Apostila Mecanica dos Fluidos

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Mecânica dos Fluidos
Notas de Aulas
Prof. Antonio F Fortes
II Semestre de 2008
1 Cinemática dos Escoamentos
Os fluidos são meios contínuos para a mecânica newtoniana, da qual faz parte a mecânica dos fluidos.
As flutuações de propriedades físicas dos fluidos como pressão, densidade, velocidade e temperatura são
significativas devido às oscilações moleculares somente em volumes muito pequenos. Assim, as medidas
destas propriedades físicas são valores médios das propriedades moleculares do fluido. Pouca flutuação
pode ser observada para volumes com dimensão característica maior que 10−3 cm. Isto se deve ao fato
de, no volume de 10−9 cm3, o número de moléculas de um gás como o ar atmosférico ser da ordem de
3× 109. Para o contínuo, a densidade ρ de um fluido é definida como
Figura 1: A medida da densidade deixa de
flutuar para um volume de 10−9
cm3.
ρ (Densidade)
Volume de fluido10− 9 cm3
ρ =
∂m
∂V
,
onde m é a massa e V o volume. Assim, os valores da densidade de um fluido podem eventualmente variar
entre pontos diferentes de um certo volume finito de fluido. O peso específico de um fluido é definido como
γ = ρg,
onde g = 9, 81m/s2 é o valor da aceleração da gravidade. Valores típicos da densidade são: ρÁgua =
1× 103kg/m3, ρMercúrio = 13, 58 × 103kg/m3 e ρAr = 1, 205kg/m3.
O movimento de um fluido é uma deformação do volume de fluido submetido a um conjunto de forças.
De uma maneira geral, esta deformação é composta de uma translação, de um cisalhamento, de uma
expansão ou contração e de uma rotação do fluido. A deformação significa que as forças deslocam um
volume de fluido de tal forma que o conjunto infinito dos pontos deste volume mudam as posições relativas.
Ao deslocar-se de sua posição inicial (x0, y0) no tempo t = 0, o ponto material P (x0, y0) mantém sua
yo
xo
y
x
Movimento Translação + Cisalhamento + Expansão + Rotação=
P x y( , )o o
P x y( , ) P
v
S
z
y
x
Figura 2: O movimento deforma o fluido, e a velocidade de P é tangente à trajetória.
identidade, enquanto transforma-se em P (x, y) em um tempo t posterior. É portanto possível visualizar
a trajetória de P , desde que marquemos este ponto de alguma forma, com uma tinta, por exemplo. O
movimento de um volume de fluido ocorre no espaço de três dimensões. Se a trajetória de um ponto
material é a curva S, a velocidade de P é calculada como
v =
ds
dt
,
onde ds é um elemento diferencial da trajetória, e a direção de v é tangente à trajetória de P . Se o
escoamento se der em regime permanente, isto é, se for constante com o tempo, a trajetória esboçada na
Figura 2 coincide com uma linha de corrente. Como as velocidades são tangentes às linhas de corrente
em cada ponto, elas jamais se cruzam no escoamento. As linhas de corrente de um escoamento podem
ser visualizadas mediante a injeção de uma tinta qualquer, ou de um marcador que seja carregado com a
corrente fluida sem interferir com o campo de velocidades.
Como o deslocamento de P se dá em conjunto com os outros pontos materiais do fluido, a sua aceleração
contém, diferentemente da aceleração de um ponto material isolado, duas contribuições, que são a variação
local da velocidade e a variação convectiva da velocidade. É fácil ver na Figura 3 que, mesmo que a
Figura 3: A aceleração do fluido se deve à mudança de posição ao
longo da trajetória e à aceleração local em 1 e 2.
1 2
2
aceleração local seja nula, a aceleração convectiva define um escoamento acelerado devido à convergência
da secção de escoamento. Por outro lado, no escoamento dentro de um tubo cilíndrico de secção transversal
constante, é possível ter aceleração local diferente de zero e uma aceleração convectiva igual a zero. Esta
aceleração convectiva é não-linear na velocidade, o que significa que é dimensionalmente proporcional a
v2. Matematicamente, a aceleração de um ponto P (x, y, z, t), pela regra da cadeia para a derivação, é
descrita como
a =
dv
dt
=
∂v
∂t
+
[
∂v
∂x
∂x
∂t
+
∂v
∂y
∂y
∂t
+
∂v
∂z
∂z
∂t
]
.
Isto é, a aceleração retém o seu significado anterior, mas o fato do deslocamento de P (x, y, z, t) no fluido
ser acompanhado do conjunto de todos os outros pontos materiais do fluido implica no aparecimento das
duas contribuições, uma local e outra convectiva. Na expressão acima, as derivadas parciais de x, y e z em
relação ao tempo t são as componentes da velocidade v ao longo das direções x, y e z.
1.1 Vorticidade
Em um escoamento, a diferença de velocidades entre dois pontos induz uma rotação do fluido, assim como
a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo significa que as velocidades tangenciais de cada ponto
do corpo rígido variam inversamente à distância do eixo. Esta rotação do fluido é denominada vorticidade,
e, em um escoamento no plano (x, y), onde a velocidade v depende apenas de x, é calculada como
ω =
dv
dx
.
Na figura ao lado, é fácil ver que a diferença de velocidades v2 − v1 induz a rotação
ω ≈
v2 − v1
x2 − x1
.
Um fato importante sobre o comportamento da vorticidade em um escoamento é a sua conservação, que é
Figura 4: A rotação - a vorticidade ω - do elemento fluido se
deve ao perfil de velocidades.
v
1
v
2
x
1
x
2
ω
uma expressão da conservação do momento angular. A conservação da vorticidade significa que a rotação
do fluido tende a permanecer indefinidamente no escoamento, desde que não exista uma resistência no
fluido capaz de dissipá-la. Esta resistência provém primordialmente dos efeitos dissipativos da viscosidade,
que está associada às tensões de cisalhamento.
3
A conservação da vorticidade encontra no teorema de Helmholtz uma expressão quantitativa simples em
alguns escoamentos. Se existe uma vorticidade ω1 distribuída em uma secção A1 do fluido, a vorticidade
ω2 em uma outra secção A2 deverá manter constante o momento angular, isto é,
ω1A1 = ω2A2.
Figura 5: No estiramento do elemento de fluido de A
para B, a conservação da vorticidade implica
em um aumento da rotação do elemento no
estado B em relação ao estado A.
A BωΑ
ωΒ
ωΒ > ωΑ
Tensões de estiramento
2 Cinética dos Escoamentos
A viscosidade de um fluido mede a resistência ao escoamento. Esta resistência é observada no deslizamento
relativo de duas placas planas paralelas com um fluido entre as duas. A deformação δθ cresce indefinida-
mente, enquanto τ é aplicada à placa superior. Podemos dizer então que a resistência é proporcional à
taxa de deformação do fluido, isto é,
τ ∝
δθ
δt
.
Figura 6: A deformação δθ do fluido devida
ao deslocamento entre duas pla-
cas planas paralelas se dá continu-
amente enquanto existir a tensão
para manter a velocidade relativa
U .
dq
u y t( )d
U
d du y t( )
y
dy
h
Mas na Figura 6 é possível ver que
tan δθ =
δuδt
δy
.
No limite em que o ângulo δθ for muito pequeno, tan δθ ≈ δθ. Daí obtemos uma expressão para a
resistência ao deslocamento do fluido como
τ = µ
du
dy
.
Fluidos como a água, o ar, a maioria dos óleos e o sangue comportam-se de acordo com a equação
acima. A unidade de µ no Sistema Internacional (SI) de unidades é kg/(m.s). Como exemplos numéricos,
4
a viscosidade da água à temperatura ambiente de 15 C é µÁgua = 1 × 10
−3kg/(m.s), µAr = 1, 8 ×
10−5kg/(m.s) e µGlicerina = 1, 5kg/(m.s). A enorme diferença entre os valores das viscosidades da glicerina
e do ar, por exemplo, resulta em escoamentos muito diferentes destes dois fluidos para um mesmo valor de
τ .
Pela segunda lei de Newton, as forças sobre um ponto material do fluido resultam em uma aceleração,
tal como foi observado para um ponto material isolado. Entretanto, a existência de uma força resulta em
uma deformação do fluido. Por sua vez,esta deformação implica em um estado de tensões no fluido, que
é o resultado da maneira pela qual a força se distribui dentro do fluido. Assim, devido à terceira lei de
Newton, se destacarmos de um volume fluido o tubo de corrente mostrado na Figura 7, o estado de tensões
é caracterizado pela pressão p, que atua perpendicularmente à superfície lateral do tubo, e as tensões τ ,
que atuam tangencialemente à superfície lateral do tubo. O conjunto destas tensões é que movimenta o
fluido. A situação mais simples é calcular o escoamento através de um tubo cilíndrico, por onde ocorre um
Figura 7: O tubo de corrente está sujeito às tensões p
e τ , que exerce as mesmas tensões sobre o
restante do volume de fluido.
τ
τ
p
p + dp
τ
τ
p
p + dp
dx
A
escoamento tal que as pressões na entrada e na saída do tubo sejam constantes. Neste caso, a vazão de
fluido pelo tubo também será constante. Sendo assim, a diferença de pressões entre a entrada e a saída
será p + dp − p = dp, que ocorre ao longo do comprimento dx. As pressões estão aplicadas sobre a área
Atransversal = pir
2 da secção transversal. A tensão τ está aplicada tangencialmente sobre a superfície lateral
Alateral = 2pirdx do tubo. Estando constantes, o tubo está em equilíbrio (a força resultante exercida pelas
pressões é igual à força resultante exercida pelas tensões tangenciais), o que implica em
τ(2pirdx) = pir2dp.
Mas τ = µ(dv/dr), de acordo com a definição da tensão de cisalhamento. Logo,
r
2
dp
dx
= µ
dv
dr
.
Como a diferença de pressões é constante, é imediato concluir que dp/dx = constante, o que resulta na
5
seguinte integração:
dp
dx
∫
rdr
2µ
=
∫
dv ⇒ v(r) =
1
4µ
dp
dx
(
R2 − r2
)
.
O perfil de velocidades do escoamento é parabólico. Este é o conhecido escoamento de Hagen-Poiseuille:
A vazão volumétrica (em m3/s) é agora calculada como o volume do parabolóide de revolução formado
ru r( )
p1p2
umáxima
R
L
Figura 8: O perfil de velocidades do escoamento de um fluido viscoso em um tubo cilíndrico.
pelo perfil de velocidades, isto é,
V =
pi
2
R2vmáxima =
piR4
8µ
dp
dx
,
onde a velocidade máxima vmáxima ocorre precisamente no centro do tubo, devido à simetria do escoamento
em torno do eixo do tubo. Este resultado teórico foi utilizado, ainda no século XIX, para medir experimen-
talmente a viscosidade µ de um fluido, medindo a vazão V e a diferença de pressões dp/dx = (p1− p2)/L
no tubo. Animações gráficas dos escoamentos de Hagen-Poiseuille e de Couette estão disponíveis na página
http://www.geocities.com/Fundamentos04.
3 Conservação da Energia Mecânica - A Equação de Bernoulli
A conservação da energia mecânica para um escoamento é
dW = E1 − E2 ∴ −
dW
dt
= (e2 − e1)
dm
dt
,
onde dm/dt é o fluxo de massa por unidade de tempo. As energias E1 e E2 são as energias totais associadas
ao fluxo de massa nas secções 1 e 2. Esta energia total é a soma de todas as formas de energia presentes
no processo, e.g., cinética, potencial gravitacional, etc. Sua expressão expandida por unidade de massa é
e =
v2
2
+ gz + . . . .
O trabalho dW é o trabalho total. Na sua forma mais simples, este trabalho é a parcela de energia
necessária para produzir o deslocamento do fluido, dada por
∫
pdv. Para um escoamento entre os pontos
1 e 2 de uma linha de corrente, este trabalho é dado por
dW
dt
=
dm
dt
(p2v2 − p1v1) .
Reunindo estes termos na equação da conservação da energia,
6
dm
dt
[(
v2
2
2
+ gz2 + p2v2
)
−
(
v2
1
2
+ gz1 + p1v1
)]
= 0
Esta é a situação de um escoamento sem atrito, isto é, de viscosidade igual a zero. Se, além disto, o
fluido for incompressível, como acontece com a água, o volume específico é constante, e o fluido se desloca
devido à diferença de pressão, mas sem trabalho de compressão ou de expansão. Trata-se da equação
da conservação da energia energia mecânica. Nesta forma muito simplificada e de aplicação restrita às
considerações acima, a conservação da energia é denominada equação de Bernoulli :
[(
v2
2
2
+ gz2 + p2v
)
−
(
v2
1
2
+ gz1 + p1v
)]
= 0 ∴
(
ρv2
2
+ ρgz + p
)
= constante,
onde ρ = 1/v é a densidade do fluido. Os três termos da equação de Bernoulli são medidos como
pressões, isto é, tem unidades de [força/área]. Entretanto, é fácil verificar que a unidade de pressão é a
mesma que a de [energia/volume]. Ambas resultam em [J/m3]. Assim, podemos interpretar os termos
da equação de Bernoulli como energias de pressão. Em um escoamento laminar ou turbulento de um
fluido incompressível, estes três termos da equação de Bernoulli podem ser medidos segundo a indicação
esquemática dada na Figura ??. O medidor de pressão rente à parede do tubo mede a pressão estática
p
estática
p
total
∆p ∆p
v
Figura 9: As pressões estática e total no escoamento de um fluido em um tubo cilíndrico.
pestática = p do escoamento; o medidor de pressão dentro do tubo, chamado tubo de Pitot, mede a pressão
total ou energia total do escoamento, dada por
ptotal =
(
ρv2
2
+ ρgz + pestática
)
.
A pressão dinâmica do escoamento é definida agora como pdinâmica = △p = ρv2/2, e pode ser medida
diretamente no Pitot de pressão diferencial também mostrado na figura. Fica claro pela Figura ?? e pela
definição da pressão total que a altura da coluna no tubo de Pitot obviamente depende da posição do Pitot
dentro do tubo. Isto significa que cada linha de corrente tem uma energia total diferente. As pressões
estática e total estão na figura medidas em relação à pressão externa ao tubo - que pode ser a pressão
atmosférica -, mas a medida do manômetro diferencial é obviamente independente desta pressão externa.
⊎ ⊎ ⊎ ⊎
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