Apostila Engenharia de confiabilidade 02 EngenhariadeConfiabilidade

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ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-1 
 
 
II.1.1- INTRODUÇÃO 
 
O substancial aumento dos estudos de confiabilidade nas últimas duas décadas é devido, 
particularmente, ao aumento dramático dos custos de manutenção e também devido às 
dificuldades inerentes na complexidade dos equipamentos, os quais envolvem mudanças 
rápidas de tecnologia. Os seguintes pontos são as maiores razões dos estudos de confiabi-
lidade: 
 
• Complexidade ⇒ aumento das falhas intrínsecas. Essas falhas não são resultantes da 
ausência de definição clara de falha de um componente, elas resultam da combinação 
de condições diversas, de modo que são difíceis de diagnosticar e pouco prováveis de 
serem previstas pelos projetistas. Resultam num número muito grande de possíveis 
modos de falhas. O número de modos nas quais um equipamento pode falhar é muito 
maior naqueles que apresentam uma grande complexidade, tornando deste modo a ta-
refa de predição de falhas muito provável a erros. 
 
• Produção em massa ⇒ requer um grau muito maior de controle sobre a aquisição de 
materiais, fabricação, montagem, mudanças de engenharia, tecnologia, ... . Este tipo de 
produção requer sistemas sofisticados de controle e bons métodos de controle de qua-
lidade de modo a se evitar as possíveis falhas relacionadas com a fabricação. 
 
• Custos e tolerâncias ⇒ é necessário um custo de produção objetivo e por razões co-
merciais é, freqüentemente, uma severa restrição. Isto conduz para a determinação de 
tolerâncias e esforços marginais, os quais justifiquem os requisitos de projeto. A pro-
babilidade de falhas relacionadas à tolerância no campo é muito alta. Testes atualmen-
te são muitos caros e complexos. A tendência de reduzir os custos relacionados a tes-
tes é, constantemente, uma grande causa de falhas futuras. 
 
• Manutenção ⇒ custo de diagnose e reparo, em geral, é muito maior do que aqueles 
que ocorrem durante o projeto e fabricação. Portanto, a redução das taxas de falha e 
dos tempos de reparo justifica um investimento inicial. Alta complexidade de equipa-
mentos conduz a possibilidade de atividades complexas de manutenção e devido a es-
ta complexidade, muitas vezes induz a falhas como resultado da falta de equipamentos 
de teste ou erro humano. 
 
II.1.2- CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
A confiabilidade de um equipamento é definida como: 
 
“A probabilidade de que um equipamento opere com sucesso por um período de tempo 
especificado e sob condições operacionais também especificadas”. 
 
Esta definição indica, explicitamente, quatro aspectos importantes do conceito da confia-
bilidade, a saber: 
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II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-2 
 
 
 
• sua natureza probabilística. 
• sua dependência temporal. 
• a necessidade do estabelecimento no que se constitua sucesso ou não do sistema, e 
• a necessidade de especificações das condições de operação (ou de uso) do equipamen-
to. 
 
O fato de ser definida como uma probabilidade significa que a confiabilidade pode ser 
expressa quantitativamente, assumindo valores entre “0” (zero) e “1” (um). A utilização 
deste conceito probabilístico na prática da Engenharia da Confiabilidade implica no co-
nhecimento explícito, tanto da parte do projetista como na parte da gerência, de que é 
impossível projetar-se um sistema inteiramente a prova de falhas. 
 
O atributo confiabilidade refere-se, portanto, a probabilidade acumulada de que o equi-
pamento não sofra uma falha desde “t = 0” até o tempo final de duração da missão. Vê-se, 
portanto, que a capacidade de reparar um equipamento e colocá-lo novamente em opera-
ção não tem influência sobre a confiabilidade. 
 
Em muitos casos estamos interessados em saber qual a probabilidade de que um dado 
equipamento funcione no instante em que se precise dele, por exemplo, no caso de um 
sistema de proteção ou de desarme. Em outros casos estamos interessados em determinar 
qual a fração de um dado período de tempo que o equipamento estará no estado opera-
cional. No primeiro caso o atributo de interesse é a disponibilidade instantânea do 
equipamento e no segundo caso é a sua disponibilidade média . Define-se então: 
 
• Disponibilidade Instantânea ⇒ é a probabilidade de que o equipamento funcione com 
sucesso no instante em que for requerido. 
• Disponibilidade Média ⇒ em um determinado período de tempo, é a fração do perío-
do durante o qual o equipamento funciona com sucesso. 
 
Dois outros atributos são, objetos de estudo, quando da análise da confiabilidade, ou seja: 
 
• Tempo Médio Para Falhar (TMPF) / Mean Time To Failure (MTTF) 
• Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) / Mean Time Between Failure (MTBF) 
 
As técnicas de análise da confiabilidade, no seu sentido mais amplo, são conhecidas em 
inglês como “RAM (Technologies Reliability, Availability and Maintainability) ou sim-
plesmente como “R&M”. 
 
 
 
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II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-3 
 
 
II.1.3- AVALIAÇÃO QUALITATIVA 
 
Os parâmetros são freqüentemente expressos pelos valores da confiabilidade e disponibi-
lidade, tais como: 
λ ⇒ taxa de falha 
TMEF ⇒ Tempo Médio Entre Falhas 
µ ⇒ taxa de reparo 
TMPR ⇒ Tempo Médio Para Reparo 
 
• Taxa de Falha (λ) 
 
É definida para um período de tempo estabelecido da vida de um item. É a relação do 
número total de falhas para o período de tempo acumulado observado. 
 
Se “λ“ é a taxa de falha de “N” itens, então o valor observado, é dado por: 
 
λ = K
T
 “K” ⇒ número de falhas 
 
O valor de “λ “ indica que “K/T” é somente uma estimativa da taxa de falhas. O valor 
verdadeiro será revelado somente quando todos os “N” itens tenham falhado. 
 
A taxa de falhas é algumas vezes expressas como uma porcentagem de 1000 horas, e al-
gumas vezes tem um número multiplicado por uma potência negativa de dez (10). Por 
exemplo: 
 
8500 por 109 horas (8500 fits) onde: 1 fit = 10-9 horas 
8,5 por 1012 horas 
0,85% por 1000 horas 
0,0085 por ano 
 
• Tempo Médio Entre Falhas (TMEF = θ) 
 
Para um período estabelecido de tempo na vida de um item o valor médio do comprimen-
to de tempo entre falhas consecutivas é calculado como uma relação do tempo total acu-
mulado observado, para o total de número de falhas. Se “θ“ é o TMEF de “N” itens, en-
tão o tempo médio entre falhas observado, é dado por: 
 
 θ = T
K
 ⇐ esta igualdade só é válida para os casos onde a taxa de falhas é constante. 
 
 
 
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 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-4 
 
 
• Tempo Médio Para Falhar (TMPF) 
 
Para um período estabelecido de tempo na vida de um item é a relação do tempo acumu-
lado para o número total de falhas. Isto é, T/K. A única diferença entre “TMEF” e 
“TMPF” esta no seu uso. 
 
O “TMPF” é utilizado para aqueles itens que não podem ser reparados. Por exemplo: 
rolamentos, transistores, resistores, lâmpadas, fusíveis, mangueiras, .... . 
 
O “TMEF” é utilizado para os itens reparáveis, tais como: motores elétricos, transforma-
dores, geradores, turbos, .... . 
 
II.1.4- OS CRITÉRIOS MATEMÁTICOS 
 
Aprobabilidade de um item falhar no intervalo de tempo “t” e “t+dt”, pode ser descrita 
de duas maneiras: 
 
• a probabilidade de falha no intervalo “t” a “t+dt” dado que tenha sobrevivido até o 
tempo “t”. Isto é: λ( )t dt ⇒ taxa de falhas em função do tempo. 
• a probabilidade de falha no intervalo de “t” a “t+dt” incondicionalmente. Isto é: f(t).dt 
⇒ f(t) é a função densidade de probabilidade de falhas. 
 
Exemplo: Oitocentos componentes hipotéticos foram colocados num teste de vida. O 
sistema foi observado por 30 horas seguidas a intervalos de 3 horas e o número de falhas 
foram anotados de acordo com a tabela abaixo. 
 
DADOS DE FALHA DE OITOCENTOS COMPONENTES HIPOTÉTICOS 
Intervalo de 
Tempo (horas) 
Número de 
Falhas no 
Intervalo 
f(t) 
Densidade de Falhas 
λ(t) 
Taxa de falhas 
 0 → 3 185 185/(800 x 3) = 0,0771 185/(800 x 3) = 0,0771 
3 → 6 42 42/(800 x 3) = 0,0175 42/(615 x 3) = 0,0227 
6 → 9 36 36/(800 x 3) = 0,015 36/(573 x 3) = 0,0209 
9 → 12 30 30/(800 x 3) = 0,0125 30/(537 x 3) = 0,0175 
12 → 15 17 17/(800 x 3) = 0,0071 17/( 507x 3) = 0,0112 
15 → 18 8 8/(800 x 3) = 0,0033 8/(490 x 3) = 0,0054 
18 → 21 14 14/(800 x 3) = 0,0058 14/(482 x 3) = 0,0097 
21 → 24 9 9/(800 x 3) = 0,00375 9/(468 x 3) = 0,0064 
24 → 27 6 6/(800 x 3) = 0,0025 6/(459 x 3) = 0,0044 
27 → 30 3 3/(800 x 3) = 0,0013 3/(453 x 3) = 0,0022 
Total 350 ---- ---- 
 
A probabilidade de sobrevivência no tempo “t” é definida como a confiabilidade, “R(t)”. 
A regra de probabilidade condicional, diz que: 
 
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 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-5 
 
 
 
λ
λ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
t dt
f t dt
R t
t
f t
R t
⋅ = ⋅
∴ = 
 
 
Entretanto, se “f(t)” é a probabilidade de falhas em “dt”, então: 
 
F t R t f t dt
t
( ) ( ) ( )= − = ∫1
0
 
 
Onde: F(t) ⇒ é a probabilidade de falha no intervalo de 0(zero) a “t”. 
 
Diferenciando-se : F(t) = 1 - R(t), temos: 
 
f t
dR t
dt
( )
( )= − 
 
Substituindo-se, temos: 
 
λ
λ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
t
f t
R t
dR t
dt
R t
t
dR t
dt R t
= =
−
− = ⋅ 1
 
 
Integrando-se, os dois lados, obtemos: 
 
− ⋅ = ⋅∫ ∫λ( )
( )
( )
( )
t dt
R t
dR t
t R t
0 1
1
 
 
Uma explicação com relação aos limites de integração torna-se necessária neste ponto. 
λ(t) é integrado com relação ao intervalo de “0(zero)”a “t”. Porém, “1/R(t)” está sendo 
integrado com relação a “R(t)”. Portanto, quando “t = 0”, temos “R(t) = 1”, e para um 
tempo “t” a confiabilidade “R(t)” é, por definição, R(t). Integrando-se, obtemos: 
 
− ⋅ =
= −
=
∫λ( ) ( )
( )
( )
( )t dt Log t
Log t Log
Log t
t
e
R t
e e
e
0 1
1
 R 
 R 
 R
 
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 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-6 
 
 
Logo: R t Exp t dt
t
( ) ( )= − ⋅⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥∫ λ0 
 
Se a taxa de falhas é constante (não depende do tempo), temos: 
 
R t Exp 
R t Exp t
R t e
t
t
( )
( ) ( )
( )
= − ⋅⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
= − ⋅
=
∫
−
λ
λ
λ
dt
0
t
0 
 
Para determinarmos o “TMEF”, sabemos que: 
 
R t
N t
N
s( )
( )= 
 
Onde: Ns(t) ⇒ é o número de itens sobreviventes (não falharam) no período de tempo 
“t”. 
 N ⇒ é o número de itens. 
 
Logo, o “TMEF” será dado por: 
 
θ = = ⋅
∞ ∞∫ ∫N t
N
dt R t dts
( )
( )
0 0
 
θ = = ⋅
∞∫TMEF R t dt( )
0
 
No caso especial: 
 
R t t
e dtt
( ) exp ( )= −
= −
∞∫
λ
θ λ
0
 
θ λ=
1
 
 
Note que, se invertermos a taxa de falhas iremos obter o “TMEF”. Isto, só é válido, quan-
do a taxa de falhas é constante, ou seja, não varia com o tempo. 
 
 
 
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 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-7 
 
 
II.1.4.1- CURVA DA BANHEIRA (Bathtub Curve) 
 
Colocando-se um grupo de componentes idênticos em teste, pode-se verificar que o grá-
fico do número de componentes que falham por unidade de tempo dividido pelo número 
de componentes sobreviventes em cada instante, tem a forma mostrada abaixo: 
 
 A curva da banheira mostrada abaixo pode ser representada pela seguinte função: 
 
λ α β
β α
β( ) ( )
:
t k ct k bt e
Para
c b t b= + −
≤ ≤ ≥
− −1 11
 b, c, , > 0 0 k 1 t 0 c = 0,5 b = 1
 
 
 Onde: “b” e “c” são parâmetros de forma 
 “α“ e “β“ são parâmetros de escala 
 “t” é o tempo 
 
As seguintes funções de taxa de falha são casos especiais da equação acima: 
 
 k = 1 ⇒ Weibull 
 k = 0 ; b = 1 ⇒ Valor Extremo 
 c = 0,5 ; b = 1 ⇒ Curva da Banheira 
 c = 1 ; b = 1 ⇒ Distribuição de Makeham 
 
 Para o caso particular da “Curva da Banheira - Modelo II”, temos: 
 
( ) ( )λ β β β( )t b t eb t b= ⋅−1 ; onde: b = 0,5 e β = 1 
CURVA DA BANHEIRA PARA O MODELO II 
Tempo "t"
T
ax
a 
de
 F
al
ha
 e
m
 F
un
çã
o 
do
 T
em
po
 
1.3
1.5
1.7
1.9
2.1
2.3
.100
.200
.300
.400
.500
.600
.700
.800
.900
1
1.100
1.200
1.300
1.400
1.500
1.600
1.700
1.800
1.900
2
2.100
2.200
2.300
2.400
2.500
2.600
I II III
 
 
Esta figura é conhecida como a “Curva da Banheira”, devido a sua forma, e o parâmetro 
cuja variação temporal ela descreve é denominada de taxa de falha, representado por λ(t). 
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Esta curva mostra que a taxa de falha de um componente pode ser: decrescente (I), cons-
tante (II) ou crescente (III) correspondente aos três períodos indicados na figura, a saber: 
 
• Período I - mortalidade infantil, burn-in, amaciamento (taxa de falha decrescente) 
• Período II - vida útil ou vida de uso (taxa de falha constante) 
• Período III - desgaste (taxa de falha crescente) 
 
O período de mortalidade infantil está associado com defeitos de projeto, deficiências do 
processo de fabricação e garantia da qualidade (falhas em soldas, juntas, conexões, ajuste 
e posicionamentos incorretos, isolamento, ...). Do ponto de vista de projeto, o enfoque 
para reduzir a taxa de falhas é minimizar este período ao máximo ou eliminá-lo por com-
pleto antes da utilização real do componente, e consiste do emprego de testes de melho-
ramento ou crescimento da confiabilidade durante o desenvolvimento do projeto seguido 
por testes controlados e “burn-in” junto ao controle de processo, assim como, melhorar 
os serviços de inspeções durante a fabricação. 
 
As falhas que ocorrem durante o período de vida útil são causadas principalmente pela 
ocorrência aleatória de esforços que excedem os níveis de resistência do componente. 
Um modo bastante utilizado para minimizar a ocorrência deste tipo de falha consiste no 
emprego de componentes de maior resistência do que a exigida nominalmente para aque-
la utilização inicial (técnica de derating). 
 
O aumento da taxa de falhas que ocorre no período de desgaste deve-se a ocorrência gra-
dual de mudanças físicas e químicas na estrutura interna do componente resultando numa 
redução acentuadado nível de resistência deste. De um modo geral os componentes são 
sempre substituídos quando já apresentam um determinado nível de desgaste específico. 
 
II.1.5- SISTEMAS COERENTES 
 
Devido a grande complexidade de sistemas modernos, é possível, durante as fases iniciais 
de projeto que alguns de seus componentes sejam irrelevantes para o perfeito funciona-
mento do sistema, ou seja, o funcionamento ou falha do sistema independe do comporta-
mento daqueles componentes. Obviamente, após uma reanálise do projeto, os componen-
tes irrelevantes são eliminados. Um exemplo simples de um componente irrelevante é 
apresentado abaixo: 
A B
C
 
 
 
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 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-9 
 
 
Podemos observar, que o funcionamento ou não do componente “C” em nada vai com-
prometer o sistema. Na prática, somente por falhas de projeto, é que um componente irre-
levante pode ser encontrado em algum sistema. 
 
II.1.6- DIAGRAMAS DE BLOCO DA CONFIABILIDADE 
 
A avaliação da confiabilidade de um sistema utilizando modelos estáticos é uma forma de 
análise preliminar, sendo usado para que se possam calcular as possíveis configurações 
do projeto e também para determinar os níveis necessários de confiabilidade para os sub-
sistemas, itens e componentes. 
 
A medida que o projeto progride na direção de seu estágio final, uma análise mais deta-
lhada pode ser feita e, finalmente, protótipos são construídos com o intuito de se verifi-
car a confiabilidade do projeto. Logo, podemos representar um sistema completo dividin-
do-o em subsistemas, itens e componentes, onde se supõe que uma “caixa preta” pode 
estar em um dos dois estados: “operando” ou em “falha”. 
 
Abaixo apresentamos um diagrama de bloco da confiabilidade e uma de suas possíveis 
divisões: 
 
1
A
5
432
DCB E
vi
vi
v
iviii
iii
vi
x
r
c
c
clc
dx
d
d
d
Nível 1
Sistema Global
Nível 2
Sistema
Nível 3
Subsistema
Nível 4
Componentes
 
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 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-10 
 
 
Como exemplo, consideremos um circuito interruptor dual, conforme mostrado no dia-
grama de bloco funcional, dado abaixo: 
Chave
A
Chave
B
Acionador
 
 
Se nossa preocupação básica se relaciona ao fechamento do circuito quando necessário, 
então o diagrama de bloco seria um arranjo em série. 
Chave
A
Chave
B 
 
Por outro lado, se a preocupação fundamental fosse que o circuito estivesse aberto quan-
do necessário, o diagrama de bloco seria um arranjo em paralelo. 
 
Chave
A
Chave
B 
 
É importante observar que um diagrama de blocos é construído para a determinação do 
sucesso operacional e não para mostrar o conjunto das funções de um circuito. 
 
II.1.7- DETERMINAÇÃO QUANTITATIVA DA CONFIABILIDADE DE SISTE-
MAS 
 
Aqui iremos descrever as cinco configurações básicas da confiabilidade: 
 
II.1.7.1- CONFIGURAÇÃO SÉRIE 
 
Subsistemas ou componentes ligados em série. 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
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 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-11 
 
 
Se qualquer um dos subsistemas ou componentes falhar o sistema falha. 
 
R1 RNR3R2
 
 
Se as falhas dos componentes de um sistema em série são estatisticamente independentes 
então a confiabilidade do sistema “Rs”, com componentes diferentes, é dada por: 
 
R Rs i
i
n
=
=
∏
1
 
 Onde: n ⇒ número de componentes 
 Ri ⇒ confiabilidade do enésimo componente 
 
Se os tempos para falhar dos componentes seguem uma distribuição exponencial (com-
ponentes com taxa de falha constante) então a confiabilidade do enésimo é obtida por: 
 
R t ei i
t( ) = −λ 
 
Substituindo-se na equação acima: 
R t e es i
t
i
n i t
i
n
( ) = =
∑−
=
−
=∏ λ
λ
1
1 
 
O “TMPF”, é dado por: 
TMPF e dt
TMPF
i t
i
n
i
i
n
=
∑
⋅
=
−
=
∞
=
∫
∑
λ
λ
1
0
1
1
 
 
A equação acima mostra que o “TMPF” de um sistema série é o inverso do somatório das 
taxas de falha de dada componente. 
 
Exemplo: Duas bombas diferentes são necessárias para o funcionamento de um sistema 
para o fluxo de uma carga pré-determinada. Assumir que as bombas I e II tem taxas de 
falha constante iguais a “λ1 = 0,0001 falhas/hora” e “λ2 = 0,0002 falhas/hora”, respecti-
vamente. Calcular o TMPF deste sistema e a confiabilidade para 100 horas de operação. 
Considerar que as bombas começam a operar no instante de tempo “t = 0”. 
 
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 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-12 
 
 
 1- Cálculo da confiabilidade: 
 ( )[ ]
( )[ ]
R t t
R
R
s
s
s
( ) exp
( ) exp , ,
( ) ,
= − +
= − + ⋅
=
λ λ1 2
100 0 0001 0 0002 100
100 0 97045
 
 
 2- Cálculo do “TMPF”: 
 
TMPF = + = + =
1 1
0 0001 0 0002
3333 3
1 2λ λ , , . , horas 
 
II.1.7.2- CONFIGURAÇÃO PARALELA 
 
Subsistemas ou componentes ligados em paralelo 
 
O sistema irá falhar, se e somente se, todos os subsistemas ou componentes falharem. 
 
R1
RN
R3
R2
 
 
O modelo está baseado em que todas as unidades do sistema estão ativas e compartilhan-
do carga. Em adição é assumido que as falhas dos componentes são estatisticamente in-
dependentes. A confiabilidade de uma configuração em paralelo “Rp”, com componentes 
diferentes, é dada por: 
( )R Rp i
i
n
= − −
=
∏1 1
1
 
 
 Onde: n ⇒ número de subsistemas ou componentes 
 Ri ⇒ confiabilidade do enésimo componente 
 
Se as taxas de falhas dos componentes são constantes temos: 
( )R ep i t
i
n
= − − −
=
∏1 1
1
λ 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
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 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-13 
 
 
 
O “TMPF” é obtido, integrando-se esta equação no intervalo de [0,∞]. Logo: 
 
( )TMPF R t dt e dtp i t
i
n
ii
n
i jj i
n
n
i
i
ni
n
= ⋅ = − −⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥ ⋅
= − + + + − ⋅
∞ −
=
∞
= = +
+
=
=
−
∫ ∏∫
∑ ∑
∑
∑
( )
( )
0 10
1 1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
λ
λ λ λ λ
 ..... 
 
= + +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ − + + + + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
+ + + + + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + − ⋅
+
=
∑
1 1 1 1 1
1 1
1
1
1 2 1 2 1 3 2 3
1 2 3 1 2 4
1
1
λ λ λ λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ λ
....+
1
n
... ( )n
i
i
n
 
 
Para um sistema em paralelo com 3(três) componentes, temos: 
 
TMPF
A B c A B A C B C A B C
= + + − + − + − + + + +
1 1 1 1 1 1 1
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 
 
Para componentes idênticos, a equação acima se reduz para: 
 
TMPF
ii
n
= ⋅
=
∑1 1
1λ 
 
Exemplo: Supor que dois motores idênticos estão operando numa configuração redundan-
te. Se um dos motores falhar o motor remanescente pode ainda operar para a carga total 
do sistema. Assumir que os motores são idênticos, com taxa de falha constante e as falhas 
dos motores são estatisticamente independentes. Se os motorescomeçam a operar no ins-
tante de tempo “t = 0”, determine: 
 
 1- a confiabilidade do sistema para “λ = 0,0005 falhas/hora” e “t = 400 horas (tempo de 
operação)”. 
 
 2- o TMPF. 
 
Solução: 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-14 
 
 
1- Cálculo da confiabilidade para “t = 400 horas” 
 
( )
( ) ( )[ ]
( )
( )
R e
R e e
R e e e
R e e e
p i
t
i
p
t t
p
t t t
p
t t t
= − −
= − − ⋅ −
= − − − +⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
= + −
−
=
− −
− − − +
− − − +
∏1 1
1 1 1
1 1
1
2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
λ
λ λ
λ λ λ λ
λ λ λ λ
 
 
Se λ λ λ1 2= = , temos: 
R t e e
hora e t
p
t t( )
, /
( ) ,
= ⋅ −
= =
=
− −2
0 0005 400
400 0 9671
2λ λ
λ falhas horas
R p
 
 
2- Cálculo do “TMPF” 
 
TMPF
i
TMPF
TMPF
i
= ⋅
= ⋅ +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
= =
=
∑1 1
1
1
1
2
3
2
1 5
0 0005
3000
1
2
λ
λ λ
,
,
 horas
 
 
II.1.7.3- REDUNDÂNCIA COM STANDBY (RESERVA) 
 
Este tipo de redundância representa a situação na qual uma unidade está operando e “n” 
unidades estão em standby (reserva). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A confiabilidade do sistema, é dada por: 
1
N
3
2
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-15 
 
 
 
( )
R
t e
ist
i t
i
n
= ⋅
−
=
∑ λ λ!0 
 
Onde: n = N-1 (número de unidades em standby - não ativas) 
 
A equação acima é verdadeira, se: 
 
• a unidade de chaveamento é perfeita (R=1 em qualquer instante do tempo). 
• as unidades são idênticas. 
• as taxas de falhas são constantes. 
• as unidades standby estão tão boas quanto novas. 
• as falhas das unidades são estatisticamente independentes. 
 
O “TMPF” é dado por: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Assumir um sistema que contém três unidades idênticas onde uma está operan-
do e as outras duas estão em standby. Pede-se determinar: 
 
- a confiabilidade do sistema para 400 horas de operação, sabendo-se que a taxa de falhas 
das unidades é igual a 0,003 falhas/hora. 
 
- o TMPF do sistema. 
 
 1- Cálculo da confiabilidade para 400 horas: 
 
( )
( )
( )
( )
( )
R t
t e
i
R t e t e
t e
R t e t
t
R
R
st
i t
i
n
st
t t
t
st
t
st
st
( )
!
( )
( )
( ) , , ,
( ) , , , ,
= ⋅
= + ⋅ + ⋅
= + +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ⋅ + +
= × =
−
=
− − −
−
∑ λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ
0
2
2
2
1
2
400 0 3012 1 1 2 0 72
400 0 3012 15840 0 4771 47 71% 
 
 
2- Cálculo do TMPF: 
( )
TMPF R t dt
TMPF
t e
i
dt
st
i t
i
n
= ⋅
= ⋅
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ ⋅
∞
−
=
∞
∫
∑∫
( )
!
0
00
λ λ 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-16 
 
 
 
( )TMPF e t e t e dtt t t= + ⋅ + ⋅⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥ ⋅ = = =
− − −∞∫ λ λ λλ λ λ
1
2
3 3
0 003
10002
0 ,
 horas 
 
STANDBY 
 
Os cálculos considerados acima, foram colocados na sua forma mais simples. Nos estu-
dos mais avançados a unidade de chaveamento pode apresentar falha, assim como, o item 
que está na situação “reserva” pode ser considerado como: Hot Standby (taxa de falha 
do item reserva-dormente igual a do item “ativo”), Warm Standby (a taxa de falha do 
item reserva-dormente é menor do que a do item “ativo”) e Cold Standby (a taxa de fa-
lha do item reserva-dormente é zero). 
 
Dado o seguinte diagrama: 
1λ
3λ
2λ
 
1λ é a taxa de falha constante da unidade principal (ativa). 
2λ é a taxa de falhas constante da unidade reserva quando em uso. 
3λ é a taxa de falhas cosntante da unidade reserva quando no estado dormente. 
P é a probabilidade da chave atuar quando for requerida. 
 
A confiabilidade é dada por: 
 
( )( )tt
312
1t
sistema
2311 eePeR λ−λ+λ−λ− −λ−λ−λ
λ+= 
 
LOAD SHARING (carga compartilhada) 
 
Não é muito comum encontrar uma redundância ativa com uma total independência entre 
as unidade. Em outras palavras, a falha de uma unidade pode causar ou pelo menos acele-
rar a falha da outra. 
 
A seguinte situação pode induzir a erros desde que, a primeira vista, parece com uma 
redundância ativa. A figura abaixo mostra dois capacitores conectados em série. Dado 
que, ambos devem falhar (curto-circuito) de modo que o sistema falhe. 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-17 
 
 
 
 
Podemos observar que as duas unidades não podem ser representadas por meio de uma 
“redundância ativa” pois se o primeiro capacitor falhar por curto circuito a tensão aplica-
da ao capacitor remanescente será dobrada e sua taxa de falha grandemente aumentada. 
Esta situação é conhecida como Load Sharing (Carga Compartilhada) e é matematica-
mente idêntica a uma configuração Standby (Reserva). Na figura abaixo, assumimos que 
a taxa de falha é “zero” para a chave de manobra (perfeita) e a unidade reserva tem uma 
taxa de falha no “estado dormente” igual a ‘zero” e uma taxa de falha (bem maior) após o 
chaveamento. A unidade principal tem uma taxa de falha de duas vezes ao de um único 
capacitor. 
2λ
12λ
 
 
II.1.7.4 - CONFIGURAÇÃO “K” de “n” 
 
É utilizada onde um número “k” de unidades deve estar operando para o sucesso do sis-
tema. As configurações série e paralelo nos itens anteriores são casos especiais desta con-
figuração, onde “K = n” e “K = 1”, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A confiabilidade do sistema, é dada por: 
 R C R Rk n i
n
i k
n
i n i= ⋅ ⋅ −
=
−∑ ( )1 
 
 Onde: n ⇒ número total de unidades no sistema 
1
n
2
K/n
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-18 
 
 
 k ⇒ número de unidades requeridas para o sucesso do sistema 
 R ⇒ confiabilidade de cada unidade 
 Ci
n ⇒ combinação de “n”, “i” a “i”. 
 
O TMPF é dado por: 
 TMPF
n k
K
= − +⋅
1
λ 
 
Para os tempos de falha distribuídos exponencialmente (taxa de falha constante) para uma 
configuração com “k = 2”e “n = 4” a equação resultante torna-se: 
 
 R C R Ri
i i
i
2 4
4 4
2
4
1= ⋅ ⋅ − −
=
∑ ( ) 
 
Para unidades com taxa de falha constante (λ), a equação acima se torna: 
 
( ) ( )( )R C e
e
e
k n i
n t i
t n
t ii k
n
= ⋅ ⋅ −
−
−
−
−=
∑ λ
λ
λ
1
1
 
 
Exemplo: Determine a confiabilidade deum sistema com unidades independentes e idên-
ticas, numa configuração “2” de “4” para 100 horas de operação. As taxas de falha são 
constantes e iguais a 0,005 falhas/hora. 
 
Solução: Para unidades com tempos para falhar distribuídos exponencialmente (taxa de 
falha constante), e com uma configuração “2” de “4”, a equação resultante torna-se: 
 
R e e et t t2 4
4 33 8 6= ⋅ − ⋅ + ⋅− − −λ λ λ 
Ou seja: 
 
R t C R R C R R C R R
R t R R R R R
R t R R R
2 4 2
4 2 2
3
4 3 1
4
4 4 0
2 4
2 2 3 4
2 4
2 3 4
1 1 1
6 1 4 1
6 8 3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +
= − +
 
 
Logo, para “R e t= −λ ”, o valor de “R2/4(100) = 0,8282”. Considerando, para os dados do 
problema, λ = 0,005 falhas/hora e t = 100 horas. 
 
II.1.7.5 - CONFIGURAÇÃO EM PONTE 
 
O elemento crítico da configuração, está rotulado com o “no 3”. Para unidades diferentes 
e independentes, a confiabilidade das cinco (5) unidades em ponte é dada por: 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R
R R R R R R R R R R R R R R
b = − − − −
− + + + +
2 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5
1 2 3 4 1 3 5 2 3 4 1 4 2 5 
 
 
Para o caso de unidades idênticas, a equação acima se torna: 
 
 R R R R Rb = − + +2 5 2 25 4 3 2 
Para unidades com taxa de falha constante, temos: 
 
 R t e e e eb
t t t t( ) = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅− − − −2 5 2 25 4 3 2λ λ λ λ 
 
O TMPF é obtido, integrando-se a equação acima no intervalo [0, ∞], e obtemos: 
 
TMPF R t dt
TMPF
b= ⋅
= ⋅
∞∫ ( )
0
49
60
1
λ
 
 
Exemplo: Calcule a confiabilidade de um sistema para 100 horas de operação e seu 
“TMPF” sabendo-se que 5(cinco) unidades idênticas e independentes estão ligadas numa 
configuração ponte. A taxa de falha de cada unidade é igual a “λ = 0,0005 falhas/hora”. 
Todas as unidades começam a operar para “t = 0”. 
 
Solução: R e e e eb ( )100 2 5 2 2
0,25 0,2 0,15 0,1= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅− − − − 
 
O seguinte “TMPF” é obtido, pela simples substituição do valor de lambda (λ): 
 
TMPF = × =
49
60 0 0005
1633 4
,
, horas 
 
II.1.7.6- COMBINAÇÃO DE SISTEMAS SÉRIE-PARALELO 
 
Sistemas completos geralmente consistem de um grande número de componentes de uni-
dades em série. Se qualquer um dos componentes falha o sistema falha. Em muitos casos 
3
1
2 5
4
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-20 
 
 
os componentes de menor confiabilidade de um sistema são amparados por componentes 
em paralelo de modo a aumentar a confiabilidade do sistema através de uma redundância 
paralela. Algumas vezes um grupo total de componentes é amparado por um grupo igual 
ou similar operando em paralelo. Esses arranjos em paralelo de 2(dois) ou mais grupos 
podem ser considerados como unidades simples em série dentro do sistema. 
 
A confiabilidade de um sistema com “m” caminhos paralelos de “n” elementos, sendo 
que, a confiabilidade de cada elemento é “R”, é dada por: 
 
 R Rps
n m= − −1 1( ) ⇒ Paralelo-Série 
 
A confiabilidade de um sistema de “n” unidades em série e “m” elementos paralelos, con-
siderando a confiabilidade de cada elemento igual a “R”, é: 
 
 ( )[ ]R Rsp m n= − −1 1 ⇒ Série-Paralelo 
As configurações “série-paralelo” resultam em maior confiabilidade do que a configura-
ção “paralelo-série” equivalente. Um sistema básico de “n” elementos replicado em “m” 
vezes tem “mn” possíveis caminhos para o sucesso de um sistema numa configuração 
série-paralelo tem somente “m” possíveis caminhos no sistema paralelo-série. 
 
Exemplo: Considere um sistema com seis elementos (cada elemento tem uma confiabili-
dade de 0,90). Calcule a confiabilidade dos quatro arranjos dados abaixo: 
 
Arranjo 1: Série 
 
R RRR R R
 
 
m = 1 (número de caminhos) 
n = 6 (número de elementos) 
Rs = (0,90)6 = 0,5314 
 
Arranjo 2: Paralelo-Série 
 
R
R
RR
R R
 
 
m = 2 (caminhos paralelos) 
n = 3 (três elementos em cada caminho) 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-21 
 
 
( ) ( )R Rps n m= − − = − − =1 1 1 1 0 90 0 92663 2, , 
 
Arranjo 3: Misto-Paralelo 
R
R
RR
R R
 
 
( ) ( )R
R
ps
ps
= − −⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥ ⋅ − −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= × =
1 1 0 90 1 1 0 90
0 9639 0 9900 0 9543
2 2 1 2, ,
, , .
 
 
Arranjo 4: Série-Paralelo 
 
R
R
RR
R R
 
 
( )[ ]nmsp R11R −−= 
m = 2 (número de elementos em paralelo) 
n = 3 (número de unidades ou estágios em série) 
( )[ ]Rsp = − − =1 1 0 90 0 97032 3, , 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-22 
 
 
II.1.8- CAMINHOS MÍNIMOS E CORTES MÍNIMOS 
 
Define-se “caminho” de um sistema como um conjunto de componentes cujo funciona-
mento de todos eles garante o funcionamento do sistema. Um caminho é dito “mínimo” 
quando todos os seus componentes são essenciais para garantir o funcionamento do sis-
tema, em outras palavras, quando a exclusão de qualquer componente faz com que o sub-
conjunto resultante deixe de ser um caminho. 
 
Define-se como “corte” de um sistema um conjunto de componentes tal que o não fun-
cionamento (falha) de todos eles implica no não funcionamento do sistema. O “corte” é 
dito “mínimo” quando todos os seus componentes são essenciais para garantir o não 
funcionamento do sistema, em outras palavras, quando a exclusão de qualquer um dos 
seus componentes faz com que o subconjunto resultante deixe de ser um corte. 
 
Exemplo 
Caixa D
(2)
Caixa E
(3)
Amplificador
(1)
 
 
Seja o caso do amplificador e duas caixas de som. Os caminhos deste sistema são: {1,2}, 
{1,3} e {1,2,3}. Obviamente, que o conjunto {1,2,3} embora seja um caminho, não é um 
caminho mínimo, pois a exclusão do componente (2) ou do componente (3) não faz com 
que os subconjuntos resultantes {1,3} e {1,2} deixem de ser caminho, portanto, os cami-
nhos mínimos são: {1,2} e {1,3}. 
 
De acordo com a definição, os cortes deste sistema são: {1}, {1,2}, {1,3} e {1,2,3}. Des-
tes, apenas {1} e {2,3} são cortes mínimos. 
 
Um modo alternativo de representação do sistema amplificador é mostrado abaixo: 
 
Representação por Caminhos Mínimos 
 
1
1
2
3
 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADEEduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-23 
 
 
( )
( )
R R
R R R R R
R R R R R R R R
p i
i
n
p
p
= − −
= − − ⋅ −
= + +
=
∏1 1
1 1 1
1
1 2 1 3
1 2 1 3 1 2 3
( ) 
 
Como podemos observar, o valor obtido, é idêntico ao mostrado abaixo: 
 
2
3
1
 
 
Determinando a confiabilidade dos blocos “2” e “3” ligados em paralelo, temos: 
 
 
( ) ( )
( )
R R R
R R R R
R R R R
p( )2;3 2 3
3 2 2 3
2 3 2 3
1 1 1
1 1
= − − ⋅ −
= − − − − ⋅
= + − ⋅
 
 
 
Logo: 
 
( )R R R R R R R
R R R R R R R
p1 2;3 1 2 3 2 3
1 2 1 3 1 2 3
⋅ = ⋅ + − ⋅
= + −
( )
 
 
 
Exemplo: Seja o sistema representado pelo diagrama de blocos: 
 
1
2 3
4
5 6
 
 
Observando o sistema acima, temos: 
 
Caminhos Mínimos Cortes Mínimos 
{1,4} {1,2} 
{1,5,6} {1,3} 
{2,3,4} {4,5} 
{2,3,5,6} {4,6} 
 
Representação: 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-24 
 
 
1- Por Caminhos Mínimos. 
 
1 4
532
432
651
6
Entrada Saída
 
 
2- Por Cortes Mínimos. 
 
1 1 44
532 6
Entrada Saída
 
 
II.1.9- DETERMINAÇÃO DA CONFIABILIDADE DE SISTEMAS PELO MÉ-
TODO DA DECOMPOSIÇÃO 
 
A confiabilidade de alguns sistemas pode ser melhorada conectando-se certos componen-
tes de modo que esses façam parte de mais de um subsistema. Por exemplo, considere o 
sistema mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde os componentes são independentes e cada um tem confiabilidade igual à “Ri”. Os 
dois ramos estão conectados pela ligação “L”, de modo que o sinal fluindo da entrada 
para a saída, pode fluir por qualquer um dos caminhos, ou seja: {1,2}, {1,3}, {4,2}, {4,3} 
e {4,5}. 
 
Se a ligação “L”, na figura acima, não estivesse presente, a confiabilidade do sistema 
poderia ser obtida considerando-se o seguinte diagrama: 
1
2
3
4 5
Entrada Saída
L
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os dois caminhos estão simplesmente em paralelo, a confiabilidade do sistema 
(sem a ligação “L”), é dada por: 
 
( ) ( )[ ]{ }
R R R R R
R R R R R R R R R R R R R R R
sist I S I S
sist
= + − ⋅
= + + − − + −4 5 1 2 3 2 3 4 5 1 2 3 2 3 
 
Se todos os componentes têm a mesma taxa de falha “λ“, então a equação acima, torna-
se: 
 
R t e
R e e e e
t
sist
t t t t
( ) =
= − − +
−
− − − −
λ
λ λ λ λ3 3 22 3 4 5
 
 
O “TMPF”, neste caso, é dado por: 
 
TMPF = ⋅13
15
1
λ 
 
Se a ligação “L” está presente, as equações acima não são válidas. Uma maneira de avali-
ar o sistema complexo resultante da colocação da ligação “L” pode ser obtida utilizando-
se o “Método da Decomposição Pivotal”. Este método consiste em selecionar um compo-
nente “Pivot”, que designaremos pela letra “K”, geralmente localizado num dos extremos 
da ligação cruzada. A confiabilidade do sistema pode então ser decomposta em contribui-
ções obtidas através das considerações sobre o funcionamento ou não do componente 
selecionado, usando-se probabilidade condicional e a soma das probabilidades de eventos 
disjuntos. Portanto, podemos escrever: 
 
 K ⇒ componente pivot. 
 
 R R R Sist| R Sist KSIST K= ⋅ ⋅( ( | )K) + RK 
 
 Onde: K ⇒ significa a falha do componente K 
 
1
2
3
4 5
Rs
RI
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-26 
 
 
 R K ⇒ 1− R K 
 
Se, na figura com a ligação “L”, escolhemos o componente “4” como o pivot, então po-
demos escrever: 
 
R R
R R
R Sist K R R R
R R
K
K
=
= −
=
⇒
⋅
4
4
2 3 5
2 3
1
( | ) / / / /
/ /
( / / )
 em paralelo
R(Sist|K) = R1
 
 
Substituindo-se na equação: 
 
 R R R Sist| R Sist KSIST K= ⋅ ⋅( ( | )K) + R K 
 
 [ ] [ ]R R R R R R R R R R RSIST = ⋅ − − − − + − + −4 2 3 5 4 1 2 3 2 31 1 1 1 1( )( )( ) ( ) ( ) 
 
Caso todos os componentes tenham a mesma taxa de falha, temos: 
 
 [ ]R R R R R RSIST = − − + − −1 1 1 23 2 3( ) ( )( ) 
 
Fazendo-se a redução matemática e substituindo-se “R t e t( ) = −λ ”, obtemos: 
 
R e e eSIST
t t t= − +− − −5 6 22 3 4λ λ λ 
 
O “TMPF” é igual a: ( )5 6 2
12 3 4
0
e e e dtt t t− − −
∞
− + =∫ λ λ λ λ 
 
Se compararmos os dois TMPF: 
 TMPF = ⋅13
15
1
λ (sem ligação “L”) 
 
 TMPF = 1λ (com ligação “L”) 
 
Podemos observar que a ligação “L” melhora o “TMPF” do sistema, ou seja, a sua confi-
abilidade. 
 
Se: λ = 0,0001 falhas/hora 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-27 
 
 
TMPF= × =
13
15 0 0001
8666 67
,
, horas (sem ligação “L”) 
 
TMPF= =1
0 0001
10000 00
,
, horas (com ligação “L”) 
 
Exemplo: Um sistema é constituído por seis componentes idênticos, com taxa de falha 
constante λ = 10-3 /hora, que são conectados de acordo com o diagrama de blocos abaixo. 
Calcule a confiabilidade do sistema para uma missão de 200 horas. Calcule o “TMPF” do 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1- Escolhendo o componente “4” como pivot, podemos escrever: 
 [ ]R t R t R Sist R t R Sist
Onde t e t e
Logo Sist R t R t R t e
SIST
t t
t
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
: ( ) ( )
: ( | ) ( ) ( ) ( )
= ⋅ + − ⋅
= = −
= ⋅ ⋅ =
− −
−
4 4
4
1 2 3
4 1 4
1
4 3
 R e 1- R
 R
4
λ λ
λ
 
 
Porém, para calcularmos R Sist( | )4 , precisamos aplicar novamente o método da decompo-
sição pivotal. Assumindo o sucesso do componente “4”, o sistema ficaria reduzido a se-
guinte configuração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolhendo, agora, o componente “5” como pivot, podemos escrever: 
 
1 2
4 5
3
6
Pivot 1 Pivot 2
2
5
3
6
Pivot 2
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-28 
 
 
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
R Sist R t R Sist R t R Sist
R t R t R t R t R t R t R t R t
e e e e e
e e e e
e e
t t tt t
t t t t
t t
( | ) ( ) ( | , ) ( ) ( | , )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 4 5 1 4 5
1
2 1
2
3 2
5 5
5 3 6 3 6 5 2 3
2 2
3 2 3
2 3
= ⋅ + − ⋅
= ⋅ + − ⋅ + − ⋅ ⋅
= ⋅ − + − ⋅
= − + −
= −
− − − − −
− − − −
− −
 
 
 
 
λ λ λ λ λ
λ λ λ λ
λ λ
 
 
Substituindo o resultado acima na equação de RSIST(t), obtemos: 
 
( )
R t R t R Sist R R Sist
e e e e e
e e e e
SIST
t t t t t
t t t t
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
( )
= ⋅ + − ⋅
= ⋅ − + − ⋅
= − + −
− − − − −
− − − −
4 4
2 3 3
3 4 3 4
4 1 4
3 2 1
3 2
 
 
λ λ λ λ λ
λ λ λ λ
 
 
Logo: R t e eSIST
t t( ) = −− −4 33 4λ λ 
 
Para: λ = 10-3 falhas/hora e t = 200 horas, temos: 
 
R
R
SIST
SIST
( ) , ,
( ) ,
200 4 0 5488 3 0 4493
200 0 8473
= × − ×
= 
 
2) TMPF e e dtt t= − ⋅ = ⋅− −
∞∫ ( )4 3 712 13 40
λ λ
λ 
 
 TMPF = = × =
7
12
7
12 0 001
583 33λ , , horas 
 
II.1.10- FUNÇÕES MULTIMODO (MODOS MÚLTIPLOS DE FALHA) 
 
Nos itens anteriores observamos componentes/equipamentos que estão em falha ou ope-
rando. Em muitas situações, isto é uma simplificação, desde que muitos equipamentos ou 
componentes apresentam mais que 1(um) modo de falha, alguns dos quais mais sérios do 
que os outros. A capacidade para diferenciar entre os vários tipos de falhas permite uma 
definição mais precisa para o cálculo da confiabilidade. 
 
Uma chave ou uma válvula, por exemplo, pode funcionar adequadamente, mas pode fa-
lhar de diversos modos, tais como: 
 
• pode falhar aberta quando é esperado que feche. 
• pode falhar fechada quando é esperado que abra. 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-29 
 
 
• pode falhar fechada antes que seja esperado fechar. 
• .... 
 
Em qualquer sistema com vários equipamentos, muitos dos quais podem funcionar de 
diversos modos, o número de termos os quais devem ser avaliados para se obter a confia-
bilidade do sistema pode se tornar muito grande. Neste tipo de situação, é altamente dese-
jado um procedimento sistemático para se evitar erros em alguns termos. 
 
II.1.10.1- Procedimento para Análise 
 
1o - definir cuidadosamente e completamente as condições de sucesso do sistema (sistema 
operando). 
 
2o - calcular o número total de permutações com repetição permitida de todos os possí-
veis modos de combinar todas as unidades do sistema em todos os possíveis modos indi-
viduais de funcionamento. 
 
O número de permutações é dado por: 
 
Perm M M MN N N.= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 1 2 2 3 3 ...... MnN n 
 
Onde: Mi ⇒ número de modos de função do equipamento “i” no sistema. 
 Ni ⇒ número de equipamentos no sistema, tendo “Mi” modos de função. 
Considere, por exemplo, um sistema composto de 5(cinco) unidades. Uma unidade (N1) 
tendo 2(dois) modos de função (M1), 2(duas) unidades (N2) tendo 4(quatro) modos de 
função (M2) e as 2(duas) unidades finais (N3) tendo 3(três) modos de função (M3). O nú-
mero de modos (estados) que o sistema irá apresentar, é: 
 
Perm.= ⋅ ⋅ =2 4 3 2881 2 2 estados possíveis 
 
3o - Utilizando qualquer procedimento sistemático de seu modelo, determine todas as 
possíveis permutações dos modos de funções de todas as unidades do sistema, asseguran-
do-se que todas as permutações estão incluídas e que nenhuma está duplicada. 
 
4o - As saídas do sistema devem ser calculadas para cada permutação e devem ser medi-
das de acordo com o critério para o sucesso do sistema. Manter um registro de sucesso e 
não sucesso de cada permutação. 
 
5o - Calculadas as probabilidades de sucesso do sistema para cada permutação em termos 
das probabilidades apropriadas das unidades individuais. Isto, normalmente, só é feito 
para aquelas permutações as quais fornecem o sucesso do sistema (embora a probabilida-
de de não sucesso possa ser calculada para as outras permutações). Em muitos casos os 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-30 
 
 
vários termos de probabilidade são independentes entre si, se este não for o caso, então a 
probabilidade condicionada apropriada deve ser usada. 
 
6o - A confiabilidade do sistema é a soma das probabilidades de todas as permutações 
possíveis as quais fornecem o sucesso do sistema (sistema operando). Se a probabilidade 
de cada permutação (sucesso ou não sucesso) é calculada, então, a soma de todas as pro-
babilidades é igual a 1(um). Isto pode ser usado como uma checagem do trabalho realiza-
do. 
 
Exemplo: Considerar um conjunto de três diodos em paralelo, como mostrado abaixo. 
Cada diodo pode funcionar adequadamente, mas podem falhar por curto-circuito ou por 
circuito aberto. 
 
 
 
 
 
As probabilidades são dadas por: 
 
PN ⇒ opera adequadamente 
PS ⇒ falha por curto-circuito 
PO ⇒ falha por circuito aberto 
 
O sucesso do sistema é definido como o fluxo de quantidade controlada de corrente elé-
trica. Assumir que os dados de falha do diodo são estatisticamente independentes. Isto é: 
PN + PS + PO = 1. Determine a confiabilidade do sistema. 
 
• Número de estados possíveis ⇒ Permutações = 33 = 27 
• A seguinte tabela é utilizada para a determinação da confiabilidade. 
 
Modos das Unidades Estado 
A (32) B (31) C (30) 
Sucesso 
do Sistema 
Probabilidade de 
Sucesso 
1 n n n sim → P P Pna nb nc⋅ ⋅ 
2 n n s não 
3 n n o sim → P P Pna nb oc⋅ ⋅ 
4 n s n não 
5 n s s não 
6 n s o não 
7 n o n sim → P P Pna ob nc⋅ ⋅ 
8 n o s não 
9 n o o sim → P P Pna ob oc⋅ ⋅ 
10 s n n não 
11 s n s não 
12 s n o não 
13 s s n não 
C
B
A
Entrada Saída
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-31 
 
 
14 s s s não 
15 s s o não 
16 s o n não 
17 s o s não 
18 s o o não 
19 o n n sim → P P Poa nb nc⋅ ⋅ 
20 o n s não 
21 o n o sim → P P Poa nb oc⋅ ⋅ 
22 o s n não 
23 o s s não 
24 o s o não 
25 o o n sim → P P Poa ob nc⋅ ⋅ 
26 o o s não 
27 o o o não 
 
Logo, a confiabilidade do sistema é: 
 
R = P P Pna nb nc⋅ ⋅ + P P Pna nb oc⋅ ⋅ + P P Pna ob nc⋅ ⋅ + P P Pna ob oc⋅ ⋅ + P P Poa nb nc⋅ ⋅ + 
P P Poa nb oc⋅ ⋅ + P P Poa ob nc⋅ ⋅ 
 
Se os três diodos são idênticos a confiabilidade é dada por: 
P P P P
P P P P
R P P P P P P P P P P P
R P P P P P
na nb nc n
oa ob oc o
n n o n o n o n o n o
n n o n o
= = =
= = =
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= + ⋅ + ⋅
3 2 2 2 2 2
3 2 23 3
 
 
II.1.11- DERATING 
 
Componentes e equipamentos são geralmente projetados para suportar certos esforços 
nominais de operação. O tempo, por exemplo, é somente um de tais esforços. Podemos 
citar também: calor, umidade, corrosão, esforços mecânicos (carga direta, vibração, cho-
que, ...), esforços elétricos (tensão, corrente, freqüência, ...). Quando uma família de são 
operados sob condições nominais uma certa taxa de falha é observada. Esta taxa de falha 
é conhecida como “taxa de falha nominal, básica ou genérica”. 
 
Sabe-se que, quando há aumento dos esforços operacionais acima do nível nominal, a 
taxa de falha observada também aumenta com relação à taxa de falha nominal. Por outro 
lado, se os esforços operacionais decrescem a taxa de falha observada também decresce 
ficando abaixodo nível nominal. O efeito sobre a curva da banheira, é mostrado abaixo: 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há casos, em que podemos observar interdependência de solicitação e podem ocorrer em 
muitas situações, tais como: 
 
• condutividade elétrica varia com a temperatura. 
• equipamento falha se a temperatura excede um valor crítico, mas o equipamento pode 
operar se a temperatura excede seu valor crítico, somente por um breve espaço de 
tempo. 
• alguns equipamentos suportam a variação lenta de temperatura mas não variações 
bruscas. 
• alguns equipamentos são susceptíveis a choques térmicos. 
• corrosão é difícil de quantificar ou medir prontamente. 
• ... . 
 
Os esforços para os quais um equipamento está sujeito durante a sua vida operacional é 
randômico. Portanto, o vetor de esforços, normalmente será multidimensional, não esta-
cionário, e segue um processo randômico. A solução de forma abrangente não é fácil. A 
solução para muitos problemas envolvendo esforços ambientais é difícel de quantificar. 
 
O maior valor de qualquer tipo de solicitação (esforço, carga) que um equipamento pode 
suportar é chamado de intensidade (capacidade). Se o esforço (carga) aplicado excede a 
capacidade do equipamento este provavelmente irá falhar. 
 
Por exemplo, a capacidade dielétrica de um isolador é a tensão acima da qual o isolamen-
to rompe e uma descarga elétrica ocorre. A capacidade nominal é naturalmente a medida 
da tendência central, isto é, a média de todos os valores da distribuição. Se tivermos um 
grande número (N) de equipamentos submetidos a solicitações, tais como: temperatura, 
umidade, ... ou outras solicitações (Xi), então “N.P(Xi).dXi” equipamentos irão falhar no 
intervalo de solicitação “dXi”. Em outras palavras, a probabilidade de falha para qualquer 
equipamento próximo do nível de solicitação “Xi” é P(Xi).dXi. A solicitação para a qual o 
equipamento está sujeito (não no teste de capacidade mas na operação real) é também 
uma variável randômica. Sua distribuição é chamada de “Distribuição de Solicitação”. 
TEMPO (t)
TA
XA
 D
E 
FA
LH
A
Esforços Baixos Esforços Médios
Esforços Nominais
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As falhas do equipamento irão ocorrer na região onde as duas distribuições se superpõem. 
 
A confiabilidade e a taxa de falhas dos equipamentos dependem do nível de solicitação 
imposta. Uma redução no nível de solicitação irá reduzir a taxa de falhas. Em muitos pro-
jetos típicos, entretanto, o nível de solicitação é fixado. O mesmo efeito relativo de redu-
ção do nível de solicitação pode ser conseguido pela seleção de um equipamento o qual 
seu valor nominal é bem maior do que o requisitado pelo projeto. Esta prática de utilizar 
componentes ou equipamentos com níveis de solicitação abaixo do nível de capacidade 
nominal é conhecida como “DERATING”. Através do “Derating”, uma grande margem 
de segurança é estabelecida para picos de solicitação ou para longos períodos de opera-
ção. 
 
Derating pode ser obtido, de uma grande variedade de modos. Um modo grosseiro de 
estabelecer o efeito da temperatura, pode ser feito utilizando a Equação de Arrhenius. 
 
Taxa Nomin Ae
Q
Rtal = − 
 
A ⇒ constante 
Q ⇒ energia de ativação 
R ⇒ constante universal do gás 
T ⇒ temperatura absoluta 
 
Em muitas reações químicas, a taxa de reação dobra para um aumento de 10oC na tempe-
ratura, por exemplo. O comportamento de alguns componentes elétrico (capacitores), 
correlaciona-se razoavelmente bem com esta equação. 
 
Em alguns componentes, a sua vida é aproximadamente inversamente proporcional a 5a 
potência da solicitação. Um equipamento elétrico seguindo esta lei, se operado com “1,2” 
vezes a sua tensão nominal, terá sua vida reduzida para aproximadamente 1/3 da vida na 
tensão nominal. O mesmo componente, operado com um valor de 80% do valor nominal, 
....
...
...
.
Variável Solicitação (Y i) ; Variável Capacidade (X i)
Fr
eq
üê
nc
ia
, P
(X
i) 
ou
 P
(Y
i)
 Distribuição de
 Solicitação de 
 Demanda, Pa(y)
 Distribuição da
 Capacidade 
 Disponível, Pa(x)
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-34 
 
 
deverá ter sua vida triplicada. O mesmo componente, operado para um valor de 50% do 
valor nominal, deverá ter sua vida aumentada para um valor de cerca de 30 (trinta) vezes 
sobre sua vida nominal. 
 
Outra abordagem que pode ser feita, segue o conceito de que a taxa de falhas de um equi-
pamento é determinada pelas diversas solicitações ambientais e operacionais impostas ao 
equipamento. Cada solicitação responsável por uma porção das falhas observadas, isto é, 
a taxa de falha parcial pode estar correlacionada com cada solicitação. A taxa de falha 
total sob a influência simultânea dessas solicitações, é igual a soma das taxas de falha 
parciais. 
 
λ λ λ λ λ λ λT a b c= + + + + + + +1 2 3 ..... .... 
 
Onde: λ λ λ1 2 3, , ,... ⇒ devido a solicitação ambiental. 
 λ λ λa b c, , ,... ⇒ devido a solicitação operacional. 
 
Solicitação ambiental ⇒ temperatura, umidade, pressão, radiação, ambiente químico, 
fungos, poeira, ... . 
 
Solicitação operacional ⇒ cargas mecânicas, tensão, corrente, freqüência, ... . 
 
Solicitações, tais como: vibração, choque e aceleração podem cair em qualquer uma das 
categorias, dependendo do contexto de aplicação. Obviamente, se requer uma análise 
extensiva das solicitações e dados aceitáveis para permitir o cálculo da equação acima. 
 
Uma abordagem, um tanto similar, utiliza uma série de fatores de correção. Uma análise 
extensiva das solicitações torna-se necessária. Isto é utilizado para focalizar as áreas po-
tenciais de não confiabilidade, mesmo que a confiabilidade predita possa ser menos exata 
do que a desejada. 
 
Fatores de correção são aplicados na fórmula: 
 ( )λ λ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅0 1 2 3 4 5 6K K K K K K 
Onde: 
 
• λ ⇒ taxa de falhas corrigida (ajustada) 
• λo ⇒ taxa de falha nominal (básica) 
• K1 ⇒ correção para as solicitações utilizadas 
• K2 ⇒ relação de falhas esperadas dentro da tolerância para falhas catastróficas randô-
micas 
• K3 ⇒ ajuste para mudanças devido a solicitações ambientais 
• K4 ⇒ ajuste para diferentes práticas de manutenção as quais podem afetar o número 
de falhas 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-35 
 
 
• K5 ⇒ correção devido à complexidade do sistema 
• K6 ⇒ ajuste para os efeitos cíclicos 
 
É óbvio que uma grande de quantidade de dados são necessários para determinar esses 
fatores de correção. 
 
Dados de vários tipos, de diversas fontes, estão disponíveis. Muitas agências governa-
mentais americanas, especialmente o Departamento de Defesa (DOD) e a NASA possu-
em grandes bancos de dados. 
 
As técnicas de “derating” sendo bem conhecidas e adequadamente praticada é uma das 
ferramentas muito poderosa para os projetistas. Pode, inegavelmente,contribuir para o 
melhoramento da confiabilidade de um equipamento e pode desempenhar uma importan-
te regra no aumento da confiabilidade global de um sistema complexo, que envolva mui-
tos componentes. Há limites, entretanto, em termos de: custos, espaço e outras considera-
ções similares. 
 
Deve ser enfatizado que os valores nominais, por exemplo, de tensão, corrente, dissipa-
ção de temperatura, etc. não são claramente estabelecidos os limites acima dos quais as 
falhas irão ocorrer e os limites abaixo do qual o equipamento irá operar indefinidamente. 
A vida de muitos equipamentos aumenta de forma contínua quando o nível de solicitação 
decresce abaixo do nível nominal. 
 
Derating não deve ser utilizado indiscriminadamente. 
 
II.1.12 - CONFIABILIDADE DE SISTEMAS REPARÁVEIS 
 
Todos os sistemas (exceto para o caso de satélites não tripulados os quais são utilizados 
sobre uma base contínua ou intermitente por um período apreciável de tempo) estão su-
jeitos a manutenção a qualquer instante de tempo. 
 
Equipamentos adequadamente mantidos podem funcionar com uma confiabilidade maior 
do que aqueles que não são mantidos de acordo com os procedimentos prescritos. 
 
Sistemas tecnologicamente complexos raramente são colocados em operação sem consi-
derar os aspectos da manutenção e conservação. Manutenção preventiva e revisões são 
desempenhadas para manter o sistema na condição “tão bom quanto novo”. 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-36 
 
 
EFEITO DA MANUTENÇÃO SOBRE AS CONDIÇÕES DO EQUIPAMENTO
TEMPO
C
O
N
D
IÇ
Ã
O
 D
O
 E
Q
U
IP
A
M
E
N
TO
Revisão
Reparo
Revisão
Reparo
Substituição
 
 
Uma indicação do efeito da manutenção preventiva sobre a taxa de falhas do sistema, é 
mostrada abaixo: 
TA
XA
 D
E 
FA
LH
AS
 D
O
 S
IS
TE
M
A
0 T 2T 3T
TEMPO
 
É óbvio que substituições periódicas ou análises para indicação de componentes com 
tendência de falhar, reduz em muito a taxa de falha de um sistema. Isto é típico de aviões, 
navios, automóveis, maquinários, ... e outros equipamentos similares. 
 
Se manutenções preventivas são desempenhadas a cada “T” horas iniciando no tempo “t 
= 0”. Sendo que cada equipamento ou componente são checados e aqueles que não se 
encontram em condições satisfatórias são trocados por um novo. O sistema é considerado 
“tão bom quanto novo” após cada operação de manutenção desde que não haja deteriora-
ção dos componentes. 
 
Se considerarmos que o tempo dessas operações de manutenção pode ser expresso em 
termos do tempo “τ“ , temos: 
 
 
t jT
Onde
= +
= ≤ ≤
τ
τ: , , , ,... j e 0 T1 2 3 4 
 
Para um período de tempo: j =1 e τ = 0, temos: 
 
 R t T R Tpm ( ) ( )= = 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-37 
 
 
 
Se: j = 2 e τ = 0, o sistema tem que operar para as primeiras “T” horas sem falha de um 
sistema redundante. Depois que todos os elementos em falha são substituídos é previsto 
“T” de operação livre de falhas, então: 
 
 [ ]R t T R Tpm ( ) ( )= =2 2 
 
Se: 0 ≤ ≤τ T, então “τ“ horas além do tempo de operação livre de falhas são necessárias. 
 
A confiabilidade é dada por: 
 
 
[ ] ( )
[ ]
R t T R T R
Logo
R t jT R T R
j
pm
pm
j
( ) ( )
:
( ) ( ) ( )
, , , ,....
= + = ⋅
= + = ⋅
= ≤ ≤
2
1 2 3 4
2τ τ
τ τ
τ e 0 T
 
 
O “TMPF”, para a manutenção periódica, é: 
 
 TMPF R t dtmp pm= ⋅
∞∫ ( )
0
 
 
A integral na faixa de “zero” a “infinito” pode ser expressa como a soma de integrais 
sobre os intervalos de “T”, isto é: 
 
 TMPF R t dtmp pm
j T
j
= ⋅
+
=
∞ ∫∑ ( )( )
0
1
0
 
 
Se: t jT= + τ , então “dt = dτ“, e os limites da integral são “zero” e “T”. Como resultado, 
temos: 
 
[ ]TMPF R t dt R T R dt
TMPF
R dt
R T
mp pm
T
j
j
T
j
mp
T
= ⋅ = ⋅ ⋅
=
⋅
−
∫∑ ∫∑
∫
=
∞
=
∞
( ) ( ) ( )
( )
( )
00 00
0
1
τ
τ
 
II.1.13- ERRO HUMANO 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-38 
 
 
É a falha em realizar uma tarefa prescrita, resultando em danos para o equipamento, pro-
priedades ou ruptura de operações programadas. 
 
Mesmo diante do grande aumento das técnicas de automação nas indústrias e outras or-
ganizações, é impossível eliminar o envolvimento do elemento humano na operação e 
manutenção dos sistemas. A contribuição do erro humano para a não confiabilidade pode 
estar presente nos diversos estágios do ciclo de vida do equipamento. As falhas devido a 
erros humanos podem ser devido a diversos fatores, tais como: 
 
- perda ou falta do conhecimento do equipamento; 
- perda ou falta de conhecimento do processo; 
- descuido ou negligência; 
- falta da perícia necessária; 
- ausência de procedimentos e instruções corretas; 
- falta de habilidades físicas; 
- ambiente de trabalho inadequado; 
- .... . 
 
Embora não seja possível eliminar todos os erros humanos, é possível minimizar alguns 
deles através da seleção e treinamento de pessoal, padronização de processos, simplifica-
ção dos esquemas de controle e outras medidas de incentivo. As seguintes perguntas po-
dem auxiliar na eliminação de erros humanos com relação ao ambiente de trabalho. 
 
- a posição do operador é confortável para que possa trabalhar? 
- há uma grande quantidade de operações que requer esforço excessivo? 
- está o local bem iluminado e com área de movimentação adequada? 
- a temperatura do local causa desconforto ao operador? 
- o “layout” da instalação assegura o mínimo de movimentação para o operador? 
- pode o julgamento do operador ser eliminado futuramente? 
 
Mesmo com todo esse cuidado, operadores humanos tem ainda probabilidade de cometer 
erros. Um erro humano pode ou não causar uma falha. Conseqüentemente, a medida 
quantitativa da confiabilidade humana é requerida de modo a apresentar um quadro corre-
to da confiabilidade total do sistema. A análise da confiabilidade humana vem sendo de-
senvolvida há bastante tempo. Na indústria nuclear, o acidente ocorrido na usina de “T-
hree Mile Island”, Unidade 2, é um caso típico de confiabilidade humana. Falhas mecâni-
cas associadas a erros humanos, resultaram na necessidade premente de desligamento da 
usina com conseqüentes prejuízos financeiros e sociais para a companhia de energia elé-
trica. 
 
Na vida real, a maioria dos sistemas requer alguma participação humana independente do 
grau de automação. Diz-se que, quando há pessoas envolvidas no processo, haverá cer-
tamente a ocorrência de erros, os quais ocorrem mesmo que essas pessoas tenham recebi-
do treinamento adequado para desempenhar as tarefas de interesse, ou ainda, que possu-
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – AbramanPág: II.1-39 
 
 
am capacidade ou experiência suficiente. Portanto, a presença do erro humano, é uma 
consideração de suma importância para a análise da confiabilidade de sistemas ou equi-
pamentos. A variabilidade humana pode contribuir para a ocorrência de erros humanos e 
quanto maior a variabilidade, maior é a “Probabilidade de Erro Humano - PEH” para a 
grande maioria das situações. 
 
Os principais tipos de erro humano, são: 
 
• erros de projeto - resultante de projetos inadequados. 
• erros de operação - resultante da falha do pessoal de operação em seguir os procedi-
mentos corretos. 
• erros de fabricação - resultante dos erros que ocorrem nos diversos estágios de fabri-
cação. Por exemplo: soldas incorretas, utilização de material inadequado, erros de es-
pecificação, ... . 
• erros de manutenção - resultante das operações de campo. Normalmente devido à 
instalação ou reparo incorretos dos equipamentos. 
• erros contributivos - resultante de erros que são difíceis de definir como erro humano 
ou de equipamento. 
• erros de inspeção - resultante da aceitação de componentes/equipamentos fora de to-
lerância ou rejeição de equipamentos/componentes dentro da tolerância. 
• erros de manuseio - resultante de armazenamento ou transporte inadequado (muitas 
vezes não estão de acordo com as recomendações do fabricante). 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-40 
 
 
TD1- PREDIÇÃO DA CONFIABILIDADE 
 
Fórmulas Básicas: 
 
 - Taxa de Falha Total 
 λ λT i
i
n
=
=
∑
1
 
 
 - Confiabilidade do Equipamento 
 R t e T t( ) = − ⋅λ 
 
Um equipamento tem 585 componentes, como listado abaixo: 
 
Componente Qtde Taxa de Falha Básica (%/1000 horas) 
Transistor 100 0,10 
Diodo, cristal 200 0,03 
Conectores 5 0,20 
Resistores 150 0,10 
Capacitores 100 0,10 
Chave 1 0,50 
Relé 1 0,50 
Soquetes 6 0,30 
Potenciômetros 20 0,50 
Transformadores 2 0,20 
Total 585 ----- 
 * taxa de falha constante 
 
Se for especificado que o equipamento deve ter uma confiabilidade de pelo menos 95% 
para um tempo de operação (missão) de 18 horas. Pergunta-se: 
 
O equipamento vai ao encontro desta especificação? 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-41 
 
 
TD2- LIGAÇÃO SÉRIE E PARALELO 
 
Fórmulas Básicas: 
 - Configuração “k” de “n” 
 R C R Rk n i
n i n i
i k
n
= ⋅ ⋅ − −
=
∑ ( )1 
 
 - Configuração Série e Paralelo 
 R R R Rs i
i
n
p i
i
n
= = − −
= =
∏ ∏
1 1
1 1 ( ) 
 
 - Confiabilidade 
 R t e t( ) = −λ 
 
Sabe-se que a taxa de falha de um motor de avião é igual a 10-2 falhas por hora. Calcule a 
probabilidade de que um avião quadrimotor complete com sucesso um vôo de 10 horas, 
utilizando cada um dos critérios abaixo: 
 
• dois motores quaisquer operando são suficientes para garantir o sucesso da missão. 
• dois motores, sendo um de cada asa, são necessários para garantir o sucesso da mis-
são. 
 
Obs.: as falhas do motor seguem uma distribuição exponencial negativa e são estatistica-
mente independentes. 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-42 
 
 
TD3- PREDIÇÃO DA CONFIABILIDADE 
 
Fórmulas Básicas: 
 
 - Taxa de Falha Total 
λ λT i
i
n
=
=
∑
1
 
 
 - Tempo Médio Para Falhar 
TMPF
T
= 1λ 
 
 - Confiabilidade do Sistema ( )R t tT( ) exp= −λ 
 
Um equipamento eletrônico é constituído dos seguintes componente, com suas respecti-
vas taxas de falha: 
 
Componente Qtde. Taxa de Falha (x 10-5 ) falhas/h 
Transistores 5 0,015 
Diodos 8 0,055 
Resistores 25 0,007 
Capacitores 12 0.025 
Juntas soldadas 70 0,0015 
 
Pede-se: 
 
• estimar a taxa de falha total do equipamento. 
• estimar o tempo médio para falhar do equipamento. 
• estimar a confiabilidade do equipamento para um período de 1000 horas de operação. 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-43 
 
 
TD4- LIGAÇÃO SÉRIE E PARALELO 
 
Um determinado módulo de uma unidade de comunicação, módulo este utilizado para 
suprimento de energia, tem um TMPF igual 20.000 horas. 
 
Calcule a confiabilidade do sistema de suprimento de energia, para o período de um ano, 
para os seguintes casos: 
 
 1- para um módulo de suprimento de energia. 
2- para o módulo de suprimento de energia duplicado, operando em paralelo ativo 
e assumir o chaveamento perfeito. 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-44 
 
 
TD5- CONFIGURAÇÃO DE SISTEMAS 
 
Um sistema consiste de três caixas pretas (A, B e C). Elas podem ser ligadas em qualquer 
um dos quatro modos abaixo: 
 
A CB
B
C
A
C
A
B
C
BA
a)
b)
c)
d)
 
 
A confiabilidade de cada unidade, é dada por: 
 
( )
( )
R t t
R t t
R t t
A
B
C
( ) exp
( ) exp
( ) exp( )
= − ⋅
= − ⋅
= − ⋅
α
β
γ
 
 
Escrever uma expressão para a confiabilidade do sistema para cada um dos quatro modos. 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-45 
 
 
TD6- DIAGRAMA DE BLOCOS 
 
Fórmulas Básicas: 
 - Sistema Série 
 R Rs i
i
n
=
=
∏
1
 
 
 - Sistema Paralelo 
 ( )R Rp i
i
n
= − −
=
∏1 1
1
 
 
Dado as seguintes configurações: 
 
RA
RB
RA RB
RB
RA
SISTEMA IISISTEMA I
 
 
Onde: 
 
RA = ⇒
= ⇒
0 90
0 60
,
,
 confiabilidade do equipamento A
R confiabilidade do equipamento BB
 
 
Pergunta-se: qual dos sistemas irá apresentar a maior confiabilidade para um dado inter-
valo de tempo ? 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-46 
 
 
TD7- REDUNDÂNCIA STANDBY 
 
Fórmulas Básicas: 
 - Uma Unidade Operando e “n” em Standby 
 
 
( )
R t
t e
i
i t
i
n
( )
!
= ⋅
−
=
∑ λ λ
0
 
 
Assumir um sistema que contém duas unidades idênticas, com uma unidade operando e a 
outra em standby. As taxas de falha são constantes. Considerar que a unidade em standby 
está tão boa quanto nova ao entrar em operação. Determinar a confiabilidade do sistema 
para 500 horas de operação para uma taxa de falhas igual a 0,005 falhas/hora. 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – AbramanPág: II.1-47 
 
 
TD8- CONFIGURAÇÃO “k” DE “n” 
 
Fórmulas Básicas: 
 
Utilizada onde um número “k” de “n” unidades deve estar operando para o sucesso do 
sistema. 
 R C R Rk n i
n i n i
i k
n
= ⋅ ⋅ − −
=
∑ ( )1 
 
se: k = n ⇒ sistema série 
 k = 1 ⇒ sistema paralelo 
 
Dado o diagrama de blocos da confiabilidade abaixo. Determine a confiabilidade do sis-
tema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R=0,90
R=0,90
R=0,90 2/3
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-48 
 
 
TD9- CONFIABILIDADE DE SISTEMAS 
 
Um sistema de bombeamento para refrigeração de um determinado equipamento , está 
representado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este sistema opera em ciclos de 10 horas. Sabendo-se que a taxa de falha da válvula de 
retenção (VR1) é de 10-4 falhas por hora, das bombas (B1 e B2) é de 10-2 falhas por hora 
e das válvulas manuais (VM1 e VM2) é de 10-3 falhas por hora. 
 
Pede-se determinar a confiabilidade do sistema para (1) um ciclo completo, sabendo-se 
que uma válvula manual e uma bomba operando são suficientes para garantir a operação 
normal do sistema. 
 
B1
B2
VM1
VM2
VR1
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-49 
 
 
TD10- PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE FALHAS 
 
Na figura abaixo, está representado um tanque de armazenamento de um produto químico 
sujeito a transbordamento. A proteção é feita pela colocação de um dispositivo de desli-
gamento da bomba quando é detectado nível alto no tanque. Supondo que ocorre nível 
alto do tanque 10(dez) vezes por ano, e que o dispositivo mencionado é testado semanal-
mente, e que a taxa de falha do mesmo é igual a 2,0 falhas por ano. 
 
Qual a máxima probabilidade de ocorrer transbordamento do tanque ? 
 
 
 
 
 
LSH
BOMBA
TANQUE
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-50 
 
 
TD11- DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL 
 
Fórmulas Básicas: 
 - Confiabilidade 
 R t
t t
( ) exp= − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
0
η
β
 
 
 - Tempo Médio Para Falhar 
 
 ( )TMPF t= + ⋅ + −0 11η βΓ 
 
 - Probabilidade de Falha 
 
 F t R t( ) ( )= −1 
 
Sabe-se que uma válvula mecânica apresenta uma distribuição dos tempos para falhar de 
Weibull, com parâmetros “t0 = 1(um) ano”, “η = 10 anos” e “β = 1,5”. Calcule: 
 
• a probabilidade que a válvula não sofra qualquer falha durante o período de 2(dois) 
anos. 
• idem acima, para um período de 5(cinco) anos. 
• o TMPF da válvula. 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-51 
 
 
 TD12- DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL 
 
Um determinado componente apresenta falhas por fadiga quando opera em baixo ciclo de 
rotação. Seu projetista acredita que 5% destes falharão com 2000 horas de operação e 
10% com 3500 horas. 
 
Qual a função de Weibull que irá representar este modelo de falhas? 
 
Que proporção da população pode esperar que falhe com 3000 horas de operação? 
 
Obs.: considerar “β = 0,5” (caso típico para fadiga). 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-52 
 
 
TD13- CONFIGURAÇÃO DE SISTEMAS 
 
Três sistemas, como mostrado abaixo, estão em competição. Qual você selecionaria se o 
critério fosse escolher o de maior confiabilidade? Se cada um dos três sistemas indicado 
irá desempenhar a função desejada de modo eficiente, qual irá oferecer a maior confiabi-
lidade por real gasto. 
 
 A ⇒ R$ 1000,00 
 B ⇒ R$ 500,00 
 C ⇒ R$ 200,00 
 
A
B
B
C
C
C
C
RA=0,90
RB=0,70
RC=0,60
(pelo menos dois devem operar)
 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-53 
 
 
TD14- MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO PIVOTAL 
 
Determine a confiabilidade, do sistema abaixo, utilizando o método da decomposição 
pivotal. 
 
 
 D
A
C
B
E
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-54 
 
 
TD15- FUNÇÕES MULTIMODOS DE FALHA 
 
Dois diodos são conectados em paralelo, como mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um diodo pode funcionar adequadamente ou pode falhar de dois modos: pode abrir ou 
pode entrar em curto. 
 
 Pn ⇒ probabilidade de operar com sucesso 
 Ps ⇒ probabilidade de entrar em curto 
 Po ⇒ probabilidade de abrir 
 
1- desenvolver uma expressão para a probabilidade de sucesso do sistema. 
2- qual a probabilidade de sucesso (confiabilidade) do sistema, se: Pn = 0,97; Ps = 0,01 e 
Po = 0,02. Os diodos são idênticos e as falhas estatisticamente independentes. 
 
O sucesso do sistema é definido como um fluxo controlado da quantidade de corrente 
elétrica na saída do sistema. 
 
1
2
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-55 
 
 
TD16- CONFIABILIDADE DE SISTEMAS COM MANUTENÇÃO PREVENTIVA 
SISTEMÁTICA 
 
Compare o “TMEF”, a confiabilidade do sistema para 10 horas de operação por missão, 
o número de falhas (assumir 1000 missões), o número de inspeções do sistema (global), o 
número de testes de verificação, o número de ações de reparo ou substituição, o número 
total de unidades sobressalentes requeridas e os custos envolvidos para os seguintes ca-
sos: 
 
1- Uma unidade simples com TMEF de 100 horas. 
2- Três unidades em paralelo com manutenção corretiva. 
3- Três unidades em paralelo com manutenção periódica a cada 10 horas. 
4- Uma unidade simples, tendo o mesmo “TMEF” do caso 3. 
 
TMEF=?
MANUTENÇÃO
PERIÓDICA
MANUTENÇÃO
CORRETIVATMEF=100 Horas
 
 
Solução dirigida: 
 
10) Cálculo do TMEF: 
 
 Caso 1: TMEF = 100 horas (dado) 
 
 Caso 2: TMEF
ii
= ⋅ =
=
∑1 1
1
3
λ 
 * só manutenção corretiva 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-56Caso 3: R R Rsist i
i
= − − = − −
=
∏1 1 1 1
1
3
3( ) ( ) 
 
( )R t
TMEF
= −
=
exp λ
λ 1 
 
• Manutenção Periódica de 10 em 10 horas: 
 
Rsist = 
 
• Taxa de Falha do Sistema 
 ( )R t
R t
R
t
Logo
sist sist
e sist sist
sist
e sist
= − ⋅
= − ⋅
= −
=
=
exp
log
log
:
λ
λ
λ
λ
 (t = 10 horas)
 TMEF
sist
s
 
 
 Caso 4: TMEF = 
 
2o) Cálculo da Confiabilidade para 10 horas de Operação 
 
 Caso 1: ( )R t= − ⇒exp λ1 R = 
 
 Caso 2: ( )R t= − ⋅ ⇒exp λ2 R = 
 
 Caso 3: R = (previamente calculado) 
 
 Caso 4: R = (igual ao do caso 3) 
 
3o) Número de Falhas do Sistema em 1000 horas de Operação 
 
Número Esperado de Falhas (NF) = Número de Missões . (1-R) 
 R ⇒ Confiabilidade para 10 horas de operação 
 
 Caso 1: NF = 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-57 
 
 
 Caso 2: NF = 
 
 Caso 3: NF = 
 
 Caso 4: NF = 
 
4o) Número de Inspeções no Sistema 
 
A implicação básica é que o sistema será inspecionado antes de cada missão, para assegu-
rar que não falhe logo ao entrar em operação. Esta é uma inspeção global do sistema. Não 
é uma checagem ou verificação de unidades individuais, portanto terá 1000 inspeções 
para todos os quatro casos. 
 
5o) Número de Testes de Verificação no Sistema em 1000 Missões 
 
Isto implica que, se uma falha foi indicada pelo sistema de inspeção, todas as unidades 
serão checadas para localizar aquela que falhou e a substituição será efetuada. 
 
 Caso 1: Nck = 
 
 Caso 2: Nck = 
 
 Caso 3: Somente uma falha do sistema é esperada em 1000 missões. Considera-se aqui 
que todas as três unidades estão funcionando antes do início da próxima missão. Nós ne-
cessitamos conhecer a probabilidade de uma ou mais peças falharem. Do teorema bino-
mial, a probabilidade de uma ou mais peças falharem, é dado por: 
 
 ( )[ ]
P R Q RQ Q
t
(
exp
uma ou mais falhas)
 
= + +
= − −
3 3
1
2 2 3
3λ
 
 
 onde: ( )exp −λt ⇒ confiabilidade de cada unidade para 10 horas de operação. 
 
 P(uma ou mais falhas) = 
 
 Nck = 1000 x P = 
 
Essas Nck = ................. checagens irão mostrar que uma, duas ou todas as três unidades 
tenham falhado (utilizando um sistema de identificação de falha sobre o sistema, este não 
indica quantas unidades falharam). Se um indicador de falhas é utilizado sobre cada uni-
dade, nós podemos saber quantas unidades falharam. 
 
 * P1 (uma unidade em falha) = 3R2Q = 
 Nck1 = 1000 x P1 = 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-58 
 
 
 
 * P2 (duas unidades em falha) = 3RQ2 = 
 Nck2 = 1000 x P2 = 
 
 * P3 (três unidades em falha) = Q3 = 
 
 Nck3 = 1000 x P3 = 
 
 Obs.: R = 1 -Q, ou seja: Q = 1 -R 
 
O número total de unidades que falharam, em 1000 missões, é dado por: 
 
 Nckt = Nck1 + Nck2 + Nck3 = 
 
 Caso 4: Nck = 
 
 
6o) NÚMERO DE AÇÕES DE REPARO OU DE SUBSTITUIÇÃO 
 
 Caso 1: Nas = 
 
 Caso 2: Nas = 
 
 Caso 3: Nas = 
 
.................... ações de substituição. Isto é também o número de unidades checadas, se 
indicadores de falha são utilizados para as unidades individuais. Se não há indicadores, 
todas as unidades devem ser checadas antes de cada missão, portanto, 3000 checagens 
unitárias serão esperadas. 
 
 Caso 4: Nas = 
 
7o) NÚMERO TOTAL DE UNIDADES REQUERIDAS 
 
Obs.: assumir substituições das unidades por outras novas. 
 
Configuração Inicial Sobressalentes Total 
Caso 1 
Caso 2 
Caso 3 
Caso 4 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-59 
 
 
8o) CUSTOS ENVOLVIDOS 
 
Os custos presentes na comparação dos quatro casos, são: 
 
• custo do número de unidades requeridas. 
• custo das inspeções do sistema 
• custo das checagens no sistema. 
• custo das checagens individuais das unidades. 
• custo do reparo ou substituição, instrumentos e mão-de-obra, apoio logístico e fun-
ções relacionadas aos testes após a instalação de uma nova unidade. 
• custo da conservação e armazenamento das unidades sobressalentes 
• custo do tempo de paralisação do sistema. 
• custos administrativos globais. 
 
9o) CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Para julgar qual das quatro configurações (configuração versus sistema de manutenção) é 
a melhor, devemos considerar o contexto da situação específica. Isto não seria somente 
incluir todos os custos envolvidos, mas a penalidade a ser paga quando da falha do siste-
ma durante uma missão. A análise dos custos pode muito bem favorecer a configuração 
4(quatro), isto é, utilizar uma única unidade com um “TMPF” de 11.600 horas. Isto pode-
ria indubitavelmente ter um alto custo unitário ou poderia até ser que tal unidade deveria 
ainda ser desenvolvida. O custo de tal desenvolvimento pode ser altíssimo, se comparado 
com a utilização das outras configurações. Outro problema está relacionado com o volu-
me e peso do sistema, em adição pode existir problema relacionado com acessibilidade 
para manutenção, assim como, do tempo para desenvolvimento de uma única unidade em 
função da capacidade do estado atual da tecnologia (state-of-the-art). 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-60 
 
 
TD17- DETERMINAÇÃO DA CONFIABILIDADE UTILIZANDO DIAGRAMAS 
LÓGICOS 
 
Fórmulas Básicas: 
 
 - Ligação Série 
R Rs i
i
n
Ts i
i
n
=
=
=
=
∏
∑
1
1
λ λ
 
 
- Ligação Paralelo 
 
( )R R
i
p i
i
n
Tp
i
n
= − −
=
⋅
=
=
∏
∑
1 1
1
1 1
1
1
λ
λ
 
 
Dado o diagrama de uma chave eletrônica, para duas situações: 
 
Caso A: sem redundância 
Caso B: com redundância sobre o transistor 
 
No caso “B”, o 
modo de falhas 
assumido para os 
transistores é o 
curto entre o co-
letor (C) e o e-
missor (E). Nos 
dois casos (A e 
B) o modo de 
falhas considera-
do para os resis-
tores é aberto. 
 
 
RB1
R
C
VS
VCC
TR1
VE
C
E
B
CASO "A"
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que: 
 
Componentes 
Taxa de Falha 
(λ) 
(%/1000 horas) 
Custo Unitário 
(R$) 
Resistor (lado do coletor) RC 0,024 5,00 
Resistor (lado da base) RB1 ; RB2 0,018 5,00 
Transistor TR1 ; TR2 0,045 15,00 
Conexões 0,0001 --- 
 
Pede-se: 
 
• a taxa de falhas global para o caso “A” e “B”. 
• a confiabilidade global para o caso “A” e “B”, para 500 horas de operação. 
• fazer considerações sobre as duas configurações com relação ao custo versus confia-
bilidade. 
 
Obs.: as falhas são exponencialmente distribuídas e estatisticamente independentes.RB1
R
C
VS
VCC
TR1
C
E
B
RB2 TR2
CB
EVE
CASO "B"
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-62 
 
 
TD18- ESTATÍSTICA, REGRESSÃO LINEAR E CONFIABILIDADE 
 
Uma centena de bombas idêntica funcionou continuamente tendo sido anotados os tem-
pos transcorridos até as suas respectivas falhas. 
 
Tempo Para 
Falhar (horas) 
Freqüência 
Observada 
1000 → 1100 2 
1100 → 1200 6 
1200 → 1300 16 
1300 → 1400 14 
1400 → 1500 26 
1500 → 1600 22 
1600 → 1700 7 
1700 → 1800 6 
1800 → 1900 1 
 
Pede-se: 
 
1- a vida mínima (t0 - tempo livre de falhas) 
2- a vida característica (η) 
3- o fator de forma (β) e a característica de falhas 
4- o coeficiente de correlação 
5- a probabilidade de falhas para um intervalo de tempo de 1350 horas de operação 
6- a confiabilidade para um intervalo de 1400 horas 
7- o “TMPF” da bomba 
8- o desvio padrão (σ) 
9- o coeficiente de variação 
10- o gráfico da confiabilidade para a bomba 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-63 
 
 
TD19- DETERMINAÇÃO DO INTERVALO ÓTIMO PARA SE EFETUAR MANU-
TENÇÃO PREVENTIVA 
 
Fórmulas Básicas: 
 
• condição para que exista um tempo “t” finito para se efetuar manutenção preventiva 
sistemática. 
 
 
K
K
p
c
< ⋅ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
1
2
2
σ
µ 
 
 Kp ⇒ custo médio de uma intervenção preventiva 
 Kc ⇒ custo médio de uma intervenção corretiva 
 σ ⇒ desvio padrão 
 µ ⇒ Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) 
 
• determinação do intervalo de tempo ótimo para se executar manutenção preventiva 
sistemática. 
 T t
K
K
p
c
= + ⋅ ⋅ −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥0
1
1
1
η β
β
 
 
• Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) 
 
 ( )TMEF t= = + ⋅ + −µ η β0 11Γ 
 
Os seguintes dados de falha de um determinado equipamento foram levantados pela uni-
dade de engenharia de manutenção. 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-64 
 
 
 
Tempo Para 
Falhar (h) 
Freqüência 
Observada 
Freq. Relativa 
Simples Observada 
Freq. Acumulada 
F(t) 
1000 → 2000 4 
2000 → 3000 15 
3000 → 4000 27 
4000 → 5000 37 
5000 → 6000 43 
6000 → 7000 39 
7000 → 8000 32 
8000 → 9000 24 
9000 → 10000 16 
10000 → 11000 10 
11000 → 12000 6 
12000 → 13000 3 
 acima de 13000 2 
Total .................. 
 
Das análises dos custos de manutenção para este equipamento, foram fornecidos os se-
guintes dados: 
 
• custo médio de uma intervenção de manutenção corretiva → Kc = R$ 210000,00 
• custo médio de uma intervenção de manutenção preventiva → Kp = R$ 50000,00 
 
A unidade de execução da manutenção deseja saber se é negócio executar manutenção 
preventiva, e se for o caso, deseja saber o intervalo adequado. Deseja-se saber também, 
com que nível de confiabilidade este equipamento irá operar, se for implantada as rotinas 
de manutenção preventiva sistemática, assim como, a disponibilidade do equipamento, já 
que se prevê um Tempo Médio Para Reparo de 10(dez) horas. 
 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-65 
 
 
TD20/21- PREDIÇÃO DA TAXA DE FALHAS DE COMPONENTES ELETRÔNICOS 
 
Fonte de Consulta: MIL-HDBK-217 
Reliability Prediction of Electronics Equipment 
 
TD20- Calcular a taxa de falhas, quando em operação, de um capacitor cerâmico, instala-
do numa placa eletrônica (600 Baund Modem Filter Double) de um sistema de telecomu-
nicações, cujo valor é de 0,24 µF, cuja relação de trabalho é de 70% operando a uma tem-
peratura em torno de 30o C. O capacitor apresenta um baixo fator de qualidade. 
 
TD21- Calcular a taxa de falhas de um Resistor de composição de um cartão de entrada 
(controlador lógico programável). O valor nominal do resistor é de 475 KΩ; 1%; ¼ W e 
este apresenta um fator de qualidade (ΠQ) igual a 0,3. Este resistor foi projetado para o-
perar num circuito com uma potência de 40% de seu valor nominal, num ambiente com 
temperatura controlada. 
 
Obs.: utilizar as tabelas em anexo para solução dos problemas. 
 
CAPACITOR CERÂMICO 
 
1- Taxa de falha do componente em operação: 
 
 ( )λ λp b E Q CV= ⋅ ⋅ ⋅Π Π Π falhas / 10 horas6 
 
2- Fatores: 
 
Fatores Ambientais (ΠE) 
Ambiente ΠE 
GB 1,0 
GF 1,6 
GM 7,8 
MP 11,0 
 
Fator de Qualidade (ΠQ) 
Nível de Taxa 
de Falhas 
ΠQ 
S 0,03 
R 0,1 
P 0,3 
M 3,0 
L 3,0 
Baixo 10,0 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-66 
 
 
 
Fator de Capacitância (ΠCV) 
Capacitância ΠCV 
240 pF 0,75 
3300 pF 1,00 
0,036 µF 1,30 
0,240 µF 1,60 
1,1 µF 1,90 
4,3 µF 2,20 
ΠCV C= ⋅ ⇒0 41 0,11, onde: C pF 
 
3- Taxa de Falha Básica (λb) 
 
Temp. Relação entre a tensão de operação e a tensão nominal 
(oC) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 ... 1,0 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
25 0,00072 0,00089 ... ... ... ... ... ... ... 
30 0,00073 0,00091 0,0014 0,0024 0,0039 0,0063 0,0096 ... 0,027 
35 0,00074 0,00092 ... ... ... ... ... ... 0,027 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 
RESISTOR DE COMPOSIÇÃO 
 
1- Taxa de Falha do Componente em Operação: 
 ( )λ λp b E Q R= ⋅ ⋅ ⋅Π Π Π falhas / 10 horas6 
 
2- Fatores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatores Ambientais (ΠE) 
Ambiente ΠE 
GB 1,0 
GF 2,9 
GM 8,3 
MP 8,5 
Fator de Qualidade (ΠQ) 
Nível de Taxa 
de Falhas 
ΠQ 
S 0,03 
R 0,1 
P 0,3 
M 1,0 
Baixo 15,0 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-67 
 
 
Fator de Resistência (ΠR) 
Faixa de 
Resistência 
(Ohms) 
 
ΠR 
Até 100 KΩ 1,00 
> 0,1 a 1,0 MΩ 1,10 
> 1,0 a 10 MΩ 1,60 
>10 MΩ 2,50 
 
3- Taxa de Falha Básica (λb): 
 
Temp. Relação entre a potência de operação e a potência nominal 
(oC) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 .. 1,0 
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... 
15 0,00013 0,00015 ... ... ... ... ... .. ... 
20 0,00015 0,00018 0,00022 0,00026 0,00031 0,00037 ... .. 0,00076
25 0,00018 0,00022 ... ... ... ... ... .. 0,00094
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... 
 
4- Descrição e símbolos: 
 
Descrição e Símbolos do Ambiente Operacional 
Ambiente ΠE (Sím-
bolo) 
Descrição 
Ground, Benign GB Não móveis, ambiente de laboratório prontamente acessível 
para manutenção; inclui instrumentos de laboratório e equi-
pamentos de teste, equipamentos médicos eletrônicos, com-
putadores complexos. 
Ground, Fixed GF Condições abaixo da ideal tal como equipamentos em prate-
leiras/armários permanentes com ar refrigerado adequado e 
possíveis instalações em construções não aquecidas; instala-
ções permanentes de controle de tráfego aéreo, instalações de 
comunicação e radares. 
Ground, Mobile GM Equipamentos instaladossob rodas (aço/pneu) ou veículos 
tracionados; inclui: mísseis táticos em terra (móveis), equi-
pamentos móveis de comunicação, sistema direcional de fogo 
tático. 
Space, Flight SF Órbita da terra. Satélites e espaçonaves 
Manpack MP Equipamentos eletrônicos portáteis sendo manualmente 
transportados enquanto em operação; inclui equipamentos 
portáteis de comunicação de campo, ... . 
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
II - CONFIABILIDADE, MANUTENABILIDADE E DISPONIBILIDADE 
II.1 - ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
 
 Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: II.1-68 
 
 
TD22- CONFIABILIDADE DE SISTEMAS 
 
Um fabricante deseja saber a confiabilidade do sistema de proteção da corrente antiderra-
pante utilizada em certos tratores militares com reboque. O diagrama de blocos é mostra-
do abaixo: 
Bateria
Geradores
Sensor UnidadeLógica
Sensor Unidade
Lógica
Unidade de
 Comando
Solenóide
a Vácuo
Solenóide
Elétrico
Atuador
* * * * * *
* * * * * *
* * * * * *
* * * * * *
subsistemas idênticos
para as quatro rodas
subsistemas idênticos
para as quatro rodas
 
 
Conhecendo-se as confiabilidades dos itens, dadas abaixo, determine a confiabilidade do 
sistema. 
 
Componente Confiabilidade 
Bateria 0,910 
Gerador 0,990 
Sensor 0,985 
Unidade Lógica 0,970 
Unidade de Comando 0,999 
Solenóide a vácuo 0,930 
Solenóide Elétrico 0,940 
Atuador 0,999