x2,...,xn) de Rn que estão à distância r do ponto 
fixo C=( nxxx ,....,, 21 ) é a esfera de centro C e raio r. A equação dessa esfera é evidente: 
(x1 - 1x )² + (x2 - 2x )² + .... + (xn - nx )² = r². 
Os pontos N= (x1, x2, ...., xn) ∈Rn que verificam a desigualdade 
(x1- 1x )²+(x2- 2x )²+....+(xn- nx )² ≤ r² constituem a chamada bola fechada de centro C e 
raio r. 
Os pontos P=(x1, x2, ...., xn) ∈Rn que verificam a desigualdade 
(x1- 1x )²+(x2- 2x )²+....+(xn- nx )²< r² formam a bola aberta de centro C e raio r. 
Observe-se que os pontos da esfera pertencem à bola fechada, mas não 
pertencem à bola aberta de mesmo centro e mesmo raio. 
A esfera de centro na origem e raio r tem por equação: ²rx.....xx 2n2221 =+++ 
 7
A bola aberta e a bola fechada de centro na origem e raio r representam-se pelas 
desigualdades ²rx.....xx 2n2221 <+++ e ²rx.....xx 2n2221 ≤+++ . 
Consideremos, a seguir, uma equação do 1° grau com duas variáveis 
ax + by + c = 0, onde pelo menos um dos coeficientes a, b é diferente de zero. No plano, 
ela representa uma reta s. Sabemos que as desigualdades 
ax + by + c > 0 e ax + by + c < 0 representam os semi-planos abertos determinados no 
plano pela reta s. Esta reta é a fronteira (ou contorno) de cada um desses semi-planos. 
As desigualdades ax + by + c ≥ 0 e ax + by + c ≤ 0 representam os semi-planos 
fechados de R² tendo por fronteira a reta s. 
Podemos tecer considerações análogas para o espaço R³. Toda equação de 1° 
grau com três variáveis ax + by + cz + d = 0 onde pelo menos um dos coeficientes a,b,c 
não é nulo, representa um plano do espaço R³. Esse plano determina dois semi-espaços 
em R³, de cada um dos quais é a fronteira (ou contorno). As desigualdades 
ax + by + cz + d > 0 e ax + by + cz + d < 0 representam semi-espaços abertos., ao passo 
que as desigualdades ax + by + cz + d ≤ 0 e ax + by + cz + d ≥ 0 representam semi- 
espaços fechados 
Esses conceitos se estendem naturalmente ao espaço n-dimensional Rn. Toda 
equação do 1° grau com variáveis a1x1 + a2x2 +....+ anxn + b=0, onde pelos menos um 
dos coeficientes a1, a2,....,an é diferente de zero, define um hiperplano do espaço Rn. Tal 
hiperplano determina em Rn dois semi-espaços de cada um dos quais o hiperplano é a 
fronteira (ou contorno). Um semi-espaço diz-se fechado se inclui todos os pontos de sua 
fronteira, e diz-se aberto se não inclui nenhum ponto da fronteira. As desigualdades 
a1x1 + a2x2+....+anxn + b > 0 e a1x1 + a2x2 +....+anxn + b < 0 representam semi-espaços 
abertos de Rn, substituindo os sinais > e < respectivamente por ≥ e ≤ , temos semi-
espaços fechados de Rn. 
Exemplos: 1) No espaço euclidiano R4, as equações x1=0, x2=0, x3=0, x4=0 
representam os hiperplanos coordenados. O hiperplano x3=0 é constituído de todos os 
pontos (x1, x2,, 0, x4) ∈ R4. O sistema de equações: 
 x1=0 x2=0 
tempor soluções todos os pontos M=(0,0,p,q) onde p e q são números reais 
arbitrários. Tais pontos constituem um plano (2 dimensões) em R4. O sistema de 
equações 
x1=0 x2=0 x3=0 
 8
tem por soluções os pontos N=(0,0,0,r), onde r∈R. Esses pontos constituem uma 
reta em R4, precisamente o eixo x4. 
2) Seja f uma função real de quatro variáveis assim definidas: 
y=f(x1,x2,x3,x4)=2x1+3x4- 32 5xx + . Para que y seja real, devemos ter: 
32 5xx + ≥ 0. 
Concluímos que o domínio de f é o semi-espaço fechado de R4 definido por 
32 5xx + ≥ 0. 
3) A função real de cinco variáveis reais 
 g(x1,x2,x3,x4,x5)=ln (x1-2x2+4x3-x4+8x5), onde ln indica o logaritmo de R5 
definido por x1-2x2+4x3-x4+8x5>0. Esse domínio é um semi-espaço aberto de R5. 
4) A função g (x1,x2,x3,x4)= 7x1+ 242322214 xxxx −−−− . 
O domínio g é o conjunto D ⊂ R4 formado pelos pontos x1,x2,x3,x4 tais que 
2
4
2
3
2
2
2
1 xxxx +++ ≤ 4. 
Tal domínio é a bola fechada de R4 de centro na origem e raio 2. 
4 Gráfico de uma função 
Dada uma função real de uma variável real f: A →R, onde A ⊂ R, sabe-se que o 
gráfico de f é o conjunto {(x,y) ∈R² | x∈A e y = f (x)}. 
Tal gráfico é um subconjunto do plano ao qual costumamos chamar curva 
representativa da função. A figura abaixo ilustra o gráfico de uma função definida em 
um intervalo A. O ponto M=(x, f (x)) é o ponto genérico do gráfico. As propriedades 
da função refletem-se no seu gráfico; por isso este é um elemento de valor no estudo da 
função. 
 
 9
A noção de gráfico estende-se às funções de mais de uma variável real. Seja 
F: A →R, onde A ⊂ R² uma função real qualquer de duas variáveis. O gráfico de F é, 
por definição, o conjunto { (x,y,z) ∈R³ | (x,y) ∈A e z = F(x,y)}. 
 
Trata-se, como se vê, de um subconjunto do espaço tridimensional R³. A esse 
gráfico costumamos chamar superfície representativa da função. 
 
 
 
Na figura anterior está indicado o gráfico de uma função F de duas variáveis. A 
cada ponto P=(x,y) do domínio A da função corresponde um valor desta, a saber 
z=F(x,y). O gráfico é o conjunto S dos pontos M=(x,y,F(x,y)) do espaço R³. Observe-se 
que na vertical de cada ponto P(x,y) ∈A existe exatamente um ponto M do gráfico da 
função. A projeção (ortogonal) da superfície S sobre o plano xy é precisamente o 
domínio A da função. 
Exemplos: 1) Seja z=2x-3y+5. Esta função é definida no plano R². O seu gráfico 
é o conjunto dos pontos M=(x,y,2x-3y+5) do espaço tridimensional. Sabemos que tal 
conjunto é um plano do espaço. Observe-se que a equação z=2x-3y+5 é equivalente à 
equação 2x - .3y – z + 5 = 0, a qual, como ensina a Geometria Analítica, representa um 
plano no espaço. 
De modo geral, toda função do 1° grau nas variáveis x, y e z=ax+by+c tem por 
gráfico um plano do espaço R³. 
2) Consideremos a função z= f (x,y)= ²y²x1 −− , cujo domínio é um disco 
fechado D={(x,y) ∈R²|x²+y² ≤ 1}, de centro na origem e raio 1. O gráfico de f é o 
 10
conjunto dos pontos M=(x,y, ²²1 yx −− ) de R³ tais que (x,y) ∈D. É fácil mostrar que 
esse gráfico é o hemisfério de centro na origem ao ponto genérico M do gráfico f é: 
OM= ²)y²x1(²y²x −−++ =1. 
 
 
 
 
 
Passemos, a seguir, aos gráficos de funções de mais de duas variáveis. Seja 
F: A →R, onde A ⊂ R³, uma função de três variáveis. O seu gráfico é, por definição, o 
conjunto: 
{( x1,x2,x3,x4) ∈R4|( x1,x2,x3) ∈A e x4=F(x1,x2,x3)}. 
 Tal gráfico é, como se vê um subconjunto do espaço de quatro dimensões e, 
como tal, não temos possibilidade de representá-lo em desenho. Dizemos que se trata de 
uma hipersuperfície de R4. 
De modo geral, o gráfico de uma função f: A →R, onde A ⊂ Rn é uma 
hipersuperfície do espaço Rn+1. 
 
5 Superfícies do espaço e equações 
Admitiremos que uma superfície do espaço tridimensional é o conjunto dos 
pontos (x,y,z) ∈R³ nos quais se anula uma função real F de três variáveis. Assim, a 
equação F(x,y,z)=0 caracteriza a superfície. Um ponto M=(x,y,z) do espaço pertence à 
superfície se e somente se as suas coordenadas satisfazem à equação, a qual se diz 
equação de superfície. 
 11
Por exemplo, a equação F(x,y,z)=x³-3xy²+4xz²+y-8z+1=0 representa uma 
superfície R³. O ponto M=(1,-2,3) pertence a essa superfície, pois temos: 
F(1,-2,3)=1-12+36-2-24+1=0. O ponto P=(0,1,2) não pertence à mesma superfície, pois 
F(0,1,2)=0-0+0+1-16+1 ≠ 0. 
Uma superfície diz-se algébrica ou transcendente consoante seja algébrica ou 
transcendente a sua equação F(x,y,z)=0. 
 Por exemplo, as equações: 
x²+2xy+z²-4z+1=0, 3
2
3
2
3
2
zyx ++ =1, representam superfícies algébricas, ao 
passo que as equações x² + ey - 2sen(xz) = 0, cos (xy )- 2z = 0 representam superfícies 
transcendentes. 
Uma superfície algébrica de equação F(x,y,z)=0 diz-se de ordem n (ou de grau 
n)quando F(x,y,z) é um polinômio do grau n nas três variáveis x,y,z. Por exemplo, a 
equação x²-2y²+4yz-z²+2x-5z+1=0 representa uma superfície de 2ª ordem. 
 
 
 
Exemplos: 
1) A equação do 1° grau 2x-y+5z-10=0 representa um plano perpendicular ao 
vetor v =(2,-1,5). Resolvendo a equação relativamente à variável z, encontramos: 
z = )102(
5
1
++− yx 
Podemos, pois, afirmar que o plano acima mencionado é o gráfico da função de 
duas variáveis 
z= f (x,y)= )102(
5
1
++− yx 
2) A equação do 1° grau 3x-4y-12=0 representa, no espaço tridimensional, um 
plano paralelo ao eixo z; com efeito, tal plano é perpendicular ao vetor u =(3,4,0), que 
está no plano xy. 
Observe-se que a mesma equação 3x-4y-12=0 interpretada no plano representa 
uma reta; é justamente a reta interseção do plano acima mencionado com o plano xy. 
 12
3) A equação 2z-5=0, ou sua equivalente z=
2
5
 representa em R³ um plano 
paralelo ao plano xy. Tal plano é o gráfico da função constante z=g(x,y)= 
2
5
. 
 
6 Curvas de nível de uma superfície 
Chamam-se curvas de nível de uma superfície de espaço R³ as seções dessa 
superfície por planos horizontais. O conhecimento das curvas de nível de uma superfície 
pode dar-nos uma idéia muito clara da forma desta. Costumamos cortar a superfície por 
planos horizontais igualmente espaçados; em cada um dos quais obtemos uma curva de 
nível; a seguir, projetamos todas essas curvas ortogonalmente sobre um único plano 
horizontal, obtendo assim, um mapa das curvas de nível. Nesse mapa, é interessante 
indicar ao lado de cada curva o valor da cota do plano correspondente. 
 
Exemplos: 
 
1) Consideremos a superfície de equação: 
z=x²+y² 
A sua seção pelo plano horizontal z=k é a curva que no espaço R³ tem por 
equações: 
z=x²+y² 
z=k 
 
Ou, após a eliminação de z: 
x²+y²=k 
z=k 
A equação x²+y²=k só tem soluções reais se k ≥ 0 e, se k>o, representa no R³ 
um cilindro de revolução de eixo OZ e raio k , com centro no eixo OZ, situado no 
plano horizontal z=k. Tal círculo é uma curva de nível da superfície considerada. A 
projeção dessa curva sobre o plano xy é o círculo que em R³ tem por equações: 
x²+y²=k 
z=0 
e que, como curva de plano xy, em geometria plana, tem por equação 
 13
x²+y²=k 
se projetarmos sobre o plano xy todas as curvas de nível da superfície: 
z=x²+y², 
obteremos uma família de círculos concêntricos. Na figura abaixo aparecem 
alguns desses círculos. Está indicado o valor da cota k correspondente. Por exemplo, o 
círculo o lado do qual se lê 4 é a projeção sobre o plano xy da curva de nível obtida na 
superfície pelo plano z=4; trata-se de um círculo de raio 2. recorde o leitor que a 
superfície a que se refere este exemplo é um parabolóide de revolução de eixo OZ. 
 
2) Examinemos as curvas de nível do parabolóide hiperbólico de equação: 
z=x²-y² 
o plano horizontal genérico z=k corta essa superfícieseguindo uma curva cuja 
projeção sobre o plano xy tem, neste plano, a equação: 
x²-y²=k. 
Se k=o, resulta x²-y²=0, ou (x-y)(x-y)=0, equação que representa as duas retas 
y-x e y=-x. 
Portanto, o plano xy corta o parabolóide dado seguindo duas retas. 
Se k>o, a curva de nível é a hipérbole cuja projeção sobre o plano xy tem por 
equação: 
x²-y²=k 
Tal hipérbole tem o eixo real paralelo a OX e o eixo imaginário paralelo a OY. 
Se k<0, a curva de nível é a hipérbole: 
x²-y²=k, ou ainda: y²-x²=-k. 
Como –k>0 resulta que essa hipérbole tem o eixo real paralelo a OY e o eixo 
imaginário paralelo a OX. 
 14
 
O mapa de linhas de nível do parabolóide hiperbólico tem o aspecto mostrado 
na figura abaixo. A figura mostra as linhas de nivel k-0, k-1, k=4, k=-1 e k=-4. 
 
 
 
 
 
 
3)Tomemos a superfície de equação z=2x+5y-10, 
que é um plano do espaço. As seções desse plano por planos horizontais são obviamente 
retas paralelas, as quais se projetam sobre o plano xy, seguindo retas paralelas. Assim, o 
mapa das linhas de nível da superfície consiste na família de retas do plano xy cuja 
equação nesse plano é: 2x+5y-20=k. Na figura aparecem as linhas correspondentes aos 
níveis k=0, k=10, k=20, k=-10 e k=-20. 
 
 15
Observação: Os mapas de curvas de nível são muito empregados na 
Topografia para o estudo do relevo do terreno. 
 
 
Na figura, vemos as linhas de nível 
 
de um terreno formado por dois montes. Vêem-se também as projeções ortogonais 
dessas curvas sobre um plano horizontal, o qual foi rebatido sobre o plano do papel. 
No nível 47 vemos um ponto de altitude máxima (local) e no nível 34 vemos 
outro ponto do mesmo tipo. Em torno desses pontos as curvas de nível lembram círculos 
concêntricos deformados. 
No nível 20 vemos um ponto de sela na sua vizinhança, as curvas de nível 
lembram hipérboles deformadas (fig. abaixo). 
 
 
 
 16
 
7 Limites 
O conceito de limite de uma função, já estudada no Cálculo I para funções de 
uma variável, pode estender-se às funções de várias variáveis. Consideremos uma 
função: 
f : A →R, A ⊂ R², 
de duas variáveis, e um ponto (a,b) do plano, tal que f seja definida em pontos (x,y) 
arbitrariamente próximos de (a,b). A função f tem limite L quando (x, y) se aproxima 
de (a,bse, dado qualquer número positivo ε, existe um número positivo δ tal que, para 
todo (x, y) no domínio de f, 0 < ( ) ( ) ε<−⇒δ<−+− L)y,x(fbyax 22 
 Para exprimir essa situação, escreveremos: 
lim f (x,y)=L, ou lim f (x,y)=L 
 (x,y) → (a,b) x → a 
 y → b 
Propriedades: 
As regras a seguir são verdadeiras se L, M e k são números reais e 
L)y,x(flim
)b,a()y,x(
=
→
 e M)y,x(glim
)b,a()y,x(
=
→
 
P1) Regra da soma: ML)]y,x(g)y,x(f[lim
)b,a()y,x(
+=+
→
 
P2) Regra da diferença: ML)]y,x(g)y,x(f[lim
)b,a()y,x(
−=−
→
 
P3) Regra do produto: M.L)]y,x(g).y,x(f[lim
)b,a()y,x(
=
→
 
P4) Regra da multiplicação por constante: ℜ∈=
→
kkL)y,x(kflim
)b,a()y,x(
 
P5) Regra do quociente: 0M,
M
L
)y,x(g
)y,x(flim
)b,a()y,x(
≠=
→
 
P6) Regra da potência: Se m e n forem inteiros, então n
m
n
m
)b,a()y,x(
L)]y,x(f[lim =
→
 
 desde que n
m
L seja um número real. 
Exemplos 
 
 17
8 Funções contínuas 
Seja f : A →R, A ⊂ R², uma função de duas variáveis, e seja (a,b) ∈A. 
Dizemos que f é contínua no ponto (a,b) se e somente se 
1. f for definida em (a, b) 
2. )y,x(flim
)b,a()y,x( →
 existe 
3. lim f (x,y) = f (a,b) 
 (x,y) → (a,b) 
 
Exemplos: 
Os poucos exemplos acima dão ao leitor idéia da grande variedade dos 
subconjuntos de R². Neste curso, estaremos interessados em subconjuntos de R2 mais 
particulares. Em primeiro lugar, os conjuntos que nos interessarão deverão possuir 
pontos interiores. Em segundo lugar, por uma questão de simplicidade, desejaremos que 
sejam conjuntos constituídos, por assim dizer, de um só pedaço; termos mais técnicos, 
escolheremos conjuntos conexos do plano. 
Um conjunto A ⊂ R² diz-se conexo quando dois pontos quaisquer p,q∈A 
podem ser ligados por um caminho (ou arco) contido em A. A figura abaixo ilustra o 
conceito. 
 
 
Nas figuras abaixo, mostramos outros exemplos de subconjuntos conexos de 
R². 
 
 18
Em (a) temos dois triângulos cujos contornos são ligados por um segmento de 
reta. Em (b) temos uma coroa circular com a sua fronteira (dois círculos) e alguns arcos 
partindo do círculo maior. 
 As figuras abaixo ilustram conjuntos não conexos do plano. 
 
 
 
Em (c) temos o conjunto união de dois triângulos, e em (d) temos o conjunto 
formado por uma curva oval, um segmento de reta e dois pontos isolados A e B. 
 
 
 
Os subconjuntos do R² que mais aparecerão neste curso são os que 
chamaremos regiões do plano. Uma região do plano é um subconjunto aberto e conexo. 
Eis alguns exemplos de regiões do plano: 
 
 
Vemos em (e) um disco aberto, em (f) um semi-plano aberto, em (h) o interior 
de um ângulo, e em (g) a região limitada pelas curvas fechadas simples C, C1 e C2. 
Muitas vezes, teremos que considerar o subconjunto formado pela reunião de 
uma região e de sua fronteira. Tais subconjuntos serão denominados regiões fechadas. 
As figuras seguintes mostram regiões fechadas obtidas a partir das regiões acima vistas. 
 19
 
Um subconjunto do plano pode ainda ser limitado ou não limitado. Um 
conjunto A ⊂ R² é limitado quando a distância da origem a qualquer de seus pontos não 
pode exceder um valor fixo. Neste caso, existe um número real K>0 tal que x²+y²<K 
qualquer que seja o ponto (x,y) ∈A. Em outras palavras, um conjunto A ⊂ R² é limitado 
quando existe um disco D de centro na origem tal que A ⊂ D. 
Nas figuras acima apresentadas, as regiões (e) e (g) são limitadas e as regiões 
(f) e (h) não são limitadas. 
Uma região diz-se compacta quando é limitada e fechada. 
9 Operações com funções 
 
Já aprendemos, no Cálculo I, a somar, subtrair, multiplicar e dividir funções 
reais de uma variável. Podemos agora realizar as mesmas operações com funções reais 
de várias variáveis. Por simplicidade, vamos ilustrar as definições usando funções de 
duas variáveis. 
Sejam f : A →R, A ⊂ R², e g: B →R, A ⊂ R² duas funções de duas variáveis. 
Ambas são definidas no conjunto A ∩ B. 
A soma, a diferença e o produto das funções f e g são as funções: 
f + g: A ∩ B →R, f - g: A ∩ B →R e .f g: A ∩ B →R. 
Definidas, respectivamente, pelas regras: 
( f + g) (x,y)= f (x,y) + g(x,y), 
( f - g) (x,y)= f (x,y) - g(x,y), 
( f . g) (x,y)= f (x,y) . g(x,y). 
O quociente f/g das funções é a função definida pela regra: 
 20
),(
),(),(
yxg
yxfyx
g
f
=





 
Exemplo: 
 Sejam dadas as funções: 
f : R² →R, f (x,y)=3x²+2y² 
g: R² →R, g(x,y)=x²+y²-4 
A soma f +g: R² →R é a função: 
( f +g)(x,y)=(3x²+2y²)+(x²+y²-4) ou ( f +g)(x,y)=4x²+3y²-4. 
A diferença f -g: R² → R é a função: 
( f -g)(x,y)=(3x²+2y²)-(x²+y²-4) ou ( f -g)(x,y)=2x²+y²+4. 
O produto f g: R² →R é a função: 
( f g)(x,y)=(3x²+2y²)(x²+y²-4) ou ( f g)(x,y)=3x4+5x²y²+2y4-12x²-8y² 
O quociente f /g: A →R é a função 
4²²
²2²3),(
−+
+
=





yx
yxyx
g
f
 
CAPÍTULO II 
1 Diferenciação 
Introdução: 
Vamos, neste capítulo, estender às funções reais de várias variáveis reais a 
noção de derivada, que é a idéia básica do Cálculo Diferencial. Já foi visto, no Cálculo 
I, que essa noção é muito útil, principalmente pela interpretação da derivada como taxa 
de variação da função. 
Para tornar mais clara a exposição reconsidere a derivada de uma função deuma variável. Seja f : I →R, onde I é um intervalo aberto, e seja a∈I. Se passamos do 
ponto a a um ponto variável x∈I, o acréscimo variável da função é ∆ f = f (x)- f (a). 
Dividindo esse acréscimo pelo acréscimo ∆ x=x-a da variável da função: 
ax
afxf
x
f
−
−
=
∆
∆ )()(
 
 21
A derivada da função f no ponto a é, como sabemos, o limite desse quociente 
quando x tende para a; designando-o por f ’(a), ou )(a
dx
df
, podemos escrever: 
f ’(a)= )(a
dx
df
=lim 
ax
afxf
−
− )()(
 
 x → a
 
Pondo x=a+h, resulta x-a=h, e podemos também escrever: 
f ’(a)= )(a
dx
df
=lim 
h
afhaf )()( −+
 
 h → 0 
 
Consideremos, agora, uma função real de mais de uma variável, por 
simplicidade, tomemos o caso de duas variáveis: 
f : A →R onde A ⊂ R² é uma região, e tentemos aplicar a esta função uma 
cópia do processo acima usado para o caso de uma variável. Tomemos um ponto (a,b) 
∈A e seja (x,y) ∈A um ponto variável. O acréscimo da função quando passamos do 
primeiro ponto ao segundo é: 
∆ f = f (x,y)- f (a,b). 
Para medir a variação das variáveis independentes, podemos adotar a distância 
∆ s entre os pontos (a,b) e (x,y). 
s
bafyxf
s
f
∆
−
=
∆
∆ ),(),(
 
 
 
Poderíamos, a seguir, definir a derivada da função f no ponto (a,b) como o 
limite do quociente 
s
f
∆
∆
 quando ∆ s tende para zero, caso exista o limite. Acontece, 
 22
porém, que esse limite em geral não existe, pois já sabemos que o ponto variável (x,y) 
poderá aproximar-se do ponto (a,b) de uma infinidade de maneiras, e o limite acima 
considerado dependerá quase sempre desse modo de aproximação. 
Por ora, vamos prosseguir o estudo considerando um modo muito especial de 
se aproximar o ponto (x,y) do ponto (a,b); vamos estabelecer a importante noção de 
derivada parcial da função. 
 
 2 Derivadas parciais 
Consideremos uma função de duas variáveis f (x,y), definida em uma região 
A do plano. 
 
Seja p(a,b) ∈A. Na paralela ao eixo OX conduzida por p, tomemos um ponto 
variável q=(x,b). Observe-se que ao variar q, a sua ordenada permanece constante, igual 
a b; apenas a abscissa x varia. O valor f (x,b) da função depende, então, apenas de x. 
Podemos escrever f (x,b)=ϕ (x), onde ϕ indica uma função de uma só variável x. A 
derivada desta função ϕ no ponto a, 
ϕ ’(a)=lim
ax
bafbxf
ax
ax
−
−
=
−
− ),(),(lim)()( ϕϕ 
 
x → a x → a 
se existe, é chamada derivada parcial da função f , em relação à variável x, no ponto 
(a,b), e é designada por f x(a,b) ou 
x
f
∂
∂ (a,b) 
Tomemos, agora, na paralela ao eixo OY conduzida pelo ponto p, um ponto 
variável s=(a,y). Ao variar s, a sua abscissa permanece constante, igual a a; somente a 
ordenada y varia. O valor f (a,y) da função depende só de y. Podemos escrever 
f (a,y)= Ψ (y), onde Ψ indica uma função da única variável y. A derivada desta função 
Ψ no ponto b, 
 23
Ψ ’(b)=lim
by
bafyaf
by
by
−
−
=
−
Ψ−Ψ ),(),(lim)()( 
 
y → b y → b 
se existe, é chamada derivada parcial da função f , em relação à variável y, no ponto 
(a,b), e é designada por f y(a,b) ou y
f
∂
∂ (a,b). 
Desse modo, definimos para uma função duas variáveis x e y duas derivadas 
parciais. A derivada 
x
f
∂
∂
 é obtida considerando y constante e derivando a função em 
relação a x; a derivada 
y
f
∂
∂
 é obtida considerando x constante e derivando a função em 
relação a y: 
 
 
 
 
 
 
Como se vê, cada derivada parcial da função f (x,y) é derivada de uma função 
de apenas uma variável; portanto, para calcular as derivadas parciais de f(x,y) podemos 
usar correntemente todas as regras de derivação estudadas no curso de Cálculo I. 
Exemplos: 
1. Consideremos a função z= f (x,y)=2x³-3x²y+4xy²+5xy+3x e procuremos as 
suas derivadas parciais no ponto p=(2,-1). 
x
f
∂
∂ (x,y)= f x(x,y)=6x²-6xy+4y²+5y+3. 
No ponto p(2,-1), temos fx(2,-1)=24+12+4-5+3=38 
y
f
∂
∂
 (x,y)= f y(x,y)=-3x²+8xy+5x. 
No ponto p= (2,-1), temos: 
f y(2,-1)=-12-16+10=-18 
 
2. Seja a função z=sen (x²+y²), calculemos as suas derivadas parciais de 1ª ordem. 
3. Seja f (x,y)= ex cos y + e y sen x, calculemos as suas der. parciais de 1ª ordem. 
f x(a,b)= 
x
f
∂
∂
 (a,b)=lim 
ax
bafbxf
−
− ),(),(
= 
h
)b,a(f)b,ha(lim
0h
−+
→
 
 x → a 
f y(a,b)= 
y
f
∂
∂
 (a,b)= lim
by
bafyaf
−
− ),(),(
= 
h
)b,a(f)hb,a(lim
0h
−+
→
 
 y → b 
 24
4. Dada a função g(x,y)-xy² ln(x²+y²), calculemos as suas der. parciais de 1ª ordem 
no ponto p = ( e,e − ). 
 
Funções de três ou mais variáveis 
A noção de derivada parcial estende-se às funções de mais de duas variáveis. 
Para derivar em relação a cada variável, supomos constantes todas as outras variáveis. 
Assim, se w= f (x,y,z), as suas três derivadas parciais, no ponto p=(a,b,c) da região 
onde f é definida, são: 
xfcba
x
f
=
∂
∂ ),,(
ax
cbafcbxf
cba
−
−
=
),,(),,(lim),,( 
 
x → a 
by
cbafcyaf
cbafcba
y
f
y
−
−
==
∂
∂ ),,(),,(lim),,(),,( 
 y →b 
zfcba
z
f
=
∂
∂ ),,(
cz
cbafzbaf
cba
−
−
=
),,(),,(lim),,( 
 z → c 
De modo análogo, definem-se as derivadas parciais de uma função: 
y= f (x1,x2,x3,.....,xn) 
a derivada de f em relação à i-ésima variável xi é designada pelos seguintes símbolos: 
i
ii
fx
x
f
x
y
,,
∂
∂
∂
∂
 ou f i 
No ponto p=(a1,a2,.....,ai,.....,na) da região de Rn onde f é definida, a derivada 
f i(p) é o limite: 
 
lim=
ii
nini
ax
aaaafaxaaf
−
− ),....,,....,,(),....,,.....,,( 2121
 
x
i
→ a
i 
 
Exemplos: 
1. Consideremos a função w=x4-3x²y²+5xyz²+3xz+2y-z-12. 
 As suas três derivadas parciais, em um ponto genérico (x,y,z) ∈R³ são: 
 25
wx=
x
w
∂
∂
=4x³-6xy²+5yz²+3z; wy=
y
w
∂
∂
=-6x²y+5xz²+2; wz=
z
w
∂
∂
=10xyz+3x-1 
Se quisermos essas derivadas em ponto particular, bastará substituirmos nas 
expressões acima x,y,z pelas coordenadas o ponto. 
 
2. Calculemos as derivadas parciais da função G(x,y,z)=sen(x+y²)+tg
z
x2
 no 
ponto p=( 3,,
2
ΠΠ ). 
 
 
 
 
 
 
 
 3 Interpretação geométrica 
No caso das funções reais de duas variáveis, podemos dar uma interessante 
interpretação geométrica às derivadas parciais. Já sabemos que uma função z= f (x,y) 
definida em uma região A ⊂ R² tem por gráfico uma superfície ∑ do espaço R³, a qual 
se projeta sobre a região A do plano xy. 
 26
 
Seja p=(a,b) ∈A; o ponto do gráfico correspondente é M(a,b, f (a,b)). O lugar 
dos pontos do espaço cuja ordenada y é constante, igual a b, é o plano β de equação 
y=b, o qual corta a superfície ∑ seguindo uma curva C que passa por M. Essa curva 
pode ser representada pelo sistema de equações: 
 y=b 
 z= f (a,b)=ϕ (x) 
A derivada parcial 
x
z
∂
∂ (p)= f x(a,b)= ϕ ’(a) é a inclinação da curva C no ponto 
M (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva C em M forma com o eixo 
dos xx). 
 
De modo análogo, o lugar dos pontos de espaço cuja abscissa x é constante, 
igual a a, é o plano α de equação x=a, o qual corta a superfície ∑ seguindo uma curva 
D, que também passa pelo ponto M. Essa curva pode representar-se pelo sistema de 
equações: 
 x=a 
 z= f (a,y)= Ψ (y) 
 27
A derivada parcial 
y
z
∂
∂ (p)= f y(a,b)= Ψ ’(b) é a inclinação da curvaD no 
ponto M (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva D em M forma com 
o eixo dos yy). 
As tangentes às duas curvas C e D em M são, em geral, duas retas 
concorrentes em M, as quais determinam um plano que se diz plano tangente à 
superfície ∑ no ponto M. Mais adiante veremos como se acha a equação desse plano. 
 
 
 
4 Funções diferenciáveis 
Se f (x,y) é diferenciável no ponto p=(a,b), então existem as derivadas 
parciais
x
f
∂
∂
e 
y
f
∂
∂
 nesse ponto. 
 
Podemos, pois, adotar a seguinte expressão para a diferencial: 
d f (p)=
x
f
∂
∂ (p) ∆ x + 
y
f
∂
∂ (p) ∆ y, 
ou, mais simplesmente, deixando subentendido o ponto p: 
 d f =
x
f
∂
∂ ∆ x + 
y
f
∂
∂ ∆ y o u d f =
x
f
∂
∂ dx + 
y
f
∂
∂ dy 
 
 
 
 
 
 
Funções de mais de duas variáveis – Tudo o que acima dissemos para as 
funções de duas variáveis, com relação à diferenciabilidade, se estende às funções de 
várias variáveis. Assim, uma função de três variáveis: 
 
w= f (x,y,z) 
definida em uma região D ⊂ R³ é diferenciável no ponto p=(a,b,c) ∈D. 
 28
 
dw= d f = dz
z
fy
y
f
x
x
f
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
 ou dw= d f = dz
z
fdy
y
fdx
x
f
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
Exemplo: 
Consideremos a função w= f (x,y,z) = x²y³+y²z³+3xyz+2x+5 
Temos: 
x
f
∂
∂
 = 2xy³+3yz+2, 
y
f
∂
∂
 = 3x²y²+2yz³+3xz, 
z
f
∂
∂
 = 3y²z²+3xy 
A diferencial de f é, pois: 
dw = d f = (2xy³+3yz+2)dx+(3x²y²+2yz³+3xz)dy+(3y²z²+3xy)dz. 
Por exemplo, no ponto p=(-1, 0, 2), temos 
x
f
∂
∂
= 2, 
y
f
∂
∂
= -6, 
z
f
∂
∂
= 0; 
Portanto, a diferencial f em p é d f (p) = 2dx-6dy+0dz 
Consideremos o caso mais geral de uma função de n variáveis: 
y= f ( x1, x2, ...., xn) 
A diferenciabilidade de f em um ponto é definida do mesmo modo já visto 
para funções de duas ou de três variáveis. 
A diferencial de f em um ponto p é: 
d f (p)= n
n
xp
x
f
xp
x
f
xp
x
f ∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+∆
∂
∂ )(.....)()( 2
2
1
1
 
ou ainda, deixando subentendido o ponto p: 
d f = n
n
dx
x
fdx
x
fdx
x
f
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
.....2
2
1
1
 
Usando um somatório, podemos escrever, de modo mais condensado: 
 d f = k
k
n
k
dx
x
f
∂
∂
∑
=1
 
5 Derivadas parciais de ordem superior 
Já vimos que as derivadas parciais de uma função diferenciável de várias 
variáveis dependem dessas mesmas variáveis, são funções das ditas variáveis. Podemos 
então pensar em derivar parcialmente essas derivadas. Se isso for possível, teremos as 
derivadas parciais de segunda ordem da função original. As derivadas parciais das 
derivadas de segunda ordem, se existirem, serão derivadas de terceira ordem, e assim 
por diante. 
 29
Para esclarecer o assunto, consideremos uma função de duas variáveis: 
z= f (x,y) 
As suas derivadas parciais de 1ª ordem são, f x e f y. 
Se essas derivadas admitirem derivadas parciais, obteremos 4 derivadas 
parciais de 2ª ordem da função original f , a saber, f xx, f xy, f yx e f yy. 
Se as derivadas de 2ª ordem admitirem derivadas parciais, chagaremos as 8 
seguintes derivadas parciais de 3ª ordem da função f : 
f xxx, f xxy, f xyx, f xyy, f yxx, f yxy, f yyx e f yyy. 
Se for possível continuar derivando, teremos 16 derivadas de 4ª ordem, 32 de 
5ª ordem, em geral, 2n derivadas de ordem n. Tais são as chamadas derivadas parciais 
sucessivas da função f . Quanto à notação, podemos também representá-las usando a 
notação de Leibniz. Para as derivadas de 1ª ordem temos: 
f x = 
x
f
∂
∂
 , f y = 
y
f
∂
∂
 
 
Para as derivadas de 2ª ordem: 
 
f xx= 





∂
∂
∂
∂
x
f
x
 = 
²
²
x
f
∂
∂
, f xy = 





∂
∂
∂
∂
x
f
y
 = 
xy
f
∂∂
∂²
, 
f yx = 





∂
∂
∂
∂
y
f
 = 
yx
f
∂∂
∂²
, e f yy= 





∂
∂
∂
∂
y
f
y
 = 
²
²
y
f
∂
∂
. 
 
De modo análogo, podemos representar as derivadas de ordem 3, 4, etc. 
Temos, por exemplo: 
f xyy= 
xy
f
∂∂
∂
²
³
 
Indica a derivada obtida após derivar três vezes, sendo a primeira vez em 
relação a x, a segunda em relação a y e a terceira em relação a y. 
Mais um exemplo: 
f yxxyx= 
yxyx
f
∂∂∂∂
∂
²
5
 
 30
É a derivada obtida depois de derivar cinco vezes, sendo a primeira vez em 
relação a y, a segunda e a terceira em relação a x, a quarta em relação a y e a quinta em 
relação a x. Esta é uma das 25=32 derivadas de 5ª ordem de f (x,y). 
Consideremos agora uma função de três variáveis: 
W=F(x,y,z) 
E suponhamos que seja possível derivá-la sucessivamente. As derivadas de 1ª 
ordem são: 
Fx = 
x
F
∂
∂
 , Fy = 
y
F
∂
∂
 , Fz = 
z
F
∂
∂
 
 
 
 
Cada uma delas pode ser derivada em relação a cada uma das três variáveis; 
obtemos, pois, 9 derivadas de 2ª ordem, a saber: 
Fxx = 
²
²
x
F
∂
∂
 , Fxy = 
xy
F
∂∂
∂²
 , Fxz =
xz
F
∂∂
∂²
 
Fyx = 
yx
F
∂∂
∂²
, Fyy = 
²
²
y
F
∂
∂
 , Fyz = 
yz
F
∂∂
∂²
 
Fzx = 
zx
F
∂∂
∂²
 , Fzy = 
zy
F
∂∂
∂²
 , Fzz = 
²
²
z
F
∂
∂
 
Cada uma das nove derivadas acima pode ser derivada em relação a cada uma 
das três variáveis x, y, z, e temos desse modo 27 variáveis de 3ª ordem. Continuando a 
derivar, teremos 81 derivadas de 4ª ordem, e assim por diante. Em geral, teremos 3n 
derivadas parciais de ordem n. 
Tomemos, agora, uma função de p variáveis: 
y = f (x1, x2, ...., xn) 
Admitindo que ela possa ser derivada sucessivamente, temos p derivadas de 1ª 
ordem: 
px xx
fff ,.....,,
21
 
As quais preferiremos, por simplicidade, indicar por: 
f 1, f 2, ...., f p. 
 
 31
Cada uma dessas derivadas podendo ser derivada em relação a cada uma das p 
variáveis, termos p² derivados de 2ª ordem: 
f 11, f 12, ....., f 1p, f 21, f 22, ......, f 2p, ....., f p1, f p2, ....., f pp. 
Analogamente, teremos p³ derivadas de 3ª ordem, e assim sucessivamente; em 
geral, teremos pn derivadas de ordem n. 
Exemplos: 
1) Tomemos a função f (x,y) = x³+2xy²+4y³-6x²+5xy-2y+1 
 As suas derivadas de 1ª ordem são: 
f x = 
x
f
∂
∂
 = 3x²+2y²-12x+5y, f y = 
y
f
∂
∂
 = 4xy+12y²+5x-2 
Calculando as derivadas parciais de 2ª ordem, obtemos: 
f xx = 
²
²
x
f
∂
∂
 = 6x-12, f xy = 
xy
f
∂∂
∂²
 = 4y+5 
f yx = 
yx
f
∂∂
∂²
 = 4y+5, f yy = 
²
²
y
f
∂
∂
 = 4x+24y 
Para as derivadas parciais de 3ª ordem, encontramos: 
f xxx = 6, f xxy = 0, f xyx = 0, f xyy = 4 
f yxx = 0, f yxy = 4, f yyx = 4, f yyy =24 
Como todas as derivadas de 3ª ordem são funções constantes, é claro que todas 
as derivadas parciais de f de ordem n ≥ 4 são iguais à zero. 
 
2) Consideremos a função g (x,y) = sen(xy) 
As suas derivadas parciais de 1ª ordem são, gx=y cos(xy) , gy = x cos(xy) 
Calculando as derivadas parciais de 2ª ordem, achamos: 
gxx = -y²sen(xy), gxy = cos(xy)-xy sen(xy) 
gyx = cos(xy)-sy sen(xy), gyy = -x²sen(xy) 
Podemos calcular as derivadas parciais de 3ª ordem e de ordens superiores, 
mas vê-se logo que elas terão formas cada vez mais complicadas. 
 
3) Examinemos a função de três variáveis; 
ϕ (x,y,z) = xy sen z + yz sen x + zx sen y 
As derivadas parciais dessa função, conforme se verifica facilmente, são: 
ϕ x = y sen z + yz cos x + z sen y 
 32
ϕ y = x sen z + z sen x + zx cos y 
ϕ z = xy cos z + y sen x + x sen y 
Procedendo ao cálculo das derivadas de 2ª ordem, encontramos: 
ϕ xx = - yz sen x, ϕ xy = sen z + z cos x + z cos yϕ xz = y cos z + y cos x + sen y, ϕ yx = sen z + z cos x + z cos y 
ϕ yy = -zx sen y, ϕ yz = x cos z + sen x + x cos y 
ϕ zx = y cos z + y cos x + sen y, ϕ zy = x cos z + sen x + x cos y 
ϕ zz = -xy sen z 
 
Invertibilidade da ordem de derivação 
Examinando com atenção os resultados obtidos nos três exemplos que 
acabamos de apresentar, com relação às derivadas parciais de 2ª ordem, não podemos 
deixar de fazer uma interessante observação. 
No exemplo 1, onde trabalhamos com a função 
f (x,y) = x³+2xy²+4y³-6x²+5xy-2y+1 
Obtivemos: 
f xy = 
xy
f
∂∂
∂²
 = 4y+5, f yx = 
yx
f
∂∂
∂²
 = 4y+5 
Portanto, f xy = f yx, ou, com outra notação: 
xy
f
∂∂
∂²
 = 
yx
f
∂∂
∂²
 
No exemplo 2, referente à função: g (x,y) = sen(xy) 
encontramos: gxy = cos(xy)-xy sen(xy), gyx = cos(xy)-sy sen(xy) 
Temos, pois, outra vez: gxy = gyx. 
No exemplo 3, relativo à função: 
ϕ (x,y,z) = xy sen z + yz sen x + zx sen y 
Achamos, novamente: ϕ xy = ϕ yx , ϕ xz = ϕ zx , ϕ yz = ϕ zy 
Será que esse resultado é mera coincidência? Haverá alguma razão mais forte 
que o justifique? O exame dessa questão nos conduz a um importante teorema que aqui 
vamos apenas enunciar. A demonstração dessa proposição não é difícil, mas por 
brevidade não vamos inseri-la neste texto. Trata-se do seguinte: 
Teorema – Se a função f (x,y) admite todas as derivadas parciais de 2ª ordem 
em uma região A ⊂ R², e se essas derivadas sã funções contínuas em A, então: 
 33
xy
f
∂∂
∂²
 = 
yx
f
∂∂
∂²
 
Em todo ponto p∈A. 
De acordo com esse teorema, a ordem de derivação é irrelevante quando as 
derivadas parciais são funções contínuas. 
Graças ao teorema enunciado, se, por exemplo, as derivadas de 4ª ordem da 
função f (x,y) forem contínuas, teremos: 
xxxx
f
∂∂∂∂
∂ 4
 = 
xxyx
f
∂∂∂∂
∂ 4
 = 
xyxx
f
∂∂∂∂
∂ 4
 = 
yxyx
f
∂∂∂∂
∂ 4
 
Todas essas derivadas podem representar-se pelo único símbolo 
yx
f
∂∂
∂
³
4
, o qual 
indica que a função f deve ser derivada três vezes em relação a x e uma vez m relação 
a y, em qualquer orem. 
Concluímos, também, que no caso de derivadas sucessivas contínuas, o 
número de derivadas distintas diminui sensivelmente. Já vimos que o número de 
derivadas parciais de ordem n de uma função de p variáveis é de pn (supondo existentes 
essas derivadas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 Aproximação por meio da diferencial 
Seja f (x,y) uma função diferenciável na região A do plano. Se p=(a,b) e 
q=(a+ ∆ x, b+ ∆ y) são pontos próximos tais que p, q∈A, vimos que o acréscimo ∆ f = 
f ( a+ ∆ x, b+ ∆ y) - f (a,b) pode ser expresso na forma: 
∆ f = f x(a,b) ∆x + f y(a,b) ∆ y + ε 1 ∆ x+ε 2 ∆ y 
Onde ε 1 →0 e ε 2 →0 quando ∆ s →0, sendo ∆ s a distância do ponto q ao 
ponto p. 
 34
A diferencial de f no ponto p é : 
d f = f x(a,b) ∆ x + f y(a,b) ∆ y 
Portanto: ∆ f = d f +ε 1 ∆ x+ε 2 ∆ y. 
Se ∆ s = ²² yx ∆+∆ é muito pequeno, isso é, se q é muito próximo de p, o 
acréscimo ∆ f é aproximadamente igual à diferencial d f , o que indicaremos 
escrevendo: ∆ f ≈ d f . 
Do ponto de vista prático, existe vantagem em substituir o acréscimo d f 
porque enquanto a expressão de ∆ f é quase sempre complicada, a de d f é simples, 
pois d f é a função linear de ∆ x e ∆ y. Calcular d f dá menos trabalho que calcular 
∆ f . Mostremos isso em um exemplo. 
 
Exemplo: 
Consideremos a função: 
f (x,y) = x³y² + 2xy³ - 3x² +xy – 2y + 5 
E tomemos os pontos p= (2,3) e q= (1,999; 3,002). Os acréscimos de x e y 
quando passamos de p a q são: 
∆ x = 1,999 – 2 = - 0,001 
∆ y = 3,002 – 3 = 0,002 
Temos: f (2,3) = 8 . 9 + 2 . 2 . 27 - 3.4 + 2 . 3 – 2 . 3 + 5 = 173. O acréscimo 
∆ f da função é: 
∆ f = f (1,999 ; 3,002) - f (2,3), 
∆ f = f (1,999)³(3,002)²+2(1,999)(3,002)³-3(1,999)²+(1,999)(3,002)–2 
(3,002)+5-173 
 
Efetuando os cálculos indicados, obtemos: 
∆ f = 0,158973 
Calculemos, agora, a diferencial d f . Derivando parcialmente a função, temos: 
f x = 3x²y² + 2y³ - 6x + y, f y = 2x³y + 6xy² + x – 2 
As derivadas no ponto p = (2,3) são: 
f x (2,3) = 3 . 4 . 9 + 2 . 27 – 6 . 2 + 3 = 153 
f y (2,3)= 2 . 8 . 3 + 6 . 2 . 9 + 2 – 2 = 156 
 35
A diferencial d f (p) é: d f (p) = 153 ∆ x + 156 ∆ y 
Para ∆ x = - 0,001 e ∆ y = 0,002, resulta: 
d f (p) = 153 (- 0,001) + 156 (0,002) = - 0,153 + 0,312 = 0,159 
Observemos que: ∆ f ≈ d f 
 
Exemplos: 
1)Calcular o acréscimo de volume de um bloco retangular de dimensões x = 
5,82m, y = 4,23m, z = 3,57m quando x aumenta de 2cm, y diminui de 1 cm e z aumenta 
de 0,5cm. 
2)Um vaso de forma cilíndrica é construído de aço inoxidável e as suas 
dimensões, medidas pelo lado de dentro do vaso, são: Altura = y = 40cm , diâmetro = 
2x = 20cm. Sabendo que a espessura da chapa da qual é feito o vaso é de 1mm, qual é o 
volume do material empregado? 
3)Usando a diferencial, calcular o valor aproximado do número (0,998)4,001. 
 
 
Plano tangente a uma superfície - Já vimos, no Cálculo I, que se a função 
y= f (x) é diferenciável no ponto a, então existe a tangente ao gráfico de f no ponto 
P=(a, f (a)). 
Consideremos, agora, a equação: 
z= f (a,b)+ f x(a,b)(x-a)+ f y(a,b)(y-b) 
Ela representa um plano do espaço, o qual passa pelo ponto P=(a,b, f (a,b)), 
pertencente ao gráfico da função f . Trata-se do plano tangente ao gráfico de f no 
ponto P. 
Equação do plano tangente. Normal a uma superfície – Seja z= f (x,y) uma 
função diferenciável no ponto (a,b), e seja c= f (a,b). Conforme acima vimos, a equação 
do plano tangente ao gráfico da função no ponto (a,b) pode escrever-se assim: 
z-c= f x(a,b)(x-a)+ f y(a,b)(y-b) 
ou, com outra notação: z-c=
x
f
∂
∂ (x-a)+ 
y
f
∂
∂ (y-b), 
 36
Onde deixamos subentendido que as derivadas parciais 
x
f
∂
∂
 e 
y
f
∂
∂
 são 
calculadas no ponto (a,b). 
Consideremos a superfície de equação: z= f (x,y) 
Seja P=(a,b,c), onde c= f (a,b), um ponto dela. A normal à superfície no ponto 
P é a reta que passa por P e é perpendicular ao plano tangente neste ponto. 
Da equação do plano tangente: 
x
f
∂
∂ (x-a) + 
y
f
∂
∂ (y-b)-( z-c)=0 
Deduzimos que a direção da normal é dada pelo vetor v = (
x
f
∂
∂
,
y
f
∂
∂
,-1). 
Portanto, podemos escrever as equações da normal à superfície em P na forma: 
1
cz
y
f
by
x
f
ax
−
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
 
Onde, repetimos, as derivadas parciais são calculadas no ponto (a,b). 
 
Exemplo: 
Seja a superfície de equação: 
z= f (x,y)=x³+2xy²-6x+y+3 
E procuremos o plano tangente e a normal no ponto x=1, y=-2. Neste ponto, 
temos: z=1³+2.1.(-2)²-6.1+(-2)+3=4. 
Portanto, o ponto de tangência (ou de contato) é P=(1,-2,4). Calculemos as 
derivadas parciais da função f : 
x
f
∂
∂
=3x²+2y²-6, 
y
f
∂
∂
=4xy+1 
Os valores dessas derivadas no ponto P são: 
x
f
∂
∂
=3.1²+2.(-2)²-6=5,
y
f
∂
∂
=4.1.(-2)+1=-7 
 
Portanto, a equação do plano tangente pedido é: 
z-4=5(x-1)-7(y+2) ou 5x-7y-z-15=0. 
A reta normal à superfície em P tem por equações: 
1
4
7
2
5
1
−
−
=
−
+
=
− zyx
 
Ou ainda: x=-5z+21 
 37
 y=7z-30 
 
 
 
7 Derivação de funções compostas 
Seja z= f (x,y) uma função diferenciável e suponhamos que cada uma das 
variáveis x,y seja função diferenciável da mesma variável t: 
x=x(t), y=y(t) 
Neste caso, z depende da única variável t, e podemos pensar em calcular a 
derivada 
dt
dz
. Para isso, poderíamos eliminar as variáveis intermediárias x e y, 
escrevendo: 
z= f (x(t), y(t)), 
E, a seguir, derivar diretamente z em relação à t. No entanto, podemos 
proceder de outro modo, sem eliminar x e y, usando uma regra de cadeia. Vejamoscomo se faz isso. 
No ponto t considerado, atribuamos à variável t um acréscimo ∆ t. Então, x e y 
recebem acréscimos ∆ x e ∆ y e, em conseqüência, z recebe um acréscimo ∆ z. Temos: 
∆ x=x(t+ ∆ t)-x(t), ∆ y=y(t+ ∆ t)-y(t) 
Como f é diferenciável, o acréscimo ∆ z pode exprimir-se na forma: 
∆ z= yxy
y
z
x
x
z ∆+∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
21 εε 
Onde, 21 ,εε →0 quando ∆ s= ²² yx ∆+∆ tende para zero. Dividindo a 
igualdade acima por ∆ t, obtemos: 
t
z
∆
∆
=
t
y
t
x
t
y
y
z
t
x
x
z
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
21 εε 
Fazendo ∆ t →0, resulta que ∆x →0 e ∆y →0 porque as funções x e y são 
contínuas (porque são diferenciáveis). Nessas condições, 21 ,εε →0 e podemos 
escrever: 
t
y
y
z
t
x
.
x
z
t
z
limlimlim
0t0t0t ∆
∆
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
=
∆
∆
→∆→∆→∆
 
Mas: 
 38
dt
dx
t
)t(x)tt(x
t
x
limlim
0t0t
=
∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
 
E: 
dt
dy
t
)t(y)tt(y
t
y
limlim
0t0t
=
∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
 
Por outro lado, 
dt
dz
t
z
t
=
∆
∆
→∆
lim
0
. Portanto, temos: 
dt
dy
y
z
dt
dx
.
x
z
dt
dz
=
∂
∂
+
∂
∂
=
 
A fórmula acima se estende, de maneira óbvia, ao caso de uma função 
diferenciável: 
y= f (x1,x2,.....,xn), 
Onde cada variável xi é função diferenciável da variável t: 
xi= xi(t), 1,2,....,n. 
Segue-se, então, que y é função de 
 
t, e tem-se: 
dt
dx
x
y
dt
dx
x
y
dt
dx
x
y
dt
dy n
n
.......
2
2
1
1 ∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
= 
Ou ainda: 
dt
dx
x
y
dt
dy j
j
n
j
.
1 ∂
∂
= ∑
=
 
Exemplos: 
1)Suponhamos que seja: 
z=x²+2xy-y²+3x-y+1 
onde: x=cos t e y=sen t. 
Observemos que x e y são funções de t diferenciáveis em R, e que z é função 
de x e y diferenciável em R² (trata-se de um polinômio). Calculemos a derivada 
dt
dz
 em 
um ponto qualquer t∈R. Podemos escrever: 
dt
dz
=
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
..
∂
∂
+
∂
∂
 
Mas: 
x
z
∂
∂
=2x+2y+3, 
y
z
∂
∂
=2x-2y-1, 
dt
dx
= - sen t , 
dt
dy
=cos t 
Portanto: 
dt
dz
=(2x+2y+3)( - sen t)+( 2x-2y-1)( cos t) 
Calculemos agora a derivada 
dt
dz
 no ponto t=
3
Π
. Neste ponto, temos: 
 39
2
1
3
cos =
Π
=x 
2
3
3
=
Π
= seny 
2
3
3
−=
Π
−= sen
dt
dx
 
2
1
3
cos =
Π
=
dt
dy
 
343
2
3
.2
2
1
.2 +=++=
∂
∂
x
z
 
31
2
32
2
1
.2 −=−−=
∂
∂
y
z
 
Logo, 
2
1)3()
2
3)(34( −+−+=
dt
dz
 
Ou seja, 
2
353
dt
dz −−
= 
É claro que poderíamos ter resolvido o problema sem usar as derivadas 
parciais. Exprimindo z diretamente como função de t, resulta: 
z=cos²t+2costsent-sen²t+3cost-sent+1 ou, z= cos2t+sen2t+3cost-sent+1 
Derivando em relação a t, obtemos: 
dt
dz
=-2sen2t+2cos2t-3sent-cost 
Para t=
3
Π
, vem: 
dt
dz
=
2
353
2
1
2
3
.3
2
1
.2
2
32 −−=−−





−+− 
Este segundo processo para o cálculo de 
dt
dz
 tem, porém, menor importância 
teórica e só se aplica com vantagem em casos muito simples (como o do exemplo 
dado). 
 
 
Consideremos, a seguir, uma função de duas variáveis x e y: 
z= f (x,y) 
Diferenciável em uma região A ⊂ R², e suponhamos que x e y sejam funções 
de duas novas variáveis u e v: 
x=x(u,v) y=y(u,v) 
Diferenciáveis em uma região B ⊂ R². Admitamos que se (u,v) ∈B, então o 
ponto (x(u,v),y(u,v))∈A. Nessas condições, a cada ponto (u,v) ∈B corresponde um 
valor z da função f , a saber: 
z= f (x(u,v), y(u,v)). 
 40
Em outras palavras, z é função das variáveis u e v, e podemos calcular as 
derivadas parciais 
u
z
∂
∂
 e 
v
z
∂
∂
. Para isso, não é necessário exprimir z diretamente como 
função de u e v, podemos estabelecer uma regra de cadeia. 
Assim, 
u
z
∂
∂
=
u
y
y
z
u
x
x
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
.. 
e 
v
y
.
y
z
v
x
.
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
 
As fórmulas acima são muito importantes. 
Elas podem ser facilmente generalizadas; seja: 
y= f (x1, x2,....,xn) 
Uma função de n variáveis, diferenciável em uma região A ⊂ Rn, e 
suponhamos que cada uma das variáveis xi seja função de p outras variáveis t1, t2, ...., tp: 
xi = xi(t1, t2, ...., tp), i= 1,2,....,n 
Diferenciável em uma região B ⊂ Rp. Admitamos que para cada ponto (t1, t2, 
...., tp) ∈B o correspondente ponto x1, x2,....,xn pertence à região A. Nessas condições y é 
função diferenciável das variáveis t1, t2, ...., tp, temos: 
j
n
nj
2
2j
1
1j t
x
.
x
y
.....
t
x
.
x
y
t
x
.
x
y
t
y
∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
Onde j=1,2,....,p. Podemos escrever, de modo mais condensado: 
j
i
i
n
1ij t
x
.
x
y
t
y
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
 
 j=1,2,...,p 
Essa fórmula exprime a regra para a derivação de funções compostas de várias 
variáveis. 
 
Exemplos: 
2)Seja z=x³+xy²+2y e suponhamos que x=eucosv, y=eusenv. Então, z é função 
de u e v, e temos: 
 41
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
.. = (3x²+y²)eucosv+(2xy+2) eusenv 
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
.. =(3x²+y²)(-eusenv)+(2xy+2) eucosv 
 
3)Consideremos a função: w=(x+y+z)²+xyz onde x=2r+3s, y=3rs, z=
s
r
. 
É claro que w é função das duas variáveis r e s, e temos: 
r
z
z
w
r
y
y
w
r
x
x
w
r
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
... , 
s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
... 
Calculemos as derivadas 
r
w
∂
∂
 e 
s
w
∂
∂
 no ponto r = 2, s = -1. Nesse ponto, temos: 
x= 2.2 + 3.(-1) = 1, y = 3.2.(-1) =-6, z =
1
2
−
=-2 
x
w
∂
∂
= 2(x+y+z) + yz= -2, 
y
w
∂
∂
= 2(x+y+z) + xz= -16 
z
w
∂
∂
= 2(x+y+z) + xy= -20, 
r
x
∂
∂
=2 
r
y
∂
∂
=3s=-3, 
r
z
∂
∂
=
s
1
=-1, 
s
x
∂
∂
=3, 
s
y
∂
∂
=3r=6, 
s
z
∂
∂
= - 
²s
r
 = - 2 
Portanto, as derivadas parciais de w em relação a r e em relação a s no ponto 
considerado são: 
r
w
∂
∂
 = (-2).2+(-16).(-3)+(-20).(-1) = 64, 
s
w
∂
∂
 = (-2).3+(-16).6+(-20).(-2) = - 62 
Diferencial – Consideremos uma função diferenciável z= f (x,y) 
e suponhamos que x e y sejam funções diferenciáveis de u e v 
x=x(u,v), y=y(u,v) 
Então, z é função das variáveis independentes u e v, também diferenciável, e a 
diferencial de z é, como sabemos dz= v
v
z
u
u
z ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
.. 
Ora, já vimos que 
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
.. e 
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
.. 
Portanto: 
dz= 





∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
u
y
y
z
u
x
x
z
.. u∆ + 





∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
v
y
y
z
v
x
x
z
.. v∆ 
 42
Ou: 
dz= 




 ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
∂
∂
v
v
x
u
u
x
x
z
. + 




 ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
∂
∂
v
v
y
u
u
y
y
z
 
Observemos que as expressões entre parênteses são as difereciais das funções 
x(u,v) e y(u,v), isto é: 
 v
v
x
u
u
x ∆
∂
∂
+∆∂
∂
. = dx , v
v
y
u
u
y ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
 = dy. 
Substituindo na expressão de dz, obtemos: 
 dz = 
x
z
∂
∂ dx + 
y
z
∂
∂ dy 
Observemos, agora, que a expressão da diferencial de uma função z= f (x,y) 
pode sempre escrever-se na forma acima. 
Se x e y são variáveis independentes, então dx e dy se confundem, como já 
sabemos, respectivamente com os acréscimos arbitrários ∆ x e ∆ y. Mas, se x e y são 
funções diferenciáveis de outras variáveis, então dx e dy são as diferenciais dessas 
funções. 
No caso de uma função diferenciável de n variáveis: y= f (x1,x2,.....,xn), 
A diferencial é: dy = n
n
dx
x
fdx
x
fdx
x
f
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
......2
2
1
1
 
Ou: j
j
n
j
dx
x
fdy
∂
∂
= ∑
=1
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
4)Considere a função z=x³-x²y+xy²-y³ onde x=cos u +sen v, y = sen u+cos v. 
Procuremos a diferencial de z no ponto: u=
3
Π
, v= 
6
Π
− 
Neste ponto temos: 
x=cos
3
Π
 + sen (
6
Π
− ) = 0
2
1
2
1
=− 
 43
y= sen
3
Π
 + cos (
6
Π
− ) = 3
2
3
2
3
=+ 
A diferencial de z é: dz = 
x
z
∂
∂ dx + 
y
z
∂
∂ dy , 
Ou seja: dz = (3x²-2xy+y²)dx+(-x²+2xy-3y²)dy 
No ponto considerado (x=0, y= 3 ), temos: dz = 3dx – 9dy 
Se quisermos obter dz em função de du e dv, deveremos calcular as 
diferenciais dx e dy: 
dx = 
u
x
∂
∂ du+
v
x
∂
∂ dv = -sen u du + cos v dv 
dy = 
u
y
∂
∂ du+
v
y
∂
∂ dv = cos u du – sen v dv 
No ponto dado (u=
3
Π
, v= 
6
Π
− ), temos: 
dx = -sen 
3
Π
 du + cos (
6
Π
− ) dv = )(
2
3
2
3
2
3 dvdudvdu +−=+− 
 
dy = cos 
3
Π du – sen (
6
Π
− ) dv = )(
2
1
2
1
2
1 dvdudvdu +=+ 
Portanto, temos: 
dz = 3dx – 9dy = )(
2
9)(
2
33 dvdudvdu +−+− 
dz = dvdu
2
933
2
933 −
+
+
− 
 
 
8 Derivação de funções implícitas 
Já estudou-se no curso de Cálculo I, uma técnica para obtenção da derivada de 
uma função y= f (x) definida implicitamente por uma equação F(x,y)=0. Tal técnica se 
aplicava individualmente a cada caso, e consistia em derivar ambos os membros da 
equação em relação à variável x, considerando y como função de x. nenhuma fórmula 
geral foi obtida para exprimir a derivada 
dx
dy
. Recordemos o processo empregado por 
meio de um exemplo. 
 44
Seja dada a equação: 
xy³+3x²+y²-6x+5y+6=0 
A qual é verificada, como se comprova facilmente, pelas coordenadas do 
ponto A=(2,-1). Admitindo que a equação defina y como função de x nas proximidades 
do ponto A, qual é a derivada dessa função no dito ponto? Segundo técnica estudada no 
Cálculo I, devemos derivar ambos os membros da equação dada em relação a x, 
considerando y como função de x; obtemos: 
y³+3xy²
dx
dy
+6x+2y
dx
dy
-6+5
dx
dy
=0 
Pondo 
dx
dy
 em evidência nos termos onde comparece, resulta: 
(3xy²+2y+5) 
dx
dy
=-y³-6x+6 
Nos pontos (x,y) tais que 3xy²+2y+5 ≠ 0, temos: 
dx
dy
= -
52²3
66³
++
−+
yxy
xy
 
Em particular, a derivada no ponto A-(2,-1) é: 
9
5
526
6121
−=
+−
−+
−=





Adx
dy
 
Conhecendo essa derivada, podemos escrever imediatamente a equação da 
tangente à curva representada pela equação dada no ponto A=(2,-1) dessa curva, a 
saber: 
y+1=
9
5
− (x-2), ou 5x+9y-1=0 
 
Vamos, aqui, aprofundar um pouco mais o estudo da questão e procurar 
estabelecer uma fórmula geral para o cálculo da derivada 
dx
dy
. Seja F(x,y) uma função 
diferenciável de classe C¹ em uma região D do plano, e consideremos a equação 
F(x,y)=0, que, geometricamente, representa uma curva C do plano contida na região D. 
Se considerarmos um pequeno arco da cruva C, ele pode ou não, ser o gráfico de uma 
função. Se a curva C admite tangente em cada ponto, vemos intuitivamente que se a 
tangente em um ponto (tal como o ponto A na figura) não é paralela ao eixo OY, então a 
curva C, nas proximidades do ponto A, é o gráfico de uma função de x. 
 45
 
Se A=(1,b), vemos, pelo exame da figura, que para uma vizinhança U=(a-
δ ,a+δ ) do ponto a, suficientemente pequena, a cada x∈U corresponde um y tal que o 
ponto (x,y) é um ponto da curva C (próximo de A). Temos, assim, a função y= f (x) 
definida implicitamente pela equação F(x,y)=0 nas proximidades do ponto A. Por outro 
lado, se a tangente à curva C em um ponto é paralela ao eixo OY, então a curva C, nas 
proximidades desse ponto, pode não ser o gráfico de uma função; é isso o que acontece 
com o ponto B da figura acima, no qual a tangente à curva C é vertical. Se B=(c,d), 
então para toda a vizinhança V=(c-ε ,c+ε ) do ponto C, a vertical conduzida de um 
ponto x∈V poderá encontrar a curva C em mais de um ponto, ou poderá não encontrar a 
curva; portanto, não existe função definida implicitamente pela equação F(x,y)=0 na 
vizinhança V. 
Seja a equação F(x,y)=0 onde F(x,y) é uma função diferenciável de classe C¹ 
na região D ⊂ R², e seja A=(a,b) um ponto de D tal que F(a,b)=0. Portanto, A é ponto 
da curva C de equação F(x,y)=0. Admitamos que exista uma função diferenciável 
y= f (x), definida implicitamente pela equação F(x,y)=0 em uma vizinhança U=(a-
δ ,a+δ ) do ponto a. Nessas condições, para todo x∈U, devemos ter: F(x, f (x))=0 
O primeiro membro desta última igualdade é, pois, uma função de x que é 
constante (igual a zero) em U. Derivando essa função, com o emprego da regra de 
derivação das funções compostas, temos: 
0..))(,( =
∂
∂
+
∂
∂
=
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
xfxF
dx
d
 
Ou seja, 0. =
∂
∂
+
∂
∂
dx
dy
y
F
x
F
 
Nos pontos da curva C nos quais 
y
F
∂
∂
≠ 0, podemos escrever: 
 46
y
F
x
F
dx
dy
∂
∂
∂
∂
−= 
 
Ou, com outra notação: 
Fy
Fx
dx
dy
−= 
Em particular, no ponto A=(a,b), temos: )b,a(F
)b,a(F
dx
dy
y
x
A
−=





 
Desde que seja Fy(a,b) ≠ 0. A fórmula acima é muito útil e prática para o 
cálculo da derivada da função implícita. 
O problema da função implícita pode ser estudado com maior aprofundamento 
em cursos mais adiantados. Estabelece-se então o seguinte importante 
 
Teorema da função implícita: Se F(x,y) é uma função diferenciável de classe 
C¹ em uma região D ⊂ R², e se A=(a,b) é um ponto de D tal que F(a,b)=0 e Fy(a,b) ≠ 0, 
então existe uma função f (x), diferenciável de classe C¹ em uma vizinhança U=( a-
δ ,a+δ ) do ponto a, para todo x∈U. 
Esse teorema, que pode ser generalizado ao caso de funções de várias 
variáveis, pelas suas importantes aplicações, é, talvez, a proposição mais notável do 
Cálculo Diferencial. A sua demonstração, porém, não é trivial, costuma ser apresentada 
nos cursos de Análise. Para nossos fins imediatos, são suficientes as informações que já 
demos. Em alguns exercícios, resolvidos ou propostos, teremos ocasião de estudar 
questões que aparecem frequentemente em aplicações do Cálculo. 
 
Exemplos: 
 
1) Consideremos a equação xy³+3x²+y²-6x+5y+6=0 
E o ponto A=(2,-1). Verifica-se imediatamente que F(2,-1)=0. A função 
F(x,y), que é um polinômio, é diferenciável de classe C¹ em R². Calculemos a derivada 
parcial de F em relação a y: 
52²3 ++==
∂
∂ yxyFy
y
F
 
No ponto A=(2,-1), temos: Fy(2,-1)=6-2+5=9 ≠ 0 
 47
Portanto, a equação dada, F(x,y)=0, define y como função diferenciável de x 
nas proximidades do ponto A. A derivada dessa função (implícita) no ponto A é: 






++
−+
−=
−
−
−=





5y2²xy3
6x6³y
)1,2(F
)1,2(F
dx
dy
y
x
A
 
Substituindo x por 2 e y por -1, resulta 
Adx
dy






=
9
5
− 
2)Dada a equação xy-exsen y= Π , calculara derivada 
dx
dy
 no ponto 
A=(1, Π ). Achar as equações da tangente e da normal à curva representada pela 
equação, no ponto A. 
 
3)Verificar se a equação x²+y²-8x-4y+11=0 define uma das variáveis x, y 
como função da outra nas proximidades do ponto A=(7,2). 
 
Equações com mais de duas variáveis – Consideremos uma equação da forma: 
F(x,y,z)=0 
Onde F(x,y,z) é uma função diferenciável em uma região D ⊂ R³. 
Seja A=(a,b,c) ∈D um ponto tal que F(a,b,c)=0. 
Se a derivada parcial de 
z
F
∂
∂ for diferente de zero no ponto A, isto é, se for 
F(a,b,c) ≠ 0, então poderemos afirmar que a equação dada define a variável z como 
função de x e y nas proximidades do ponto A; mais precisamente, existe uma função z= 
ϕ (x,y), diferenciável em uma vizinhança V do ponto (a,b) em R², tal que ϕ (a,b)=c e 
F(x,y, ϕ (x,y))=0 para todo (x,y) ∈V. É isso o que afirma o teorema da função implícita 
para a presente situação. 
Considerando que F(x,y,z)=0 para todo (x,y) ∈V, podemos escrever após o 
emprego da regra de derivação das funções compostas: 
0
x
z
.
z
F
x
y
.
y
F
x
x
.
x
F
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
, 0... =
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
y
z
z
F
y
y
y
F
y
x
x
F
 
Observando que 
x
x
∂
∂
=1, 
y
y
∂
∂
=1 e 
y
x
∂
∂
=0, 
x
y
∂
∂
=0 (porque x e y são variáveis 
independentes), resulta: 
0. =
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
x
z
z
F
x
F
, 0. =
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
z
z
F
y
F
 
 48
Donde, supondo que seja 
z
F
∂
∂
≠ 0: 
z
F
x
F
x
z
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
 e 
z
F
y
F
y
z
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
 
Ou, com outra notação: 
 
z
x
F
F
x
z
−=
∂
∂
 
z
y
F
F
y
z
−=
∂
∂
 
 
De modo análogo, uma equação F(x,y,z,w)=0 pode definir w como função das 
três variáveis x,y,z nas proximidades de um ponto A=(a,b,c,d) tal que F(a,b,c,d)=0. 
As derivadas parciais de w em relação a x,y,z são dadas pelas fórmulas: 
x
w
∂
∂
= 
w
x
F
F
− 
y
w
∂
∂
= 
w
y
F
F
− 
z
w
∂
∂
= 
w
z
F
F
− 
Onde se supõe que Fw ≠ 0. 
As fórmulas acima se generalizam para uma equação com n variáveis. 
 
 
Exemplos: 
5)Dada a equação 1=+− xyzxy zeee calcular as derivadas 
x
x
∂
∂
 e 
y
x
∂
∂
 no ponto 
A=(0,0,1). 
Solução – Podemos escrever a equação dada na forma: 
F(x,y,z)= 01 =−+− xyzxy zeee 
O ponto A satisfaz à equação, pois temos: 
F(0,0,1)= 011111000 =−+−=−+− zeee 
Calculemos as derivadas parciais de F: 
x
F
∂
∂
= Fx= yexy+zex, 
y
F
∂
∂
 = Fy = xexy- zex , 
z
F
∂
∂
= Fz = - exy+ex 
No ponto A=(0,0,1), as derivadas são: Fx= 1, Fy = -1, Fz = 1 
Como Fz ≠ 0, a equação dada define z como função de x e y nas proximidades 
do ponto A; as derivadas parciais dessa função no ponto A são: 
 49
x
z
∂
∂
 = -
z
x
F
F
= - 
1
1
= -1, 
y
z
∂
∂
 = -
z
y
F
F
= - 
1
1−
= 1 
Com esse resultado, podemos ainda escrever a equação do plano tangente à 
superfície de equação: exy- eyz + z ex = 1 
No ponto A; trata-se do plano z-1 = 
x
z
∂
∂ (x-0) + 
y
z
∂
∂ (y-0) ou z-1 = - x + y 
ou finalmente: x-y+z-1=0 
 
Sistema de equações – Consideremos o sistema formado por duas equações 
com três variáveis x, y, z: 
 F(x,y,z) = 0 
 G(x,y,z) = 0 
 
Onde F e G são funções diferenciáveis em certa região do espaço R³. 
Com efeito, derivando as equações do sistema em relação a z, por meio da 
regra de derivação de funções compostas, obtemos: 
Fx dz
dx
 + Fy dz
dy
 + Fz dz
dz
= 0 
Gx dz
dx
 + Gy dz
dy
 + Gz dz
dz
= 0 
Como 
dz
dz
 = 1, podemos escrever: 
Fx dz
dx
 + Fy dz
dy
= - Fz 
Gx dz
dx
 + Gy dz
dy
= - Gz 
Que é um sistema de equações lineares nas derivadas 
dz
dx
 e 
dz
dy
. As derivadas 
parciais Fx, Fy e Fz são calculadas no ponto A=(a, b, c) da curva representada pelo 
sistema de equações original. 
A resolução poderá ser feita utilizando qualquer método de resolução de 
sistemas lineares. 
 
Exemplos: 
6)Dado o sistema de equações: 
 50



=−
=++
zyx
zyx
²²
14²²²
 Calcular as derivadas 
dz
dx
 e 
dz
dy
 no ponto A=(2, -1, 3). 
Solução – A primeira equação representa uma esfera e a segunda um 
parabolóide hiperbólico. O sistema representa a curva interseção dessas duas 
superfícies. 
O ponto A=(2, -1, 3) pertence a essa curva pois as suas coordenadas 
satisfazem às duas equações, como se pode verificar prontamente. 
Para calcular as derivadas pedidas, poderíamos aplicar as fórmulas acima 
estabelecidas, mas em vez disso, preferiremos usar diretamente sobre o sistema dado as 
conhecidas técnicas de derivação. O sistema pode escrever-se assim: 



=−−=
=−++=
0²²),,(
014²²²),,(
zyxzyxG
zyxzyxF
 
 
Derivando em relação a z: 
 
2x
dz
dx
 + 2y
dz
dy
 + 2z = 0 
2x
dz
dx
 - 2y
dz
dy
 -1 = 0 
 
No ponto dado A, temos: x=2, y=-1, z=3; portanto: 
4
dz
dx
 - 2
dz
dy
 + 6 = 0 
4
dz
dx
 + 2
dz
dy
 - 1 = 0 
Somando, membro a membro: 
8
dz
dx
 + 5 = 0, donde 
dz
dx
 = 
8
5
− . 
Subtraindo a primeira equação da segunda: 
4
dz
dy
 - 7 = 0, donde 
dz
dy
= 
4
7
. 
 
 51
9 Derivada direcional. Gradiente 
Para estudar a questão, tomemos uma função de duas variáveis z= f (x,y) 
diferenciável em uma região A ⊂ R², e seja p=(a,b) um ponto de A. Consideremos a 
direção orientada no plano definida pelo vetor unitário u , o qual forma com os eixos 
coordenados OX e OY os ângulos α e β , respectivamente.u =cosα ji βcos+ , onde 
 
onde cos α e cos β são os co-senos diretores da direção orientada considerada, e que 
cos²α +cos² β = 1² =u , pois u é unitário. Seja q=(a+ ∆ x, b+ ∆ y) um ponto da região 
A, próximo de p e tal que o vetor pq tenha a mesma direção e o mesmo sentido do vetor 
u . Nessas condições, designando por ∆ s a norma do vetor pq , podemos escrever: 
pq = ∆ x i + ∆ y j = )cos(cos jisusupq βα +∆=∆= 
Portanto: ∆ x= ∆ s cos α , ∆ y= ∆ s cos β . O acréscimo da função f , quando 
passamos do ponto p ao ponto q, é ∆ z= f ( a+ ∆ x, b+ ∆ y)- f (a,b) 
Como f é suposta diferenciável em A, podemos escrever: 
∆ z=
x
f
∂
∂ (p) ∆ x+
y
f
∂
∂ (p) ∆ y+ε 1 ∆ x+ε 2 ∆ y, 
 
Onde ε 1 →0 e ε 2 →0 quando ∆ s →0. Dividindo essa igualdade por ∆ s: 
s
y
s
x
s
yp
y
f
s
xp
x
f
s
z
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
=
∆
∆
21)()( εε 
Lembrando que 
s
x
∆
∆
=cos α e 
s
y
∆
∆
cos β , 
βεαεβα coscoscos)(cos)( 21 ++∂
∂
+
∂
∂
=
∆
∆ p
y
fp
x
f
s
z
 
 52
 
Tomando limites quando ∆ s →0, obtemos: 
 
β
∂
∂
+α
∂
∂
=
∆
∆
→∆
cos)p(
y
f
cos)p(
x
f
s
z
lim
0s 
 
 
A esse limite chamamos derivada da função f no ponto p, na direção do vetor 
u ; indicamos tal derivada pelo símbolo 
u
f
∂
∂ (p). Chegamos, assim, à seguinte expressão 
da derivada direcional: 
 
u
f
∂
∂ (p)= β
∂
∂
+α
∂
∂
cos)p(
y
f
cos)p(
x
f
 
 
Consideremos, agora, o vetor cujas coordenadas são as derivadas parciais 
)( p
x
f
∂
∂
e )( p
y
f
∂
∂
; tal vetor é chamado gradiente da função f no ponto p e é indicado 
por grad f (p) ou por ∇ f (p). O símbolo f lê-se “del”. Portanto: 
j)p(
y
fi)p(
x
f)p(f)p(gradf
∂
∂
+
∂
∂
=∇= 
 
Podemos verificar, que a derivada direcional