Apostila MHS

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MHS - Notas de Aulas
Prof. Antonio F Fortes
II Semestre de 2008
1 Osciladores Harmônicos
O movimento da projeção P′ de um ponto P que circula com velocidade angular ω e raio r = xm em torno
de O é descrito por
x(t) = xm cos(ωt + φ),
P
P’
x
O
xm
θ
x(t)
ω
y
onde φ é o ângulo de fase, ou o valor inicial de θ = ωt. Se o período de rotação de P é por definição
T =
2pi
ω
, então
xm cos(ωt) = xm cos[ω(t + T )].
A frequência da oscilação de P′ é definida como
ν =
1
T
=
ω
2pi
.
Conhecendo-se x(t) calcula-se a velocidade e aceleração de P′ respectivamente como
v(t) =
dx
dt
= −ωxm sin(ωt + φ)
e
a(t) =
dv
dt
= −ω2xm cos(ωt + φ) = −ω2x(t)
Com esta aceleração, a segunda lei de Newton para um ponto material P′ de massa m será
F = ma = −mω2x,
que é linear em x exatamente como a força exercida por uma mola elástica de constante k = mω2. Logo,
é possível deduzir que a frequência angular do movimento de m é
ω =
√
k
m
.
Esta é denominada a frequência natural do sistema. O período será portanto
T = 2pi
√
m
k
.
2 Conservação da Energia
Para este sistema massa-mola, a energia potencial elástica é
U(t) =
1
2
kx2 =
1
2
kx2m cos
2(ωt + φ),
e a energia cinética é
K(t) =
1
2
mv2 =
1
2
kx2m sin
2(ωt + φ).
Logo, é fácil deduzir que na ausência de outras formas de energia
U + K =
1
2
kx2m = constante.
3 Pêndulos
Pêndulo simples
No pêndulo simples toda a massa está concentrada em um ponto na extremidade de uma haste rígida.
θ
mg
L
Se θ é pequeno, sin θ ≈ θ, e a força restauradora sendo a compo-
nente tangente à trajetória de m, tem-se, sucessivamente:
F ≈ −mgθ ≈ −mg x
L
= −
( g
L
)
x.
Logo, o período deste pêndulo será
T = 2pi
√
m
k
= 2pi
√
L
g
.
Pêndulo físico
No pêndulo físico articulado em O e com centro de gravidade G, o torque do peso mg é
2
θ
mg
L
G
Oτ = −mg sin(θ)L ≈ −mgLθ = Iα = I d
2θ
dt2
quando θ é pequeno. Nesta equação, I é o momento de inércia do
pêndulo em torno do ponto de articulação O.
A linearidade do movimento é aqui no deslocamento angular θ.
A analogia com o sistema massa-mola anterior(linear em x) permite
deduzir que o período seja neste caso
T = 2pi
√
I
mgL
.
x+
O
x −
xm
φ
ωtφ ωt = 0
ωt = pi/2
C
1
C
2
pi/2 pi 3pi/2 2pi 5pi/2 3pi 7pi/2
0
+ xm
− xm
xmsen φ
2pi = T ek/m
ωt
Os osciladores harmônicos são soluções
da equação do movimento, i.e,
mx¨ + kx = 0,
uma equação diferencial ordinária linear de
segunda ordem cuja solução geral tem a
forma
x = C1 sin
(√
k
m
t
)
+C2 cos
(√
k
m
t
)
,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias que
podem ser expressas em termos do ângulo
de fase φ. A mesma solução geral pode ser
também escrita como:
x = C sin (ωt + φ) ,
onde ω =
√
k/m é a velocidade an-
gular de P, e as duas constantes arbi-
trárias são aqui C e o ângulo de fase
φ. De fato, esta última forma da solu-
ção geral pode ser expandida de acordo
com a identidade trigonométrica, resul-
tando em
x = C cos(φ) sin(ωt) + C sin(φ) cos(ωt) ∴ C1 = C cos(φ) e C2 = C sin(φ).
As relações entre as constantes C1 e C2 e a amplitude xm e o ângulo de fase são obtidas para ωt = 0
e ωt = pi/2, que resultam respectivamente em xo = C2 e xpi/2 = C1. Logo, xm =
√(
C2
1
+ C2
2
)
= C, e
3
tanφ = C1/C2.
A conservação da energia implica na equação do movimento, i.e,
d
dt
(U + K) = 0 ∴
d
dt
(
1
2
mx˙2 +
1
2
kx2) = mx˙x¨ + kxx˙ = mx¨ + kx = 0.
4 Oscilações amortecidas
O amortecimento de um sistema massa-mola é usualmente modelado como uma força retardadora direta-
mente proporcional à velocidade, o que simula a resistência ao deslocamento produzida pela viscosidade
de uma fina camada de fluido entre duas superfícies sólidas em movimento relativo. Com esta força, a
segunda lei de Newton aplicada ao sistema assume a forma
mx¨ + cx˙ + kx = 0,
onde cx˙ é a força retardadora. A solução desta equação tem a forma geral
x = xme
−bt sin(qt + φ),
onde b = c/2m é o fator de amortecimento e q =
√
k/m− b2 é a frequência angular da oscilação.
Graficamente, a oscilação amortecida tem como envoltórias as funções exponenciais ±xme−bt, como mostra
a figura abaixo:
0
+ xm
− xm
t
xmsen φ
5 Ressonância
Quando submetido a um forçamento periódico, um sistema massa-mola passa a oscilar com uma frequência
que é o resultado da superposição da frequência natural do sistema com a frequência do forçamento. Se
estas duas frequências coincidem, o sistema tende a oscilar com uma amplitude infinita, o que na prática
resulta em ruptura. Para um forçamento harmônico de amplitude δo, uma equação para este sistema seria
mx¨ + cx˙ + kx = kδo sin(ωt),
4
onde ω é a frequência angular do forçamento. No gráfico seguinte, obtido com a solução da equação acima,
xm é a amplitude de oscilacão do sistema, η = c/2
√
km é o fator de amortecimento e µ = ω/p é a razão
entre a frequência ω do forçamento e a frequência natural p do sistema. Quando µ = 1, e não havendo
amortecimento, i.e, η = 0, a amplitude de oscilação tende a infinito.
0 1 2 3
0
1
2
3
4
xm /δο
µ
η = 1
η = 0,5
η = 0
η = 0,2
6 Exemplos
1. Determine o k equivalente das duas molas em cada um dos dois arranjos seguintes:
k1
k2
k2k1
m
m
A aplicação da segunda lei de Newton a cada uma das massas resulta, respectivamente,
1.1. mx¨ = (k1 + k2)x ∴ k = k1 + k2
1.2. mx¨ = k1x1 = k2x2 = k(x1 + x2) ∴ k =
k1k2
k1 + k2
2. O anel de raio r está suspenso pela cunha de modo a oscilar livremente em torno da linha de contato.
Calcule o período de oscilação do anel.
5
Este é um pêndulo físico cuja forma do período é dada por
T = 2pi
√
I
mgh
,
onde h é a distância entre o centro de massa e o ponto de articulação. Neste pêndulo, é fácil ver
que I = mr2 + mr2 pelo teorema dos eixos paralelos e que h = r. Logo,
T = 2pi
√
2r
g
.
⊎ ⊎ ⊎ ⊎
6