Apostila Movimento Ondulatorio

Prévia do material em texto

Movimento Ondulatório
Notas de Aulas
Prof. Antonio F Fortes
II Semestre de 2008
1 Ondas
As ondas são oscilações que se propagam no espaço. Em uma estação fixa xo, a passagem de um trem
de ondas pode produzir tanto oscilações transversais como longitudinais à direção do deslocamento do
trem. A velocidade de propagação v destas ondas depende das propriedades materiais do meio. Associado
à velocidade de propagação, uma onda transporta momento linear, mas não transfere massa.
v
u(x,t)
xo
λ
y
m
Figura 1: Uma onda transversal: Onda senoidal em uma
corda elástica.
v
u(x,t)
xo
λ
Figura 2: Uma onda longitudinal: Onda compressiva
(sonora) em um tubo de ar.
Em um tempo t qualquer, a onda na corda elás-
tica mostrada na figura(uma foto da corda e de
um tubo de som no tempo t) tem comprimento
λ e amplitude ym. Atribuindo à onda a forma
senoidal, a oscilação transversal está definida por
y(x, t) = ymsen(kx− ωt),
onde ω é a frequência angular e k é o número
de onda. À frequência angular está associada a
frequência
ν = 1/T = 2pi/ω
onde T é o período. Ao comprimento de onda λ corresponde um período, de modo que, por definição,
v = λν
Para a onda senoidal acima, a velocidade de oscilação transversal é
u(t) =
∂y(x, t)
∂t
= −ωym cos(kx− ωt)
Na propagação em uma corda elástica isolada, a forma original de uma onda se preserva. Sendo assim,
assumindo v constante, se na estação xo em t = 0 o valor de y é yo, este mesmo valor de y se repetirá
em um instante t > 0, na estação x = xo + vt, de modo que
yo = ymsen(kxo) = ymsen[k(xo + vt)− ωt] = ymsen[kxo + (kv − ω)t]
v v
vt
y
o
t = 0 t = t
xo
Como a expressão acima calcula a ordenada yo em qualquer t, então, necessariamente,
kv − ω = 0 ∴ v =
ω
k
=
λ
T
= λν,
como já definido anteriormente. Logo, o movimento da onda senoidal ao longo de x ocorre de tal forma
que
y(x, t) = ymsen(kx− ωt) = ymsen[k(x− vt)].
De forma geral, pode-se então afirmar que uma onda y = f(x, t) propagando-se com velocidade v constante
ao longo de x depende de x e t na forma (x− vt), i.e,
y(x, t) = f(x− vt),
ou, se a velocidade v está orientada no sentido negativo do eixo dos x,
y(xt) = f(x+ vt).
2 Velocidade de propagação
É possível determinar experimentalmente que a velocidade da onda em uma corda elástica tensionada com
uma força τ depende da densidade linear µ e da força τ , i.e,
v = f(µ, τ).
Dimensionalmente, portanto, é possível escrever, de acordo com o Teorema dos Π′s, de Buckingham,
LT−1 = Mpi1L−pi1Mpi2Lpi2T−2pi2,
que resulta em um sistema de equações algébricas para determinar os expoentes Π′s que tornam dimensi-
onalmente homogênea a equação v = f(µ, τ):
pi1 + pi2 = 0
−pi1 + pi2 = 1
−2pi2 = −1,
2
cuja solução é pi2 = 1/2 = −pi1. Logo,
v = f
(√
τ
µ
)
.
A curva de ajuste dos dados experimentais mostra que a função f apenas multiplica
√
τ/µ por 1, i.e,
v =
√
τ/µ. O mesmo resultado pode ser obtido aplicando-se a segunda lei de Newton a um segmento ds
da corda.
3 Energia no movimento ondulatório
A energia cinética de um elemento de corda dm de densidade linear µ é
dK =
u2
2
dm =
u2
2
µdx =
1
2
µ
(
ω2y2m cos
2(kx− ωt)
)
dx.
Dividindo a equação por dt,
dK
dt
=
1
2
vµ
(
ω2y2m cos
2(kx− ωt)
)
.
Em um comprimento de onda, o valor médio desta potência cinética será, pelo teorema do valor médio,
λ
dK
dt
=
1
2
vµω2y2m
∫
λ
0
cos2(kx− ωt)dx.
Logo,
dK
dt
=
1
4
vµω2y2m
é a energia cinética média carregada pela onda. Da mesma forma, uma dedução semelhante resulta no
mesmo valor para a energia potencial média da onda. A potência total, portanto, será
P =
dK
dt
+
dU
dt
=
1
2
vµω2y2m = 2pi
2µvν2y2m.
O fato da potência média depender do quadrado da amplitude da onda é um resultado geral para o
movimento ondulatório, ainda que mostrado aqui apenas para uma onda elástica em uma corda.
3
4 A equação da onda
Sobre uma corda elástica sujeita a um movimento ondulatório, a tensão T em um ponto da corda tem a
componente H = constante porque não há aceleração na direção x.
T
y
x
H
V
dx
α
v
Neste ponto,
V (x, t) = −H(x, t) tanα = −H
∂y(x, t)
∂x
.
Assumindo que o peso de um elemento dm =
µdx da corda é desprezível quando comparado à
componente vertical V , a segunda lei de Newton
aplicada a dm na direção y resulta em
µdx
∂2y(x, t)
∂t2
= −H
∂y(x, t)
∂x
+H
∂y(x+ dx, t)
∂x
= H
∂
∂x
[y(x+ dx, t)− y(x, t)] .
Em aproximação de primeira ordem,
y(x+ dx, t) ≈ y(x, t) +
∂y(x, t)
∂x
dx.
Substituindo esta aproximação na última equação, obtem-se, finalmente,
µdx
∂2y(x, t)
∂t2
= H
∂
∂x
(
∂y(x, t)
∂x
)
dx,
ou
∂2y(x, t)
∂t2
=
(
H
µ
)
∂2y(x, t)
∂x2
.
Nesta equação, a constante
√
H/µ é precisamente a velocidade de propagação obtida anteriormente pela
análise dimensional. Além disso, esta equação admite soluções do tipo y(x± vt), o que pode ser verificado
substituindo esta solução na equação. Ainda que deduzida para a propagação de uma onda elástica em
uma corda, este é um resultado de caráter geral que descreve a propagação de uma onda ao longo de x
em um meio onde não há dissipação de energia.
5 Interferência e superposição de ondas
Se y1 e y2 são soluções da equação da onda, é fácil verificar que y1 + y2 também será uma solução.
Exatamente como ocorreria com a propagação de ondas circulares que se cruzam na superfície da água, a
superposição de duas cristas ou duas calhas resulta em uma onda cuja amplitude é a soma das amplitu-
des(interferência construtiva, ou em fase), e a superposição de uma crista e de uma calha resulta em uma
onda de amplitude menor, igual à diferença das amplitudes(interferência destrutiva, ou fora de fase). Este
é princípio da superposição, ou de interferência, de ondas.
4
A superposição de duas ondas pode resultar em uma onda estacionária, isto é, uma onda que não se
desloca. Por exemplo, a onda resultante da superposicão de y1 = ymsen(kx−ωt) e y2 = ymsen(kx+ωt)
é
y = y1 + y2 = 2ymsen(kx) cos(ωt),
o que pode ser facilmente verificado pela identidade trigonométrica
sen(a− b) + sen(a+ b) = 2sen(a) cos (b).
A soma y1 + y2 é estacionária porque 2ymsen(kx) representa a amplitude da onda y, com um valor
para cada x, que oscila com frequência angular igual a ω. Ver a animação gráfica desta superposição no
enedereço http://www.geocities.com/fundamentos04.
Uma outra situação que ilustra a superposição de ondas é o da batida sonora, exemplificada aqui pela
interferência de duas ondas de mesma amplitude e frequências ligeiramente diferentes, mostrada na figura.
0.5 1 1.5 2 2.5
−1
0
1
I
0.5 1 1.5 2 2.5
−1
0
1
II
0.5 1 1.5 2 2.5
−2
0
2
II
I
Figura 3: Onda III = Onda I + Onda II, onde νI = 1, 25νII e νEnvoltória = (νI − νII)/2.
O resultado é uma modulação de frequência, representada pela onda verde tracejada, a envoltória(carrier
wave, em inglês), cuja frequência é muito menor que a frequência da onda resultante da superposição.
Os conceitos básicos da teoria do movimento ondulatório expostos nestas notas podem ser também
encontrados no endereço http://electron.physics.buffalo.edu/claw/.
⊎ ⊎ ⊎ ⊎
5